大學(xué)數(shù)學(xué)概率統(tǒng)計(jì)概念定義歸納

PAGEPAGE10一、隨機(jī)事件及其概率1.（基本概念）隨機(jī)事件定義（特點(diǎn)：1.試驗(yàn)可以在相同條件下重復(fù)進(jìn)行；2.結(jié)果不止一個(gè)，并且能事先明確試驗(yàn)的所有可能結(jié)果；3.在一次試驗(yàn)之前不能確定哪一個(gè)結(jié)果會出現(xiàn)。常記為Ω事件，事件發(fā)生與否，必然事件，不可能事件事件（定義：在試驗(yàn)中，可能發(fā)生也可能不發(fā)生的事件稱為隨機(jī)隨機(jī)事件，簡；從數(shù)學(xué)意義上講，就是樣本空間的子集。事件通常用大寫英文字母表示。在一次試驗(yàn)中，若試驗(yàn)結(jié)果ω∈A，則稱這次試驗(yàn)中事件A發(fā)生了，否則稱事件A沒有發(fā)生。的。有兩個(gè)特殊的事件：樣本空間本身，每次試驗(yàn)一定發(fā)生，稱為是必然事件；空集也是Ω的子集，也能稱為事件，每次試驗(yàn)一定不會發(fā)生，稱為不可能事件。事件域：就是所謂運(yùn)算的封閉性。還是事件，則把這個(gè)集合類稱為事件域。約定隨機(jī)試驗(yàn)的事件構(gòu)成事件域，通常記為F。事件的概率FPAA的概率。EE3P(A)A的概率。1. 非負(fù)性：0≤P(A)≤1；2.規(guī)范性：P(A)=1；2. 可列可加性：設(shè)A1,A2,….An…..是兩兩互不相容事件，則有2.2.（基本理論）事件的運(yùn)算及運(yùn)算定律ABA∪B=（x|x∈Ax∈B）A+B積事件：事件A與事件BA∩B=（x|x∈Ax∈B）AB求逆：A∪B=SAB=?AAB生。記為事件的三種關(guān)系運(yùn)算：相等：若A包含：互斥;ABAB=?事件的運(yùn)算定律：交換律：A∪B=B∪A,AB=BA結(jié)合律：分配律：易證等式概率的運(yùn)算性質(zhì)：3.（基本方法：標(biāo)號和不同顏色，摸球可分為有放回摸球和無放回摸球。二、條件概率與事件的獨(dú)立性基本概念條件概率：設(shè)A,B是兩個(gè)事件，且P(A)＞0，則稱P(B丨A)=為在事件A發(fā)生的條件下事件B發(fā)生的條件概率。P(B)＞0BA件概率：P(AB)=事件的獨(dú)立性A,B為兩個(gè)事件，如果等式P(AB)=P(A)P(B)成立，則稱事件AB互獨(dú)立定理：ABA、A、AB3獨(dú)立事件類的獨(dú)立性（略）基本理論由條件概率演繹出乘法公式：對任意兩個(gè)事件A,BP(B)＞0，則有P(AB)=P(B)P(AB)類似地，若P(A)＞0，有P(AB)=P(A)P(B丨A)全概率公式與貝葉斯公式及其推導(dǎo)全概率公式：全概率公式：B，B，...，BS1 2 n意事件A?S，有貝葉斯公式：設(shè)事件組B，B，...BΩ的一個(gè)完備事件組，則對任1 2 n意事件A?Ω，當(dāng)P(A)＞0，P(Bi)＞0時(shí)，有3.基本方法利用全概率公式計(jì)算概率利用全概率公式簡化貝葉斯公式三、隨機(jī)變量及其分布1.基本概念ES（ee∈SX(e)SX(e)X=X(e).離散型隨機(jī)變量及其分布律離散型隨機(jī)變量定義XX兩點(diǎn)分布：設(shè)隨機(jī)變量X01適合：合格不合格，性別登記，發(fā)芽不發(fā)芽，下雨不下雨等只有兩種結(jié)果的現(xiàn)象二項(xiàng)分布：泊松分布：設(shè)隨機(jī)變量X所有可能取的值為0,1,2?,且概率分布為其中,λ＞0XλX～π(λ)適合：電話交換臺一定時(shí)間內(nèi)收到的呼叫次數(shù)，一本書一頁中印刷錯(cuò)誤次數(shù)，原子一定時(shí)間放射的粒子數(shù)，超市一定時(shí)間的顧客數(shù)。連續(xù)型隨機(jī)變量及其概率密度函數(shù)定義：F(x)是隨機(jī)變量Xf(x)，xXf(x)X均勻分布：設(shè)連續(xù)型隨機(jī)變量X則稱隨機(jī)變量X在區(qū)間(a,b)上服從均勻分布，記作X～U(a,b)指數(shù)分布：若隨機(jī)變量X具有概率密度其中，θ＞0，Xθ的指數(shù)分布適合：常用于可靠性統(tǒng)計(jì)研究，如電子元件壽命，隨機(jī)服務(wù)系統(tǒng)的服務(wù)時(shí)間等。正態(tài)分布：若連續(xù)型隨機(jī)變量X的概率密度為μ和σ(σ＞0)Xμσ布或高斯分布2.(基本理論）分布函數(shù)的定義及性質(zhì)定義：設(shè)XF(x)=P(X≤x)(-X性質(zhì)：分布律的定義及性質(zhì)XXk(k=1,2?),X律即事件(X=Xk)的概率為則稱為離散型隨機(jī)變量X的概率分布或分布律，可以表示為：性質(zhì)：密度函數(shù)的定義及性質(zhì)F(x)Xf(x)，xXf(x)X性質(zhì)：證明幾何分布和指數(shù)分布的無記憶性若X服從參數(shù)為θ的指數(shù)分布，則其分布函數(shù)為服從指數(shù)分布的隨機(jī)變量X具有一下有趣的性質(zhì)：對于任意s,t＞0有這條性質(zhì)稱為“無記憶性”3.（基本方法：利用分布函數(shù)，分布律，密度函數(shù)計(jì)算概率；求隨機(jī)變量的線概率四、隨機(jī)變量的數(shù)字特征數(shù)學(xué)期望離散型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望定義：設(shè)離散型隨機(jī)變量XP(X=k)=k（k=1，2，，稱∑xkpk=x1p1+x2p2+...+xkpk+...為隨機(jī)變量XE(X)。連續(xù)型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望Xxf(x)dx則稱此積分∫xf(x)dxXE(X)=xf(x)dx隨機(jī)變量函數(shù)的數(shù)學(xué)期望設(shè)g(x)為連續(xù)函數(shù)，Y=g(X)也是隨機(jī)變量X的函數(shù)XP(X=xk)=pk(k=1,2,...)Y的數(shù)學(xué)期望為E(Y)=E[g(X)]=∑g(xk)pkXf(x)Y的數(shù)學(xué)期望為E(Y)=E[g(X)]=∫g(x)f(x)dx方差定義：設(shè)X是一個(gè)隨機(jī)變量，若E{[X-E(X)]2}存在，稱E{[X-E(X)]2}為X的方差，記作D(X)，即D(X)=E{[X-E(X)]2}基本理論數(shù)學(xué)期望的性質(zhì)E(C)=C(C為任意常數(shù))E(CX)=CE(X)3.E(X+Y)=E(X)+E(Y)4.X,YE(XY)=E(X)E(Y)方差的性質(zhì)CD(C)=0CD(CX)=C2D(X)XYD(X+Y)=D(X)+D(Y)+2{[X-E(X)][Y-E(Y)]};XYD(X+Y)=D(X)+D(Y)3.基本方法五、多維隨機(jī)變量1.基本概念多維隨機(jī)變量：一般來說，設(shè)E是一個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)，它的樣本空間是S=(e),設(shè)X1=X1(e),X2=X2(e)?Xn=Xn(e)是定義在S上的隨機(jī)變量，由它n(X1,X2?Xn)nn機(jī)變量二維隨機(jī)變量聯(lián)合分布函數(shù)、聯(lián)合分布律、聯(lián)合密度函數(shù)二維隨機(jī)變量聯(lián)合分布函數(shù)：設(shè)(X,Y)是二維隨機(jī)變量，對于任意實(shí)數(shù)x和y，二元函數(shù)F(x,y)= 稱為二維隨變量(X,Y)XY(X,Y)可能取的值是(Xi,Yi)(i,j=1,2?),P(X=Xi,Y=Yj)Pij,稱為二維離散型隨機(jī)變量(X,Y)XY性質(zhì)：(X,Y)F(x,y)，f(x,y)x,y則稱(X,Y)f(x,y)稱為二維隨機(jī)變量(X,Y)XY性質(zhì)：邊緣分布函數(shù)：邊緣分布律：設(shè)(X,Y)為二維離散型隨機(jī)變量，分布律為P(X=Xi,Y=Yj)=PijXYXYPi.P.j，于是邊緣密度函數(shù)：條件分布函數(shù)、條件分布律、條件密度函數(shù)條件分布率：設(shè)(X,YY=YjXX=XiY條件密度函數(shù)：設(shè)(X,Y)為連續(xù)型隨機(jī)變量，并且其聯(lián)合概率密度為f(x,y),若對于固定的有fy(y)＞0,則稱 為在Y=y的條件下X的條件概率密度記作：協(xié)方差與協(xié)方差矩陣協(xié)方差：設(shè)(X,Y)為二維隨機(jī)變量，若E{[X-E(X)][Y-E(Y)]