上的一致收斂性Chap10課件

Chap10

函數(shù)列與函數(shù)項級數(shù)Chap10函數(shù)列與函數(shù)項級數(shù)

Chap10―1

一致收斂性Chap10―1一致收斂性一、基本問題對函數(shù)列{fn(x)},xX.若{fn(x0)}收斂,則稱x0為收斂點否則稱之為發(fā)散點.收斂點的全體D稱為收斂域.定義1設(shè){fn(x)}的收斂域為D,且xD:則稱{fn(x)}在D上(點態(tài))收斂,f(x)稱為極限函數(shù),記為一、基本問題對函數(shù)列{fn(x)},xX.若{fn(x－N敘述：定義2設(shè){un(x)}為函數(shù)列,

稱為函數(shù)項級數(shù).稱為其部分和函數(shù).若則稱在D上(點態(tài))收斂.S(x)稱為和函數(shù)，記為即－N敘述：定義2設(shè){un(x)}為函數(shù)列,稱為函

問題

極限函數(shù)f(x)(和函數(shù)S(x))

能否保持fn(x)

(un(x))的“連續(xù)性、可導(dǎo)性、可積性”等分析性質(zhì)？例1考察函數(shù)列的極限函數(shù)在[0,1]上的連續(xù)性.例2設(shè)考察其極限函數(shù)的導(dǎo)數(shù)及導(dǎo)數(shù)函數(shù)列的極限函數(shù).例3設(shè)考察其極限函數(shù)的積分及其積分的極限.問題極限函數(shù)f(x)(和函數(shù)S(x))能否保持二、一致收斂定義3設(shè){fn(x)}為函數(shù)列,

若存在f(x)使則稱{fn(x)}在D上一致收斂于f(x),記為

若則D1D:

若則反之不然.二、一致收斂定義3設(shè){fn(x)}為函數(shù)列,若存在f

fn(x)在D上不一致收斂的肯定敘述:不一致收斂判別法：

或者{fn(x)}在D上不點態(tài)收斂；

或者雖但{fn(x)}不一致收斂于f(x),即fn(x)在D上不一致收斂的肯定敘述:不一致收斂判別法：例4說明在(0,+)上不一致收斂.例5討論在D上的一致收斂性.(1)D=[1,+);(2)D=[0,1].例4說明在(0,+)上不一致收斂.例5討論在D上的三、一致收斂的判別定理(Cauchy一致收斂準(zhǔn)則)

{fn(x)}在D上一致收斂

思考在D上一致收斂的Cauchy準(zhǔn)則？

結(jié)論若在D上一致收斂，則有三、一致收斂的判別定理(Cauchy一致收斂準(zhǔn)則){fn定理(確界極限)定理(點列極限)例6討論在[0,+)上的一致收斂性.注極限函數(shù)(和函數(shù))難確定,常用Cauchy準(zhǔn)則!極限函數(shù)(和函數(shù))易計算,常用定義或確界極限！常用點列極限判斷不一致收斂！定理(確界極限)定理(點列極限)例6討論在[0,+命題設(shè)un(x)

C[a,b],且在(a,b)內(nèi)一致收斂,則在[a,b]上收斂，且思考函數(shù)列的對應(yīng)形式？一致收斂.例7證明函數(shù)項級數(shù)在(1,+)上收斂,但不一致收斂.命題設(shè)un(x)C[a,b],且在(a,b)內(nèi)一定義4

設(shè)D為區(qū)間,若對閉區(qū)間I

D,{fn(x)}總在I上一致收斂,則稱{fn(x)}在D上內(nèi)閉一致收斂.結(jié)論設(shè){fn(x)}在(a,b)內(nèi)閉一致收斂,則{fn(x)}在(a,b)點態(tài)收斂.又問{fn(x)}在(a,b)必定一致收斂嗎？例8考察在(0,1)的一致收斂性和內(nèi)閉一致收斂性.四、內(nèi)閉一致收斂定義4設(shè)D為區(qū)間,若對閉區(qū)間ID,{fn(x

Chap10―2一致收斂性判別法Chap10―2一致收斂性判別法定理(WeierstrassM-判別法)

設(shè)nN,xD:且收斂,則在D上一致收斂

優(yōu)級數(shù)：

絕對一致收斂：一致收斂！例1判斷在[0,1]上的一致收斂性定理(WeierstrassM-判別法)設(shè)nN,定理(A-D判別法)設(shè){un(x)},{vn(x)}滿足下列兩組條件之一：則在D上一致收斂.(Abel)xD,{vn(x)}單調(diào),且在D上一致有界,(Dirichlet)在D上一致收斂;xD,{vn(x)}單調(diào),且在D上一致趨于0,的{Sn(x)}在D上一致有界.定理(A-D判別法)設(shè){un(x)},{vn(x)}滿足下例2判斷在[0,1]上的一致收斂性例3判斷在[0,+)上的一致收斂性例2判斷在[0,1]上的一致收斂性例3判斷在[0,

Chap10―3一致收斂函數(shù)列、函數(shù)項級數(shù)的性質(zhì)Chap10―3一致收斂函數(shù)列、函數(shù)項定理(連續(xù)性)設(shè)fn(x)C(D),且,則f(x)C(D).

等價形式

函數(shù)項級數(shù)若un(x)C(D),且一致收斂(或內(nèi)閉一致收斂)于S(x),則S(x)C(D).

逆否命題若fn(x)C(D),且,但,則{fn(x)}在D上不一致收斂.定理(連續(xù)性)設(shè)fn(x)C(D),且,則f(例1討論在R上的一致收斂性

思考在fn(x)C(D)的前提下,逆命題成立否？

反例考察在[0,1]上的情形.例1討論在R上的一致收斂性思考在fn(x)C(D定理(積分號下取極限)設(shè)fn(x)C[a,b],且,則

注用到連續(xù)性定理:f

C[a,b],從而fR[a,b]！推論(逐項可積性)設(shè)un(x)C[a,b],且在[a,b]上一致收斂,則定理(積分號下取極限)設(shè)fn(x)C[a,b],且定理(微分號下取極限)設(shè)fn(x)C[a,b],且{fn(x)}一致收斂,則f(x)C[a,b],又推論(逐項可微性)設(shè)滿足：(2)un(x)C[a,b]；在[a,b]上一致收斂.則S(x)C[a,b]定理(微分號下取極限)設(shè)fn(x)C[a,b],例4設(shè)(1)求f(x)的定義域D;(2)證明在D上不一致收斂;(3)證明f(x)C(D);(4)證明在D內(nèi)可逐項求導(dǎo),且導(dǎo)函數(shù)連續(xù).在(1,+)上收斂,但不一致收斂.例3已證現(xiàn)記其和函數(shù)為f(x),證明:fC(1,+).例4設(shè)(1)求f(x)的定義域D;(2)證明

Chap10小結(jié)Chap10小結(jié)一、一致收斂判別法

定義法Cauchy一致收斂準(zhǔn)則

確界極限一、一致收斂判別法定義法Cauchy一致收斂準(zhǔn)則確界極

命題設(shè)fn(x)C[a,b],且則WeierstrassM判別法(函數(shù)項級數(shù))且收斂一致收斂AD判別法(函數(shù)項級數(shù))在(a,b)內(nèi)一致收斂,在[a,b]上一致收斂.命題設(shè)fn(x)C[a,b],且則Weiers二、不一致收斂判別法

結(jié)論不點態(tài)收斂不一致收斂Cauchy不一致收斂準(zhǔn)則

點列極限二、不一致收斂判別法結(jié)論不點態(tài)收斂不一致收斂Cau

命題設(shè)un(x)C[a,b),且發(fā)散,則

一致收斂的必要條件不一致收斂

連續(xù)性定理逆否命題在(a,b)內(nèi)不一致收斂.fn(x)C(D),且f(x)C(D)命題設(shè)un(x)C[a,b),且發(fā)散,則一致

Chap10

函數(shù)列與函數(shù)項級數(shù)Chap10函數(shù)列與函數(shù)項級數(shù)

Chap10―1

一致收斂性Chap10―1一致收斂性一、基本問題對函數(shù)列{fn(x)},xX.若{fn(x0)}收斂,則稱x0為收斂點否則稱之為發(fā)散點.收斂點的全體D稱為收斂域.定義1設(shè){fn(x)}的收斂域為D,且xD:則稱{fn(x)}在D上(點態(tài))收斂,f(x)稱為極限函數(shù),記為一、基本問題對函數(shù)列{fn(x)},xX.若{fn(x－N敘述：定義2設(shè){un(x)}為函數(shù)列,

稱為函數(shù)項級數(shù).稱為其部分和函數(shù).若則稱在D上(點態(tài))收斂.S(x)稱為和函數(shù)，記為即－N敘述：定義2設(shè){un(x)}為函數(shù)列,稱為函

問題

極限函數(shù)f(x)(和函數(shù)S(x))

能否保持fn(x)

(un(x))的“連續(xù)性、可導(dǎo)性、可積性”等分析性質(zhì)？例1考察函數(shù)列的極限函數(shù)在[0,1]上的連續(xù)性.例2設(shè)考察其極限函數(shù)的導(dǎo)數(shù)及導(dǎo)數(shù)函數(shù)列的極限函數(shù).例3設(shè)考察其極限函數(shù)的積分及其積分的極限.問題極限函數(shù)f(x)(和函數(shù)S(x))能否保持二、一致收斂定義3設(shè){fn(x)}為函數(shù)列,

若存在f(x)使則稱{fn(x)}在D上一致收斂于f(x),記為

若則D1D:

若則反之不然.二、一致收斂定義3設(shè){fn(x)}為函數(shù)列,若存在f

fn(x)在D上不一致收斂的肯定敘述:不一致收斂判別法：

或者{fn(x)}在D上不點態(tài)收斂；

或者雖但{fn(x)}不一致收斂于f(x),即fn(x)在D上不一致收斂的肯定敘述:不一致收斂判別法：例4說明在(0,+)上不一致收斂.例5討論在D上的一致收斂性.(1)D=[1,+);(2)D=[0,1].例4說明在(0,+)上不一致收斂.例5討論在D上的三、一致收斂的判別定理(Cauchy一致收斂準(zhǔn)則)

{fn(x)}在D上一致收斂

思考在D上一致收斂的Cauchy準(zhǔn)則？

結(jié)論若在D上一致收斂，則有三、一致收斂的判別定理(Cauchy一致收斂準(zhǔn)則){fn定理(確界極限)定理(點列極限)例6討論在[0,+)上的一致收斂性.注極限函數(shù)(和函數(shù))難確定,常用Cauchy準(zhǔn)則!極限函數(shù)(和函數(shù))易計算,常用定義或確界極限！常用點列極限判斷不一致收斂！定理(確界極限)定理(點列極限)例6討論在[0,+命題設(shè)un(x)

C[a,b],且在(a,b)內(nèi)一致收斂,則在[a,b]上收斂，且思考函數(shù)列的對應(yīng)形式？一致收斂.例7證明函數(shù)項級數(shù)在(1,+)上收斂,但不一致收斂.命題設(shè)un(x)C[a,b],且在(a,b)內(nèi)一定義4

設(shè)D為區(qū)間,若對閉區(qū)間I

D,{fn(x)}總在I上一致收斂,則稱{fn(x)}在D上內(nèi)閉一致收斂.結(jié)論設(shè){fn(x)}在(a,b)內(nèi)閉一致收斂,則{fn(x)}在(a,b)點態(tài)收斂.又問{fn(x)}在(a,b)必定一致收斂嗎？例8考察在(0,1)的一致收斂性和內(nèi)閉一致收斂性.四、內(nèi)閉一致收斂定義4設(shè)D為區(qū)間,若對閉區(qū)間ID,{fn(x

Chap10―2一致收斂性判別法Chap10―2一致收斂性判別法定理(WeierstrassM-判別法)

設(shè)nN,xD:且收斂,則在D上一致收斂

優(yōu)級數(shù)：

絕對一致收斂：一致收斂！例1判斷在[0,1]上的一致收斂性定理(WeierstrassM-判別法)設(shè)nN,定理(A-D判別法)設(shè){un(x)},{vn(x)}滿足下列兩組條件之一：則在D上一致收斂.(Abel)xD,{vn(x)}單調(diào),且在D上一致有界,(Dirichlet)在D上一致收斂;xD,{vn(x)}單調(diào),且在D上一致趨于0,的{Sn(x)}在D上一致有界.定理(A-D判別法)設(shè){un(x)},{vn(x)}滿足下例2判斷在[0,1]上的一致收斂性例3判斷在[0,+)上的一致收斂性例2判斷在[0,1]上的一致收斂性例3判斷在[0,

Chap10―3一致收斂函數(shù)列、函數(shù)項級數(shù)的性質(zhì)Chap10―3一致收斂函數(shù)列、函數(shù)項定理(連續(xù)性)設(shè)fn(x)C(D),且,則f(x)C(D).

等價形式

函數(shù)項級數(shù)若un(x)C(D),且一致收斂(或內(nèi)閉一致收斂)于S(x),則S(x)C(D).

逆否命題若fn(x)C(D),且,但,則{fn(x)}在D上不一致收斂.定理(連續(xù)性)設(shè)fn(x)C(D),且,則f(例1討論在R上的一致收斂性

思考在fn(x)C(D)的前提下,逆命題成立否？

反例考察在[0,1]上的情形.例1討論在R上的一致收斂性思考在fn(x)C(D定理(積分號下取極限)設(shè)fn(x)C[a,b],且,則

注用到連續(xù)性定理:f

C[a,b],從而fR[a,b]！推論(逐項可積性)設(shè)un(x)C[a,b],且在[a,b]上一致收斂,則定理(積分號下取極限)設(shè)fn(x)C[a,b],且定理(微分號下取極限)設(shè)fn(x)C[a,b],且{fn(x)}一致收斂,則f(x)C[a,b],又推論(逐項可微性)設(shè)滿足：(2)un(x)C[a,b]；在[a,b]上一致收斂.