圓錐曲線方程復習

1、圓錐曲線方程復習一、 本講進度圓錐曲線方程復習二、本講主要內(nèi)容1、 三種圓錐曲線：橢圓、雙曲線、拋物線的定義、標準方程、幾何性質(zhì)等。 2、直線和圓錐曲線位置關(guān)系。 3、求軌跡方程的常規(guī)方法。三、復習指導 1、解析幾何的基本問題之一：如何求曲線（點的軌跡）方程。它一般分為兩類基本題型：一是已知軌跡類型求其方程，常用待定系數(shù)法，如求直線及圓的方程就是典型例題；二是未知軌跡類型，此時除了用代入法、交軌法、參數(shù)法等求軌跡的方法外，通常設(shè)法利用已知軌跡的定義解題，化歸為求已知軌跡類型的軌跡方程。因此在求動點軌跡方程的過程中，一是尋找與動點坐標有關(guān)的方程（等量關(guān)系），側(cè)重于數(shù)的運算，一是尋找與動點有關(guān)的幾

2、何條件，側(cè)重于形，重視圖形幾何性質(zhì)的運用。在基本軌跡中，除了直線、圓外，還有三種圓錐曲線：橢圓、雙曲線、拋物線。2、 三種圓錐曲線的研究 （1）統(tǒng)一定義，三種圓錐曲線均可看成是這樣的點集：，其中F為定點，d為P到定直線的l距離，F(xiàn)l，如圖。因為三者有統(tǒng)一定義，所以，它們的一些性質(zhì)，研究它們的一些方法都具有規(guī)律性。當0<e<1時，點P軌跡是橢圓；當e>1時，點P軌跡是雙曲線；當e=1時，點P軌跡是拋物線。 （2）橢圓及雙曲線幾何定義：橢圓：P|PF1|+|PF2|=2a，2a>|F1F2|>0，F(xiàn)1、F2為定點，雙曲線P|PF1|-|PF2|=2a，|F1F2|&g

3、t;2a>0，F(xiàn)1，F(xiàn)2為定點。 （3）圓錐曲線的幾何性質(zhì)：幾何性質(zhì)是圓錐曲線內(nèi)在的，固有的性質(zhì)，不因為位置的改變而改變。 定性：焦點在與準線垂直的對稱軸上橢圓及雙曲線中：中心為兩焦點中點，兩準線關(guān)于中心對稱；橢圓及雙曲線關(guān)于長軸、短軸或?qū)嵼S、虛軸成軸對稱，關(guān)于中心成中心對稱。 定量：橢 圓雙 曲 線拋 物 線焦 距2c長軸長2a實軸長2a短軸長2b焦點到對應準線距離P=2p通徑長2·2p離心率1基本量關(guān)系a2=b2+c2C2=a2+b2 （4）圓錐曲線的標準方程及解析量（隨坐標改變而變）舉焦點在x軸上的方程如下：橢 圓雙 曲 線拋 物 線標準方程（a>b>0）（a

4、>0，b>0）y2=2px（p>0）頂 點（±a，0） （0，±b）（±a，0）（0，0）焦 點（±c，0）（，0）準 線X=±x=中 心（0，0）有界性|x|a|y|b|x|ax0焦半徑P(x0，y0)為圓錐曲線上一點，F(xiàn)1、F2分別為左、右焦點 |PF1|=a+ex0 |PF2|=a-ex0P在右支時： |PF1|=a+ex0 |PF2|=-a+ex0P在左支時： |PF1|=-a-ex0 |PF2|=a-ex0|PF|=x0+總之研究圓錐曲線，一要重視定義，這是學好圓錐曲線最重要的思想方法，二要數(shù)形結(jié)合，既熟練掌握方程組

5、理論，又關(guān)注圖形的幾何性質(zhì)，以簡化運算。3、 直線和圓錐曲線位置關(guān)系（1） 位置關(guān)系判斷：法（適用對象是二次方程，二次項系數(shù)不為0）。其中直線和曲線只有一個公共點，包括直線和雙曲線相切及直線與雙曲線漸近線平行兩種情形；后一種情形下，消元后關(guān)于x或y方程的二次項系數(shù)為0。直線和拋物線只有一個公共點包括直線和拋物線相切及直線與拋物線對稱軸平行等兩種情況；后一種情形下，消元后關(guān)于x或y方程的二次項系數(shù)為0。（2） 直線和圓錐曲線相交時，交點坐標就是方程組的解。 當涉及到弦的中點時，通常有兩種處理方法：一是韋達定理；二是點差法。 4、圓錐曲線中參數(shù)取值范圍問題通常從兩個途徑思考，一是建立函數(shù)，用求值域

6、的方法求范圍；二是建立不等式，通過解不等式求范圍。四、典型例題例1、 根據(jù)下列條件，求雙曲線方程。（1） 與雙曲線有共同漸近線，且過點（-3，）；（2） 與雙曲線有公共焦點，且過點（，2）。解題思路分析：法一：（1）雙曲線的漸近線為令x=-3，y=±4，因，故點（-3，）在射線（x0）及x軸負半軸之間， 雙曲線焦點在x軸上設(shè)雙曲線方程為，（a>0，b>0） 解之得： 雙曲線方程為 （2）設(shè)雙曲線方程為（a>0，b>0）則 解之得： 雙曲線方程為法二：（1）設(shè)雙曲線方程為（0） 雙曲線方程為（3） 設(shè)雙曲線方程為 解之得：k=4 雙曲線方程為評注：與雙曲線共漸近

7、線的雙曲線方程為（0），當>0時，焦點在x軸上；當<0時，焦點在y軸上。與雙曲線共焦點的雙曲線為（a2+k>0，b2-k>0）。比較上述兩種解法可知，引入適當?shù)膮?shù)可以提高解題質(zhì)量，特別是充分利用含參數(shù)方程的幾何意義，可以更準確地理解解析幾何的基本思想。例2、設(shè)F1、F2為橢圓的兩個焦點，P為橢圓上一點，已知P、F1、F2是一個直角三角形的三個頂點，且|PF1|>|PF2|，求的值。解題思路分析：當題設(shè)涉及到焦半徑這個信息時，通常聯(lián)想到橢圓的兩個定義。法一：當PF2F1=900時，由得： ， 當F1PF2=900時，同理求得|PF1|=4，|PF2|=2 法二：當

8、PF2F1=900， P（）又F2（，0） |PF2|= |PF1|=2a-|PF2|=當F1PF2=900，由得： P（）。下略。評注：由|PF1|>|PF2|的條件，直角頂點應有兩種情況，需分類討論。例3、設(shè)點P到M（-1，0），N（1，0）的距離之差為2m，到x軸、y軸的距離之比為2，求m取值范圍。解題思路分析：根據(jù)題意，從點P的軌跡著手 |PM|-|PN|=2m 點P軌跡為雙曲線，方程為（|m|<1） 又y=±2x（x0） 聯(lián)立得：將此式看成是關(guān)于x的二次函數(shù)式，下求該二次函數(shù)值域，從而得到m 的取值范圍。根據(jù)雙曲線有界性：|x|>m，x2>m2 又0

9、<m2<1 1-5m2>0 且m0 評注：利用雙曲線的定義找到點P軌跡是重要一步，當題目條件有等量關(guān)系時，一般考慮利用函數(shù)思想，建立函數(shù)關(guān)系式。例4、已知x2+y2=1，雙曲線(x-1)2-y2=1，直線l同時滿足下列兩個條件：與雙曲線交于不同兩點；與圓相切，且切點是直線與雙曲線相交所得弦的中點。求直線l方程。解題思路分析：選擇適當?shù)闹本€方程形式，把條件“l(fā)是圓的切線”“切點M是弦AB中點”翻譯為關(guān)于參數(shù)的方程組。法一：當l斜率不存在時，x=-1滿足；當l斜率存在時，設(shè)l：y=kx+bl與O相切，設(shè)切點為M，則|OM|=1 b2=k2+1 由得：(1-k2)x2-2(1+kb

10、)x-b2=0當k±1且>0時，設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），則中點M（x0，y0）， y0=kx0+b= M在O上 x02+y02=1 (1+kb)2+(k+b)2=(1-k2)2 由得： 或 l：或法二：設(shè)M（x0，y0），則切線AB方程x0x+y0y=1當y0=0時，x0=±1，顯然只有x=-1滿足；當y00時，代入(x-1)2-y2=1得：(y02-x02)x2+2(x0-y0)2x-1=0 y02+x02=1 可進一步化簡方程為：(1-2x02)x2+2(x02+x0-1)x-1=0由中點坐標公式及韋達定理得：即2x03-x02-2x0+1=0解之得

11、：x0=±1(舍)，x0= y0=。下略評注：不管是設(shè)定何種參數(shù)，都必須將形的兩個條件（“相切”和“中點”）轉(zhuǎn)化為關(guān)于參數(shù)的方程組，所以提高閱讀能力，準確領(lǐng)會題意，抓住關(guān)鍵信息是基礎(chǔ)而又重要的一步。例5、A、B是拋物線y2=2px（p>0）上的兩點，且OAOB，（1） 求A、B兩點的橫坐標之積和縱坐標之積；（2） 求證：直線AB過定點；（3） 求弦AB中點P的軌跡方程；（4） 求AOB面積的最小值；（5） O在AB上的射影M軌跡方程。 解題思路分析： 設(shè)A（x1,y1），B（x2,y2），中點P（x0,y0）（1） OAOB kOAkOB=-1 x1x2+y1y2=0 y12=

12、2px1，y22=2px2 y10，y20 y1y2=-4p2 x1x2=4p2 （2） y12=2px1，y22=2px2 （y1-y2）(y1+y2)=2p(x1-x2) 直線AB： AB過定點（2p，0），設(shè)M（2p，0） （3）設(shè)OAy=kx，代入y2=2px得：x=0，x= A（）同理，以代k得B（2pk2，-2pk） 即y02=px0-2p2 中點M軌跡方程y2=px-2p2 （4） 當且僅當|y1|=|y2|=2p時，等號成立 評注：充分利用（1）的結(jié)論。 （5）法一：設(shè)H（x3,y3），則 AB：即代入y2=2p得由（1）知，y1y2=-4p2 整理得：x32+y32-2px3

13、=0 點H軌跡方程為x2+y2-4x=0（去掉（0，0）法二： OHM=900，又由（2）知OM為定線段 H在以O(shè)M為直徑的圓上 點H軌跡方程為(x-p)2+y2=p2，去掉（0，0）例6、設(shè)雙曲線上兩點A、B，AB中點M（1，2）（1） 求直線AB方程； （2）如果線段AB的垂直平分線與雙曲線交于C、D兩點，那么A、B、C、D是否共圓，為什么？解題思路分析：（1） 法一：顯然AB斜率存在 設(shè)AB：y-2=k(x-1) 由得：(2-k2)x2-2k(2-k)x-k2+4k-6=0 當>0時，設(shè)A（x1,y1），B（x2,y2） 則 k=1，滿足>0 直線AB：y=x+1 法二：設(shè)A

14、（x1,y1），B（x2,y2） 則 兩式相減得：(x1-x2)(x1+x2)=(y1-y2)(y1+y2) x1x2 AB：y=x+1 代入得：>0 評注：法一為韋達定理法，法二稱為點差法，當涉及到弦的中點時，常用這兩種途徑處理。在利用點差法時，必須檢驗條件>0是否成立。 （2）此類探索性命題通?？隙M足條件的結(jié)論存在，然后求出該結(jié)論，并檢驗是否滿足所有條件。本題應著重分析圓的幾何性質(zhì)，以定圓心和定半徑這兩定為中心設(shè)A、B、C、D共圓于OM，因AB為弦，故M在AB垂直平分線即CD上；又CD為弦，故圓心M為CD中點。因此只需證CD中點M滿足|MA|=|MB|=|MC|=|MD|由得

15、：A（-1，0），B（3，4）又CD方程：y=-x+3由得：x2+6x-11=0設(shè)C（x3,y3），D（x4,y4），CD中點M（x0,y0）則 M（-3，6） |MC|=|MD|=|CD|=又|MA|=|MB|= |MA|=|MB|=|MC|=|MD| A、B、C、D在以CD中點，M（-3，6）為圓心，為半徑的圓上評注：充分分析平面圖形的幾何性質(zhì)可以使解題思路更清晰，在復習中必須引起足夠重視。五、同步練習（一） 選擇題1、 方程表示的曲線是A、 橢圓 B、雙曲線 C、拋物線 D、不能確定2、把橢圓繞它的左焦點順時針方向旋轉(zhuǎn)，則所得新橢圓的準線方程是 A、 B、 C、 D、3、方程的曲線形狀是

16、A、圓 B、直線 C、圓或直線 D、圓或兩射線 4、F1、F2是橢圓（a>b>0）的兩焦點，過F1的弦AB與F2組成等腰直角三角形ABF2，其中BAF2=900，則橢圓的離心率是A、 B、 C、 D、 5、若方程表示焦點在y軸上的雙曲線，則它的半焦距C的取值范圍是A、（0，1） B、（1，2） C、（1，+） D、與m有關(guān)6、以拋物線y2=2px（p>0）的焦半徑|PF|為直徑的圓與y軸位置關(guān)系是A、相交 B、相切 C、相離 D、以上三種均有可能 7、直線y=kx-2交拋物線y2=8x于A、B兩點，若AB中點橫坐標為2，則|AB|為A、 B、 C、 D、8、已知圓x2+y2=

17、1，點A（1，0），ABC內(nèi)接于圓，BAC=600，當BC在圓上運動時，BC中點的軌跡方程是A、x2+y2= B、x2+y2= C、x2+y2= D、x2+y2=填空題9、已知A（4，0），B（2，2）是橢圓內(nèi)的點，M是橢圓上的動點，則|MA|+|MB|的最大值是_。10、橢圓的離心率為，則a=_。11、高5米和3m的旗竿在水平地面上，如果把兩旗竿底部的坐標分別定為A（-5，0），B（5，0），則地面上桿頂仰角相等的點的軌跡是_。12、若x，yR,且3x2+2y2=6，則x2+y2最大值是_，最小值是_。13、拋物線y2=2x上到直線x-y+3=0距離最短的點的坐標為_。 （三）解答題14、求

18、以達原點與圓x2+y2-4x+3=0相切的兩直線為漸近線且過橢圓4x2+y2=4兩焦點的雙曲線方程。15、已知P（x，y）為平面上的動點且x0，若P到y(tǒng)軸距離比到點（1，0）距離小1（1） 求點P軌跡C的方程； （2）設(shè)過M（m，0）的直線交雙曲線C于A、B兩點，問是否存在這樣的m，使得以線段AB為直徑的圓恒過原點。16、設(shè)拋物線y2=4ax（a>0）的焦點為A，以B（a+4，0）為圓心，|BA|為半徑，在x軸上方畫圓，設(shè)拋物線與半圓交于不同兩點M、N，點P是MN中點（1） 求|AM|+|AN|的值； （2）是否存在這樣的實數(shù)a，恰使|AM|，|AP|，|AN|成等差數(shù)列？若存在，求出a；若不存在，說明理由。17、 設(shè)橢圓中心為0，一個焦點F（0，1），長軸和短軸長度之比為t（1） 求橢圓方程； （2）設(shè)過原點且斜率為t的直線與橢圓在y軸右邊