泊松過程與維納過程課件

一、獨立增量過程特征:在互不重疊的區(qū)間上,狀態(tài)的增量是相互獨立的.第1頁/共33頁一、獨立增量過程特征:在互不重疊的區(qū)間上,狀態(tài)的增量是相1則稱增量具有平穩(wěn)性.

如果增量具有平穩(wěn)性,那么增量X(t)-X(s)的分布函數(shù)只依賴于時間差t-s,而不依賴于t和s本身.

當(dāng)增量具有平穩(wěn)性時,稱相應(yīng)的獨立增量過程是齊次的或時齊的.第2頁/共33頁則稱增量具有平穩(wěn)性.如果增量具有平穩(wěn)性,那么增量X(t)2獨立增量過程的協(xié)方差函數(shù)CX(s,t)第3頁/共33頁獨立增量過程的協(xié)方差函數(shù)CX(s,t)第3頁/共33頁3第4頁/共33頁第4頁/共33頁4二、泊松過程的數(shù)學(xué)模型問題的提出下列事件隨時間的推移遲早會重復(fù)出現(xiàn)(1)自電子管陰極發(fā)射的電子到達陽極;(2)意外事故或意外差錯的發(fā)生;(3)要求服務(wù)的顧客到達服務(wù)站.第5頁/共33頁二、泊松過程的數(shù)學(xué)模型問題的提出下列事件隨時間的推移遲早會重5問題的分析與求解

將電子、顧客等看作時間軸上的質(zhì)點,電子到達陽極、顧客到達服務(wù)站等事件的發(fā)生相當(dāng)于質(zhì)點出現(xiàn).因此研究的對象可以認為是隨時間推移,陸續(xù)地出現(xiàn)在時間軸上的許多質(zhì)點所構(gòu)成的隨機的質(zhì)點流.第6頁/共33頁問題的分析與求解將電子、顧客等看作時間軸上的質(zhì)點,電子到6計數(shù)過程的一個典型樣本函數(shù)第7頁/共33頁計數(shù)過程的一個典型樣本函數(shù)第7頁/共33頁7(1)在不相重疊的區(qū)間上的增量具有獨立性;第8頁/共33頁(1)在不相重疊的區(qū)間上的增量具有獨立性;第8頁/共33頁8第9頁/共33頁第9頁/共33頁9增量的分布律概率的計算第10頁/共33頁增量的分布律概率的計算第10頁/共33頁10第11頁/共33頁第11頁/共33頁11利用初始條件求解微分方程可得第12頁/共33頁利用初始條件求解微分方程可得第12頁/共33頁12將此式進行整理后可得第13頁/共33頁將此式進行整理后可得第13頁/共33頁13第14頁/共33頁第14頁/共33頁14如此重復(fù),一般地可得到結(jié)論第15頁/共33頁如此重復(fù),一般地可得到結(jié)論第15頁/共33頁15泊松過程的數(shù)字特征均值函數(shù)方差函數(shù)

泊松過程的強度等于單位長時間間隔內(nèi)出現(xiàn)的質(zhì)點數(shù)目的期望值.第16頁/共33頁泊松過程的數(shù)字特征均值函數(shù)方差函數(shù)泊松過程的強度等于單位16協(xié)方差函數(shù)相關(guān)函數(shù)

對非齊次泊松過程,用類似的方法可以求出增量的概率分布和非齊次泊松過程的一些數(shù)字特征.第17頁/共33頁協(xié)方差函數(shù)相關(guān)函數(shù)對非齊次泊松過程,用類似的方法可以求出17與泊松過程有關(guān)的隨機變量等待時間設(shè)質(zhì)點(或事件)依次重復(fù)出現(xiàn)的時刻第18頁/共33頁與泊松過程有關(guān)的隨機變量等待時間設(shè)質(zhì)點(或事件)依次重復(fù)出現(xiàn)18第19頁/共33頁第19頁/共33頁19第20頁/共33頁第20頁/共33頁20點間間距第21頁/共33頁點間間距第21頁/共33頁21求導(dǎo)可得條件概率密度函數(shù)為第22頁/共33頁求導(dǎo)可得條件概率密度函數(shù)為第22頁/共33頁22第23頁/共33頁第23頁/共33頁23結(jié)論定理一第24頁/共33頁結(jié)論定理一第24頁/共33頁24定理二定理的意義

定理刻畫出了泊松過程的特征.要確定一個計數(shù)過程是否是泊松過程,只需要用統(tǒng)計方法檢驗點間間距是否獨立,并且服從同一個指數(shù)分布.第25頁/共33頁定理二定理的意義定理刻畫出了泊松過程的特征.要確定一個計25三、維納過程的數(shù)學(xué)模型布朗運動簡介

英國植物學(xué)家布朗(Brown)在顯微鏡下,觀察漂浮在平靜的液面上的微小粒子,發(fā)現(xiàn)它們不斷地進行著雜亂無章的運動,這種現(xiàn)象稱為布朗運動.

愛因斯坦(Enisten)1905年提出一種理論,認為微粒的這種運動是由于受到大量隨機的、相互獨立的分子碰撞的結(jié)果.第26頁/共33頁三、維納過程的數(shù)學(xué)模型布朗運動簡介英國植物學(xué)家布朗(Br26布朗運動計算機模擬結(jié)果n=100n=500n=1000n=5000n=10000n=50000第27頁/共33頁布朗運動計算機模擬結(jié)果n=100n=500n=1000n=527第28頁/共33頁第28頁/共33頁28

由于粒子的運動完全是由液體分子的不規(guī)則碰撞而引起的,因此,在不相重疊的時間間隔內(nèi),碰撞的次數(shù)、大小和方向可假定是相互獨立的.第29頁/共33頁由于粒子的運動完全是由液體分子的不規(guī)則第29頁/共33頁29

液面處于平衡狀態(tài),這時粒子在一時段上位移的概率分布可以認為只依賴于這時段的長度,而與觀察的起始時刻無關(guān).第30頁/共33頁液面處于平衡狀態(tài),這時粒子在一時段上位移第30頁/共3330維納過程的數(shù)學(xué)模型則稱此過程為維納過程.第31頁/共33頁維納過程的數(shù)學(xué)模型則稱此過程為維納過程.第31頁/共33頁31維納過程的特征

維納過程增量的分布只與時間差有關(guān),所以維納過程是齊次的獨立增量過程,也是正態(tài)過程.其分布完全由均值函數(shù)和自協(xié)方差函數(shù)(或者自相關(guān)函數(shù))所確定.第32頁/共33頁維納過程的特征維納過程增量的分布只與時間差有關(guān),所以維第32謝謝您的觀看！第33頁/共33頁謝謝您的觀看！第33頁/共33頁33一、獨立增量過程特征:在互不重疊的區(qū)間上,狀態(tài)的增量是相互獨立的.第1頁/共33頁一、獨立增量過程特征:在互不重疊的區(qū)間上,狀態(tài)的增量是相34則稱增量具有平穩(wěn)性.

如果增量具有平穩(wěn)性,那么增量X(t)-X(s)的分布函數(shù)只依賴于時間差t-s,而不依賴于t和s本身.

當(dāng)增量具有平穩(wěn)性時,稱相應(yīng)的獨立增量過程是齊次的或時齊的.第2頁/共33頁則稱增量具有平穩(wěn)性.如果增量具有平穩(wěn)性,那么增量X(t)35獨立增量過程的協(xié)方差函數(shù)CX(s,t)第3頁/共33頁獨立增量過程的協(xié)方差函數(shù)CX(s,t)第3頁/共33頁36第4頁/共33頁第4頁/共33頁37二、泊松過程的數(shù)學(xué)模型問題的提出下列事件隨時間的推移遲早會重復(fù)出現(xiàn)(1)自電子管陰極發(fā)射的電子到達陽極;(2)意外事故或意外差錯的發(fā)生;(3)要求服務(wù)的顧客到達服務(wù)站.第5頁/共33頁二、泊松過程的數(shù)學(xué)模型問題的提出下列事件隨時間的推移遲早會重38問題的分析與求解

將電子、顧客等看作時間軸上的質(zhì)點,電子到達陽極、顧客到達服務(wù)站等事件的發(fā)生相當(dāng)于質(zhì)點出現(xiàn).因此研究的對象可以認為是隨時間推移,陸續(xù)地出現(xiàn)在時間軸上的許多質(zhì)點所構(gòu)成的隨機的質(zhì)點流.第6頁/共33頁問題的分析與求解將電子、顧客等看作時間軸上的質(zhì)點,電子到39計數(shù)過程的一個典型樣本函數(shù)第7頁/共33頁計數(shù)過程的一個典型樣本函數(shù)第7頁/共33頁40(1)在不相重疊的區(qū)間上的增量具有獨立性;第8頁/共33頁(1)在不相重疊的區(qū)間上的增量具有獨立性;第8頁/共33頁41第9頁/共33頁第9頁/共33頁42增量的分布律概率的計算第10頁/共33頁增量的分布律概率的計算第10頁/共33頁43第11頁/共33頁第11頁/共33頁44利用初始條件求解微分方程可得第12頁/共33頁利用初始條件求解微分方程可得第12頁/共33頁45將此式進行整理后可得第13頁/共33頁將此式進行整理后可得第13頁/共33頁46第14頁/共33頁第14頁/共33頁47如此重復(fù),一般地可得到結(jié)論第15頁/共33頁如此重復(fù),一般地可得到結(jié)論第15頁/共33頁48泊松過程的數(shù)字特征均值函數(shù)方差函數(shù)

泊松過程的強度等于單位長時間間隔內(nèi)出現(xiàn)的質(zhì)點數(shù)目的期望值.第16頁/共33頁泊松過程的數(shù)字特征均值函數(shù)方差函數(shù)泊松過程的強度等于單位49協(xié)方差函數(shù)相關(guān)函數(shù)

對非齊次泊松過程,用類似的方法可以求出增量的概率分布和非齊次泊松過程的一些數(shù)字特征.第17頁/共33頁協(xié)方差函數(shù)相關(guān)函數(shù)對非齊次泊松過程,用類似的方法可以求出50與泊松過程有關(guān)的隨機變量等待時間設(shè)質(zhì)點(或事件)依次重復(fù)出現(xiàn)的時刻第18頁/共33頁與泊松過程有關(guān)的隨機變量等待時間設(shè)質(zhì)點(或事件)依次重復(fù)出現(xiàn)51第19頁/共33頁第19頁/共33頁52第20頁/共33頁第20頁/共33頁53點間間距第21頁/共33頁點間間距第21頁/共33頁54求導(dǎo)可得條件概率密度函數(shù)為第22頁/共33頁求導(dǎo)可得條件概率密度函數(shù)為第22頁/共33頁55第23頁/共33頁第23頁/共33頁56結(jié)論定理一第24頁/共33頁結(jié)論定理一第24頁/共33頁57定理二定理的意義

定理刻畫出了泊松過程的特征.要確定一個計數(shù)過程是否是泊松過程,只需要用統(tǒng)計方法檢驗點間間距是否獨立,并且服從同一個指數(shù)分布.第25頁/共33頁定理二定理的意義定理刻畫出了泊松過程的特征.要確定一個計58三、維納過程的數(shù)學(xué)模型布朗運動簡介

英國植物學(xué)家布朗(Brown)在顯微鏡下,觀察漂浮在平靜的液面上的微小粒子,發(fā)現(xiàn)它們不斷地進行著雜亂無章的運動,這種現(xiàn)象稱為布朗運動.

愛因斯坦(Enisten)1905年提出一種理論,認為微粒的這種運動是由于受到大量隨機的、相互獨立的分子碰撞的結(jié)果.第26頁/共33頁三、維納過程的數(shù)學(xué)模型布朗運動簡介英國植物學(xué)家布朗(Br59布朗運動計算機模擬結(jié)果n=100n=500n=1000n=5000n=10000n=50000第27頁/共33頁布朗運動計算機模擬結(jié)果n=100n=500n=1000n=560第28頁/共33頁第28頁/共33頁61

由于粒子的運動完全是由液體分子的不規(guī)則碰撞而引起的,因此,在不相重疊的時間間隔內(nèi),碰撞的次數(shù)、大小和方向可假定是相互獨立的.第29頁/共33頁由于粒子的運動完全是由液體分子的不規(guī)則第29頁/共33頁62

液面處于平衡狀態(tài),這時粒子在一時段上位移的概率分布可以認為只依賴于這時段的長度,而與觀察的起始時刻無關(guān).第30頁/共33頁液面處于平衡狀態(tài),這時粒子在一時段上位移第30頁/共3363維納過