二次函數(shù)求最值動(dòng)軸定區(qū)間動(dòng)區(qū)間定軸課件

二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值問題動(dòng)軸定區(qū)間、動(dòng)區(qū)間定軸二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值問題1練習(xí)：已知函數(shù)f(x)=x2–2x–3（1）若x∈[–2，0]，求函數(shù)f(x)的最值；（2）若x∈[2，4]，求函數(shù)f(x)的最值；（3）若x∈[]，求函數(shù)f(x)的最值；

（4）若x∈[]，求函數(shù)f(x)的最值；練習(xí)：已知函數(shù)f(x)=x2–2x–3（4）若x∈2練習(xí)：已知函數(shù)f(x)=x2–2x–3.（1）若x∈[–2，0],求函數(shù)f(x)的最值；解：畫出函數(shù)在定義域內(nèi)的圖像如圖對稱軸為直線x=1由圖知，y=f(x)在[–2，0]上為減函數(shù)故x=-2時(shí)有最大值f(-2)=5x=0時(shí)有最小值f(0)=-3練習(xí)：已知函數(shù)f(x)=x2–2x–3.解：畫出函數(shù)在定3例1、已知函數(shù)f(x)=x2–2x–3.（1）若x∈[–2，0]，求函數(shù)f(x)的最值；（2）若x∈[2，4]，求函數(shù)f(x)的最值；解：畫出函數(shù)在定義域內(nèi)的圖像如圖對稱軸為直線x=1由圖知，y=f(x)在[2，4]上為增函數(shù)故x=4時(shí)有最大值f(4)=5x=2時(shí)有最小值f(2)=-3例1、已知函數(shù)f(x)=x2–2x–3.（2）若x∈4例1、已知函數(shù)f(x)=x2–2x–3.（1）若x∈[–2，0]，求函數(shù)f(x)的最值；（2）若x∈[2，4]，求函數(shù)f(x)的最值；

（3）若x∈[],求函數(shù)f(x)的最值；解：畫出函數(shù)在定義域內(nèi)的圖像如圖對稱軸為直線x=1,由圖知，x=時(shí)有最大值

x=1時(shí)有最小值f(1)=-4例1、已知函數(shù)f(x)=x2–2x–3.（3）若x5例1、已知函數(shù)f(x)=x2–2x–3（1）若x∈[–2，0]，求函數(shù)f(x)的最值；（2）若x∈[2，4]，求函數(shù)f(x)的最值；（3）若x∈[]，求函數(shù)f(x)的最值；

（4）若x∈[]，求函數(shù)f(x)的最值；解：畫出函數(shù)在定義域內(nèi)的圖像如圖對稱軸為直線x=1,由圖知，x=時(shí)有最大值x=1時(shí)有最小值f(1)=-4例1、已知函數(shù)f(x)=x2–2x–3（4）若x∈6例1、已知函數(shù)f(x)=x2–2x–3

（4）x∈[]（1）x∈[–2，0]（2）x∈[2，4]（3）x∈[]思考：通過以上幾題，你發(fā)現(xiàn)二次函數(shù)在區(qū)間[m，n]上的最值通常在哪里取到？例1、已知函數(shù)f(x)=x2–2x–3（4）x∈[7總結(jié)：求二次函數(shù)f(x)=ax2+bx+c在[m，n]上上的最值或值域的一般方法是：

（2）當(dāng)x0∈[m，n]時(shí)，f(m)、f(n)、f(x0）中的較大者是最大值,較小者是最小值；

（1）檢查x0=

是否屬于[m，n]；（3）當(dāng)x0[m，n]時(shí)，f(m)、f(n)中的較大者是最大值，較小者是最小值.總結(jié)：求二次函數(shù)f(x)=ax2+bx+c在[m，n]上（28

思考：如何求函數(shù)y=x2-2x-3在x∈[k,k+2]時(shí)的最值?解析:

因?yàn)楹瘮?shù)y=x2-2x-3=(x-1)2-4的對稱軸為x=1固定不變,要求函數(shù)的最值,即要看區(qū)間[k,k+2]與對稱軸x=1的位置,則從以下幾個(gè)方面解決如圖:思考：如何求函數(shù)y=x2-2x-3在x∈[k,k+2]時(shí)9

例:求函數(shù)y=x2-2x-3在x∈[k,k+2]時(shí)的最值例:求函數(shù)y=x2-2x-3在x∈[k,k+2]時(shí)的最10

當(dāng)k+2≤1即k≤-1時(shí)

f(x)min=f(k+2)=（k+2)2-2(k+2)-3=k2+2k-3f(x)max=f(k)=k2-2k-3當(dāng)k+2≤1即k≤-1時(shí)f(x)min=f(k+211

當(dāng)k＜1＜k+2時(shí)即-1＜k＜1時(shí)f(x)min=f(1)=-4當(dāng)f(k)>f(k+2)時(shí)，即k2-2k-3>k2+2k-3即-1<k<0時(shí)f(x)max=f(k)=k2-2k-3當(dāng)f(k)≤f(k+2)時(shí)，即k2-2k-3≤k2+2k-3即0≤

k<1時(shí)f(x)max=f(k+2)=（k+2)2-2(k+2)-3=k2+2k-3當(dāng)k＜1＜k+2時(shí)即-1＜k＜1時(shí)f(12

當(dāng)k≥1時(shí)f(x)max=f(k+2)=k2+2k-3f(x)min=f(k)=k2-2k-3當(dāng)k≥1時(shí)f(x)max=f(k+2)=13

例:求函數(shù)y=x2-2x-3在x∈[k,k+2]時(shí)的最值

當(dāng)k≤-1時(shí)

當(dāng)-1<k<0時(shí)

f(x)max=f(k)=k2-2k-3當(dāng)0≤k<1時(shí)f(x)max=f(k+2)=k2+2k-3f(x)min=f(1)=-4f(x)min=f(1)=-4f(x)min=f(k+2)=k2+2k-3f(x)max=f(k)=k2-2k-3

當(dāng)k≥1時(shí)f(x)max=f(k+2)=k2+2k-3f(x)min=f(k)=k2-2k-3例:求函數(shù)y=x2-2x-3在x∈[k,k+2]時(shí)的最14

例:求函數(shù)y=x2-2x-3在x∈[k,k+2]時(shí)的最值評注：例1屬于“軸定區(qū)間動(dòng)”的問題，看作動(dòng)區(qū)間沿x軸移動(dòng)的過程中，函數(shù)最值的變化，即動(dòng)區(qū)間在定軸的左、右兩側(cè)及包含定軸的變化，要注意開口方向及端點(diǎn)情況。例:求函數(shù)y=x2-2x-3在x∈[k,k+2]時(shí)的最15例2：若x∈，求函數(shù)

y=x2+ax+3的最小值：O1xy-1例2：若x∈16例2：若x∈，求函數(shù)

y=x2+ax+3的最小值：-11Oxy例2：若x∈17例2：若x∈，求函數(shù)

y=x2+ax+3的最小值：-11Oxy例2：若x∈18例2：若x∈，求函數(shù)

y=x2+ax+3的最小值：Oxy1-1⑴當(dāng)即a≥2時(shí)y的最小值為f(-1)=4-a解：例2：若x∈19例3：若x∈，求函數(shù)

y=x2+ax+3的最小值：Oxy1-1(2)當(dāng)即-2≤a<2時(shí)y的最小值為f()=121￡-<-a例3：若x∈20例2：若x∈，求函數(shù)

y=x2+ax+3的最小值：Oxy1-1(3)當(dāng)即a<-2時(shí)y的最小值為f(1)=4+a函數(shù)在[-1,1]上是減函數(shù)例2：若x∈21例2：若x∈，求函數(shù)

y=x2+ax+3的最小值：Oxy1-1Oxy1-1Oxy1-1當(dāng)a<-2時(shí)f(x)min=f(1)=4+a當(dāng)-2≤a<2時(shí)當(dāng)a≥2時(shí)f(x)min=f(-1)=4-a例2：若x∈22例2：若x∈，求函數(shù)

y=x2+ax+3的最小值：Oxy1-1Oxy1-1Oxy1-1評注：例2屬于“軸動(dòng)區(qū)間定”的問題，看作對稱軸沿x軸移動(dòng)的過程中,函數(shù)最值的變化,即對稱軸在定區(qū)間的左、右兩側(cè)及對稱軸在定區(qū)間上變化情況,要注意開口方向及端點(diǎn)情況。例2：若x∈232練習(xí):已知x2+2x+a≥4在x∈

[0，2]上恒成立，求a的值。-1Oxy解:令f(x)=x2+2x+a它的對稱軸為x=－1，∴f(x)在[0，2]上單調(diào)遞增，∴f(x)的最小值為f(0)=a，即a≥42練習(xí):已知x2+2x+a≥4在x∈[0，2]上恒成立，求241.已知y=－x2+ax+3，x∈[－1,1]，求y的最大值xO1-1y練一練1.已知y=－x2+ax+3，x∈[－1,1]，xO1-125課堂小結(jié)

1.閉區(qū)間上的二次函數(shù)的最值問題求法2.含參數(shù)的二次函數(shù)最值問題：軸動(dòng)區(qū)間定軸定區(qū)間動(dòng)核心：區(qū)間與對稱軸的相對位置注意數(shù)形結(jié)合和分類討論課堂小結(jié)1.閉區(qū)間上的二次函數(shù)的最值問題求核心：26變式:已知函數(shù)y=x2+2x+2,,函數(shù)的值域?yàn)?，求m的范圍。變式:已知函數(shù)y=x2+2x+2,27已知函數(shù)當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的最大值.練習(xí)：已知函數(shù)當(dāng)28

31xy20X=aX=a31xy2031xy2X=a0031xy2X=a

31xy20X=aX=a31xy2031xy2X=a00329綜上可知：X=a31xy2031xy2X=a0綜上可知：X=a31xy2031xy2X=a030

問題三：設(shè)函數(shù)f(x)=x2-2x+2在區(qū)間[t，t+1]上的最小值為g(t)，求g(t)的解析式。 解：f(x)=(x-1)2+1，對稱軸為x=1

(2)當(dāng)0≤t≤1時(shí)，則g(t)=f(1)=1;

(1)當(dāng)t>1時(shí)，則g(t)=f(t)=t2-2t+1;

(3)當(dāng)t+1<1，即t<0時(shí)，則g(t)=f(t+1)=t2+1;t2-2t+2;(0≤t≤1)g(t)=(t<0)t2+1;1;(t>1)問題三：設(shè)函數(shù)f(x)=x2-2x31思考：二次函數(shù)f(x)=x2-2x-3在[-3,a](a>-3)上的最值是多少？yxo1-3a

fmin=f(a)=a2-2a-3fmax=f(-3)=12思考：二次函數(shù)f(x)=x2-2x-3在[-3,a](32yx

o1-3a5yx

o1-35af(x)=x2-2x-3,x∈[-3,a](a>-3)fmin=f(1)=-4fmax=f(-3)=12fmin=f(1)=-4fmax=f(a)=a2-2a-3yxo1-3a5yxo1-35af(x)=x233例題講解：

例1設(shè)函數(shù)f(x)=x2-2x-3.3在區(qū)間[t，t+1]上的最小值為g(t)，求g(t)的解析式。分析

解：f(x)=(x-1)2-4.3，對稱軸為x=1

(2)當(dāng)0≤t≤1時(shí)，則g(t)=f(1)=-4.3;

(1)當(dāng)t>1時(shí)，則g(t)=f(t)=t2-2t-3.3;

(3)當(dāng)t+1<1，即t<0時(shí)，則g(t)=f(t+1)=t2-4.3;t2-2t-3.3;(0≤t≤1)g(t)=(t<0)t2-4.3;-4.3;(t>1)例題講解：例1設(shè)函數(shù)f(x)=x234

例2求f(x)=x2-ax+a在區(qū)間[-1，1]上的最值。分析解：f(x)=(x-)2+a-，對稱軸為x=

(1)若，即a≤-2時(shí)，f(x)min=f(-1)=1+2a，f(x)max=f(1)=1;

(4)若,即a≥2時(shí)，f(x)min=f(1)=1，f(x)max=f(-1)=1+2a;

(2)若-1<<0,即-2<a<0時(shí)，f(x)min=f()=a-a2/4，f(x)max=f(1)=1;

(3)若0≤<1,即0≤a<2時(shí)，f(x)min=f()=a-a2/4，f(x)max=f(-1)=1+2a;例2求f(x)=x2-ax+a在區(qū)35解析：因?yàn)楹瘮?shù)y=x2+2ax+3=（x+a)2+3-a2的對稱軸為x=-a。要求最值則要看x=-a是否在區(qū)間[-2，2]之內(nèi)，則從以下幾個(gè)方面解決如圖：例3：求函數(shù)y=x2+2ax+3在x[-2,2]時(shí)的最值？解析：因?yàn)楹瘮?shù)y=x2+2ax+3=（x+a)2+3-a236二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值問題動(dòng)軸定區(qū)間、動(dòng)區(qū)間定軸二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值問題37練習(xí)：已知函數(shù)f(x)=x2–2x–3（1）若x∈[–2，0]，求函數(shù)f(x)的最值；（2）若x∈[2，4]，求函數(shù)f(x)的最值；（3）若x∈[]，求函數(shù)f(x)的最值；

（4）若x∈[]，求函數(shù)f(x)的最值；練習(xí)：已知函數(shù)f(x)=x2–2x–3（4）若x∈38練習(xí)：已知函數(shù)f(x)=x2–2x–3.（1）若x∈[–2，0],求函數(shù)f(x)的最值；解：畫出函數(shù)在定義域內(nèi)的圖像如圖對稱軸為直線x=1由圖知，y=f(x)在[–2，0]上為減函數(shù)故x=-2時(shí)有最大值f(-2)=5x=0時(shí)有最小值f(0)=-3練習(xí)：已知函數(shù)f(x)=x2–2x–3.解：畫出函數(shù)在定39例1、已知函數(shù)f(x)=x2–2x–3.（1）若x∈[–2，0]，求函數(shù)f(x)的最值；（2）若x∈[2，4]，求函數(shù)f(x)的最值；解：畫出函數(shù)在定義域內(nèi)的圖像如圖對稱軸為直線x=1由圖知，y=f(x)在[2，4]上為增函數(shù)故x=4時(shí)有最大值f(4)=5x=2時(shí)有最小值f(2)=-3例1、已知函數(shù)f(x)=x2–2x–3.（2）若x∈40例1、已知函數(shù)f(x)=x2–2x–3.（1）若x∈[–2，0]，求函數(shù)f(x)的最值；（2）若x∈[2，4]，求函數(shù)f(x)的最值；

（3）若x∈[],求函數(shù)f(x)的最值；解：畫出函數(shù)在定義域內(nèi)的圖像如圖對稱軸為直線x=1,由圖知，x=時(shí)有最大值

x=1時(shí)有最小值f(1)=-4例1、已知函數(shù)f(x)=x2–2x–3.（3）若x41例1、已知函數(shù)f(x)=x2–2x–3（1）若x∈[–2，0]，求函數(shù)f(x)的最值；（2）若x∈[2，4]，求函數(shù)f(x)的最值；（3）若x∈[]，求函數(shù)f(x)的最值；

（4）若x∈[]，求函數(shù)f(x)的最值；解：畫出函數(shù)在定義域內(nèi)的圖像如圖對稱軸為直線x=1,由圖知，x=時(shí)有最大值x=1時(shí)有最小值f(1)=-4例1、已知函數(shù)f(x)=x2–2x–3（4）若x∈42例1、已知函數(shù)f(x)=x2–2x–3

（4）x∈[]（1）x∈[–2，0]（2）x∈[2，4]（3）x∈[]思考：通過以上幾題，你發(fā)現(xiàn)二次函數(shù)在區(qū)間[m，n]上的最值通常在哪里取到？例1、已知函數(shù)f(x)=x2–2x–3（4）x∈[43總結(jié)：求二次函數(shù)f(x)=ax2+bx+c在[m，n]上上的最值或值域的一般方法是：

（2）當(dāng)x0∈[m，n]時(shí)，f(m)、f(n)、f(x0）中的較大者是最大值,較小者是最小值；

（1）檢查x0=

是否屬于[m，n]；（3）當(dāng)x0[m，n]時(shí)，f(m)、f(n)中的較大者是最大值，較小者是最小值.總結(jié)：求二次函數(shù)f(x)=ax2+bx+c在[m，n]上（244

思考：如何求函數(shù)y=x2-2x-3在x∈[k,k+2]時(shí)的最值?解析:

因?yàn)楹瘮?shù)y=x2-2x-3=(x-1)2-4的對稱軸為x=1固定不變,要求函數(shù)的最值,即要看區(qū)間[k,k+2]與對稱軸x=1的位置,則從以下幾個(gè)方面解決如圖:思考：如何求函數(shù)y=x2-2x-3在x∈[k,k+2]時(shí)45

例:求函數(shù)y=x2-2x-3在x∈[k,k+2]時(shí)的最值例:求函數(shù)y=x2-2x-3在x∈[k,k+2]時(shí)的最46

當(dāng)k+2≤1即k≤-1時(shí)

f(x)min=f(k+2)=（k+2)2-2(k+2)-3=k2+2k-3f(x)max=f(k)=k2-2k-3當(dāng)k+2≤1即k≤-1時(shí)f(x)min=f(k+247

當(dāng)k＜1＜k+2時(shí)即-1＜k＜1時(shí)f(x)min=f(1)=-4當(dāng)f(k)>f(k+2)時(shí)，即k2-2k-3>k2+2k-3即-1<k<0時(shí)f(x)max=f(k)=k2-2k-3當(dāng)f(k)≤f(k+2)時(shí)，即k2-2k-3≤k2+2k-3即0≤

k<1時(shí)f(x)max=f(k+2)=（k+2)2-2(k+2)-3=k2+2k-3當(dāng)k＜1＜k+2時(shí)即-1＜k＜1時(shí)f(48

當(dāng)k≥1時(shí)f(x)max=f(k+2)=k2+2k-3f(x)min=f(k)=k2-2k-3當(dāng)k≥1時(shí)f(x)max=f(k+2)=49

例:求函數(shù)y=x2-2x-3在x∈[k,k+2]時(shí)的最值

當(dāng)k≤-1時(shí)

當(dāng)-1<k<0時(shí)

f(x)max=f(k)=k2-2k-3當(dāng)0≤k<1時(shí)f(x)max=f(k+2)=k2+2k-3f(x)min=f(1)=-4f(x)min=f(1)=-4f(x)min=f(k+2)=k2+2k-3f(x)max=f(k)=k2-2k-3

當(dāng)k≥1時(shí)f(x)max=f(k+2)=k2+2k-3f(x)min=f(k)=k2-2k-3例:求函數(shù)y=x2-2x-3在x∈[k,k+2]時(shí)的最50

例:求函數(shù)y=x2-2x-3在x∈[k,k+2]時(shí)的最值評注：例1屬于“軸定區(qū)間動(dòng)”的問題，看作動(dòng)區(qū)間沿x軸移動(dòng)的過程中，函數(shù)最值的變化，即動(dòng)區(qū)間在定軸的左、右兩側(cè)及包含定軸的變化，要注意開口方向及端點(diǎn)情況。例:求函數(shù)y=x2-2x-3在x∈[k,k+2]時(shí)的最51例2：若x∈，求函數(shù)

y=x2+ax+3的最小值：O1xy-1例2：若x∈52例2：若x∈，求函數(shù)

y=x2+ax+3的最小值：-11Oxy例2：若x∈53例2：若x∈，求函數(shù)

y=x2+ax+3的最小值：-11Oxy例2：若x∈54例2：若x∈，求函數(shù)

y=x2+ax+3的最小值：Oxy1-1⑴當(dāng)即a≥2時(shí)y的最小值為f(-1)=4-a解：例2：若x∈55例3：若x∈，求函數(shù)

y=x2+ax+3的最小值：Oxy1-1(2)當(dāng)即-2≤a<2時(shí)y的最小值為f()=121￡-<-a例3：若x∈56例2：若x∈，求函數(shù)

y=x2+ax+3的最小值：Oxy1-1(3)當(dāng)即a<-2時(shí)y的最小值為f(1)=4+a函數(shù)在[-1,1]上是減函數(shù)例2：若x∈57例2：若x∈，求函數(shù)

y=x2+ax+3的最小值：Oxy1-1Oxy1-1Oxy1-1當(dāng)a<-2時(shí)f(x)min=f(1)=4+a當(dāng)-2≤a<2時(shí)當(dāng)a≥2時(shí)f(x)min=f(-1)=4-a例2：若x∈58例2：若x∈，求函數(shù)

y=x2+ax+3的最小值：Oxy1-1Oxy1-1Oxy1-1評注：例2屬于“軸動(dòng)區(qū)間定”的問題，看作對稱軸沿x軸移動(dòng)的過程中,函數(shù)最值的變化,即對稱軸在定區(qū)間的左、右兩側(cè)及對稱軸在定區(qū)間上變化情況,要注意開口方向及端點(diǎn)情況。例2：若x∈592練習(xí):已知x2+2x+a≥4在x∈

[0，2]上恒成立，求a的值。-1Oxy解:令f(x)=x2+2x+a它的對稱軸為x=－1，∴f(x)在[0，2]上單調(diào)遞增，∴f(x)的最小值為f(0)=a，即a≥42練習(xí):已知x2+2x+a≥4在x∈[0，2]上恒成立，求601.已知y=－x2+ax+3，x∈[－1,1]，求y的最大值xO1-1y練一練1.已知y=－x2+ax+3，x∈[－1,1]，xO1-161課堂小結(jié)

1.閉區(qū)間上的二次函數(shù)的最值問題求法2.含參數(shù)的二次函數(shù)最值問題：軸動(dòng)區(qū)間定軸定區(qū)間動(dòng)核心：區(qū)間與對稱軸的相對位置注意數(shù)形結(jié)合和分類討論課堂小結(jié)1.閉區(qū)間上的二次函數(shù)的最值問題求核心：62變式:已知函數(shù)y=x2+2x+2,,函數(shù)的值域?yàn)椋髆的范圍。變式:已知函數(shù)y=x2+2x+2,63已知函數(shù)當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的最大值.練習(xí)：已知函數(shù)當(dāng)64

31xy20X=aX=a31xy2031xy2X=a0031xy2X=a

31xy20X=aX=a31xy2031xy2X=a00365綜上可知：X=a31xy2031xy2X=a0綜上可知：X=a31xy2031xy2X=a066

問題三：設(shè)函數(shù)f(x)=x2-2x+2在區(qū)間[t，t+1]上的最小值為g(t)，求g(t)的解析式。 解：f(x)=(x-1)2+1，對稱軸為x=1

(2)當(dāng)0≤t≤1時(shí)，則g(t)=f(1)=1;

(1)當(dāng)t>1時(shí)，則g(t)=f(t)=t2-2t+1;

(3)當(dāng)t+1<1，即t<0時(shí)，則g(t)=f(t+1)=t2+1;t2-2t+2;(0≤t≤1)g(t)