《高等數(shù)學(xué)》電子課件(同濟(jì)第六版)04第三章-第4節(jié)-函數(shù)單調(diào)性與曲線的凹凸性

1一、單調(diào)性的判別法三、小結(jié)及作業(yè)1一、單調(diào)性的判別法三、小結(jié)及作業(yè)2一、單調(diào)性的判別法定理2一、單調(diào)性的判別法定理3證應(yīng)用拉氏定理,得3證應(yīng)用拉氏定理,得445例2解注意:函數(shù)的單調(diào)性是一個區(qū)間上的性質(zhì)，要用導(dǎo)數(shù)在這一區(qū)間上的符號來判定，而不能用一點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)符號來判別一個區(qū)間上的單調(diào)性．5例2解注意:函數(shù)的單調(diào)性是一個區(qū)間上的性質(zhì)，要用導(dǎo)數(shù)在這一6（2）函數(shù)在整個定義域上不一定是單調(diào)的，但在不同的區(qū)間上具有單調(diào)性，且改變單調(diào)性的點(diǎn)只可能是的點(diǎn)及導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn)．6（2）函數(shù)在整個定義域上不一定是單調(diào)的，但在不同的區(qū)間上具7）（4）區(qū)間內(nèi)個別點(diǎn)導(dǎo)數(shù)為零,不影響區(qū)間的單調(diào)性.例如,（3）討論函數(shù)單調(diào)性的步驟：1）確定函數(shù)的定義域；2）求函數(shù)導(dǎo)數(shù)為零的點(diǎn)及一階導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn)；3）這些點(diǎn)將定義域分成若干個小區(qū)間，列表討論。7）（4）區(qū)間內(nèi)個別點(diǎn)導(dǎo)數(shù)為零,不影響區(qū)間的單調(diào)性.例如,（8的單調(diào)區(qū)間.解:令得故的單調(diào)增區(qū)間為的單調(diào)減區(qū)間為例3確定函數(shù)8的單調(diào)區(qū)間.解:令得故的單調(diào)增區(qū)間為的單調(diào)減區(qū)間為例39例4解單調(diào)區(qū)間為9例4解單調(diào)區(qū)間為10例5證10例5證11證明：因此，單調(diào)減少,f(x)

單調(diào)減少也就是11證明：因此，單調(diào)減少,f(x)單調(diào)減少也就是121213問題:如何研究曲線的彎曲方向?圖形上任意弧段位于所張弦的上方圖形上任意弧段位于所張弦的下方13問題:如何研究曲線的彎曲方向?圖形上任意弧段位圖形上任意141.曲線的凹凸與拐點(diǎn)的定義定義1.設(shè)函數(shù)

在區(qū)間上連續(xù),(1)若恒有則稱的圖形是凹的;(2)若恒有則稱的圖形函數(shù)圖形上凹凸的分界點(diǎn)稱為拐點(diǎn)

.是凸的.141.曲線的凹凸與拐點(diǎn)的定義定義1.設(shè)函數(shù)在區(qū)間152、曲線凹凸的判定定理1152、曲線凹凸的判定定理116證:利用一階泰勒公式可得兩式相加16證:利用一階泰勒公式可得兩式相加17例1.判斷曲線的凹凸性.解:當(dāng)時時故曲線在上是向上凹的.說明(1)在個別二階導(dǎo)數(shù)為0的點(diǎn),若此點(diǎn)兩側(cè)二階導(dǎo)數(shù)不變號,則不改變曲線的凹凸性.17例1.判斷曲線的凹凸性.解:當(dāng)時時故曲線在上是向上凹的.18例2解注意到,18例2解注意到,19例3.求曲線的拐點(diǎn).解:不存在因此點(diǎn)(0,0)

為曲線的拐點(diǎn).19例3.求曲線的拐點(diǎn).解:不存在因此點(diǎn)(0,020（c）檢查在這些點(diǎn)左右兩邊的符號，從而決定曲線的凹凸區(qū)間及拐點(diǎn)。（3）判別曲線的凹凸性及拐點(diǎn)的方法步驟：（a）求出；（b）求出使的點(diǎn)及不存在的點(diǎn)；20（c）檢查在這些點(diǎn)左右兩邊的符號，從而決定曲線的凹21例4.求曲線的凹凸區(qū)間及拐點(diǎn).解:1)求2)求函數(shù)二階導(dǎo)為零的點(diǎn)令得對應(yīng)3)列表判別,點(diǎn)

(0,1)

及均為拐點(diǎn).故該曲線在上凸21例4.求曲線的凹凸區(qū)間及拐點(diǎn).解:1)求2)求函數(shù)二22證明：22證明：232324三、小結(jié)

單調(diào)性的判別是拉格朗日中值定理定理的重要應(yīng)用.

定理中的區(qū)間換成其它有限或無限區(qū)間，結(jié)論仍然成立.

應(yīng)用：利用函數(shù)的單調(diào)性可以確定某些方程實(shí)根的個數(shù)和證明不等式.曲線的彎曲方向——凹凸性;凹凸性的判定.改變彎曲方向的點(diǎn)——拐點(diǎn);拐點(diǎn)的求法1,2.24三、小結(jié)單調(diào)性的判別是拉格朗日中值定理定理251,3(1,4,5,6),5(1,2,4,5),6,8(1,3),9(1,3,6),10(1,2),13,14251,3(1,4,5,6),5(1,2,4,5),6,8(26思考題26思考題27思考題解答例27思考題解答例28練習(xí)題28練習(xí)題292930練習(xí)題答案30練習(xí)題答案313132思考題32思考題33思考題解答不能斷定.例但33思考題解答不能斷定.例但34當(dāng)時，當(dāng)時，注意可以任意大，故在點(diǎn)的任何鄰域內(nèi)，都不單調(diào)遞增．34當(dāng)時35練習(xí)題35練習(xí)題363637練習(xí)題答案37練習(xí)題答案383839一、單調(diào)性的判別法三、小結(jié)及作業(yè)1一、單調(diào)性的判別法三、小結(jié)及作業(yè)40一、單調(diào)性的判別法定理2一、單調(diào)性的判別法定理41證應(yīng)用拉氏定理,得3證應(yīng)用拉氏定理,得42443例2解注意:函數(shù)的單調(diào)性是一個區(qū)間上的性質(zhì)，要用導(dǎo)數(shù)在這一區(qū)間上的符號來判定，而不能用一點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)符號來判別一個區(qū)間上的單調(diào)性．5例2解注意:函數(shù)的單調(diào)性是一個區(qū)間上的性質(zhì)，要用導(dǎo)數(shù)在這一44（2）函數(shù)在整個定義域上不一定是單調(diào)的，但在不同的區(qū)間上具有單調(diào)性，且改變單調(diào)性的點(diǎn)只可能是的點(diǎn)及導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn)．6（2）函數(shù)在整個定義域上不一定是單調(diào)的，但在不同的區(qū)間上具45）（4）區(qū)間內(nèi)個別點(diǎn)導(dǎo)數(shù)為零,不影響區(qū)間的單調(diào)性.例如,（3）討論函數(shù)單調(diào)性的步驟：1）確定函數(shù)的定義域；2）求函數(shù)導(dǎo)數(shù)為零的點(diǎn)及一階導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn)；3）這些點(diǎn)將定義域分成若干個小區(qū)間，列表討論。7）（4）區(qū)間內(nèi)個別點(diǎn)導(dǎo)數(shù)為零,不影響區(qū)間的單調(diào)性.例如,（46的單調(diào)區(qū)間.解:令得故的單調(diào)增區(qū)間為的單調(diào)減區(qū)間為例3確定函數(shù)8的單調(diào)區(qū)間.解:令得故的單調(diào)增區(qū)間為的單調(diào)減區(qū)間為例347例4解單調(diào)區(qū)間為9例4解單調(diào)區(qū)間為48例5證10例5證49證明：因此，單調(diào)減少,f(x)

單調(diào)減少也就是11證明：因此，單調(diào)減少,f(x)單調(diào)減少也就是501251問題:如何研究曲線的彎曲方向?圖形上任意弧段位于所張弦的上方圖形上任意弧段位于所張弦的下方13問題:如何研究曲線的彎曲方向?圖形上任意弧段位圖形上任意521.曲線的凹凸與拐點(diǎn)的定義定義1.設(shè)函數(shù)

在區(qū)間上連續(xù),(1)若恒有則稱的圖形是凹的;(2)若恒有則稱的圖形函數(shù)圖形上凹凸的分界點(diǎn)稱為拐點(diǎn)

.是凸的.141.曲線的凹凸與拐點(diǎn)的定義定義1.設(shè)函數(shù)在區(qū)間532、曲線凹凸的判定定理1152、曲線凹凸的判定定理154證:利用一階泰勒公式可得兩式相加16證:利用一階泰勒公式可得兩式相加55例1.判斷曲線的凹凸性.解:當(dāng)時時故曲線在上是向上凹的.說明(1)在個別二階導(dǎo)數(shù)為0的點(diǎn),若此點(diǎn)兩側(cè)二階導(dǎo)數(shù)不變號,則不改變曲線的凹凸性.17例1.判斷曲線的凹凸性.解:當(dāng)時時故曲線在上是向上凹的.56例2解注意到,18例2解注意到,57例3.求曲線的拐點(diǎn).解:不存在因此點(diǎn)(0,0)

為曲線的拐點(diǎn).19例3.求曲線的拐點(diǎn).解:不存在因此點(diǎn)(0,058（c）檢查在這些點(diǎn)左右兩邊的符號，從而決定曲線的凹凸區(qū)間及拐點(diǎn)。（3）判別曲線的凹凸性及拐點(diǎn)的方法步驟：（a）求出；（b）求出使的點(diǎn)及不存在的點(diǎn)；20（c）檢查在這些點(diǎn)左右兩邊的符號，從而決定曲線的凹59例4.求曲線的凹凸區(qū)間及拐點(diǎn).解:1)求2)求函數(shù)二階導(dǎo)為零的點(diǎn)令得對應(yīng)3)列表判別,點(diǎn)

(0,1)

及均為拐點(diǎn).故該曲線在上凸21例4.求曲線的凹凸區(qū)間及拐點(diǎn).解:1)求2)求函數(shù)二60證明：22證明：612362三、小結(jié)

單調(diào)性的判別是拉格朗日中值定理定理的重要應(yīng)用.

定理中的區(qū)間換成其它有限或無限區(qū)間，結(jié)論仍然成立.

應(yīng)用：利用函數(shù)的單調(diào)性可以確定某些方程實(shí)根的個數(shù)和證明不等式.曲線的彎曲方向——凹凸性;凹凸性的判定.改變彎曲方向的點(diǎn)——拐點(diǎn);拐點(diǎn)的求法1,2.24三、小結(jié)單調(diào)性的判別是拉格朗日中值定理定理631,3(1,4,5,6),5(1,2,4,5),6,8(1,3),9(1,3,6),10(1,2),13,14251,3(1,4,5,6),5(1,2,4,5),6,8(64思考題26思考題65思考題解答例27思考題解答例66練習(xí)題28練習(xí)題672968練習(xí)題答案30練習(xí)題答案693170思考題32思考題71