物理光學(xué)-第二章-光波的疊加與分析-課件

光波的疊加和分析第二章光波的疊加和分析第二章1前言§1波的獨(dú)立傳播和疊加原理

§2兩束同頻振動(dòng)方向平行的標(biāo)量波的疊加

§3兩束同頻振動(dòng)方向垂直的標(biāo)量波的疊加

§4

不同頻率的兩個(gè)平面單色波的疊加

§5光波的分析前言2前言首先講述作為矢量波的光波，在某些情況下可看作標(biāo)量波；光波在空間傳播時(shí)在一些特定條件下滿足獨(dú)立傳播原理

進(jìn)而介紹關(guān)于光的疊加原理。在此基礎(chǔ)上，作為特殊情況，講解兩束光波在不同情況下的疊加結(jié)果：規(guī)律、概念及應(yīng)用。幾束簡(jiǎn)單的光波復(fù)雜的光波疊加分解前言首先講述作為矢量波的光波，在某些情況下可看作3第一節(jié)波的獨(dú)立傳播和疊加原理

一、標(biāo)量波和矢量波

光波是橫波，選擇傳播方向?yàn)橹苯亲鴺?biāo)系的z方向，則矢量就變成了二維矢量，可將之分解為x，y方向的分量描述光波的物理量和是矢量光波本質(zhì)上是矢量波

若光波傳播的媒質(zhì)對(duì)這兩個(gè)方向上的分量有相同的性質(zhì)，則這兩個(gè)分量有相同的傳播規(guī)律，于是任一個(gè)分量的波函數(shù)就可代表其對(duì)應(yīng)的矢量波，則矢量波的處理變?yōu)闃?biāo)量波處理。第一節(jié)波的獨(dú)立傳播和疊加原理一、標(biāo)量波和矢量波光波是橫4波的獨(dú)立傳播原理：當(dāng)兩列波或多列波在同一波場(chǎng)中傳播時(shí)，每一列波的傳播方式都不因其他波的存在而受到影響注意：波的疊加原理和獨(dú)立性原理成立于線性介質(zhì)中二、波的獨(dú)立傳播原理

波的獨(dú)立傳播原理：當(dāng)兩列波或多列波在同一波場(chǎng)中傳播時(shí)，每一列5三、光波的疊加原理和線性媒質(zhì)

光波疊加原理的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)：如果光波和都是方程的解，則它們的線性疊加也顯然是該方程的解，并且構(gòu)成一個(gè)復(fù)雜的波微分波動(dòng)方程的解的疊加性，構(gòu)成了光波疊加原理的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)。

當(dāng)存在兩個(gè)或多個(gè)光波同時(shí)傳播時(shí)，如果光波的獨(dú)立傳播原理成立，則它們疊加的空間區(qū)域內(nèi)，每一點(diǎn)的擾動(dòng)將等于各個(gè)光波單獨(dú)存在時(shí)該點(diǎn)的擾動(dòng)之和。這就是光波的疊加原理，即三、光波的疊加原理和線性媒質(zhì)光波疊加原理的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)：如果光6真空中，光波疊加原理普遍成立媒質(zhì)中，光波電磁場(chǎng)與媒質(zhì)內(nèi)部物質(zhì)的相互作用滿足線性條件時(shí)，光波疊加原理成立。當(dāng)光強(qiáng)很強(qiáng)時(shí)，光與介質(zhì)相互作用產(chǎn)生了非線性光學(xué)效應(yīng)，光的疊加原理不再成立光波疊加原理的成立也是有條件的媒質(zhì)分為‘線性媒質(zhì)’和‘非線性媒質(zhì)’

線性媒質(zhì)：波在其中傳播時(shí)服從疊加原理和獨(dú)立傳播原理的媒質(zhì)非線性媒質(zhì)：波在其中傳播時(shí)不服從疊加原理和獨(dú)立傳播原理的媒質(zhì)真空中，光波疊加原理普遍成立光波疊加原理的成立也是有條件的7一、同向傳播的平面波的疊加假設(shè)有兩個(gè)簡(jiǎn)諧平面波，其時(shí)間頻率為ω，振幅分別為E10和E20，初始位相分別為和，傳播方向沿著z軸，它們被表示為：第二節(jié)兩束同頻振動(dòng)方向平行的標(biāo)量波的疊加

本節(jié)討論兩個(gè)頻率相同、振動(dòng)方向平行的光波的疊加，顯然這兩個(gè)光波可視作標(biāo)量波，于是問(wèn)題就是兩個(gè)標(biāo)量波疊加的問(wèn)題

一、同向傳播的平面波的疊加第二節(jié)兩束同頻振動(dòng)方向平行的標(biāo)8這兩個(gè)光波疊加后的合成波可以表示為：（2.2.1）(2.2.2)

其中：（2.2.3）（2.2.4）上式中：這兩個(gè)光波疊加后的合成波可以表示為：（2.2.1）(2.29由以上分析得到合成波的表達(dá)式為：表明：合成波還是一個(gè)與分量波時(shí)間頻率相同，傳播方向相同，其它空間、時(shí)間參量以及位相速度都沒(méi)有變化的簡(jiǎn)諧平面波，只是有了新的振幅和初位相，而且合成波的振幅和位相均取決于分量波的振幅和初始位相。

當(dāng)E10=E20時(shí)，由（2.2.3）有

可見(jiàn)，此時(shí)合成波的振幅取決于兩個(gè)分量波的位相差

由以上分析得到合成波的表達(dá)式為：當(dāng)E10=E20時(shí)，由（2.10當(dāng)E10=E20時(shí)，由（2.2.4）得：

可見(jiàn)，合成波的初位相等于兩個(gè)分量波初位相的平均值

當(dāng)E10=E20時(shí)，總的合成波函數(shù)為所以，當(dāng)E10=E20且φ10=φ20時(shí)，合成波與分量波振動(dòng)狀態(tài)相同，只是振幅增大一倍而在φ10-φ20=±π情況下，可知合成振幅為零。

當(dāng)E10=E20時(shí)，由（2.2.4）得：可見(jiàn)，合成波的11物理光學(xué)12/19/2022物理光學(xué)12/18/202212兩列波在空間相遇的情況兩列波在空間相遇的情況13波的獨(dú)立傳播原理：幾列波在相遇點(diǎn)所引起的擾動(dòng)是各列波在該點(diǎn)所引起的擾動(dòng)的疊加（矢量的線性疊加，矢量和）當(dāng)兩個(gè)或多個(gè)光波在空間相遇時(shí)，如果振動(dòng)不是十分強(qiáng)，各列波將保持各自的特性不變，繼續(xù)傳播。相互之間沒(méi)有影響。波的疊加原理波的獨(dú)立傳播原理：幾列波在相遇點(diǎn)所引起的擾動(dòng)是各列波在該點(diǎn)所14成立條件1)、傳播介質(zhì)為線性介質(zhì)；2)、振動(dòng)不是十分強(qiáng)，在振動(dòng)很強(qiáng)的時(shí)候，線性介質(zhì)會(huì)變?yōu)榉蔷€性介質(zhì)；注意波的疊加不是強(qiáng)度的疊加，也不是振幅的簡(jiǎn)單相加，而是振動(dòng)矢量的疊加線性媒質(zhì)：波在其中傳播時(shí)服從疊加原理和獨(dú)立傳播原理的媒質(zhì)非線性媒質(zhì)：波在其中傳播時(shí)不服從疊加原理和獨(dú)立傳播原理的媒質(zhì)成立條件1)、傳播介質(zhì)為線性介質(zhì)；注意波的疊加不是強(qiáng)度的疊加15一、同向傳播的平面波的疊加假設(shè)有兩個(gè)簡(jiǎn)諧平面波，其時(shí)間頻率為ω相同，振幅分別為E10和E20，初始位相分別為和，振動(dòng)方向平行，傳播方向沿著z軸，它們被表示為：上式中：其中：一、同向傳播的平面波的疊加上式中：其中：16二、反向傳播的平面波的疊加——駐波及其實(shí)驗(yàn)(1)、駐波波函數(shù)假設(shè)兩個(gè)簡(jiǎn)諧平面標(biāo)量波的時(shí)間頻率為ω，振幅分別E10和E20，初始位相為和，一列波沿著z軸正向傳播另一列沿z軸負(fù)向傳播，假定E10=E20=E0，即有：

合成波各點(diǎn)都按照?qǐng)A頻率ω做簡(jiǎn)諧振動(dòng)，但是此合成波有其固有的特點(diǎn)疊加后的合成波可以表示為：二、反向傳播的平面波的疊加——駐波及其實(shí)驗(yàn)(1)、駐波波函數(shù)17表示：(1)對(duì)某一Z點(diǎn)，E隨時(shí)間以頻率ω作簡(jiǎn)諧振動(dòng)，某一時(shí)刻，振幅隨Z不同而變（振幅不是常數(shù)）;

(2)稱振幅最大值和最小值的位置為波腹、波節(jié)的位置，它們不隨時(shí)間而變

;

波腹位置：

(m為整數(shù))

波節(jié)位置：

(m為整數(shù))

(3)相鄰波腹（或波節(jié)）之間距為λ/2，相鄰波腹與波節(jié)間距為λ/4;(4)

合成波的位相因子與空間坐標(biāo)位置z無(wú)關(guān)。表示：(2)稱振幅最大值和最小值的位置為波腹、波節(jié)的位置18(6)因的取值可正可負(fù)，所以在每一波節(jié)兩邊的點(diǎn)，其振動(dòng)是反相的(5)駐波的位相因子與z無(wú)關(guān)，不存在位相的傳播問(wèn)題，故把這種波稱為駐波，反之稱為行波。駐波：由于節(jié)點(diǎn)靜止不動(dòng)，所以波形沒(méi)有傳播。能量以動(dòng)能和勢(shì)能的形式交換儲(chǔ)存，亦傳播不出去。駐波(6)因19當(dāng)兩個(gè)分量波的振幅不相等時(shí)，例如，E10=E20+ΔE，則有合成波是一個(gè)駐波和行波之和，因此合成波在波節(jié)處振幅不再為零，波節(jié)處的振動(dòng)完全是由行波引起的，其它考察點(diǎn)的振幅則由行波和駐波共同引起的，并且由于行波的存在，將會(huì)有能量的傳播。當(dāng)兩個(gè)分量波的振幅不相等時(shí)，例如，E10=E20+ΔE，則有20(2)、駐波實(shí)驗(yàn)實(shí)驗(yàn)裝置如右圖所示。M是鍍銀的平面反射鏡，I是正入射到鏡面上的單色簡(jiǎn)諧平面波，經(jīng)反射后得到反射波R。G是一塊極薄的感光乳膠底片，它與鏡面間有一微小夾角。I和R形成駐波，G位于這個(gè)駐波場(chǎng)中，經(jīng)感光和顯影，在G上呈現(xiàn)亮暗相間的條紋，相鄰亮條紋(或暗條紋)之間的距離按圖示的幾何關(guān)系與λ/2相對(duì)應(yīng)MIRGλ/2λ/2λ/2λ/4維納實(shí)驗(yàn)(2)、駐波實(shí)驗(yàn)實(shí)驗(yàn)裝置如右圖所示。M是鍍銀的平面反射鏡，21底片G上感光的位置應(yīng)該是駐波波腹的位置。三、任意方向傳播的平面波的疊加

上面兩部分只考慮了兩束光波的傳播方向在一條直線上的情況，分量波與合成波的空間分布比較簡(jiǎn)單，只和空間變量z有關(guān)。現(xiàn)在考慮兩個(gè)時(shí)間頻率相同、振動(dòng)方向平行的簡(jiǎn)諧平面光波不共線傳播相遇疊加的情況。維納實(shí)驗(yàn)證明：1、駐波的存在維納實(shí)驗(yàn)發(fā)現(xiàn)，緊貼鏡面處的底片沒(méi)有感光，而感光條紋的位置都與電場(chǎng)波腹位置相一致。維納實(shí)驗(yàn)證明：2、乳膠感光的是光的電場(chǎng)而不是磁場(chǎng)底片G上感光的位置應(yīng)該是駐波波腹的位置。三、任意方向傳播的平22兩個(gè)頻率相同、振動(dòng)方向平行的簡(jiǎn)諧平面光波不共線傳播相遇疊加zk1zk2xk2zxk1k1xE1k2E2O設(shè)兩個(gè)分量波的頻率都為ω，振幅分別為E10和E20，初始位相為和，波矢分別為k1和k2，則它們的波函數(shù)可以表示成如下：對(duì)于疊加區(qū)域，如圖所示選取坐標(biāo)系Oxyz，y軸方向垂直于紙面向外。假設(shè)振動(dòng)方向沿著y方向，分量波的波矢k1和k2均平行于xz平面，注意，這時(shí)所有的函數(shù)都與y坐標(biāo)無(wú)關(guān)。

兩個(gè)頻率相同、振動(dòng)方向zk1zk2xk2zxk1k1xE1k23疊加后的合成波可以表示為：E(x,z,t)=E1(x,z,t)+E2(x,z,t)=E0exp(-iωt)其中：E0=E10exp[i(k1xx+k1zz+)]+E20exp[i(k2xx+k2zz+)]=|E0|exp(i)

而且有：疊加后的合成波可以表示為：E(x,z,t)=E1(x,z,24其中：合成波與前面所討論到的合成波都不一樣：1、振幅分布上有駐波的特點(diǎn)；2、位相上有行波的特點(diǎn)；3、其時(shí)間頻率仍然是ω不變

考慮當(dāng)E10=E20時(shí)的特殊情況，有

其中：合成波與前面所討論到的合成波都不一樣：考慮當(dāng)E10=E25第三節(jié)兩束同頻振動(dòng)方向垂直的標(biāo)量波的疊加

假定兩束光沿著z軸方向傳播，而其振動(dòng)方向分別與x、y軸方向相同，設(shè)這兩束光波的波函數(shù)如下：其中的、是直角坐標(biāo)系Oxyz中x、y方向上的單位矢量。兩束光波疊加，合成波函數(shù)為：

（2.3.1）（2.3.2）第三節(jié)兩束同頻振動(dòng)方向垂直的標(biāo)量波的疊加假定兩束光沿著z26顯然合成波在xy平面內(nèi)，其方向垂直于傳播方向z軸，但是一般而言它不再與x或y軸同向。如右圖所示，E與x軸的夾角α滿足：合成波與分量波矢量顯然α是z和t的函數(shù)，E的方向一般是不固定的，將隨著z和t而變化，利用(2.3.1)和(2.3.2)，消去(kz-ωt)，得：其中（2.3.3）顯然合成波在xy平面內(nèi)，其方向垂直于傳播方向z軸，但是一般而27右圖中畫出了kz-ωt為某一確定值時(shí)的E以及它與x軸的夾角，這個(gè)橢圓既可以理解為1、位置z確定時(shí)E的端點(diǎn)隨著時(shí)間t的變化軌跡；2、時(shí)間t確定時(shí)E的端點(diǎn)隨著位置z的變化軌跡在x-y平面上的投影，后者實(shí)際上是一條空間螺旋線由式（2.3.3）可知，隨著z或t的變化，合成波矢量的端點(diǎn)在x-y平面(或者垂直于z軸的平面)上形成一個(gè)橢圓形軌跡。于是稱振動(dòng)方向互相垂直的同頻同向傳播的兩個(gè)線偏振光疊加后的合成光波為橢圓偏振光波，簡(jiǎn)稱橢圓光。

端點(diǎn)的橢圓軌跡右圖中畫出了kz-ωt為某一確定值時(shí)的E以及它與x軸28當(dāng)z固定時(shí)，隨著t的增大端點(diǎn)如果是順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)，則規(guī)定該橢圓偏振光是‘右旋’橢圓偏振光反之則稱為‘左旋’橢圓偏振光。根據(jù)該規(guī)定,α角隨時(shí)間的變化時(shí)橢圓偏振光為‘左旋’，如果則橢圓偏振光為‘右旋’，求d(tgα)/dt得：

zyxL在確定t時(shí)的端點(diǎn)的空間螺旋軌跡L及其在x-y平面上的投影

E的方向在x-y平面上是旋轉(zhuǎn)的針對(duì)E的旋向當(dāng)z固定時(shí)，隨著t的增大端點(diǎn)如zyxL在確定t時(shí)的端點(diǎn)的空間29分析：sinδ>0時(shí)，對(duì)應(yīng)的橢圓偏振光為‘左旋’橢圓偏振光sinδ<0時(shí)，對(duì)應(yīng)的橢圓偏振光為‘右旋’橢圓偏振光。可見(jiàn)，橢圓偏振光的橢圓形狀和旋向除了取決于E10、E20之外，還取決于δ。

δ=-π-π/2>δ>-πδ=-π/2π/2>δ>0δ=00>δ>-π/2δ=π/2π>δ>-π/2δ=πδ取不同值時(shí)的橢圓偏振光分析：δ=-π-π/2>δ>-πδ=-π/2π/2>δ>0δ30橢圓偏振光的第一個(gè)重要特例:當(dāng)(m=0,±1,…)時(shí)，

這是一個(gè)正橢圓方程，對(duì)應(yīng)的橢圓的長(zhǎng)、短軸分別平行于x，y軸，稱這種橢圓偏振光為‘正橢圓偏振光’如果E10=E20，則上式變成圓方程，稱這種‘正橢圓偏振光’為‘圓偏振光’，圓偏振光是正橢圓偏振光的特例與一般橢圓偏振光一樣，正橢圓偏振光和圓偏振光同樣也有左旋和右旋之分。

圓偏振光橢圓偏振光的第一個(gè)重要特例:這是一個(gè)正橢圓方程，對(duì)應(yīng)的橢圓的31橢圓偏振光的另外一個(gè)重要特例是：當(dāng)δ=mπ(m=0,±1,…)時(shí)，這是一個(gè)直線方程，對(duì)應(yīng)的橢圓退化成直線，這時(shí)的橢圓偏振光稱為線偏振光。設(shè)該直線與x軸的夾角為θ，則有：

容易證明，當(dāng)m=0或偶數(shù)，上式右端取‘+’，直線位于x-y坐標(biāo)系的一、三象限；而當(dāng)m=奇數(shù)時(shí)，上式右端取‘-’，直線位于x-y坐標(biāo)系的二、四象限；E10=0時(shí)直線平行于x軸；E20=0時(shí)直線平行于y軸。可見(jiàn)兩束簡(jiǎn)諧平面光波滿足上述條件時(shí)，它們疊加形成的合成波是線偏振光橢圓偏振光的另外一個(gè)重要特例是：這是一個(gè)直線方程，對(duì)應(yīng)的橢圓32第四節(jié)不同頻率的兩個(gè)平面單色波的疊加

一、拍頻現(xiàn)象簡(jiǎn)單起見(jiàn)，考慮一維情況。假設(shè)下述兩個(gè)振幅相同的沿著z軸方向傳播的簡(jiǎn)諧波：則疊加后合成波波函數(shù)為：

其中第四節(jié)不同頻率的兩個(gè)平面單色波的疊加一、拍頻現(xiàn)象其中33隨t變化緩慢隨t變化較快由于振幅是周期性變化的，所以合振動(dòng)不再是簡(jiǎn)諧振動(dòng)。隨t變化緩慢隨t變化較快由于振幅是周期性變化的，所以合振動(dòng)不34這種振動(dòng)的振幅也是周期性變化的，即振動(dòng)忽強(qiáng)忽弱。由于振幅是周期性變化的，所以合振動(dòng)不再是簡(jiǎn)諧振動(dòng)。這種合振動(dòng)忽強(qiáng)忽弱的現(xiàn)象稱為拍。這種振動(dòng)的振幅也是周期性變化的，即振動(dòng)忽強(qiáng)忽弱。由于振幅是周35接收器輸出信號(hào)的時(shí)間圓頻率為,等于兩分量光波的圓頻率之差，這個(gè)頻率稱為拍頻。這種由兩個(gè)交變物理量產(chǎn)生一個(gè)差頻物理量的現(xiàn)象稱為“拍頻現(xiàn)象”。拍頻現(xiàn)象的主要應(yīng)用價(jià)值在于:它把高頻信號(hào)中的頻率信息和位相信息轉(zhuǎn)移到差頻信號(hào)之中，使它們變得容易測(cè)量。

拍頻的定義可以從時(shí)間域推廣到空間域，即拍頻現(xiàn)象也可以指產(chǎn)生空間差頻的現(xiàn)象。一種特殊情況

：當(dāng)ω2≈ω1時(shí)，可能小到無(wú)線電波頻率范圍之內(nèi)，這種情況下，可以用儀器直接測(cè)量出調(diào)制波的振動(dòng)。實(shí)際上儀器所測(cè)量的仍然是在某個(gè)時(shí)間間隔τ內(nèi)的平均能流密度I，只要2π/Δω>>τ>>2π/則有，

接收器輸出信號(hào)的時(shí)間圓頻率為,等于兩分量光波的36二、拍頻現(xiàn)象的應(yīng)用(一)、激光器率穩(wěn)定性的檢測(cè)和控制

L2L1BSR兩束激光的拍頻兩個(gè)激光器L1和L2發(fā)出的兩束激光通過(guò)分束器BS合成一束，互相疊加，產(chǎn)生拍頻信號(hào)。假設(shè)由L1發(fā)出的激光頻率已知并很穩(wěn)定，那么這個(gè)裝置可以用來(lái)測(cè)定L2激光束的頻率，判斷其穩(wěn)定程度；還可以利用拍頻Δω作為誤差信號(hào)，用來(lái)控制激光器L2的某個(gè)參數(shù)，使得L2光的頻率得到穩(wěn)定。

二、拍頻現(xiàn)象的應(yīng)用L2L1BSR兩束激光37(二)、光學(xué)外差干涉法光學(xué)外差干涉法思想：被測(cè)信息由角頻率為ω1的光波攜帶，該光波和角頻率為ω2(與ω1相近)的光波(稱為參考光波)疊加后，得到頻率為的光強(qiáng)信號(hào)。這時(shí)，被測(cè)信息便轉(zhuǎn)移到該信號(hào)的位相中。光學(xué)外差技術(shù)使我們既能發(fā)揮高頻波的優(yōu)勢(shì)(例如采集被測(cè)量的精度)，又可利用對(duì)低頻波的檢測(cè)技術(shù)。

(二)、光學(xué)外差干涉法光學(xué)外差干涉法思想：被測(cè)信光學(xué)外差技術(shù)38三、群速度由兩個(gè)不同時(shí)間頻率的簡(jiǎn)諧平面光波疊加而成拍頻波是一種復(fù)雜波，所以一般意義上的速度概念不再適用于拍頻。合成波應(yīng)包含等相面?zhèn)鞑ニ俣群偷确鎮(zhèn)鞑ニ俣葍刹糠帧Ｈ核俣仁侵负铣刹ㄕ穹愣c(diǎn)的移動(dòng)速度，即振幅調(diào)制包絡(luò)的移動(dòng)速度。群速度是波包的能量傳播速度，也是波包所表達(dá)信號(hào)的傳播速度。單色光波的傳播速度指它的等相面的傳播速度，即相速度(單一頻率的波的傳播速度)三、群速度由兩個(gè)不同時(shí)間頻率的簡(jiǎn)諧平面光波疊加而成拍頻波是39相速度，由相位不變條件我們可以分別求得載波位相速度υφ和調(diào)制波位相速度υg：

通常把稱為拍頻波的位相速度，把稱為拍頻波的群速度

對(duì)于拍頻波有相速度，由相位不變條件我們可以分別求得載波位相速度υφ和調(diào)制40群速度是指某個(gè)光強(qiáng)值在空間的傳播速度，因此它表示拍頻波能量的傳播速度。當(dāng)很小時(shí)，群速度得表達(dá)式可以寫成如果能測(cè)出調(diào)制波的波長(zhǎng)和，便可以得到群速度是指某個(gè)光強(qiáng)值在空間的傳播速度，因此它表示拍頻當(dāng)41現(xiàn)在，對(duì)于合成前的兩簡(jiǎn)諧平面光波的位相速度、波長(zhǎng)和波矢的大小，分別用υ1、υ2、λ1、λ2、k1、k2來(lái)表示，則群速度表達(dá)式可以寫成：顯然上式中的和分別表示原光波的速度差和波長(zhǎng)差；而反映了媒質(zhì)色散的性質(zhì)和大小。相應(yīng)地相速度表達(dá)式可以寫成：現(xiàn)在，對(duì)于合成前的兩簡(jiǎn)諧平面光波的位相速度、波長(zhǎng)和波矢的大小42越大，波的相速度隨波長(zhǎng)的變化越大時(shí)，群速度與相速度相差越大即波長(zhǎng)較大的單色光波比波長(zhǎng)較短的單色光波傳播速度大時(shí)（正常色散），群速度小于相速度即反常色散，群速度大于相速度越大，波的相速度隨波長(zhǎng)的變化越大時(shí)，群速度與相速度相差越大即43物理光學(xué)12/19/2022第二章光波的疊加與分析物理光學(xué)12/18/2022第二章光波的疊加與分析44兩個(gè)簡(jiǎn)諧平面波1、ω相同，振動(dòng)方向平行，傳播方向沿著z軸同向，振幅和初始位相不同：2、ω相同，振動(dòng)方向平行，傳播方向沿著z軸反向，振幅相同，初始位相不同：兩個(gè)簡(jiǎn)諧平面波1、ω相同，振動(dòng)方向平行，傳播方向沿著z軸453、ω相同，振動(dòng)方向平行，傳播方向沿著z軸反向，振幅不相同，初始位相不同：E(x,z,t)=E1(x,z,t)+E2(x,z,t)=E0exp(-iωt)E0=E10exp[i(k1xx+k1zz+)]+E20exp[i(k2xx+k2zz+)]=|E0|exp(i)

4、ω相同，振動(dòng)方向平行，傳播方向成一定夾角，振幅不相同，初始位相不同：3、ω相同，振動(dòng)方向平行，傳播方向沿著z軸反向，振幅不相465、ω不同，傳播方向沿著z軸，振幅相同，初始位相不同：ω相同的光波疊加仍然是單色光波ω不同的光波疊加則不再是單色光波結(jié)論：5、ω不同，傳播方向沿著z軸，振幅相同，初始位相不同：47頻率為2k

頻率為k

不同頻率光波的疊加合成波

不同頻率光波的疊加形成復(fù)雜光波復(fù)雜光波能不能分解成單色光波的組合？頻率為2k頻率為k不同頻率光波的疊加合成波不同頻率光波48第五節(jié)光波的分析

實(shí)際中存在的光波都是復(fù)雜的，如何將復(fù)雜波分解成簡(jiǎn)單平面波的疊加就是光波分析的任務(wù)。本節(jié)首先講述具有周期性復(fù)雜光波的分析，進(jìn)而討論波群的分解問(wèn)題，最后討論光波分析的普遍理論和方法步驟。一、周期性光波的分析周期性光波:在接連著相等的時(shí)間和空間內(nèi)振動(dòng)能夠完全重復(fù)一次的光波一種周期性光波周期性不等于簡(jiǎn)諧性第五節(jié)光波的分析實(shí)際中存在的光波都是復(fù)雜的，如何將復(fù)雜波49傅立葉級(jí)數(shù)定理：具有空間周期λ的函數(shù)f(z)可以表示成為一些空間周期為λ的整分?jǐn)?shù)倍(即λ、λ/2、λ/3等)的簡(jiǎn)諧函數(shù)之和?；蛘邔懗善渲衋0、a1、a2等為常數(shù)，而為空間角頻率。如果令A(yù)0=2a0、An=ancosβn、Bn=ansinβn，則上兩式變?yōu)椋褐芷谛怨獠ǖ姆治隹梢詰?yīng)用數(shù)學(xué)上的傅立葉級(jí)數(shù)定理。其數(shù)學(xué)形式為：傅立葉級(jí)數(shù)定理：具有空間周期λ的函數(shù)f(z)可以表示成為一些50可以看到，復(fù)雜周期性光波f(z)是一系列的簡(jiǎn)諧平面波的組合，這些平面波的空間角頻率分別為0、k、2k、…、nk、…而A0、An、Bn則是這些平面波的振幅，所以說(shuō)對(duì)f(z)可以進(jìn)行傅立葉分析。A0、An、Bn稱為函數(shù)f(z)的傅立葉系數(shù)。傅立葉級(jí)數(shù)可以看到，復(fù)雜周期性光波f(z)是一系列的簡(jiǎn)諧平面波的組A051A0、An、Bn和f(z)的關(guān)系分別為：以空間角頻率k沿z方向傳播的周期性復(fù)雜波f(z)，可以分解為許多振幅不同且空間角頻率分別為k,2k,3k……的單色波的疊加：An、Bn是某一空間角頻率的單色光波的振幅。A0、An、Bn和f(z)的關(guān)系分別為：以空間角頻率k沿z方52如果以橫坐標(biāo)表示空間角頻率，縱坐標(biāo)表示振幅，在對(duì)應(yīng)于振幅不為零的頻率位置引垂直線，使其長(zhǎng)度等于相應(yīng)頻率的振幅值(當(dāng)然，以一定的標(biāo)度為單位)，這樣所繪制的曲線稱為頻譜圖，如果橫坐標(biāo)表示空間角頻率，則為空間頻譜圖。周期性復(fù)雜波的傅立葉分析結(jié)果可以用空間頻譜圖光譜儀器可以看作是一種傅立葉分析器，對(duì)入射光做一個(gè)傅立葉分析，入射光所包含的不同頻率的分波就被顯示為一系列的光譜線。如果以橫坐標(biāo)表示空間角頻率，縱坐標(biāo)表示振幅，在對(duì)應(yīng)于振幅不為53例題3用傅里葉級(jí)數(shù)分析如圖所示的空間周期為λ的周期性矩形光波，并畫出頻譜。解：這個(gè)矩形波的波函數(shù)為：將這個(gè)式子展開(kāi)例題3用傅里葉級(jí)數(shù)分析如圖所示的空間周期為λ的周期性矩形光54物理光學(xué)-第二章-光波的疊加與分析-課件55矩形周期波的頻譜圖周期性復(fù)雜波的頻譜通常是離散頻譜。矩形周期波的頻譜圖周期性復(fù)雜波的頻譜通常是離散頻譜。56矩形周期波的分析與合成疊加分波數(shù)目越多，越接近于原矩形波。矩形周期波的分析與合成疊加分波數(shù)目越多，越接近于原矩形波。57二、波群的分析

(非周期性波的分析)波群：其振動(dòng)只是在一定范圍內(nèi)存在，在此范圍之外即變?yōu)榱?。所以這類波不是無(wú)限次地重復(fù)它的振動(dòng)波形，因而不具有周期性。實(shí)際中的原子所發(fā)射的光波即如此。

波列原子發(fā)光可看作是一段段有限長(zhǎng)的波列的相繼發(fā)射，所以實(shí)際普通光源發(fā)出的光波不是理想單色波。對(duì)于這類波群的分析就不能利用剛剛講過(guò)的傅立葉級(jí)數(shù)，而必須利用傅立葉積分。二、波群的分析(非周期性波的分析)波列原子發(fā)光可看作是一58在數(shù)學(xué)上，傅立葉積分定理：一個(gè)非周期函數(shù)f(z)(可看成空間周期λ趨于∞)，在（-∞，+∞)滿足狄里赫利條件，且絕對(duì)可積，可以用傅里葉積分表示為：來(lái)表示，其中：A(k)稱為函數(shù)f(z)的傅立葉變換，f(z)稱為A(k)函數(shù)的傅立葉逆變換。在數(shù)學(xué)上，傅立葉積分定理：一個(gè)非周期函數(shù)f(z)(可看成空間59若波群由非周期函數(shù)f(z)來(lái)表征，可以對(duì)它進(jìn)行傅立葉分析，分析的結(jié)果，這類波包含無(wú)限多個(gè)振幅不同的簡(jiǎn)諧分波，兩個(gè)所謂‘相鄰’的分波的頻率相差無(wú)窮小，如果以頻譜圖解來(lái)表示，則將是一條振幅——空間角頻率的連續(xù)曲線，我們稱之為連續(xù)頻譜。所以波群可分析成無(wú)限多個(gè)振幅隨空間頻率分布的簡(jiǎn)諧分波，也就是說(shuō)，我們說(shuō)波群能夠由這些單色波合成。若波群由非周期函數(shù)f(z)來(lái)表征，可以對(duì)它進(jìn)行傅立葉分析，分60例求矩形脈沖非周期性函數(shù)的變換及頻譜圖。解：這個(gè)矩形波的波函數(shù)為：由公式：頻譜函數(shù)為光學(xué)中常用的一個(gè)函數(shù)：例求矩形脈沖非周期性函數(shù)的變換及頻譜圖。解：這個(gè)矩形波的波61矩形脈沖非周期性波的頻譜圖,是連續(xù)譜矩形脈沖非周期性波的頻譜圖,是連續(xù)譜62三、實(shí)際光源發(fā)出的光波的分析實(shí)際光源發(fā)出的光波不是無(wú)限延伸的單色波，而是一個(gè)斷續(xù)的波列或振幅衰減的光波，可以把這種波列看成發(fā)光原子一次輻射發(fā)出的波動(dòng)的近似模型。利用傅里葉分析方法對(duì)實(shí)際光源發(fā)出的波列進(jìn)行分析。考察某一固定時(shí)刻實(shí)際光源發(fā)出的一列光波。設(shè)波列在空間一段距離2L內(nèi)呈現(xiàn)簡(jiǎn)諧分布，其振幅為A0，空間角頻率為k0，取波列長(zhǎng)度2L的中點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)：三、實(shí)際光源發(fā)出的光波的分析考察某一固定時(shí)刻實(shí)際光源發(fā)出的一63考察某一固定時(shí)刻實(shí)際光源發(fā)出的一列光波。設(shè)波列在空間一段距離2L內(nèi)呈現(xiàn)簡(jiǎn)諧分布，其振幅為A0，空間角頻率為k0，取波列長(zhǎng)度2L的重點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)：這個(gè)矩形波的波函數(shù)為：由公式：其傅里葉分解的振幅分布（傅里葉頻譜為）：考察某一固定時(shí)刻實(shí)際光源發(fā)出的一列光波。設(shè)波列在空間一段距離64其空間頻率圖是一條連續(xù)曲線。由振幅分布函數(shù)的平方得到光強(qiáng)分布（略去常數(shù)因子）光強(qiáng)分布曲線討論：1、當(dāng)時(shí)光強(qiáng)I=0；2、當(dāng)n=0時(shí)，3、只有在空間頻率時(shí)，光強(qiáng)才有較顯著的數(shù)值；其空間頻率圖是一條連續(xù)曲線。由振幅分布函數(shù)的平方得到光強(qiáng)分布654、可以取為有效空間頻率范圍；因?yàn)椋荷鲜揭部捎貌ㄩL(zhǎng)來(lái)表示：表明：波列在2L越長(zhǎng)，波列所包含的單色光波的波長(zhǎng)范圍越窄。實(shí)際光源發(fā)出的光波單色性越好。當(dāng)波列無(wú)窮大時(shí)，即是單色波。

任何時(shí)間周期性和空間周期性的破壞都意味著光波單色性的破壞。4、可以取為有效空間頻率范圍；因?yàn)椋?6本章結(jié)束本章結(jié)束67光波的疊加和分析第二章光波的疊加和分析第二章68前言§1波的獨(dú)立傳播和疊加原理

§2兩束同頻振動(dòng)方向平行的標(biāo)量波的疊加

§3兩束同頻振動(dòng)方向垂直的標(biāo)量波的疊加

§4

不同頻率的兩個(gè)平面單色波的疊加

§5光波的分析前言69前言首先講述作為矢量波的光波，在某些情況下可看作標(biāo)量波；光波在空間傳播時(shí)在一些特定條件下滿足獨(dú)立傳播原理

進(jìn)而介紹關(guān)于光的疊加原理。在此基礎(chǔ)上，作為特殊情況，講解兩束光波在不同情況下的疊加結(jié)果：規(guī)律、概念及應(yīng)用。幾束簡(jiǎn)單的光波復(fù)雜的光波疊加分解前言首先講述作為矢量波的光波，在某些情況下可看作70第一節(jié)波的獨(dú)立傳播和疊加原理

一、標(biāo)量波和矢量波

光波是橫波，選擇傳播方向?yàn)橹苯亲鴺?biāo)系的z方向，則矢量就變成了二維矢量，可將之分解為x，y方向的分量描述光波的物理量和是矢量光波本質(zhì)上是矢量波

若光波傳播的媒質(zhì)對(duì)這兩個(gè)方向上的分量有相同的性質(zhì)，則這兩個(gè)分量有相同的傳播規(guī)律，于是任一個(gè)分量的波函數(shù)就可代表其對(duì)應(yīng)的矢量波，則矢量波的處理變?yōu)闃?biāo)量波處理。第一節(jié)波的獨(dú)立傳播和疊加原理一、標(biāo)量波和矢量波光波是橫71波的獨(dú)立傳播原理：當(dāng)兩列波或多列波在同一波場(chǎng)中傳播時(shí)，每一列波的傳播方式都不因其他波的存在而受到影響注意：波的疊加原理和獨(dú)立性原理成立于線性介質(zhì)中二、波的獨(dú)立傳播原理

波的獨(dú)立傳播原理：當(dāng)兩列波或多列波在同一波場(chǎng)中傳播時(shí)，每一列72三、光波的疊加原理和線性媒質(zhì)

光波疊加原理的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)：如果光波和都是方程的解，則它們的線性疊加也顯然是該方程的解，并且構(gòu)成一個(gè)復(fù)雜的波微分波動(dòng)方程的解的疊加性，構(gòu)成了光波疊加原理的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)。

當(dāng)存在兩個(gè)或多個(gè)光波同時(shí)傳播時(shí)，如果光波的獨(dú)立傳播原理成立，則它們疊加的空間區(qū)域內(nèi)，每一點(diǎn)的擾動(dòng)將等于各個(gè)光波單獨(dú)存在時(shí)該點(diǎn)的擾動(dòng)之和。這就是光波的疊加原理，即三、光波的疊加原理和線性媒質(zhì)光波疊加原理的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)：如果光73真空中，光波疊加原理普遍成立媒質(zhì)中，光波電磁場(chǎng)與媒質(zhì)內(nèi)部物質(zhì)的相互作用滿足線性條件時(shí)，光波疊加原理成立。當(dāng)光強(qiáng)很強(qiáng)時(shí)，光與介質(zhì)相互作用產(chǎn)生了非線性光學(xué)效應(yīng)，光的疊加原理不再成立光波疊加原理的成立也是有條件的媒質(zhì)分為‘線性媒質(zhì)’和‘非線性媒質(zhì)’

線性媒質(zhì)：波在其中傳播時(shí)服從疊加原理和獨(dú)立傳播原理的媒質(zhì)非線性媒質(zhì)：波在其中傳播時(shí)不服從疊加原理和獨(dú)立傳播原理的媒質(zhì)真空中，光波疊加原理普遍成立光波疊加原理的成立也是有條件的74一、同向傳播的平面波的疊加假設(shè)有兩個(gè)簡(jiǎn)諧平面波，其時(shí)間頻率為ω，振幅分別為E10和E20，初始位相分別為和，傳播方向沿著z軸，它們被表示為：第二節(jié)兩束同頻振動(dòng)方向平行的標(biāo)量波的疊加

本節(jié)討論兩個(gè)頻率相同、振動(dòng)方向平行的光波的疊加，顯然這兩個(gè)光波可視作標(biāo)量波，于是問(wèn)題就是兩個(gè)標(biāo)量波疊加的問(wèn)題

一、同向傳播的平面波的疊加第二節(jié)兩束同頻振動(dòng)方向平行的標(biāo)75這兩個(gè)光波疊加后的合成波可以表示為：（2.2.1）(2.2.2)

其中：（2.2.3）（2.2.4）上式中：這兩個(gè)光波疊加后的合成波可以表示為：（2.2.1）(2.276由以上分析得到合成波的表達(dá)式為：表明：合成波還是一個(gè)與分量波時(shí)間頻率相同，傳播方向相同，其它空間、時(shí)間參量以及位相速度都沒(méi)有變化的簡(jiǎn)諧平面波，只是有了新的振幅和初位相，而且合成波的振幅和位相均取決于分量波的振幅和初始位相。

當(dāng)E10=E20時(shí)，由（2.2.3）有

可見(jiàn)，此時(shí)合成波的振幅取決于兩個(gè)分量波的位相差

由以上分析得到合成波的表達(dá)式為：當(dāng)E10=E20時(shí)，由（2.77當(dāng)E10=E20時(shí)，由（2.2.4）得：

可見(jiàn)，合成波的初位相等于兩個(gè)分量波初位相的平均值

當(dāng)E10=E20時(shí)，總的合成波函數(shù)為所以，當(dāng)E10=E20且φ10=φ20時(shí)，合成波與分量波振動(dòng)狀態(tài)相同，只是振幅增大一倍而在φ10-φ20=±π情況下，可知合成振幅為零。

當(dāng)E10=E20時(shí)，由（2.2.4）得：可見(jiàn)，合成波的78物理光學(xué)12/19/2022物理光學(xué)12/18/202279兩列波在空間相遇的情況兩列波在空間相遇的情況80波的獨(dú)立傳播原理：幾列波在相遇點(diǎn)所引起的擾動(dòng)是各列波在該點(diǎn)所引起的擾動(dòng)的疊加（矢量的線性疊加，矢量和）當(dāng)兩個(gè)或多個(gè)光波在空間相遇時(shí)，如果振動(dòng)不是十分強(qiáng)，各列波將保持各自的特性不變，繼續(xù)傳播。相互之間沒(méi)有影響。波的疊加原理波的獨(dú)立傳播原理：幾列波在相遇點(diǎn)所引起的擾動(dòng)是各列波在該點(diǎn)所81成立條件1)、傳播介質(zhì)為線性介質(zhì)；2)、振動(dòng)不是十分強(qiáng)，在振動(dòng)很強(qiáng)的時(shí)候，線性介質(zhì)會(huì)變?yōu)榉蔷€性介質(zhì)；注意波的疊加不是強(qiáng)度的疊加，也不是振幅的簡(jiǎn)單相加，而是振動(dòng)矢量的疊加線性媒質(zhì)：波在其中傳播時(shí)服從疊加原理和獨(dú)立傳播原理的媒質(zhì)非線性媒質(zhì)：波在其中傳播時(shí)不服從疊加原理和獨(dú)立傳播原理的媒質(zhì)成立條件1)、傳播介質(zhì)為線性介質(zhì)；注意波的疊加不是強(qiáng)度的疊加82一、同向傳播的平面波的疊加假設(shè)有兩個(gè)簡(jiǎn)諧平面波，其時(shí)間頻率為ω相同，振幅分別為E10和E20，初始位相分別為和，振動(dòng)方向平行，傳播方向沿著z軸，它們被表示為：上式中：其中：一、同向傳播的平面波的疊加上式中：其中：83二、反向傳播的平面波的疊加——駐波及其實(shí)驗(yàn)(1)、駐波波函數(shù)假設(shè)兩個(gè)簡(jiǎn)諧平面標(biāo)量波的時(shí)間頻率為ω，振幅分別E10和E20，初始位相為和，一列波沿著z軸正向傳播另一列沿z軸負(fù)向傳播，假定E10=E20=E0，即有：

合成波各點(diǎn)都按照?qǐng)A頻率ω做簡(jiǎn)諧振動(dòng)，但是此合成波有其固有的特點(diǎn)疊加后的合成波可以表示為：二、反向傳播的平面波的疊加——駐波及其實(shí)驗(yàn)(1)、駐波波函數(shù)84表示：(1)對(duì)某一Z點(diǎn)，E隨時(shí)間以頻率ω作簡(jiǎn)諧振動(dòng)，某一時(shí)刻，振幅隨Z不同而變（振幅不是常數(shù)）;

(2)稱振幅最大值和最小值的位置為波腹、波節(jié)的位置，它們不隨時(shí)間而變

;

波腹位置：

(m為整數(shù))

波節(jié)位置：

(m為整數(shù))

(3)相鄰波腹（或波節(jié)）之間距為λ/2，相鄰波腹與波節(jié)間距為λ/4;(4)

合成波的位相因子與空間坐標(biāo)位置z無(wú)關(guān)。表示：(2)稱振幅最大值和最小值的位置為波腹、波節(jié)的位置85(6)因的取值可正可負(fù)，所以在每一波節(jié)兩邊的點(diǎn)，其振動(dòng)是反相的(5)駐波的位相因子與z無(wú)關(guān)，不存在位相的傳播問(wèn)題，故把這種波稱為駐波，反之稱為行波。駐波：由于節(jié)點(diǎn)靜止不動(dòng)，所以波形沒(méi)有傳播。能量以動(dòng)能和勢(shì)能的形式交換儲(chǔ)存，亦傳播不出去。駐波(6)因86當(dāng)兩個(gè)分量波的振幅不相等時(shí)，例如，E10=E20+ΔE，則有合成波是一個(gè)駐波和行波之和，因此合成波在波節(jié)處振幅不再為零，波節(jié)處的振動(dòng)完全是由行波引起的，其它考察點(diǎn)的振幅則由行波和駐波共同引起的，并且由于行波的存在，將會(huì)有能量的傳播。當(dāng)兩個(gè)分量波的振幅不相等時(shí)，例如，E10=E20+ΔE，則有87(2)、駐波實(shí)驗(yàn)實(shí)驗(yàn)裝置如右圖所示。M是鍍銀的平面反射鏡，I是正入射到鏡面上的單色簡(jiǎn)諧平面波，經(jīng)反射后得到反射波R。G是一塊極薄的感光乳膠底片，它與鏡面間有一微小夾角。I和R形成駐波，G位于這個(gè)駐波場(chǎng)中，經(jīng)感光和顯影，在G上呈現(xiàn)亮暗相間的條紋，相鄰亮條紋(或暗條紋)之間的距離按圖示的幾何關(guān)系與λ/2相對(duì)應(yīng)MIRGλ/2λ/2λ/2λ/4維納實(shí)驗(yàn)(2)、駐波實(shí)驗(yàn)實(shí)驗(yàn)裝置如右圖所示。M是鍍銀的平面反射鏡，88底片G上感光的位置應(yīng)該是駐波波腹的位置。三、任意方向傳播的平面波的疊加

上面兩部分只考慮了兩束光波的傳播方向在一條直線上的情況，分量波與合成波的空間分布比較簡(jiǎn)單，只和空間變量z有關(guān)?，F(xiàn)在考慮兩個(gè)時(shí)間頻率相同、振動(dòng)方向平行的簡(jiǎn)諧平面光波不共線傳播相遇疊加的情況。維納實(shí)驗(yàn)證明：1、駐波的存在維納實(shí)驗(yàn)發(fā)現(xiàn)，緊貼鏡面處的底片沒(méi)有感光，而感光條紋的位置都與電場(chǎng)波腹位置相一致。維納實(shí)驗(yàn)證明：2、乳膠感光的是光的電場(chǎng)而不是磁場(chǎng)底片G上感光的位置應(yīng)該是駐波波腹的位置。三、任意方向傳播的平89兩個(gè)頻率相同、振動(dòng)方向平行的簡(jiǎn)諧平面光波不共線傳播相遇疊加zk1zk2xk2zxk1k1xE1k2E2O設(shè)兩個(gè)分量波的頻率都為ω，振幅分別為E10和E20，初始位相為和，波矢分別為k1和k2，則它們的波函數(shù)可以表示成如下：對(duì)于疊加區(qū)域，如圖所示選取坐標(biāo)系Oxyz，y軸方向垂直于紙面向外。假設(shè)振動(dòng)方向沿著y方向，分量波的波矢k1和k2均平行于xz平面，注意，這時(shí)所有的函數(shù)都與y坐標(biāo)無(wú)關(guān)。

兩個(gè)頻率相同、振動(dòng)方向zk1zk2xk2zxk1k1xE1k90疊加后的合成波可以表示為：E(x,z,t)=E1(x,z,t)+E2(x,z,t)=E0exp(-iωt)其中：E0=E10exp[i(k1xx+k1zz+)]+E20exp[i(k2xx+k2zz+)]=|E0|exp(i)

而且有：疊加后的合成波可以表示為：E(x,z,t)=E1(x,z,91其中：合成波與前面所討論到的合成波都不一樣：1、振幅分布上有駐波的特點(diǎn)；2、位相上有行波的特點(diǎn)；3、其時(shí)間頻率仍然是ω不變

考慮當(dāng)E10=E20時(shí)的特殊情況，有

其中：合成波與前面所討論到的合成波都不一樣：考慮當(dāng)E10=E92第三節(jié)兩束同頻振動(dòng)方向垂直的標(biāo)量波的疊加

假定兩束光沿著z軸方向傳播，而其振動(dòng)方向分別與x、y軸方向相同，設(shè)這兩束光波的波函數(shù)如下：其中的、是直角坐標(biāo)系Oxyz中x、y方向上的單位矢量。兩束光波疊加，合成波函數(shù)為：

（2.3.1）（2.3.2）第三節(jié)兩束同頻振動(dòng)方向垂直的標(biāo)量波的疊加假定兩束光沿著z93顯然合成波在xy平面內(nèi)，其方向垂直于傳播方向z軸，但是一般而言它不再與x或y軸同向。如右圖所示，E與x軸的夾角α滿足：合成波與分量波矢量顯然α是z和t的函數(shù)，E的方向一般是不固定的，將隨著z和t而變化，利用(2.3.1)和(2.3.2)，消去(kz-ωt)，得：其中（2.3.3）顯然合成波在xy平面內(nèi)，其方向垂直于傳播方向z軸，但是一般而94右圖中畫出了kz-ωt為某一確定值時(shí)的E以及它與x軸的夾角，這個(gè)橢圓既可以理解為1、位置z確定時(shí)E的端點(diǎn)隨著時(shí)間t的變化軌跡；2、時(shí)間t確定時(shí)E的端點(diǎn)隨著位置z的變化軌跡在x-y平面上的投影，后者實(shí)際上是一條空間螺旋線由式（2.3.3）可知，隨著z或t的變化，合成波矢量的端點(diǎn)在x-y平面(或者垂直于z軸的平面)上形成一個(gè)橢圓形軌跡。于是稱振動(dòng)方向互相垂直的同頻同向傳播的兩個(gè)線偏振光疊加后的合成光波為橢圓偏振光波，簡(jiǎn)稱橢圓光。

端點(diǎn)的橢圓軌跡右圖中畫出了kz-ωt為某一確定值時(shí)的E以及它與x軸95當(dāng)z固定時(shí)，隨著t的增大端點(diǎn)如果是順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)，則規(guī)定該橢圓偏振光是‘右旋’橢圓偏振光反之則稱為‘左旋’橢圓偏振光。根據(jù)該規(guī)定,α角隨時(shí)間的變化時(shí)橢圓偏振光為‘左旋’，如果則橢圓偏振光為‘右旋’，求d(tgα)/dt得：

zyxL在確定t時(shí)的端點(diǎn)的空間螺旋軌跡L及其在x-y平面上的投影

E的方向在x-y平面上是旋轉(zhuǎn)的針對(duì)E的旋向當(dāng)z固定時(shí)，隨著t的增大端點(diǎn)如zyxL在確定t時(shí)的端點(diǎn)的空間96分析：sinδ>0時(shí)，對(duì)應(yīng)的橢圓偏振光為‘左旋’橢圓偏振光sinδ<0時(shí)，對(duì)應(yīng)的橢圓偏振光為‘右旋’橢圓偏振光。可見(jiàn)，橢圓偏振光的橢圓形狀和旋向除了取決于E10、E20之外，還取決于δ。

δ=-π-π/2>δ>-πδ=-π/2π/2>δ>0δ=00>δ>-π/2δ=π/2π>δ>-π/2δ=πδ取不同值時(shí)的橢圓偏振光分析：δ=-π-π/2>δ>-πδ=-π/2π/2>δ>0δ97橢圓偏振光的第一個(gè)重要特例:當(dāng)(m=0,±1,…)時(shí)，

這是一個(gè)正橢圓方程，對(duì)應(yīng)的橢圓的長(zhǎng)、短軸分別平行于x，y軸，稱這種橢圓偏振光為‘正橢圓偏振光’如果E10=E20，則上式變成圓方程，稱這種‘正橢圓偏振光’為‘圓偏振光’，圓偏振光是正橢圓偏振光的特例與一般橢圓偏振光一樣，正橢圓偏振光和圓偏振光同樣也有左旋和右旋之分。

圓偏振光橢圓偏振光的第一個(gè)重要特例:這是一個(gè)正橢圓方程，對(duì)應(yīng)的橢圓的98橢圓偏振光的另外一個(gè)重要特例是：當(dāng)δ=mπ(m=0,±1,…)時(shí)，這是一個(gè)直線方程，對(duì)應(yīng)的橢圓退化成直線，這時(shí)的橢圓偏振光稱為線偏振光。設(shè)該直線與x軸的夾角為θ，則有：

容易證明，當(dāng)m=0或偶數(shù)，上式右端取‘+’，直線位于x-y坐標(biāo)系的一、三象限；而當(dāng)m=奇數(shù)時(shí)，上式右端取‘-’，直線位于x-y坐標(biāo)系的二、四象限；E10=0時(shí)直線平行于x軸；E20=0時(shí)直線平行于y軸?？梢?jiàn)兩束簡(jiǎn)諧平面光波滿足上述條件時(shí)，它們疊加形成的合成波是線偏振光橢圓偏振光的另外一個(gè)重要特例是：這是一個(gè)直線方程，對(duì)應(yīng)的橢圓99第四節(jié)不同頻率的兩個(gè)平面單色波的疊加

一、拍頻現(xiàn)象簡(jiǎn)單起見(jiàn)，考慮一維情況。假設(shè)下述兩個(gè)振幅相同的沿著z軸方向傳播的簡(jiǎn)諧波：則疊加后合成波波函數(shù)為：

其中第四節(jié)不同頻率的兩個(gè)平面單色波的疊加一、拍頻現(xiàn)象其中100隨t變化緩慢隨t變化較快由于振幅是周期性變化的，所以合振動(dòng)不再是簡(jiǎn)諧振動(dòng)。隨t變化緩慢隨t變化較快由于振幅是周期性變化的，所以合振動(dòng)不101這種振動(dòng)的振幅也是周期性變化的，即振動(dòng)忽強(qiáng)忽弱。由于振幅是周期性變化的，所以合振動(dòng)不再是簡(jiǎn)諧振動(dòng)。這種合振動(dòng)忽強(qiáng)忽弱的現(xiàn)象稱為拍。這種振動(dòng)的振幅也是周期性變化的，即振動(dòng)忽強(qiáng)忽弱。由于振幅是周102接收器輸出信號(hào)的時(shí)間圓頻率為,等于兩分量光波的圓頻率之差，這個(gè)頻率稱為拍頻。這種由兩個(gè)交變物理量產(chǎn)生一個(gè)差頻物理量的現(xiàn)象稱為“拍頻現(xiàn)象”。拍頻現(xiàn)象的主要應(yīng)用價(jià)值在于:它把高頻信號(hào)中的頻率信息和位相信息轉(zhuǎn)移到差頻信號(hào)之中，使它們變得容易測(cè)量。

拍頻的定義可以從時(shí)間域推廣到空間域，即拍頻現(xiàn)象也可以指產(chǎn)生空間差頻的現(xiàn)象。一種特殊情況

：當(dāng)ω2≈ω1時(shí)，可能小到無(wú)線電波頻率范圍之內(nèi)，這種情況下，可以用儀器直接測(cè)量出調(diào)制波的振動(dòng)。實(shí)際上儀器所測(cè)量的仍然是在某個(gè)時(shí)間間隔τ內(nèi)的平均能流密度I，只要2π/Δω>>τ>>2π/則有，

接收器輸出信號(hào)的時(shí)間圓頻率為,等于兩分量光波的103二、拍頻現(xiàn)象的應(yīng)用(一)、激光器率穩(wěn)定性的檢測(cè)和控制

L2L1BSR兩束激光的拍頻兩個(gè)激光器L1和L2發(fā)出的兩束激光通過(guò)分束器BS合成一束，互相疊加，產(chǎn)生拍頻信號(hào)。假設(shè)由L1發(fā)出的激光頻率已知并很穩(wěn)定，那么這個(gè)裝置可以用來(lái)測(cè)定L2激光束的頻率，判斷其穩(wěn)定程度；還可以利用拍頻Δω作為誤差信號(hào)，用來(lái)控制激光器L2的某個(gè)參數(shù)，使得L2光的頻率得到穩(wěn)定。

二、拍頻現(xiàn)象的應(yīng)用L2L1BSR兩束激光104(二)、光學(xué)外差干涉法光學(xué)外差干涉法思想：被測(cè)信息由角頻率為ω1的光波攜帶，該光波和角頻率為ω2(與ω1相近)的光波(稱為參考光波)疊加后，得到頻率為的光強(qiáng)信號(hào)。這時(shí)，被測(cè)信息便轉(zhuǎn)移到該信號(hào)的位相中。光學(xué)外差技術(shù)使我們既能發(fā)揮高頻波的優(yōu)勢(shì)(例如采集被測(cè)量的精度)，又可利用對(duì)低頻波的檢測(cè)技術(shù)。

(二)、光學(xué)外差干涉法光學(xué)外差干涉法思想：被測(cè)信光學(xué)外差技術(shù)105三、群速度由兩個(gè)不同時(shí)間頻率的簡(jiǎn)諧平面光波疊加而成拍頻波是一種復(fù)雜波，所以一般意義上的速度概念不再適用于拍頻。合成波應(yīng)包含等相面?zhèn)鞑ニ俣群偷确鎮(zhèn)鞑ニ俣葍刹糠?。群速度是指合成波振幅恒定點(diǎn)的移動(dòng)速度，即振幅調(diào)制包絡(luò)的移動(dòng)速度。群速度是波包的能量傳播速度，也是波包所表達(dá)信號(hào)的傳播速度。單色光波的傳播速度指它的等相面的傳播速度，即相速度(單一頻率的波的傳播速度)三、群速度由兩個(gè)不同時(shí)間頻率的簡(jiǎn)諧平面光波疊加而成拍頻波是106相速度，由相位不變條件我們可以分別求得載波位相速度υφ和調(diào)制波位相速度υg：

通常把稱為拍頻波的位相速度，把稱為拍頻波的群速度

對(duì)于拍頻波有相速度，由相位不變條件我們可以分別求得載波位相速度υφ和調(diào)制107群速度是指某個(gè)光強(qiáng)值在空間的傳播速度，因此它表示拍頻波能量的傳播速度。當(dāng)很小時(shí)，群速度得表達(dá)式可以寫成如果能測(cè)出調(diào)制波的波長(zhǎng)和，便可以得到群速度是指某個(gè)光強(qiáng)值在空間的傳播速度，因此它表示拍頻當(dāng)108現(xiàn)在，對(duì)于合成前的兩簡(jiǎn)諧平面光波的位相速度、波長(zhǎng)和波矢的大小，分別用υ1、υ2、λ1、λ2、k1、k2來(lái)表示，則群速度表達(dá)式可以寫成：顯然上式中的和分別表示原光波的速度差和波長(zhǎng)差；而反映了媒質(zhì)色散的性質(zhì)和大小。相應(yīng)地相速度表達(dá)式可以寫成：現(xiàn)在，對(duì)于合成前的兩簡(jiǎn)諧平面光波的位相速度、波長(zhǎng)和波矢的大小109越大，波的相速度隨波長(zhǎng)的變化越大時(shí)，群速度與相速度相差越大即波長(zhǎng)較大的單色光波比波長(zhǎng)較短的單色光波傳播速度大時(shí)（正常色散），群速度小于相速度即反常色散，群速度大于相速度越大，波的相速度隨波長(zhǎng)的變化越大時(shí)，群速度與相速度相差越大即110物理光學(xué)12/19/2022第二章光波的疊加與分析物理光學(xué)12/18/2022第二章光波的疊加與分析111兩個(gè)簡(jiǎn)諧平面波1、ω相同，振動(dòng)方向平行，傳播方向沿著z軸同向，振幅和初始位相不同：2、ω相同，振動(dòng)方向平行，傳播方向沿著z軸反向，振幅相同，初始位相不同：兩個(gè)簡(jiǎn)諧平面波1、ω相同，振動(dòng)方向平行，傳播方向沿著z軸1123、ω相同，振動(dòng)方向平行，傳播方向沿著z軸反向，振幅不相同，初始位相不同：E(x,z,t)=E1(x,z,t)+E2(x,z,t)=E0exp(-iωt)E0=E10exp[i(k1xx+k1zz+)]+E20exp[i(k2xx+k2zz+)]=|E0|exp(i)

4、ω相同，振動(dòng)方向平行，傳播方向成一定夾角，振幅不相同，初始位相不同：3、ω相同，振動(dòng)方向平行，傳播方向沿著z軸反向，振幅不相1135、ω不同，傳播方向沿著z軸，振幅相同，初始位相不同：ω相同的光波疊加仍然是單色光波ω不同的光波疊加則不再是單色光波結(jié)論：5、ω不同，傳播方向沿著z軸，振幅相同，初始位相不同：114頻率為2k

頻率為k

不同頻率光波的疊加合成波

不同頻率光波的疊加形成復(fù)雜光波復(fù)雜光波能不能分解成單色光波的組合？頻率為2k頻率為k不同頻率光波的疊加合成波不同頻率光波115第五節(jié)光波的分析

實(shí)際中存在的光波都是復(fù)雜的，如何將復(fù)雜波分解成簡(jiǎn)單平面波的疊加就是光波分析的任務(wù)。本節(jié)首先講述具有周期性復(fù)雜光波的分析，進(jìn)而討論波群的分解問(wèn)題，最后討論光波分析的普遍理論和方法步驟。一、周期性光波的分析周期性光波:在接連著相等的時(shí)間和空間內(nèi)振動(dòng)能夠完全重復(fù)一次的光波一種周期性光波周期性不等于簡(jiǎn)諧性第五節(jié)光波的分析實(shí)際中存在的光波都是復(fù)雜的，如何將復(fù)雜波116傅立葉級(jí)數(shù)定理：具有空間周期λ的函數(shù)f(z)可以表示成為一些空間周期為λ的整分?jǐn)?shù)倍(即λ、λ/2、λ/3等)的簡(jiǎn)諧函數(shù)之和?；蛘邔懗善渲衋0、a1、a2等為常數(shù)，而為空間角頻率。如果令A(yù)0=2a0、An=ancosβn、Bn=ansinβn，則上兩式變?yōu)椋?/p>