材料力學(xué)答案6桂電

布的扭力偶矩作用。為使軸的重量最輕，試確定 AB與BC段的長度li與12以及直徑di與d2。已知軸總長為I，許用切應(yīng)力為[.]。m——心B l2題4-13圖解：1?軸的強(qiáng)度條件在截面A處的扭矩最大，其值為Tmax1=ml由該截面的扭轉(zhuǎn)強(qiáng)度條件-maximaxiWpi-maximaxiWpi16mln3<[Tdi=3di=316ml.nTBC段上的最大扭矩在截面B處，其值為Tmax2~ml2由該截面的扭轉(zhuǎn)強(qiáng)度條件得d2d2316ml22?最輕重量設(shè)計(jì)軸的總體積為“于—+滬爭詈心計(jì)（晉宀2]根據(jù)極值條件得由此得從而得dV=odl2根據(jù)極值條件得由此得從而得dV=odl2_（警嚴(yán).（畔嚴(yán)鬻/3=。

n[ n[3l2=(3)3/2l:.0.465l2 5h=l_l2=[1_(§)3/2]l：0.5351(b)(c)—(1—(1當(dāng)宀3)1/2儒J"(d)該軸取式(a)~(d)所給尺寸，可使軸的體積最小，重量自然也最輕。4-14一圓柱形密圈螺旋彈簧，承受軸向壓縮載荷F=1kN作用。設(shè)彈簧的平均直徑D=40mm，彈簧絲的直徑d=7mm，許用切應(yīng)力［.］=480MPa，試校核彈簧的強(qiáng)度。解：由于m二D二40=5.71：：10

d7故需考慮曲率的影響，此時,8FD(4m+2) 8x1.00x103x0.040x(4x5.71+2)Nmax一n3(4m—3)一n0.0073(45.71-3)m2=372108Pa=372MPa結(jié)論：max：：：［?］，該彈簧滿足強(qiáng)度要求。4-20圖示圓錐形薄壁軸AB，兩端承受扭力偶矩M作用。設(shè)壁厚為6,橫截面A與B的平均直徑分別為dA與dB，軸長為I，切變模量為G。試證明截面A和B間的扭轉(zhuǎn)角為①2Ml(dA+dB)A/BSg「.dAdBII證明：自左端II證明：自左端&(X)￡dA 58式中,截面x的極慣性矩為"捋5［抽CX)"于(dACx)3依據(jù)d「T(x) 4M3dxGlpGn(dAcx)得截面A和B間的扭轉(zhuǎn)角為迦企"|nG0c(dAcx)nsc)-2Ml(dAdB)22nS)-2Ml(dAdB)22nSdAdb(~2—2nS(dB一dA)dBdA4-21圖示兩端固定的圓截面軸，承受扭力偶矩作用。試求支反力偶矩。設(shè)扭轉(zhuǎn)剛度為已知常數(shù)。R5R5題4-21圖(a)解：此為靜不定軸，但有對稱條件可以利用。設(shè)A與B端的支反力偶矩分別為Ma和Mb，它們的轉(zhuǎn)向與扭力偶矩M相反。由于左右對稱，故知MA=MB由7MX=0可得MAMB=2MA=2M即Ma=Mb=M解：此為靜不定軸，可解除右端約束，代之以支反力偶矩 Mb，示如圖4-21b。甘圖4-21b甘圖4-21b變形協(xié)調(diào)條件為B=0利用疊加法，得MaGlpM(2a)Mb(3a)Glp G|p(b)將式(b)代入式(a)，可得Mb進(jìn)而求得1Ma=—M(轉(zhuǎn)向與Mb相反)3解：此為靜不定軸，與(a)類似，利用左右對稱條件，容易得到maB=0利用疊加法，得MaGlpM(2a)Mb(3a)Glp G|p(b)將式(b)代入式(a)，可得Mb進(jìn)而求得1Ma=—M(轉(zhuǎn)向與Mb相反)3解：此為靜不定軸，與(a)類似，利用左右對稱條件，容易得到ma2Ma和Mb的轉(zhuǎn)向與m相反。解：此為靜不定軸，可解除右端約束，代之以支反力偶矩Mb，從變形趨勢不難判斷,Mb的轉(zhuǎn)向與m相反。變形協(xié)調(diào)條件為(c)利用疊加法，得到(x從左端向右取)■B=「B,m■；：b,mm(a—X)GldxMB(2a)ma2MBaGl2GIGl(d)將式(d)代入式(c)，可得進(jìn)而求得Mbma43ma_4Ma的轉(zhuǎn)向亦與m相反。4-22圖示軸，承受扭力偶矩4-22圖示軸，承受扭力偶矩Mi=400N?m與M2=600N?m作用。已知許用切應(yīng)力[.]=40MPa，單位長度的許用扭轉(zhuǎn)角[力=0.25(°/m，切變模量G=80GPa。試確定軸徑。500I2^0Ah題4-22圖解：1.內(nèi)力分析此為靜不定軸，設(shè)B端支反力偶矩為MB，該軸的相當(dāng)系統(tǒng)示如圖4-22a。IT500750125020220利用疊加法，得38ON*m⑹圖4-22B-GI-[4000.500-6001.250MB-GIp將其代入變形協(xié)調(diào)條件 B-0，得2=220Nm(6001.250-4000.500)Nm2

=220Nm該軸的扭矩圖示如圖4-22b。2.由扭轉(zhuǎn)強(qiáng)度條件求d由扭矩圖易見，max=380Nmmax=380Nm將其代入扭轉(zhuǎn)強(qiáng)度條件,16Tmax-maxT16Tmax-maxTmax江］由此得16Tmaxn[=316380m16Tmaxn[=316380m3n40106=0.0364m=36.4mm3.由扭轉(zhuǎn)剛度條件求 d將最大扭矩值代入maxGlp32TmaxGn4士］d_432Tmax32380180m =0.0577m=57.7mmnG［刃9n8010 0.25n結(jié)論：最后確定該軸的直徑d_57.7mm。4-23圖示兩端固定階梯形圓軸AB,承受扭力偶矩M作用。已知許用切應(yīng)力為［可,為使軸的重量最輕，試確定軸徑 d!與d2。 ! 11燉aC2a 押題4-23圖解：1.求解靜不定設(shè)A與B端的支反力偶矩分別為 Ma與Mb，則軸的平衡方程為TOC\o"1-5"\h\z'Mx=0,MaMb-M=0 (a)AC與CB段的扭矩分別為Ti=Ma, T2--Mb代入式(a),得Ti-T2-M=0 (b)設(shè)AC與CB段的扭轉(zhuǎn)角分別為ac與cb,則變形協(xié)調(diào)條件為‘AC ，CB=° (c)利用扭轉(zhuǎn)角與扭矩間的物理關(guān)系，分別有ACGlpi'CB2TACGlpi'CB2T2aGlp2代入式(c)代入式(c)，得補(bǔ)充方程為最后，聯(lián)立求解平衡方程(TiTi2半T2=0d2b)與補(bǔ)充方程(d)，得2d：M _d；Md；2di4， &一d；2di4(d)(e)ACAC與CB段的最大扭轉(zhuǎn)切應(yīng)力的數(shù)值相等,2.最輕重量設(shè)計(jì)從強(qiáng)度方面考慮，要使軸的重量最輕，應(yīng)使且當(dāng)扭力偶矩M作用時，最大扭轉(zhuǎn)切應(yīng)力均等于許用切應(yīng)力，即要求由此得將式(e)代入上式，得d?=2di并從而得T1汨,根據(jù)圓軸扭轉(zhuǎn)強(qiáng)度條件，于是得軸的直徑為8M9d2 3I6T1 316M一.n]一.9n]4-24圖示二平行圓軸，通過剛性搖臂承受載荷 F作用。已知載荷F=750N，軸1和軸2的直徑分別為di=i2mm和d2=15mm,軸長均為l=500mm,搖臂長度a=300mm，切變模量G=80GPa，試求軸端的扭轉(zhuǎn)角。題4-24圖解：這是一度靜不定問題。變形協(xié)調(diào)條件為△二A或|?i=2 (a)這里，厶和、分別為剛性搖臂1和2在接觸點(diǎn)處的豎向位移。設(shè)二搖臂間的接觸力為 F2，則軸1和2承受的扭矩分別為丁1二F(》-F2a,T2二F2a (b)物理關(guān)系為T2l(c)PT2l(c)P2將式(c)代入式(a)，并注意到式(b),得F2F2d；F2(d：d；)由此得m T2l 16Fal 16漢750F.300".500m2 4 4 9 4 4Glp2nG(d；d；)n80109(0.01240.0154)m=0.1004rad=5.75=|4-26如圖所示，圓軸AB與套管CD借剛性突緣E焊接成一體，并在突緣E承受扭力偶矩M作用。圓軸的直徑d=38mm，許用切應(yīng)力［.1］=80MPa，切變模量G1=80GPa；套管的外徑D=76mm,壁厚：=6mm，許用切應(yīng)力［遼戶40MPa，切變模量G2=40GPa。試求扭力偶矩M的許用值。題4-26圖解：1.解靜不定此為靜不定問題。靜力學(xué)關(guān)系和變形協(xié)調(diào)條件分別為(b)物理關(guān)系為(c)T1I1(c)G1IP1?將式(c)代入式(b)，并注意到:=76_12=0.8421,I76P2爹(:=76_12=0.8421,I76P2爹(1」4)，. nd41P1P1 32T_G1|p1|2^_2d41G2IP2l12D4(1-：4)3'2 3764(1-0.84214)43844…一?T2=0.1676T2(d)2"1將方程（a）與（d）聯(lián)解，得T2=0.856M， 「=0.144M2.由圓軸的強(qiáng)度條件定將方程（a）與（d）聯(lián)解，得T2=0.856M， 「=0.144M2.由圓軸的強(qiáng)度條件定M的許用值T1 16x0.144M ]■1max 3 —[1]Wpind3由此得扭力偶據(jù)的許用值為[M]1 加[1]160.1443.由套管的強(qiáng)度條件定3 6n0.038 8010Nm=5.99103Nm=5.99kNm160.144M的許用值T T2-2maxWp2[2]tD3（1-：4）由此得扭力偶據(jù)的許用值為160.856160.856[M】2_心3（1-：4）[2]_n0.0763（1-0.84214）40106160.856160.856=2.00103Nm=2.00kNm結(jié)論：扭力偶矩的許用值為[M]=[M]2=2.00kNm4-27圖示組合軸，由圓截面鋼軸與銅圓管并借兩端剛性平板連接成一體， 并承受扭力偶矩M=100N?m作用。試校核其強(qiáng)度。設(shè)鋼與銅的許用切應(yīng)力分別為 [s]=80MPa與[c]=20MPa，切變模量分別為Gs=80GPa與Gc=40GPa,試校核組合軸強(qiáng)度。400任4A0 400任4A0 一昨—— ?|? l —1題4-27圖解：1.求解靜不定如圖b所示，在鋼軸與剛性平板交接處（即橫截面B）,假想地將組合軸切開，并設(shè)鋼軸與銅管的扭矩分別為Ts與Tc，則由平衡方程aMx=0可知，

Ts=Tc(b)兩個未知扭力矩，一個平衡方程，故為一度靜不定問題。在橫截面B處，鋼軸與銅管的角位移相同，即(b)■■s=■-：c設(shè)軸段AB的長度為I，則TslGsIps■:_(M-TJI Tc I_(M-2TJIC Gelpc2Gelpc2 2GcIpc將上述關(guān)系式代入式(將上述關(guān)系式代入式(b)，并注意到Gs/Gc=2，得補(bǔ)充方程為(c)聯(lián)立求解平衡方程(a(c)聯(lián)立求解平衡方程(a)與補(bǔ)充方程(c)，于是得Ts(M-2Tc)IpsIIps(d)IpsM(d)Ipc2Ips2.強(qiáng)度校核“亜評十RT4pc將相關(guān)數(shù)據(jù)代入式n0.040m)(dpc將相關(guān)數(shù)據(jù)代入式n0.040m)(d)，得32對于鋼軸,Tss,maxWps對于鋼軸,Tss,maxWps對于銅管,Ts=Tc=11.6Nm16(11.6N =7.38106Pa=7.38MPa:::[.s]n0.020m)3■c,max醫(yī)Tt:■c,max醫(yī)Tt:[::隘-十0pg愛億咖出“訂n0.040m)31-0.035mIL .0.040m4-28將截面尺寸分別為100mmx90mm與°90mmx80mm的兩鋼管相套合，并在內(nèi)管兩端施加扭力偶矩M0=2kNm后，將其兩端與外管相焊接。試問在去掉扭力偶矩 M0后，內(nèi)、外管橫截面上的最大扭轉(zhuǎn)切應(yīng)力。

解：1.求解靜不定此為靜不定問題。在內(nèi)管兩端施加 M0后，產(chǎn)生的扭轉(zhuǎn)角為fp Mol0—Glpi去掉Mo后，有靜力學(xué)關(guān)系Ti=Te(b)幾何關(guān)系為i」e「0(c)物理關(guān)系為：i=", ―FGIpi GIpe(d)將式(d)和式(a)代入式(c)，得Til Tel M°lGIpiGIpeGIpi或?qū)懗蒚eM?！猅Ipe Ipi由此得TeJpe(Mo-Tj"395(M°-丁)(e)pi聯(lián)立求解方程(e)與(b)，得Ti=Te=O.5825M0=1.165kNm2.計(jì)算最大扭轉(zhuǎn)切應(yīng)力內(nèi)、外管橫截面上的最大扭轉(zhuǎn)切應(yīng)力分別為i,maxTiWpi16D165Nn0.0903i,maxTiWpi16D165Nn0.0903[1-(8/9)4]m2=2.17107Pa=21.7MPae,maxTeWpe16D165Nn0.1003(1-0.94)m2=1.725107Pa=17.25MPa4-29圖示二軸，用突緣與螺栓相連接，各螺栓的材料、直徑相同，并均勻地排列在直徑為D=100mm的圓周上，突緣的厚度為=10mm，軸所承受的扭力偶矩為M=5.0kNm,螺栓的許用切應(yīng)力[]=100MPa，許用擠壓應(yīng)力[；「bs]=300MPa。試確定螺栓的直徑d。解：1.求每個螺栓所受的剪力由Mx=0,6Fs（號）=M2.由螺栓的剪切強(qiáng)度條件求 dFs叫[]A3￡d2由此得4Md>4Md>. -\3幻[可 Un0.100漢100匯1035.0103md—3D、.[6s] 30.1000.010300104*6*=5.5610‘m=5.56mm結(jié)論：最后確定螺栓的直徑d_14.57mm。4-30圖示二軸，用突緣與螺栓相連接，其中六個螺栓均勻排列在直徑為D1的圓周上,另外四個螺栓則均勻排列在直徑為 D2的圓周上。設(shè)扭力偶矩為M，各螺栓的材料相同、直徑均為d，試計(jì)算螺栓剪切面上的切應(yīng)力。題4-30題4-30圖i剪切面上解：突緣剛度遠(yuǎn)大于螺栓剛度，因而可將突緣視為剛體。于是可以認(rèn)為：螺栓的平均切應(yīng)變j與該截面的形心至旋轉(zhuǎn)中心0i剪切面上i=k「i式中，k為比例常數(shù)。利用剪切胡克定律，得螺栓i剪切面上的切應(yīng)力為i=Gk「i而剪力則為Fs,i=GAk「i最后，根據(jù)平衡方程=0,=0,6GAkT24GAk2M8M2l150miin2M8M2l150miinAlttsokJk22222

GA（3D；2D；）Gnl2（3D：2D；）于是得外圈與內(nèi)圈螺栓剪切面上得切應(yīng)力分別為4MD122 2~nd2(3D：2D；)4MD2nd2(3Df2D22)4-31圖a所示托架，承受鉛垂載荷F=9kN作用。鉚釘材料均相同，許用切應(yīng)力[]=140MPa，直徑均為d=10mm。試校核鉚釘?shù)募羟袕?qiáng)度。題4-31圖解：由于鉚釘均勻排列，而且直徑相同，所以，鉚釘群剪切面的形心 C,位于鉚釘2與鉚釘3間的中點(diǎn)處（圖b）。將載荷平移至形心C,得集中力F與矩為Fl的附加力偶。在通過形心C的集中力F作用下，各鉚釘剪切面上的切應(yīng)力相等，其值均為

FF可= 2nd2 nd29103N9103Nn(101Q-m)2=28107MPa在附加力偶作用下，鉚釘 1與4剪切面上的切應(yīng)力最大，其值均為FIrFIr由圖中可以看出，口=r4=6010'm，r2=r3=2010"m所以,(2rj+2r；)=；(10幻0‘m)2(602+202)(10^m)2=6.28x10~7m4代入式（a）,得=1.289108Pa..(9103N)(15010，m)(6010=1.289108PaT— 6.2^<10^m4將上述兩種切應(yīng)力疊加，即得鉚釘 1與4的總切應(yīng)力即最大切應(yīng)力為?max=' 2 2=.(2.87107Pa)2 (1.289108Pa)2=1.32108Pa=132MPa：：：[?]a=200mm,b=160mma=200mm,b=160mm，阮=3mm,、2=4mm,T=6kN試求最大扭轉(zhuǎn)切應(yīng)力。題4-34圖解：截面中心線所圍面積為'2b-、2\Q=na■ )( )2 4由此得Q=n(0.2000.0015-0.002)(0160一0.004)m2=2.4110‘m2

4于是得最大扭轉(zhuǎn)切應(yīng)力為maxT 6103N21"min_2 222.4110 0.003m2=4.15107Pa=41.5MPa4-35一長度為I的薄壁管，兩端承受矩為M的扭力偶作用。薄壁管的橫截面如圖所示，平均半徑為Ro,上、下半部由兩種不同材料制成，切變模量分別為 Gi與G2，厚度分別為與「2,且冷＜、2，試計(jì)算管內(nèi)的最大扭轉(zhuǎn)切應(yīng)力，以及管端兩橫截面間的扭轉(zhuǎn)角 。題4-35題4-35圖解：1.扭轉(zhuǎn)切應(yīng)力計(jì)算閉口薄壁管扭轉(zhuǎn)切應(yīng)力的一般公式為^Rg^Rgd^dx2G1所以，最大扭轉(zhuǎn)切應(yīng)力為TM-max 22tR0§2.扭轉(zhuǎn)變形計(jì)算用相距dx的兩個橫截面，能為與夾角為d曲勺兩個徑向縱截面，從管的上部切取一微體，其應(yīng)變-：min2■1由此得整個上半圓管的應(yīng)變能為00瘡「00瘡「Rod^dxM2I8nG1Rq'h同理得整個下半圓管的應(yīng)變能為m2i87G2Ro";2m2m2iM：_M2|2 8心很3、1 8心2曲、2于是得

4-36圖示三種截面形狀的閉口薄壁桿，若截面中心線的長度、壁厚、桿長、材料以及所受扭矩均相同，試計(jì)算最大扭轉(zhuǎn)切應(yīng)力之比和扭轉(zhuǎn)角之比。題4-36圖題4-36圖解：由于三者中心線的長度相同，故有2(2bb)=4a=nd由此得a二衛(wèi)a二衛(wèi)4Q，其值依次為_n2d2「18T，站=2b站=2b2c2nd216◎3=三4依據(jù)Tmax_22min可得三種截面薄壁桿的最大扭轉(zhuǎn)切應(yīng)力之比為矩max-.方max-'圓max=〔-432-1-273：1依據(jù)ds4GQ2可得三種截面薄壁桿的扭轉(zhuǎn)角之比為矩：方:圓二2.05:1.621:1結(jié)果表明：在題設(shè)條件下，圓形截面薄壁桿的扭轉(zhuǎn)強(qiáng)度及扭轉(zhuǎn)剛度均最佳，正方形截面薄壁桿的次之，長方形截面薄壁桿的最差。一般說來，在制造閉口薄壁桿時，應(yīng)盡可能加大其中心線所圍的面積Q,這樣對強(qiáng)度和剛度均有利。

4-37圖示閉口薄壁桿，承受扭力偶矩M作用，試計(jì)算扭力偶矩的許用值。已知許用切應(yīng)力[]=60MPa,單位長度的許用扭轉(zhuǎn)角[節(jié)=0.5()/m，切變模量G=80GPa。若在桿上沿桿件母線開一槽，則許用扭力偶矩將減少至何值。題4-37圖解：1?計(jì)算閉口薄壁桿扭力偶矩的許用值由扭轉(zhuǎn)強(qiáng)度條件■max2Q-minI]T_2Q、min[]=20.1000.3000.00360106Nm4-1.08010Nm=10.80kNm由扭轉(zhuǎn)剛度條件J■max2Q-minI]T_2Q、min[]=20.1000.3000.00360106Nm4-1.08010Nm=10.80kNm由扭轉(zhuǎn)剛度條件J空勻討4GQ2'S得2=9.43103Nm=9.43kNm4GQ^/80109(0.1000.300)28.72710'nm2(0.3000.100)0.003其中用到[r]= _nrad/m=8.72710；rad/m180比較可知,[M]=9.43kNm2.計(jì)算開口薄壁桿扭力偶矩的許用值由扭轉(zhuǎn)強(qiáng)度條件3T渝乂max一nji「3id勻]n[rh「i3T ——3''max60106[2(0.3000.100)0.0033]Nm=144.0Nm由扭轉(zhuǎn)剛度條件30.0033T乞曰］G'hr：3T乞曰］G'hr：n[刃h、i333 9 38.72710 8010 [2(0.3000.100)0.003h N，m=5.03Nm3比較可知,[M]開=5.03Nm第六章彎曲應(yīng)力6-2如圖所示，直徑為d、彈性模量為E的金屬絲，環(huán)繞在直徑為D的輪緣上，試求金屬絲內(nèi)的最大彎曲正應(yīng)變、最大彎曲正應(yīng)力與彎矩。解：金屬絲的曲率半徑為，Dd2所以，金屬絲的最大彎曲正應(yīng)變?yōu)開ymax_d2 _d伸ax "2Dd5d最大彎曲正應(yīng)力為"-'max-"-'max-E-maxEdDd而彎矩則為M=WzcmaxM=Wzcmaxnd3Ed32DdEn432(Dd)6-3圖示帶傳動裝置，膠帶的橫截面為梯形，截面形心至上、下邊緣的距離分別為 yi與y2,材料的彈性模量為E。試求膠帶內(nèi)的最大彎曲拉應(yīng)力與最大彎曲壓應(yīng)力。題6-3圖解：由題圖可見，膠帶中性層的最小曲率半徑為Pmin二R1依據(jù)(T=Ey可得膠帶內(nèi)的最大彎曲拉應(yīng)力和最大彎曲壓應(yīng)力分別為,_Eyict,max_Ey?(a) ⑹W(a) ⑹Wz與Wy°題6-6圖解：1.Wz計(jì)算由圖b可以看出，a J3ab,h=-22bh3_1ap3aj12_1222bh3_1ap3aj12_1222I理+如血丫_z,t36 2 3、I理+如血丫_z,t36 2 3中部矩形截面對z軸的的慣性矩為. a(2h)3 V3a4zr= = 2 I= 12 12 2 4于是得整個六邊形截面對z軸的慣性矩為lz=4lz,tllz=4lz,tlz,r644、、3a4 3a416而對z軸的抗彎截面系數(shù)則為Wzymax=53a4Wzymax-16a「3一82.Wy計(jì)算ADB對y軸的慣性矩為

. hb‘丄bhfb丄a￥ 1U''3a4Iy,t36 2\.3 2) 192中部矩形截面對y軸的的慣性矩為y,r2ha3"1212于是得整個六邊形截面對y軸的慣性矩為1y,r2ha3"1212于是得整個六邊形截面對y軸的慣性矩為1y-4Iy,t1y,r411.3a\,3a4=192 125.3a416而對Z軸的抗彎截面系數(shù)則為__5.3a41 5.3a3Zmax 16a166-7圖示直徑為d的圓木，現(xiàn)需從中切取一矩形截面梁。試問:(1)如欲使所切矩形梁的彎曲強(qiáng)度最高， h和b應(yīng)分別為何值；⑵如欲使所切矩形梁的彎曲剛度最高， h和b又應(yīng)分別為何值。題6-7圖解：(1)為使彎曲強(qiáng)度最高，應(yīng)使Wz值最大。bh312122bh312122Wz=如=b(d2_b2)66dWz」(d23b2)=0db6由此得b3d，h=;；'d2_b2 -d3 3(2)為使彎曲剛度最高，應(yīng)使 lz值最大。dlz=3h2(d2-h2)-h4dh12.d2-h2由此得h,d,2b二d2_h26-8圖a所示簡支梁，由血18工字鋼制成，彈性模量E=200GPa,a=1m。在均布載荷q作用下，測得截面C底邊的縱向正應(yīng)變c=3.010-4,試計(jì)算梁內(nèi)的最大彎曲正應(yīng)力。題6-8圖題6-8圖解：1.內(nèi)力分析梁的彎矩圖如圖b所示，橫截面C的彎矩為MeMe2qa梁內(nèi)的最大彎矩則為Mmax2.應(yīng)力計(jì)算（解法一）橫截面e底部的彎曲正應(yīng)力為"-'C,max2_qa_4Wz由此得代入式（a），"-'C,max2_qa_4Wz由此得代入式（a），得于是得梁的最大彎曲正應(yīng)力為4E；cWzq2aMmax9E；CWz8maxmax_9E；c_89(200109Pa)(3.010冷_8=67.5MPa3.應(yīng)力計(jì)算（解法二）橫截面C底部的彎曲正應(yīng)力為匚C,max匚C,max由于應(yīng)力與內(nèi)力成正比，所以，梁內(nèi)的最大彎曲正應(yīng)力為maxmaxMe■-'C,max9qa2-maxmaxMe■-'C,max9qa2-3242

qaE；c9E；c8=67.5MPa計(jì)算結(jié)果相同。6-9圖示簡支梁，承受均布載荷q作用。已知抗彎截面系數(shù)為Wz,彈性模量為E，試計(jì)算梁底邊AB的軸向變形。題6-9題6-9圖解：梁的彎矩方程為橫截面x處底邊微長dx的軸向變形為M(x)謂橫截面x處底邊微長dx的軸向變形為M(x)謂x」xd(.：l)=;(x)dx=M(x)EWzdx所以，梁底邊AB的軸向變形為J迪dx0J迪dx0EWz丿12EWz6-10圖示截面梁，由血18工字鋼制成，截面上的彎矩 M=20kNm,材料的彈性模量E=200GPa，泊松比」=0.29。試求截面頂邊AB與上半腹板CD的長度改變量。解：1.截面幾何性質(zhì)工字鋼截面大致形狀及尺寸符號示如圖 6-10。由附錄F表4查得圖6-10由附錄F表4查得h=180mm,b=94mm,t=10.7mm

Iz=1660cm4,Wz=185cm3并從而得hi=h/2-1=79.3mm。2.計(jì)算頂邊AB的長度改變量頂邊處有^maxMWz口^maxE由此可得AB邊的伸長量為-ABWMEWz-ABWMEWz-20010918510“=1.47410*m=0.01474mm3.計(jì)算上半腹板CD的長度改變量距中性軸z為y1的點(diǎn)，彎曲正應(yīng)力的絕對值為My1（y1以向上為正）該處的橫向應(yīng)變?yōu)閖；(%)j；(%)JMy1一EIz由此可得線段CD的伸長量為h10仙二2EI_0.29201030.07932200109166010"m=5.4910"m=0.00549mm6-12圖a所示矩形截面懸臂梁，桿端截面承受剪切載荷F作用?，F(xiàn)用縱截面AC與橫截面AB將梁的下部切出，試?yán)L單元體ABCD各切開截面上的應(yīng)力分布圖， 并說明該部分是如何平衡的。a 1 I) 卄(a>a 1 I) 卄(a>題6-12圖解：1.單元體的應(yīng)力分析梁內(nèi)各橫截面的剪力相同，其值均為 F;在固定端處，橫截面上的彎矩則為M(0)=—FI與上述內(nèi)力相對應(yīng)，單元體各截面的應(yīng)力如圖 b所示。在橫截面AB上，彎曲切應(yīng)力按拋物線分布，最大切應(yīng)力為3F_2bh在該截面上，彎曲正應(yīng)力線性分布，最大彎曲壓應(yīng)力則為_6FI■-c,max— 2bh在縱截面AC上，作用有均勻分布的切應(yīng)力 ?，其值為?隹2bh在橫截面CD上，作用有合力為Fi=F/2的剪切分布力。2.單元體的受力分析F2代表橫截面ABF2代表橫截面AB上由切應(yīng)力構(gòu)成的F4則代表縱截面AC上由切應(yīng)力構(gòu)剪切力，F(xiàn)3代表該截面上由彎曲正應(yīng)力構(gòu)成的軸向合力，成的剪切合力。顯然，M(0)Sz()3Flbh2hFM(0)Sz()3Flbh2hF4二bl3Fbl2bh_3Fl-2h3.單元體的平衡根據(jù)上述計(jì)算結(jié)果，得"”“霧知0Fy母一―。申弋占尋牛0說明單元體滿足平衡條件。6-13圖示矩形截面簡支梁，承受矩為Me=Fa的集中力偶作用。截面的寬度為b,高度為h。試?yán)L單元體ABCD的應(yīng)力分布圖（注明應(yīng)力大?。?，并說明該單元體是如何平衡的。解：1.畫剪力、彎矩圖左、右支座的支反力大小均為解：1.畫剪力、彎矩圖左、右支座的支反力大小均為F/3，方向是左向上、右向下。據(jù)此可畫剪力、彎矩圖示如圖6-13a與b。(b)(b)圖6-132?求單元體兩端面上的應(yīng)力及其合力單元體兩端面及縱截面上的應(yīng)力分布情況示如圖 c,最大彎曲正應(yīng)力和剪應(yīng)力值分別為M1_6Fa_2FaWz一時2一bh2〈max二M2〈max二M2_4Fa~WT~bh23FS22AF2bh由切應(yīng)力互等定理可知，縱截面上的切應(yīng)力 t與Tmax數(shù)值相等。左、右端面上彎曲正應(yīng)力構(gòu)成的軸向合力分別為bh FaFx1 6max( )=2 2hbh Fa由切應(yīng)力互等定理可知，縱截面上的切應(yīng)力 t與Tmax數(shù)值相等。左、右端面上彎曲正應(yīng)力構(gòu)成的軸向合力分別為bh FaFx1 6max( )=2 2hbh FaFx2 O2max()=2 h左、右端面上彎曲切應(yīng)力構(gòu)成的豎向合力大小相等，其值為Fy1二Fy2Jf6縱截面上彎曲切應(yīng)力構(gòu)成的軸向合力為Fa3?檢查單元體的平衡方程是否滿足二Fx=0,Fx2-Fxi~FxFaFaFaoFy=0,Fy1—"Fy2=6h2h2hFt=06Fa3Fa6由此可見，單元體的全部平衡方程均能滿足(另三個平衡方程是恒等滿足，無需寫出)6-14梁截面如圖所示，剪力Fs=200kN，并位于x-y平面內(nèi)。試計(jì)算腹板上的最大彎曲切應(yīng)力，以及腹板與翼緣(或蓋板)交界處的彎曲切應(yīng)力。1001110011%%1201■■■■i/J1/■■■■C]0_/，■-10(Ll}題6-14圖⑻解：截面形心至其頂邊的距離為0.020匯0.100匯0.010+0.120江0.010><2><0.080

yc m0.0200.1000.1200.020=0.04818m慣性矩和截面靜矩分別為

3 3I[0.1000.020 0.1000.0200.038182 2°.°100.120121220.0100.1200.031822]m4=8.29210-6m4Szmax=0.09182汽0.020漢0.0；182m3=8.431>d0，m3Sz=0.1000.0200.03818m3=7.63610」m3于是得腹板上的最大彎曲切應(yīng)力為FsSz,maxFsSz,max2001038.43110“N"8.292100.020m2=1.017108Pa=101.7MPa腹板與翼緣交界處的彎曲切應(yīng)力則為咬界FsSz咬界FsSzIz3200103 7.63610占N8.29210占0.020m2=9.21107Pa=92.1MPa(b)解：采用負(fù)面積法，得截面形心至其頂邊得距離為「0.110疋0.150漢0.075—(0.110—0.020)漢0.100疋0.070】 cc“yC=[ ]m=0.081m0.1100.150-(0.110-0.020)0.100慣性矩(采用負(fù)面積法)和截面靜矩分別為3 3I {0.1100.150.0.1100.150(0.081-0.075)2-[°.0900.10012120.0900.100(0.081-0.070)2]}m4=2.29410」m4Sz,max=[0.0307.110迤0.069—0.015)+0.020漢(0.069—0.030)2匯；]m3=1.93410*m3Sz上二0.0200.110(0.081-0.010)m3=1.56210*m3Sz下二0.0300.110(0.069-0.015)m3=1.78210*m3于是得腹板上的最大彎曲切應(yīng)力為FsSz,maxFsSz,maxTmax:Iz32001031.93410*N2.29410#0.020m2=8.43107Pa=84.3MPa腹板與上蓋板交界處的彎曲切應(yīng)力為咬界上二FsS咬界上二FsSz上Iz32001031.56210^NZ5 2~2.29410 0.020m=6.81107Pa=68.1MPa腹板與下蓋板交界處的彎曲切應(yīng)力為咬界下=7.77107Pa=77.7MPaFsSz下二20010咬界下=7.77107Pa=77.7MPaIz3 2.29410^0.020m26-17圖示鑄鐵梁，載荷F可沿梁AC水平移動，其活動范圍為0＜叫31/2。已知許用拉應(yīng)力［q］=35MPa，許用壓應(yīng)力［兩=140MPa,l=1m，試確定載荷F的許用值。題6-17圖解：1.截面幾何性質(zhì)計(jì)算由圖6-17可得yc=(0.1000.0200.0100.0800.0200.0600.100x0.020+0.080x0.020)m=0.03222m30.1000.02031日120.1000.0200.02222230.020 0.0803120.0200.080(0.060-0.03222)2]m4=3.14210^m42080圖6-172.確定危險面的彎矩值F作用在F作用在AB段時,MmaxFl當(dāng)作用在BC段時,maxFl_3ImaxFln—，2.確定載荷的許用值由危險面B的壓應(yīng)力強(qiáng)度要求°C,maxmax(0.100-yc)二Fl2Iz2l2lz[%]

l(0.100-yc)=1.298104N=12.98kN由截面B的拉應(yīng)力強(qiáng)度要求q,maxot]IZ 21zFF2lz[ot]一iyc=6.83103N=6.83kN23.14210"635106N_ 1.000203222由Mmax作用面的拉應(yīng)力強(qiáng)度要求6,max十max(0.100_yc)二Fl4Iz(0.100一yc)_[ot]F4Iz[o] 43.14210 35忖N=6.49103N=6.49kN1(0.100-yC) 1.000(0.100-0.03222)該面上的最大壓應(yīng)力作用點(diǎn)并不危險，無需考慮。比較上述計(jì)算結(jié)果，得載荷的許用值為[F]=6.49kN6-18圖示矩形截面階梯梁，承受均布載荷 q作用。已知截面寬度為 b,許用應(yīng)力為[二]。為使梁的重量最輕，試確定 l1與截面高度h1和h2。v'r1J「rII1Ilx■11題6-18圖解：1.求最大彎矩左段梁最大彎矩的絕對值為M1maxM1maxql2右段梁最大彎矩的絕對值為M2max ql12.求截面高度h和h2由根部截面彎曲正應(yīng)力強(qiáng)度要求qmaxM1maxWqmaxM1maxWz126ql2

~2bh12由右段梁危險截面的彎曲正應(yīng)力強(qiáng)度要求◎max—M2maxWz26ql；22bh；h2-l由右段梁危險截面的彎曲正應(yīng)力強(qiáng)度要求◎max—M2maxWz26ql；22bh；h2-l1(b)3?確定l1梁的總體積為l(l-ll) ll2]dV=o,dl12h-1=0V=V1V2=bh1(l-l1)bh2l^bli最后，將式（c）代入式（b），得h2h2l3q為使該梁重量最輕（也就是V最?。詈笕=丄為使該梁重量最輕（也就是V最?。詈笕=丄，hj=2h2=l3q1 2， 1 2 ,b[d6-19圖示簡支梁，由四塊尺寸相同的木板膠接而成。已知載荷F=4kN，梁跨度l=400mm，截面寬度b=50mm,高度h=80mm,木板的許用應(yīng)力［二］=7MPa，膠縫的許用切應(yīng)力［.］=5MPa，試校核強(qiáng)度。題6-19圖解：1.畫剪力、彎矩圖該梁的剪力、彎矩圖如圖 6-19所示。由圖可知，最大剪力（絕對值）和最大彎矩分別為22FSmax二2F，Mmax=9Fl(+)(+)圖6-19.校核木板的彎曲正應(yīng)力強(qiáng)度_Mmax6疋2FI4疋4漢103漢0.400N^max 2 22Wz 9bh2 3疋0.050"?0802m2=6.67106Pa=6.67MPa：：：[o].校核膠縫的切應(yīng)力強(qiáng)度_3FSmax_3FSmax_3 2F"2A"32bh20.0500.080m=1.000106Pa=1.000MPa：：：[T結(jié)論：該膠合木板簡支梁符合強(qiáng)度要求。6-21 圖示四輪吊車起重機(jī)的導(dǎo)軌為兩根工字形截面梁，設(shè)吊車自重 W=50kN，最大起重量F=10kN，許用應(yīng)用［二］=160MPa，許用切應(yīng)力［.］=80MPa。試選擇工字鋼型號。由于梁較長，需考慮梁自重的影響。解：1.求最大彎矩設(shè)左、右輪對梁的壓力分別為 斤和尸2,不難求得F1^10kN，F(xiàn)2=50kN由圖6-21a所示梁的受力圖及坐標(biāo)，得支反力

1FAy[Fi(l_x)F2Q_x_2)]=50_6x(0”：x：：：8)1FBy [FixF2(x2)]=6x10 (0：：：x：：：8)IIII…1l+){-)X該梁的剪力、彎矩圖示如圖b和c該梁的剪力、彎矩圖示如圖b和c。圖中,MdMc=FAyx=(50-6x)x二FBy(l-x—2)=(6x10)(8-x)(0乞x乞8)(0ExE8)叫0叫0,dx啞=0dx得極值位置依次為得極值位置依次為25xm25xm,6x』m6兩個彎矩極值依次為25Mcmax二(50-25)kNm=104.2kNm619MDmax=(1910)(8)kNm=140.2kNm6比較可知，單梁的最大彎矩值為1DmaxMmax MDmax=70.1kNmDmax22?初選工字鋼型號WzWz如70.1103[a3斗=4.3810，m3=438cm3160106由附錄F表4初選血28a工字鋼，有關(guān)數(shù)據(jù)為

3Wz=508cm,q=43.492kg/m, 5二8.5mm,Iz/Sz=24.6cm3.檢查和修改考慮梁自重的影響，檢查彎曲正應(yīng)力強(qiáng)度是否滿足。由于自重，梁中點(diǎn)截面的彎矩增量為.22△Mmax』 43.4929.8110Nm=5.33103Nm88上面分析的最大彎矩作用面在跨中以右 0.167m處，因二者相距很近，檢查正應(yīng)力強(qiáng)度時可將二者加在一起計(jì)算（計(jì)算的 omax比真實(shí)的略大一點(diǎn)，偏于安全），即MmaxAMmax (70.110’5.3310‘)N— Wz 一 508x10"6m2=(1.3801081.049107)Pa=148.5MPa：：：[o]最后，再檢查彎曲切應(yīng)力強(qiáng)度是否滿足。max=[-(6810)143.4929.8110”10]kN=31.13kN22^ax二FS,max^ax二FS,max331.13E0N2 3 224.610 8.510m=1.489107Pa=14.89MPa：：[T結(jié)論：檢查的結(jié)果表明，進(jìn)一步考慮梁自重影響后，彎曲正應(yīng)力和切應(yīng)力強(qiáng)度均能滿足要求，故無需修改設(shè)計(jì)，最后選擇的工字鋼型號為血 28a。6-22圖a所示組合木梁，由6個等間距排列的螺栓連接而成， 梁端承受載荷F作用,試求螺栓剪切面上的剪力。題6-22圖解：螺栓的間距為le=-6用橫截面1-1與2-2，從上半木梁中切取塊體如圖 b所示，可以看出，螺栓剪切面上的剪力為M2SzM2SzM1Sz1-Iz半(M2-M1)尋Fsez z(a)式中,SzSz=ababa2 22b(2a)3b(2a)32ba3一12一3將上述表達(dá)式代入式（a）,于是得S,bba32baS,bba32ba3lFl石一8a6-23圖示簡支梁，由兩根血50b工字鋼經(jīng)鉚釘連接而成，鉚釘?shù)闹睆?d=23mm,許用切應(yīng)力［］=90MPa,梁的許用應(yīng)力［；：］=160MPa。試確定梁的許用載荷［q］及鉚釘?shù)南鄳?yīng)間距e。提示：按最大剪力確定間距。圖6-23圖解：1?計(jì)算組合截面的Iz和Sz由附錄F表4查得血50b工字鋼的有關(guān)數(shù)據(jù)為2 4h=500mm,A=129.304cm,I召=48600cm由此得組合截面的慣性矩與靜矩分別為Ah2IAh2Izf2(弓4)=[24.8610*21.29304忙0.5002]m_2.588310和4AA牛11.29304TO.500—32610訃32?許用載荷的確定MOmax二maxhMOmax二maxhql2hIz8Iz由此得許用載荷為［q^8^=8彳5883 16010鈿=5.01104N/m=50.1N/mmlh 11.5X0.500m3.鉚釘間距的確定由鉚釘?shù)那袘?yīng)力強(qiáng)度要求來計(jì)算 e。最大剪力為

Fsmax=」ql=」x5.01x104x11.5N=2.881x105N=288.1kN22按最大剪力計(jì)算兩工字鋼交界面上單位長度上的剪力（剪流 q）,其值為Fs,maxSz=288.110 3.232610」N=3.598105N/mIz 2.5883漢10^m間距長度內(nèi)的剪力為qe,它實(shí)際上是靠一對鉚釘?shù)氖芗裘鎭沓袚?dān)的，即22qe=2[TA=2[T旦二[T2由此得梁長方向鉚釘?shù)拈g距為e-nde-nd2[T2qn0.02329010623.598105m=0.208m=208mm6-24橫截面如圖a所示的簡支梁，由兩塊木板經(jīng)螺釘連接而成。設(shè)載荷F=10kN,并作用于梁跨度中點(diǎn)，梁跨度 l=6m，螺釘間距e=70mm，試求螺釘剪切面上的剪力。150(a) (b) (c)150(a) (b) (c)題6-24圖解：用間距為e的橫截面解：用間距為e的橫截面1-1與2-2,從上部木板中切取塊體如圖b所示?？梢钥闯?，螺釘剪切面上的剪力為FS,n=F2_F1M2SzM1SzSz(M2_MJ=SzFS,n=F2_F1M2SzM1SzSz(M2_MJ=SzFse(a)式中：Iz代表整個橫截面對中性軸的慣性矩； Sz代表上部木板橫截面對中性軸的靜矩。由圖c可以看出,yc=(0.1500.020)(0.010)(0.0200.150)(0.0750.020)0.1509020+0.020X0.150(m)二0.0525m0.1500.02031220.1500.020(0.0525-0.010)0.020漢0.1503IL120.0200.150(0.0750.020-0.0525)2m4)=1.65610-5mSz—0.1500.020(0.0525-0.010)(m3)=1.27510-4m3還可以看出,f“2將相關(guān)數(shù)據(jù)與表達(dá)式代入式 （a）,于是得=2.70kNSzFe(1.27510-4m3)(10103N)(0.07m)=2.70kN一2lz一 2(1.65610-5m4)［二c］［二c］=4［門］，試從強(qiáng)度方面考慮，確定寬度b的最佳值。題6-25題6-25圖解：從強(qiáng)度方面考慮，形心的最佳位置應(yīng)使0.400m譏_[%]=4

yc [<yt]即yC=0.080m由圖中可以看出，(b)b(0.06m)(0.03m)+(0.03m)(0.340m)(0.230m)yC一 b(0.06m)(0.03m)(0.340m)(b)比較式(a)與(b)，得b(0.06m)(0.03m)+(0.03m)(0.340m)(0.230m)_0加葉

b(0.06m)+(0.03m)(0.340m) -.于是得b=0.510m6-26當(dāng)載荷F6-26當(dāng)載荷F直接作用在簡支梁應(yīng)力30%。為了消除此種過載，配置一輔助梁AB的跨度中點(diǎn)時，梁內(nèi)最大