知識講解-對數(shù)函數(shù)及其性質(zhì)

編稿：審稿ayaxylogx互為反函數(shù)a0a1a函數(shù)y=logax(a>0，a≠1)叫做對數(shù)函數(shù).其中x是自變量，函數(shù)的定義域是0,，值域為Rylogax(a0,且a1x．（1）只有形如y=logax(a>0，a≠1)的函數(shù)才叫做對數(shù)函數(shù)，像yloga(x1),y2logax,ylogax3（0，+∞）（1，00＜x＜1x≥10＜x＜1x≥1logaNaN1a，N，logaN>0a，N，logaN<0.11，不要忽略．a(chǎn)xABy

f(xy

f(xxy)（yBxA與之對應xyy

f(xx

f1y

xf1(y)中，y是自變量，x是y的函數(shù)上改寫成y

f1(x)（xB,yA

f1y)（yBxA）y

f1(x)（xByA）y

f(xAy

f1(xy

f(xByf1(xyx2yxy

f(x)圖象上有一點ab，則b,a必在其反函數(shù)圖象上，反之，若b,a圖象上，則a,b必在原函數(shù)圖象1. (1)ylogx2 (2)ylog(4x)(a0且a1 }（2）{xx204x0aa(2)因為4x0，即x4，所以yloga(4x)的定義域為{x|x40，0，y

f(xf(x)0 3x3x3log1(x1)2

y

k2)（a0a1kR32

)(2

，2)（）x1

x【解析】(1)因為 (x1)0，所以0x11 2

(x1)

x 32

)(2

（2）

ax

a2x02x02

k①當k0R②當k0若a2logak2若0a2a1logak2a2，則當0k1R；當k122yf(2x的定義域為[-1，2]，yf(logx22【答案】 2【答案】由1x2y

f(x1，4]1logx4yf

2義域為 2

2.log33.6,log38.9log021.9,log023.5log25與log75log35與log64loga4.2loga4.8（a0且a1．【答案】(1；(2)<；(3)；(4)；(5)1：ylog3x3.68.9log33.6log38.9 2：ylogxR+3.6<8.9，所以log3.6log 0 0 0與第(1)小題類似，y x在R+上是單調(diào)減函數(shù)，且0 0 0函數(shù)ylog2xylog7x的圖象如x1時，ylog2x的圖象ylog7x的圖象上方，這里x5，log25log75．log35log331log66log6log35log61：當a1ylogax在(0，+∞)5.1<5.9loga4.2loga當0a1時，y=logax(0，+∞4.2<4.8loga4.2loga2：轉化為指數(shù)函數(shù)，再由指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性判斷大小，令blog4.2，則ab1=4.2，令blog4.8，則ab24.8， a1yaxR4.2<4.8，所以，b1<b2，即loga4.2loga4.8當時0a1yaxR所以，b1>b2，即loga4.2>loga4.8 課堂：對數(shù)函數(shù)369070例33．比較

b,loga,log1,log10<a<1<ba·b>1的大小 a b 【答案】logablogbalogbaloga1【解析】由0<a<1<b且a·b>1，得a ，b1

1a 1

a1，1

1b

bb alogba1logab1，即logbalogalogbaloga

blogalog1log b a“11log30【變式1】已知a5log234,b5log436,c 5

,則 ab【答案】

ba

ac

ca【解析】另mlog3.4nlog3.6l

，在同一坐標 2ml

3y5x∴ac2 課堂：對數(shù)函數(shù)369070例222】比較alog3b 33【答案】cb 33

3,c

cb

1log33log314ylog(x22x112【思路點撥】先解不等式x22x10，保證原式有意義，然后再在定義域范圍內(nèi)求內(nèi)函數(shù)tx22x1的單調(diào)區(qū)間，然后根據(jù)復合函數(shù)的單調(diào)性就是內(nèi)函數(shù)與外函數(shù)的單調(diào)性“同增異減”來求【答案】[-1)；增區(qū)間為

2；減區(qū)間為

1【解析】設tx22x1，則t(x1)22.∵y=logt為減函數(shù)，且0t212 ∴ylog21，即函數(shù)的值域為[-1)log(x22x1 x22x10，即12x12∴tx22x1在 2,1上遞增而在

2上遞減，而ylog1t為減函數(shù)2ylog(x22x1的增區(qū)間為

2，減區(qū)間為 2y

f(xyf(logaxy

f(x)y

f(x的單調(diào)性與函數(shù)uf(x)f(x)0的單調(diào)性，當a1時相同，當0a1yf(logax型復合函數(shù)的單調(diào)性，一般用復合法來判定即可．復合函數(shù)的單調(diào)性就是內(nèi)函數(shù)與2【變式1】求函數(shù)ylogx24的值域和單調(diào)區(qū)間2【答案】2,；減區(qū)間為,0，增區(qū)間為0,2【解析】設tx24，則tx244y=logt2

tlog(x24)log4 y

x24的值域為22ylog(x2422tx24在0上是遞增而在,0y=logt22y=log(x24的減區(qū)間為,0，增區(qū)間為02a2ylog(aaxa【答案】減區(qū)間是,1和1【解析】①若a1y

t遞增，且taax遞減，而aax0，即axa,x1aylog(aax在,1aa②若0a1，則ylogt遞減，且taax遞增，而aax0，即axa,xaaylog(aax在1aaylog(aax,1和1．a(chǎn)112-f(x) 2x

f(x)

-x)（1（2（2）f(x)f(x)f(x)，則函數(shù)是偶函數(shù)，如果f(x)f(x)，則函數(shù)是奇函數(shù)。（2）2-

2

0可得2xf(x)

22

ln(2x22-

-

22

f(x),即f(x)ff(x

2

x0可得x1(1(1x2x)(1x2- 1x2 1x2-111f(-x1

x)

-

-x)-f1f(-x)=-f(x)；f(x1

x)是奇函數(shù)1（1）ylog1x（2）ye 16【答案（1）y 6

（2）e1

1（1）ylog1x6y61e（2）指數(shù)函數(shù)y e

ylog1xe 課堂：對數(shù)函數(shù)369070例51y

f(xy

(a0,且a≠1)的反函數(shù)，且f(2)1，則f(x) (A)log2

(C)log2 2

【答案】1：函數(shù)y

f(xy

(a0a≠1)f(xlogax，又f(2)loga21，a2，故選A．2：y

f(xy

(a0a≠1)f(2)點（1，2）yax的圖象上，a故選7．若不等式2x

x0x01時恒成立，求實數(shù)a 2 y2xylogax22【答案】12

a【答案】要使不等式2x

x0在x0,1時恒成立，即函數(shù)ylogx的圖在0, 在 2 21數(shù)y2x圖象的上方，而y2x圖象過點1,2．由右圖可知， ，210＜a＜1y2

x遞減．又2

21 log2a

a

2122a12

．∴所求的a的取值范圍為122

a方法之一，因此須熟練地掌握這一思想方法，并能靈活地運用它來分析和解決問題．f(xg(xf(xg(xy

f(xyg(xf(xg(xy

f(xyg(xa1x∈（1，2）時，不等式(x1)2logxaa【答案】12f(xx1)212

(x)

xx∈（1，2）時，不等式(x1)2

x1a2f(xx1)2在（1，2）1a2

(x)

x11f2x)logax的下方，只需f1(2)f2(2)，即(21)2loga2loga28（1）ylg(x22xaR，求實數(shù)aylg(x22xa)R，求實數(shù)aaf(x)log(x2a

的定義域為(0,)，求實數(shù)a2【思路點撥】與求函數(shù)定義域、值域的常規(guī)問題相比，本題屬非常規(guī)問題，關鍵在于轉化成常規(guī)問題.f(x)R，x的不等式x22xa0的解集為Rf(x)的值域為R與x22xa恒為正值是不等價的，因為這里要求f(x)ux22xa取遍一切正數(shù)，此函數(shù)的圖象的各種情況，如圖，我們會發(fā)現(xiàn)，使u能取遍一切正數(shù)的條件是0.（2）（3）ylg(x22xa)x22xa0恒成立，44a0，a1ylg(x22xa)x22xa取遍一切正數(shù)，44a0，a1由題意，問題可等價轉化為不等式x2

x0的解集為01 2 11C1:yx,C2:ylog2ax作圖形C1與C2，如圖所示，只需C2過點02a1，即滿足0a1，且2

12a

2即可，解得a

24．【總結升華】如果函數(shù)f(x)的定義域為某個區(qū)間D，則函數(shù)f(x)在這個區(qū)間D的任何子集都有意義；如果函數(shù)f(xEf(x)的定義域為DED．1f(x)lg(ax22x1f(xR，求實數(shù)a的取值范圍；(2f(xR，求實數(shù)a（1）a>1（2）0≤a≤1．【解析】

f(xRxax22x10aa≠044a

a>1.∴aaf(x)Ru=ax2+2x+1a=044a

a9f(xlgaxbx（常數(shù)a1b0（1）y

f(xyf(xx當ab滿足什么關系時，f(x)在1上恒取正值（2）（1）0（2）不存在（3）aba由axbx0，得 b

1a1b0b

1x0，即函數(shù)f(x)0,x1x2

a1b0ax1ax2bx2bx1故ax1bx1ax2bx2lgax1bx1lgax2bx2,f(x1f(x2f(x在0y

f(x的圖象上存在不同的兩點Ax1,y1Bx2y2，使直線AB平行于xx1x2,y1y2，這與f(x)是增函數(shù)yf(xx（3）由（2）知f(x)在0上是增函f(x在1x1f(xff(10，即lg(ab0abab1f(x在1【變式1f(x

x2axb

x0，是否存在實數(shù)a、bf(x個條件：①在0,1上是減函數(shù)，1f(x1．若存在，求出a、b的值，【答案】a1b【解析】設存在滿足條