第三章-振動(dòng)診斷的理論基礎(chǔ)(CUMT)課件

第三章振動(dòng)診斷的理論基礎(chǔ)

§3-1機(jī)械振動(dòng)的運(yùn)動(dòng)學(xué)§3-2機(jī)械系統(tǒng)的建模基礎(chǔ)§3-3單自由度系統(tǒng)的自由振動(dòng)§3-4單自由度系統(tǒng)的強(qiáng)迫振動(dòng)1第三章振動(dòng)診斷的理論基礎(chǔ)§3-1機(jī)械振動(dòng)的運(yùn)動(dòng)學(xué)

振動(dòng)是指物體經(jīng)過它的平衡位置所作的往復(fù)運(yùn)動(dòng)或系統(tǒng)的物理量在其平均值(或平衡值)附近的來回變動(dòng)。振動(dòng)是自然界最普遍的現(xiàn)象之一。大至宇宙，小至亞原子粒子，無不存在振動(dòng)。各種形式的物理現(xiàn)象，如聲、光、熱等都包含振動(dòng)。人們生活中也離不開振動(dòng)：心臟的搏動(dòng)、耳膜和聲帶的振動(dòng)，都是人體不可缺少的功能；人的視覺靠光的刺激，而光本質(zhì)上也是一種電磁振動(dòng)；生活中不能沒有聲音和音樂，而聲音的產(chǎn)生、傳播和接收都離不開振動(dòng)。2振動(dòng)是指物體經(jīng)過它的平衡位置所作的往復(fù)運(yùn)動(dòng)2在工程技術(shù)領(lǐng)域中，振動(dòng)現(xiàn)象也比比皆是。例如，橋梁和建筑物在陣風(fēng)或地震激勵(lì)下的振動(dòng)，飛機(jī)和船舶在航行中的振動(dòng)，機(jī)床和刀具在加工時(shí)的振動(dòng)，各種動(dòng)力機(jī)械的振動(dòng)，控制系統(tǒng)中的自激振動(dòng)等。3在工程技術(shù)領(lǐng)域中，振動(dòng)現(xiàn)象也比比皆3在許多情況下，振動(dòng)被認(rèn)為是消極因素。例如，振動(dòng)會(huì)影響精密儀器設(shè)備的功能，降低加工精度，加劇構(gòu)件的疲勞和磨損，從而縮短機(jī)器和結(jié)構(gòu)物的使用壽命。振動(dòng)還可能引起結(jié)構(gòu)的大變形破壞，有的橋梁曾因振動(dòng)而坍塌；飛機(jī)機(jī)翼的顫振、機(jī)輪的抖振往往造成事故；車、船和機(jī)艙的振動(dòng)會(huì)劣化乘載條件；強(qiáng)烈的振動(dòng)噪聲會(huì)形成嚴(yán)重的公害。4在許多情況下，振動(dòng)被認(rèn)為是消極因素。4然而，振動(dòng)也有它積極的一面。振動(dòng)是通信、廣播、電視、雷達(dá)等工作的基礎(chǔ)。近幾十年以來，陸續(xù)出現(xiàn)許多利用振動(dòng)的生產(chǎn)裝備和工藝。例如，振動(dòng)傳輸、振動(dòng)篩選、振動(dòng)研磨、振動(dòng)拋光、振動(dòng)沉樁、振動(dòng)消除內(nèi)應(yīng)力等。它們極大地改善了勞動(dòng)條件，成十倍、成百倍地提高了勞動(dòng)生產(chǎn)率?？梢灶A(yù)期，隨著生產(chǎn)實(shí)賤和科學(xué)研究的不斷進(jìn)展，振動(dòng)的利用還會(huì)與日俱增。5然而，振動(dòng)也有它積極的一面。振動(dòng)是通信、廣5研究振動(dòng)問題時(shí)，一般將研究對(duì)象(如一部機(jī)器、一種結(jié)構(gòu))稱為系統(tǒng)。

機(jī)械振動(dòng)是指機(jī)械系統(tǒng)(即力學(xué)系統(tǒng))中的振動(dòng)。任何力學(xué)系統(tǒng)，只要它具有彈性和慣性，都可能發(fā)生振動(dòng)。這種力學(xué)系統(tǒng)稱為振動(dòng)系統(tǒng)。振動(dòng)系統(tǒng)可分為兩大類，離散系統(tǒng)和連續(xù)系統(tǒng)。6研究振動(dòng)問題時(shí)，一般將研究對(duì)象(如一部機(jī)6把外界對(duì)系統(tǒng)的作用或機(jī)器自身運(yùn)動(dòng)產(chǎn)生的力，稱為激勵(lì)或輸入；把機(jī)器或結(jié)構(gòu)在激勵(lì)作用下產(chǎn)生的動(dòng)態(tài)行為，稱為響應(yīng)或輸出。振動(dòng)分析(理論或?qū)嶒?yàn)分析)就是研究這三者間的相互關(guān)系。7把外界對(duì)系統(tǒng)的作用或機(jī)器自身運(yùn)動(dòng)產(chǎn)生的力，稱為激勵(lì)或輸入；7工程中常見的振動(dòng)問題A機(jī)械中的振動(dòng)問題B結(jié)構(gòu)中的振動(dòng)問題C機(jī)械加工過程中的振動(dòng)問題8工程中常見的振動(dòng)問題8

振動(dòng)診斷，就是對(duì)正在運(yùn)行的機(jī)械設(shè)備或給非工作狀態(tài)的系統(tǒng)某種激勵(lì)，測(cè)其振動(dòng)響應(yīng)，對(duì)由測(cè)量響應(yīng)得到的各種數(shù)據(jù)進(jìn)行分析處理，然后將結(jié)果與事先制訂的某一標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行比較。進(jìn)而判斷系統(tǒng)內(nèi)部結(jié)構(gòu)的破壞、裂紋、開焊、磨損、松脫及老化等各種影響系統(tǒng)正常運(yùn)行的故障。依此采取相應(yīng)的對(duì)策來消除故障，保證系統(tǒng)安全運(yùn)行。9振動(dòng)診斷，就是對(duì)正在運(yùn)行的機(jī)械設(shè)備或9第一節(jié)機(jī)械振動(dòng)的運(yùn)動(dòng)學(xué)一、機(jī)械振動(dòng)及其分類機(jī)械振動(dòng)：由于受外界條件的影響，機(jī)械系統(tǒng)將會(huì)圍繞其平衡位置作往復(fù)運(yùn)動(dòng)；是一種特殊的運(yùn)動(dòng)形式。10第一節(jié)機(jī)械振動(dòng)的運(yùn)動(dòng)學(xué)一、機(jī)械振動(dòng)及其分類10機(jī)械振動(dòng)分類：1．按對(duì)系統(tǒng)的輸入不同分類(1)自由振動(dòng)系統(tǒng)初始干擾或原有的外激振力取消后產(chǎn)生的振動(dòng)，即當(dāng)系統(tǒng)的平衡被破壞后，沒有外力作用而只靠其彈性恢復(fù)力來維持的振動(dòng)；(2)強(qiáng)迫振動(dòng)系統(tǒng)在外力作用下被迫產(chǎn)生的振動(dòng)；(3)自激振動(dòng)由于系統(tǒng)具有非振蕩性能源和反饋特性，并有能源補(bǔ)充，而產(chǎn)生的一種穩(wěn)定的周期性振動(dòng)。11機(jī)械振動(dòng)分類：112．按系統(tǒng)的輸出特性分類(1)簡(jiǎn)諧振動(dòng)振動(dòng)量的時(shí)間歷程為單一正弦或余弦函數(shù)的振動(dòng)；(2)非簡(jiǎn)諧周期振動(dòng)振動(dòng)量為時(shí)間的周期函數(shù)，而又不是簡(jiǎn)諧振動(dòng)的振動(dòng)，即簡(jiǎn)諧振動(dòng)之外的周期振動(dòng)；(3)瞬態(tài)振動(dòng)振動(dòng)量為時(shí)間的非周期函數(shù)，且通常只在一定的時(shí)間段內(nèi)發(fā)生的振動(dòng)；122．按系統(tǒng)的輸出特性分類12(4)準(zhǔn)周期振動(dòng)

(5)隨機(jī)振動(dòng)

振動(dòng)量不是時(shí)間的確定性函數(shù)

13(4)準(zhǔn)周期振動(dòng)(5)隨機(jī)振動(dòng)133．按系統(tǒng)的自由度之?dāng)?shù)目分類

(1)單自由度系統(tǒng)的振動(dòng)

(2)多自由度系統(tǒng)的振動(dòng)

(3)彈性體振動(dòng)

143．按系統(tǒng)的自由度之?dāng)?shù)目分類(1)單自由度系統(tǒng)的振動(dòng)4．按描述系統(tǒng)的微分方程分類

(2)非線性振動(dòng)

(1)線性振動(dòng)

154．按描述系統(tǒng)的微分方程分類(2)非線性振動(dòng)(1)二、機(jī)械振動(dòng)按其輸出的分類描述1.簡(jiǎn)諧振動(dòng)16二、機(jī)械振動(dòng)按其輸出的分類描述1.簡(jiǎn)諧振動(dòng)16

2、非簡(jiǎn)諧周期振動(dòng)

非簡(jiǎn)諧周期振動(dòng)，就是指除簡(jiǎn)諧振動(dòng)以外的周期振動(dòng)?？梢杂弥芷谛缘臅r(shí)間變量函數(shù)來描述，即非簡(jiǎn)諧周期振動(dòng)，可按傅里葉級(jí)數(shù)展開而分解為簡(jiǎn)諧振動(dòng)的疊加，即172、非簡(jiǎn)諧周期振動(dòng)非簡(jiǎn)諧周期振動(dòng)，就是指除簡(jiǎn)諧振動(dòng)以18183、準(zhǔn)周期振動(dòng)所謂準(zhǔn)周期振動(dòng)，也是由一些不同頻率的簡(jiǎn)諧振動(dòng)合成的振動(dòng)。193、準(zhǔn)周期振動(dòng)19圖3-5準(zhǔn)周期振動(dòng)時(shí)歷曲線及頻譜圖a－時(shí)歷曲線b－頻譜圖至少有一組fm/fn為無理數(shù)20圖3-5準(zhǔn)周期振動(dòng)時(shí)歷曲線及頻譜圖至少有一組fm/fn4、瞬態(tài)振動(dòng)瞬態(tài)振動(dòng)屬于非周期振動(dòng)，是一種只在某一確定時(shí)間段內(nèi)才發(fā)生的振動(dòng)，可以用各種脈沖函數(shù)或衰減函數(shù)描述的振動(dòng)。214、瞬態(tài)振動(dòng)215、隨機(jī)振動(dòng)隨機(jī)振動(dòng)是一種非確定性振動(dòng)，不能用精確的數(shù)學(xué)關(guān)系式描述，因?yàn)檫@種現(xiàn)象每次觀察都是不一樣的。隨機(jī)振動(dòng)雖然具有不確定性，但卻具有一定統(tǒng)計(jì)規(guī)律性。所謂統(tǒng)計(jì)規(guī)律性，就是在一定條件下多次重復(fù)某項(xiàng)實(shí)驗(yàn)或觀察某種現(xiàn)象所得結(jié)果呈現(xiàn)出的規(guī)律性。225、隨機(jī)振動(dòng)隨機(jī)振動(dòng)雖然具有不確定性，但卻具有一定統(tǒng)計(jì)規(guī)第二節(jié)機(jī)械振動(dòng)系統(tǒng)的建模基礎(chǔ)機(jī)械系統(tǒng)的振動(dòng)量(位移、速度和加速度的幅值)、頻率(或周期)、相位和頻譜等，常稱為該系統(tǒng)振動(dòng)的基本參數(shù)。影響這些基本參數(shù)的因素主要是：(1)系統(tǒng)本身結(jié)構(gòu)的動(dòng)態(tài)特性——質(zhì)量或轉(zhuǎn)動(dòng)慣量、剛度和阻尼；(2)系統(tǒng)的工作條件和外部激勵(lì)的情況。23第二節(jié)機(jī)械振動(dòng)系統(tǒng)的建?；A(chǔ)機(jī)械系統(tǒng)的振動(dòng)量(位移、速通過測(cè)量(檢測(cè)或監(jiān)測(cè))計(jì)算或模擬試驗(yàn)求得機(jī)械系統(tǒng)振動(dòng)的主要參數(shù)及本身結(jié)構(gòu)的動(dòng)態(tài)特性，是研究各種振動(dòng)問題的主要內(nèi)容。分析、計(jì)算振動(dòng)特性的一般步驟應(yīng)是：將實(shí)際機(jī)械系統(tǒng)簡(jiǎn)化為動(dòng)力學(xué)模型；計(jì)算或測(cè)定系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)特性參數(shù)；根據(jù)力學(xué)模型查表，或者建立并解出系統(tǒng)振動(dòng)的運(yùn)動(dòng)方程，從而求得所需要的振動(dòng)特性及有關(guān)參數(shù)。24通過測(cè)量(檢測(cè)或監(jiān)測(cè))計(jì)算或模擬試驗(yàn)24一、建立力學(xué)模型的前期準(zhǔn)備

1．連續(xù)系統(tǒng)的離散化詳細(xì)做法是：把彈性較小、質(zhì)量較大的構(gòu)件簡(jiǎn)化為不計(jì)彈性的集中質(zhì)量；把質(zhì)量較小、彈性較大的構(gòu)件簡(jiǎn)化為不計(jì)質(zhì)量的彈性元件；也可把構(gòu)件中阻尼特性較大的部分簡(jiǎn)化為不計(jì)質(zhì)量和彈性的阻尼元件。25一、建立力學(xué)模型的前期準(zhǔn)備1．連續(xù)系統(tǒng)的離散化252．非線性系統(tǒng)的線性化質(zhì)量、彈性(剛度)、阻尼等嚴(yán)格地說都與系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)成復(fù)雜的關(guān)系。但在一定的條件下，可將這些復(fù)雜的關(guān)系簡(jiǎn)化為線性關(guān)系，此即線性化過程。如，當(dāng)位移和速度較小時(shí)，就可以認(rèn)為彈性力與位移的一次方成正比，阻尼力與速度的一次方成正比等。262．非線性系統(tǒng)的線性化26

二振動(dòng)系統(tǒng)力學(xué)模型的三要素及自由度

彈簧、質(zhì)量、阻尼、自由度1．彈簧系統(tǒng)線性化后，振動(dòng)體受到的彈性力與其位移的一次方成正比，這就是說，若某振動(dòng)體一端受一個(gè)作用力F，則它的另一端必有一個(gè)大小與F相等，方向與之相反的力作用。力的大小與彈簧兩端點(diǎn)的相對(duì)位移成正比27二振動(dòng)系統(tǒng)力學(xué)模型的三要素及自由度彈簧、2．質(zhì)量這是表示力和加速度關(guān)系的元件。在力學(xué)模型中，它被抽象為絕對(duì)不變形的剛體。

282．質(zhì)量283．阻尼工程實(shí)際中的阻尼種類很多，在振動(dòng)、沖擊和噪聲領(lǐng)域涉及到的主要有：粘性阻尼(線性阻尼)、干摩擦阻尼(庫(kù)侖阻尼)、結(jié)構(gòu)阻尼(材料內(nèi)阻，也稱滯延阻尼)。（1）粘性阻尼粘性阻尼是一種最具代表性的理想阻尼形式，在系統(tǒng)線性化的假設(shè)前提下，粘性阻尼力與速度成正比，而方向與速度相反，即293．阻尼29

（2）干摩擦阻尼又稱庫(kù)侖阻尼，根據(jù)庫(kù)侖定律，兩干燥物體接觸面間的摩擦力為30（2）干摩擦阻尼又稱庫(kù)侖阻尼，根據(jù)庫(kù)侖定30（3）結(jié)構(gòu)阻尼結(jié)構(gòu)阻尼是由于材料的內(nèi)摩擦而產(chǎn)生，故又稱內(nèi)摩擦阻尼，簡(jiǎn)稱內(nèi)阻。31（3）結(jié)構(gòu)阻尼結(jié)構(gòu)阻尼是由于材料的內(nèi)31由材料力學(xué)的知識(shí)知道，當(dāng)我們對(duì)一種材料加載到超過其彈性極限，然后卸載，并繼續(xù)往反方向加載，再卸載。在這樣一個(gè)循環(huán)過程中，其應(yīng)力應(yīng)變曲線會(huì)形成一個(gè)滯后回線，如圖3－9所示，滯后回線所包圍的面積表示了材料在一個(gè)循環(huán)過程中釋放的能量，這部分能量將以熱能的形式逸散出去。32由材料力學(xué)的知識(shí)知道，當(dāng)我們32結(jié)構(gòu)材料實(shí)際上不是完全彈性體，在振動(dòng)過程中，也就是處在加載和卸載過程中，每個(gè)振動(dòng)周期引起一次滯后回線。大量試驗(yàn)表明，每一循環(huán)由結(jié)構(gòu)阻尼所引起的能量損失在很大一個(gè)頻率范圍內(nèi)與頻率無關(guān)，且其值為式中b——材料內(nèi)阻尼系數(shù)，又稱滯遲系數(shù)。

K——與材料尺寸、形狀和特性有關(guān)的修正系數(shù)；

A——振動(dòng)振幅；

n——振動(dòng)振幅的指數(shù)。33結(jié)構(gòu)材料實(shí)際上不是完全彈性體，在振動(dòng)過程中，

(4)等效粘性阻尼由于粘性阻尼力與速度成線性關(guān)系，而使其在處理振動(dòng)問題時(shí)比較方便，因此，當(dāng)振動(dòng)系統(tǒng)中存在非粘性阻尼(如摩擦阻尼、結(jié)構(gòu)阻尼等)時(shí)，我們通常用一個(gè)等效粘性阻尼Ce來進(jìn)行近似計(jì)算。將非粘性阻尼簡(jiǎn)化為粘性阻尼的等效原則，是使得一個(gè)周期內(nèi)兩者所消耗的能量相等。即使

We＝Wr34(4)等效粘性阻尼由于粘性阻尼力與速度34設(shè)簡(jiǎn)諧振動(dòng)表達(dá)式為則等效粘性阻尼力為而等效粘性阻尼在一個(gè)簡(jiǎn)諧振動(dòng)周期內(nèi)所作的功為由We＝Wr可得，等效粘性阻尼系數(shù)為35設(shè)簡(jiǎn)諧振動(dòng)表達(dá)式為35①干摩擦阻尼的等效粘性阻尼干摩擦力F一般可近似認(rèn)為是一個(gè)常力。它在整個(gè)強(qiáng)迫振動(dòng)過程中大小不變，但方向始終與運(yùn)動(dòng)方向相反。即在每1/4個(gè)周期內(nèi)，摩擦力作功為FA，而在一個(gè)整周期內(nèi)作功總和為

We＝4FA將其代入式，即可求得干摩擦阻尼的等效阻尼系數(shù)為36①干摩擦阻尼的等效粘性阻尼干摩擦力F一般36②流體阻尼的等效粘性阻尼當(dāng)物體以較高的速度在粘性較小的流體(包括空氣、液體)中運(yùn)動(dòng)時(shí)，物體所受的阻力與速度的平方成正比，即有可得流體阻尼在一個(gè)整周期內(nèi)所作的功為其等效粘性阻尼系數(shù)為37②流體阻尼的等效粘性阻尼當(dāng)物體以較高的37

③結(jié)構(gòu)阻尼的等效粘性阻尼由式和式得結(jié)構(gòu)阻尼的等效粘性阻尼系數(shù)為38③結(jié)構(gòu)阻尼的等效粘性阻尼由式38經(jīng)過這種等效化以后，振動(dòng)系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)微分方程中的阻尼項(xiàng)在各種阻尼情況下都為線性關(guān)系。39經(jīng)過這種等效化以后，振動(dòng)系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)微394.自由度一個(gè)自由質(zhì)點(diǎn)在空間的位置可以用三個(gè)直角坐標(biāo)來確定，故空間一自由質(zhì)點(diǎn)的自由度數(shù)為3；一個(gè)自由剛體在空間的位置可以用其上某點(diǎn)的三個(gè)直角坐標(biāo)及繞三個(gè)坐標(biāo)軸的轉(zhuǎn)角來確定，空間一自由剛體的自由度數(shù)為6；一個(gè)機(jī)械系統(tǒng)被離散化以后，其各集中質(zhì)量的位置可用某幾個(gè)獨(dú)立的坐標(biāo)來確定，這幾個(gè)獨(dú)立坐標(biāo)稱為廣義坐標(biāo)。而決定該系統(tǒng)位置的獨(dú)立廣義坐標(biāo)的數(shù)目稱為自由度數(shù)。對(duì)于離散化的集中參數(shù)系統(tǒng)，其自由度數(shù)目是有限的，這種系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)需用常微分方程來描述，常微分方程的數(shù)目應(yīng)等于系統(tǒng)的自由度數(shù)。404.自由度40第三節(jié)單自由度系統(tǒng)的自由振動(dòng)

自由振動(dòng)：就是指系統(tǒng)在初始干擾的作用后，僅靠彈性恢復(fù)力來維持的振動(dòng)形式。其中，系統(tǒng)中不存在阻尼的叫無阻尼自由振動(dòng)，而有阻尼的則稱之為有阻尼的自由振動(dòng)。一．單自由度系統(tǒng)的無阻尼自由振動(dòng)1．直線振動(dòng)單自由度系統(tǒng)的無阻尼自由振動(dòng)的力學(xué)模型可用彈簧－質(zhì)量系統(tǒng)來描述。

41第三節(jié)單自由度系統(tǒng)的自由振動(dòng)自由振動(dòng)：就是指系統(tǒng)在初始一．單自由度系統(tǒng)的無阻尼自由振動(dòng)1．直線振動(dòng)

單自由度系統(tǒng)的無阻尼自由振動(dòng)的力學(xué)模型可用彈簧-質(zhì)量系統(tǒng)來描述。由靜平衡條件可得

取x軸向下為正，則由牛頓第二定律可得即單自由度無阻尼自由直線振動(dòng)的微分方程式。42一．單自由度系統(tǒng)的無阻尼自由振動(dòng)取x軸向下為正，則由牛頓第二令則可得單自由度系統(tǒng)的無阻尼自由振動(dòng)微分方程的標(biāo)準(zhǔn)形式，即此即單自由度系統(tǒng)在無阻尼情況下的自由響應(yīng)的一般形式。43令則可得單自由度系統(tǒng)的無阻尼自由振動(dòng)微分方程的標(biāo)準(zhǔn)形式，即設(shè)初始條件為：時(shí)，代入上式，可解得44設(shè)初始條件為：時(shí)，代入上式，可解得44結(jié)論：?jiǎn)巫杂啥认到y(tǒng)的無阻尼自由振動(dòng)是一簡(jiǎn)諧振動(dòng)，其振動(dòng)頻率只取決于系統(tǒng)本身的結(jié)構(gòu)特性，而與初始條件無關(guān)，稱為固有頻率，而振動(dòng)的振幅值和初相位與初始條件有關(guān)；(2)常力只改變系統(tǒng)的靜平衡位置，而不影響系統(tǒng)的固有頻率、振幅和初相位，即不影響系統(tǒng)的振動(dòng)。因此，在分析振動(dòng)問題時(shí)，只要以靜平衡位置作為坐標(biāo)原點(diǎn)就可以不考慮常力，這一點(diǎn)對(duì)于建立系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)微分方程有幫助。

45結(jié)論：452．扭轉(zhuǎn)振動(dòng)工程上還有一種需要用角位移θ作為廣義坐標(biāo)來表達(dá)的振動(dòng)形式，即扭轉(zhuǎn)振動(dòng)，又稱角振動(dòng)。圖3-11所示圓盤－直桿系統(tǒng)即為扭轉(zhuǎn)振動(dòng)的力學(xué)模型?，F(xiàn)取θ為廣義坐標(biāo)，逆時(shí)針方向?yàn)檎?，則通過受力分析，可以建立起系統(tǒng)的扭轉(zhuǎn)振動(dòng)微分方程為即

462．扭轉(zhuǎn)振動(dòng)現(xiàn)取θ為廣義坐標(biāo)，逆時(shí)針方向?yàn)檎瑒t通過令則有設(shè)初始條件為：時(shí)，代入上式，可解得47令則有設(shè)初始條件為：時(shí)，代入上式，可解得473．系統(tǒng)固有頻率的求解固有頻率是自由振動(dòng)系統(tǒng)的一個(gè)重要特征參量，求解系統(tǒng)固有頻率常用方法：(1)能量法當(dāng)系統(tǒng)只受保守力(如重力、彈性力等)作用而沒有阻尼時(shí)，則系統(tǒng)在整個(gè)運(yùn)動(dòng)過程中將沒有能量的損耗而保持機(jī)械能守恒，即有即483．系統(tǒng)固有頻率的求解即48對(duì)于簡(jiǎn)諧振動(dòng)，可以選取兩個(gè)特殊的瞬時(shí)位置，即可選當(dāng)質(zhì)點(diǎn)正通過靜平衡點(diǎn)時(shí)為第一瞬時(shí)位置，此時(shí)速度最大，即動(dòng)能最大，而把其勢(shì)能定義為零，即有；把質(zhì)點(diǎn)到達(dá)最大位移時(shí)作為第二瞬時(shí)位置，此時(shí)，系統(tǒng)的勢(shì)能最大，而速度為零，即動(dòng)能為零，此時(shí)有。由此可得49對(duì)于簡(jiǎn)諧振動(dòng)，可以選取兩個(gè)特殊的瞬時(shí)位置，即可選當(dāng)質(zhì)點(diǎn)正通過例：圖3-12所示為測(cè)量低頻振幅用的傳感器中的一個(gè)元件—無定向擺的示意圖。無定向擺的擺輪上鉸接一搖桿，搖桿的另一端有一敏感質(zhì)量m。在搖桿離轉(zhuǎn)動(dòng)軸O距離為a的某個(gè)位置，左右各聯(lián)結(jié)一剛度為K的平衡彈簧，以保持?jǐn)[在垂直方向的穩(wěn)定位置。設(shè)已知整個(gè)系統(tǒng)對(duì)轉(zhuǎn)動(dòng)軸O的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為試求該系統(tǒng)的固有頻率。50例：圖3-12所示為測(cè)量低頻振幅用的傳感器中的一個(gè)元件—無解：取搖桿偏離靜平衡位置的角位移θ為廣義坐標(biāo)，并設(shè)

則由此得在搖桿擺過靜平衡位置時(shí)，系統(tǒng)的動(dòng)能最大，為51解：取搖桿偏離靜平衡位置的角位移θ為廣義坐則由此得在搖桿當(dāng)搖桿擺到最大角位移時(shí)，系統(tǒng)的勢(shì)能最大，為由，得52當(dāng)搖桿擺到最大角位移時(shí)，系統(tǒng)的勢(shì)能最大，為由，得52即53即53(2)靜變形法

在某些實(shí)際問題中，當(dāng)不能直接給出其系統(tǒng)的彈性剛度K時(shí)，采用靜變形法來計(jì)算系統(tǒng)的固有頻率是比較方便的。由式54(2)靜變形法在某些實(shí)際問題中，當(dāng)不能直接給出5555例設(shè)一不計(jì)自重的懸臂梁，在自由端有一集中質(zhì)量m，抗彎剛度未知，試求這個(gè)系統(tǒng)的固有頻率。

解設(shè)測(cè)得懸臂梁在自由端質(zhì)量塊m處的靜位移為δst，則可得該系統(tǒng)的固有頻率為56例設(shè)一不計(jì)自重的懸臂梁，56(3)瑞利法假設(shè)系統(tǒng)中彈簧的質(zhì)量可以忽略不計(jì)，這種簡(jiǎn)化在許多實(shí)際問題中可能已經(jīng)足夠準(zhǔn)確，但當(dāng)彈簧本身的質(zhì)量占有系統(tǒng)總質(zhì)量的相當(dāng)比重而不能忽略時(shí)，仍采用前面的方法來計(jì)算固有頻率，就會(huì)使計(jì)算值偏高。在這種彈簧本身質(zhì)量不可忽略的情況下，為了得出更精確的計(jì)算結(jié)果，就要采用瑞利法計(jì)算。它運(yùn)用能量原理，把一個(gè)分布質(zhì)量系統(tǒng)簡(jiǎn)化為一個(gè)單自由度系統(tǒng)，從而把彈簧分布質(zhì)量對(duì)系統(tǒng)振動(dòng)頻率的影響考慮進(jìn)去，得出更精確的固有頻率值。57(3)瑞利法假設(shè)系統(tǒng)中彈簧的質(zhì)量可以忽略不計(jì)，這應(yīng)用瑞利法時(shí)，必須先假定一個(gè)系統(tǒng)的振動(dòng)形式，并且固有頻率的計(jì)算結(jié)果準(zhǔn)確程度取決于這個(gè)假定的振動(dòng)形式與系統(tǒng)的實(shí)際振動(dòng)形式的接近程度。假定的振動(dòng)形式越準(zhǔn)確，則計(jì)算結(jié)果就越精確。實(shí)踐證明，以靜變形作為假定的振動(dòng)形式，所得近似解與準(zhǔn)確解比較，一般來說誤差是很小的。58應(yīng)用瑞利法時(shí)，必須先假定一個(gè)系統(tǒng)的振58例設(shè)有如圖所示的彈簧質(zhì)量系統(tǒng)，彈簧的剛度為K，靜長(zhǎng)度為l，單位長(zhǎng)度的質(zhì)量為ρ，質(zhì)量塊m在光滑平面上作水平往復(fù)運(yùn)動(dòng)，求該系統(tǒng)的固有頻率。59例設(shè)有如圖所示的彈簧質(zhì)量系統(tǒng)，彈簧的剛59

解

因?yàn)閺椈傻馁|(zhì)量不可忽略，故可用瑞利法來求解。為此，假定彈簧各截面在振動(dòng)過程中，任一瞬時(shí)的位移和一根等直桿在一端固定另一端受軸向靜載荷作用下各截面的位移一樣。根據(jù)材料力學(xué)，這時(shí)各截面的軸向位移與它離固定端的距離成正比，設(shè)彈簧在聯(lián)結(jié)質(zhì)量塊的一端位移為x，則距固定端ζ處的位移為ζx/l。60解因?yàn)閺椈傻馁|(zhì)量不可忽略，故可用瑞利法來求60

設(shè)彈簧在聯(lián)結(jié)質(zhì)量塊的一端位移為x，則距固定端ζ處的位移為ζx/l，因此，當(dāng)質(zhì)量m在某一瞬時(shí)的速度為時(shí)，彈簧在ζ處的微段dζ的相應(yīng)速度為，則該微段dζ的動(dòng)能為，所以，整個(gè)彈簧的動(dòng)能為：61設(shè)彈簧在聯(lián)結(jié)質(zhì)量塊的一端位移為x，則距固定61于是整個(gè)系統(tǒng)的總動(dòng)能為質(zhì)量塊m的動(dòng)能和彈簧質(zhì)量的動(dòng)能之和，在質(zhì)量塊經(jīng)過靜平衡位置時(shí)，系統(tǒng)動(dòng)能最大，為系統(tǒng)的勢(shì)能仍和忽略彈簧質(zhì)量時(shí)的一樣，最大勢(shì)能為由Tmax＝Vmax，得對(duì)于簡(jiǎn)諧振動(dòng)，有代入上式，得62于是整個(gè)系統(tǒng)的總動(dòng)能為質(zhì)量塊m的動(dòng)能和彈簧62考慮彈簧質(zhì)量時(shí)，系統(tǒng)的固有頻率為63考慮彈簧質(zhì)量時(shí)，系統(tǒng)的固有頻率為63作業(yè)：一無質(zhì)量的剛性桿鉸接于O，試確定系統(tǒng)振動(dòng)的固有頻率。64作業(yè)：64二、單自由度系統(tǒng)的有阻尼自由振動(dòng)

工程實(shí)際中的阻尼有各種來源，但在線性化的假設(shè)條件下，都可認(rèn)為阻尼力的大小與物體的運(yùn)動(dòng)速度成正比，即為線性阻尼。這樣，有阻尼的單自由度振動(dòng)系統(tǒng)便可用以下的力學(xué)模型來進(jìn)行描述，即彈簧－質(zhì)量－阻尼系統(tǒng)。65二、單自由度系統(tǒng)的有阻尼自由振動(dòng)工程實(shí)際中的阻尼有與無阻尼自由振動(dòng)一樣，仍取質(zhì)量塊m的上下運(yùn)動(dòng)軌跡為廣義坐標(biāo)方向，并取向下為正，廣義坐標(biāo)原點(diǎn)取在靜平衡位置，則由牛頓第二定律可得

66與無阻尼自由振動(dòng)一樣，仍取質(zhì)量塊m的上下運(yùn)動(dòng)軌跡為廣義坐標(biāo)方將代入，并整理可得此即為單自由度系統(tǒng)有阻尼自由振動(dòng)的運(yùn)動(dòng)微分方程。令可將上式化為如下的標(biāo)準(zhǔn)形式由微分方程解的理論，可設(shè)其解為※67將代入，并整理可得此即為單自由度系統(tǒng)有代入上式得其特征方程為其特征根為當(dāng)時(shí)，得原方程(※)的通解為當(dāng)，即特征方程有重根時(shí)，原方程式(※)的通解為68代入上式得其特征方程為其特征根為當(dāng)時(shí)，得原方引入一個(gè)無量綱量，稱為相對(duì)阻尼系數(shù)或阻尼比，即當(dāng)，即，根式為實(shí)數(shù)，稱為強(qiáng)阻尼狀態(tài)；當(dāng)，即，根式為虛數(shù)，稱為弱阻尼狀態(tài)；當(dāng)，即，根式為零數(shù)，稱為臨界阻尼狀態(tài)；69引入一個(gè)無量綱量，稱為相對(duì)阻尼系數(shù)或阻尼比，即1、弱阻尼狀態(tài)(1)弱阻尼狀態(tài)下的振動(dòng)響應(yīng)此時(shí)或，利用歐拉(Euler)公式可將式（3-41）改寫為式中A，φ—待定常數(shù)，由初始條件決定。701、弱阻尼狀態(tài)此時(shí)或，利用歐拉(E設(shè)初始條件為：時(shí)，代入上式，可得由此可以解得71設(shè)初始條件為：時(shí)，代入上式，可得由此可以解得71由式(3-44)可知，系統(tǒng)的振動(dòng)已不再是等幅的簡(jiǎn)諧振動(dòng)，而是振幅按規(guī)律衰減振動(dòng)，當(dāng)t→∞時(shí)，x→0，振動(dòng)最終將消失，n—衰減系數(shù)，n越大，表示阻尼越大，振幅衰減得越快。圖3-17是這種衰減振動(dòng)的響應(yīng)曲線。72由式(3-44)可知，系統(tǒng)的振動(dòng)已不再是等幅的簡(jiǎn)諧振動(dòng)，而是A=1n=1ωn=4φ=073A=1n=1ωn=4φ=073A=1n=0.1ωn=4φ=074A=1n=0.1ωn=4φ=074(2)振動(dòng)特性討論①阻尼系統(tǒng)的振動(dòng)名義周期略為增大。衰減振動(dòng)的圓頻率為衰減振動(dòng)的周期為75(2)振動(dòng)特性討論①阻尼系統(tǒng)的振動(dòng)名義周期略為增大。衰減振②阻尼使系統(tǒng)振動(dòng)的振幅按幾何級(jí)數(shù)衰減。相鄰兩個(gè)振幅之比為式中η—減幅系數(shù)。工程上，為應(yīng)用方便起見，常用對(duì)數(shù)減幅系數(shù)δ代替減幅系數(shù)η，即76②阻尼使系統(tǒng)振動(dòng)的振幅按幾何級(jí)數(shù)衰減。式中η—減幅系數(shù)。2、強(qiáng)阻尼狀態(tài)當(dāng)，即，根式為實(shí)根，原微分方程的通解為

其中的兩個(gè)指數(shù)函數(shù)的指數(shù)均為負(fù)數(shù)，系統(tǒng)不再具有振動(dòng)特性，其位移按指數(shù)規(guī)律衰減。當(dāng)|C1|>|C2|

，C1>0，C2<0時(shí)，運(yùn)動(dòng)的時(shí)歷曲線如圖3-18所示，即強(qiáng)阻尼可以抑制振動(dòng)的發(fā)生。772、強(qiáng)阻尼狀態(tài)當(dāng)，即，根式圖3-18強(qiáng)阻尼狀態(tài)下的響應(yīng)曲線78圖3-18強(qiáng)阻尼狀態(tài)下的響應(yīng)曲線78C1=5C2=－3n=5ωn=479C1=5C2=－3n=53、臨界阻尼狀態(tài)在t=0時(shí)

此時(shí)，即，特征方程有兩重根；原微分方程的通解為系統(tǒng)也不具有振動(dòng)特性。

的初始條件下，系統(tǒng)的響應(yīng)為803、臨界阻尼狀態(tài)在t=0時(shí)此時(shí)，即圖3-19臨界阻尼狀態(tài)系統(tǒng)的響應(yīng)曲線81圖3-19臨界阻尼狀態(tài)系統(tǒng)的響應(yīng)曲線81臨界阻尼的條件82臨界阻尼的條件82第四節(jié)單自由度系統(tǒng)的強(qiáng)迫振動(dòng)

在工程實(shí)際中，還廣泛地存在著一種系統(tǒng)在持續(xù)外界激振作用下的振動(dòng)，即強(qiáng)迫振動(dòng)。強(qiáng)迫振動(dòng)由于有外界激振作用不斷向系統(tǒng)補(bǔ)充能量，所以，振動(dòng)可無限持續(xù)下去而不會(huì)消失。一、系統(tǒng)在簡(jiǎn)諧激振力作用下的強(qiáng)迫振動(dòng)簡(jiǎn)諧激振力是一種最簡(jiǎn)單外部激振形式，也是分析復(fù)雜的激振作用下系統(tǒng)的強(qiáng)迫振動(dòng)的基礎(chǔ)。1．計(jì)算力學(xué)模型及其運(yùn)動(dòng)微分方程

83第四節(jié)單自由度系統(tǒng)的強(qiáng)迫振動(dòng)在工程實(shí)際中，還廣泛地存在簡(jiǎn)諧激振力作用下的單自由度系統(tǒng)的強(qiáng)迫振動(dòng)力學(xué)模型可用圖3-20來描述。因?yàn)樗粤?4簡(jiǎn)諧激振力作用下的單自由度系統(tǒng)的強(qiáng)迫振動(dòng)力學(xué)模型可用圖3-2其解即為單自由度系統(tǒng)在外界簡(jiǎn)諧激振作用下的強(qiáng)迫振動(dòng)。由微分方程解的理論可知，其通解為其中，為微分方程左邊對(duì)應(yīng)的齊次微分方程的解，即單自由度系統(tǒng)的自由振動(dòng)響應(yīng)。由上節(jié)的分析可知，在弱阻尼情況下為85其解即為單自由度系統(tǒng)在外界簡(jiǎn)諧激振作用下的強(qiáng)迫振動(dòng)。由微分方8686由于微分方程的非齊次項(xiàng)是一個(gè)正弦函數(shù)，可知其特解為一同頻率的正弦函數(shù)，可設(shè)為整理可得由于在任意時(shí)刻，上式都應(yīng)成立，故有87由于微分方程的非齊次項(xiàng)是一個(gè)正弦函數(shù)，可知其特解為所以88所以88引進(jìn)符號(hào)稱為靜變位；稱為頻率比；稱為阻尼比（相對(duì)阻尼系數(shù)）89引進(jìn)符號(hào)稱為靜變位；稱為頻率比；稱為阻尼比（相對(duì)阻尼系代入90代入90

91912、振動(dòng)特性的討論(1)振動(dòng)頻率系統(tǒng)在簡(jiǎn)諧激振力作用下的強(qiáng)迫振動(dòng)是與激振力同頻率的簡(jiǎn)諧振動(dòng)；(2)振幅和相位強(qiáng)迫振動(dòng)的振幅B和相位差φ都只取決于系統(tǒng)本身的物理性質(zhì)和激振力的特性，而與初始條件無關(guān)，初始條件只影響瞬態(tài)振動(dòng)；(3)影響強(qiáng)迫振動(dòng)的振幅的因素①激振力幅值的影響當(dāng)其他條件不變時(shí)，強(qiáng)迫振動(dòng)的振幅與激振力的幅值成正比，即

922、振動(dòng)特性的討論(1)振動(dòng)頻率系統(tǒng)在簡(jiǎn)諧激振力作用下

②頻率比λ的影響頻率比λ對(duì)振幅的影響關(guān)系復(fù)雜，可用振幅頻率特性曲線(簡(jiǎn)稱幅頻特性曲線)來描述，為此，引入一個(gè)新的變量稱為振幅放大因子。

93②頻率比λ的影響頻率比λ對(duì)振幅的影響關(guān)系復(fù)雜，可用振a．當(dāng)時(shí)，，即此時(shí)的振幅B與激振力幅值作用引起的靜變位差不多，這說明激振力變化緩慢，動(dòng)力影響不大；94a．當(dāng)時(shí)，，即此時(shí)的振幅B與激振力幅b．當(dāng)時(shí)，，這說明當(dāng)激振力頻率很高時(shí)，系統(tǒng)由于慣性跟不上迅速變化的激振力，此時(shí)振動(dòng)消失；95b．當(dāng)時(shí)，，這說明當(dāng)激振力頻率95c．當(dāng)時(shí)，，這種現(xiàn)象稱為共振，由于阻尼較小時(shí)對(duì)共振頻率影響不大，所以一般稱為共振頻率；96c．當(dāng)時(shí)，，這種現(xiàn)象稱為共振，由于96d．當(dāng)時(shí)，，即系統(tǒng)振動(dòng)的振幅小于靜變位，這就是主動(dòng)隔振的理論基礎(chǔ)。97d．當(dāng)時(shí)，，即系統(tǒng)振動(dòng)的振幅小于靜變位，這就③阻尼的影響由圖3-21可以看出，阻尼對(duì)振幅的影響只在共振區(qū)附近起作用，當(dāng)時(shí)，阻尼比越大，共振振幅越小；當(dāng)偏離共振區(qū)較遠(yuǎn)時(shí)，阻尼的影響不大。此外，阻尼的存在還使共振峰向左移動(dòng)，即最大振幅不是發(fā)生在處，而是發(fā)生在的位置。98③阻尼的影響由圖3-21可以看出，阻尼對(duì)振幅的影響只在由可得，最大振幅處的頻率為最大振幅為99由可得，最大振幅處的頻率為最大振幅為99(4)品質(zhì)因子在共振時(shí)的放大因子有時(shí)稱為品質(zhì)因子，以符號(hào)Q表示。100(4)品質(zhì)因子在共振時(shí)的放大因子有時(shí)100(5)相頻特性強(qiáng)迫振動(dòng)的位移響應(yīng)落后于激振力，它們之間有一個(gè)相位差φ。101(5)相頻特性強(qiáng)迫振動(dòng)的位移響應(yīng)落后于激振力

二、旋轉(zhuǎn)偏心質(zhì)量引起的強(qiáng)迫振動(dòng)

偏心質(zhì)量引起的強(qiáng)迫振動(dòng)，可用如圖3-23所示的力學(xué)模型來描述。其中，系統(tǒng)總質(zhì)量M由于受水平方向的約束而只能作上下運(yùn)動(dòng)，偏心質(zhì)量m繞M的幾何中心以角速度ω逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，偏心距為e。因?yàn)閯t有102二、旋轉(zhuǎn)偏心質(zhì)量引起的強(qiáng)迫振動(dòng)偏心質(zhì)量引起的強(qiáng)迫振動(dòng)103103

2．振動(dòng)特性討論

振動(dòng)的振幅與偏心矩me成正比，因此，要減小振幅就得減小偏心矩me。

1042．振動(dòng)特性討論振動(dòng)的振幅與偏心矩me成正比，因此，要減105105三、支承運(yùn)動(dòng)引起的強(qiáng)迫振動(dòng)

取質(zhì)量塊m的上下運(yùn)動(dòng)軌跡為廣義坐標(biāo)方向，向上為正，靜平衡位置為坐標(biāo)原點(diǎn)，則通過對(duì)質(zhì)量m的受力分析可得令，則上式又可化為106三、支承運(yùn)動(dòng)引起的強(qiáng)迫振動(dòng)取質(zhì)量塊m的上下運(yùn)動(dòng)軌跡為廣將代入上式可得其中穩(wěn)態(tài)特解為107將代入108108109109四、周期性激振的響應(yīng)

對(duì)于線性系統(tǒng)，可通過付里葉級(jí)數(shù)展開法，將非簡(jiǎn)諧的周期激振分解為基波以及各次諧波的和，求得系統(tǒng)在基波及其各次諧波分別作用下的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)，然后將它們線性疊加起來，即得系統(tǒng)在非簡(jiǎn)諧的周期激振作用下的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)。若一個(gè)有阻尼的彈簧質(zhì)量系統(tǒng)在周期激振力作用下的微分方程為110四、周期性激振的響應(yīng)對(duì)于線性系統(tǒng)，可通過付里葉級(jí)數(shù)展則系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)為當(dāng)阻尼較小而可忽略不計(jì)時(shí)，，此時(shí)有111則系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)為當(dāng)阻尼較小而可忽略不計(jì)時(shí)，第三章振動(dòng)診斷的理論基礎(chǔ)

§3-1機(jī)械振動(dòng)的運(yùn)動(dòng)學(xué)§3-2機(jī)械系統(tǒng)的建模基礎(chǔ)§3-3單自由度系統(tǒng)的自由振動(dòng)§3-4單自由度系統(tǒng)的強(qiáng)迫振動(dòng)112第三章振動(dòng)診斷的理論基礎(chǔ)§3-1機(jī)械振動(dòng)的運(yùn)動(dòng)學(xué)

振動(dòng)是指物體經(jīng)過它的平衡位置所作的往復(fù)運(yùn)動(dòng)或系統(tǒng)的物理量在其平均值(或平衡值)附近的來回變動(dòng)。振動(dòng)是自然界最普遍的現(xiàn)象之一。大至宇宙，小至亞原子粒子，無不存在振動(dòng)。各種形式的物理現(xiàn)象，如聲、光、熱等都包含振動(dòng)。人們生活中也離不開振動(dòng)：心臟的搏動(dòng)、耳膜和聲帶的振動(dòng)，都是人體不可缺少的功能；人的視覺靠光的刺激，而光本質(zhì)上也是一種電磁振動(dòng)；生活中不能沒有聲音和音樂，而聲音的產(chǎn)生、傳播和接收都離不開振動(dòng)。113振動(dòng)是指物體經(jīng)過它的平衡位置所作的往復(fù)運(yùn)動(dòng)2在工程技術(shù)領(lǐng)域中，振動(dòng)現(xiàn)象也比比皆是。例如，橋梁和建筑物在陣風(fēng)或地震激勵(lì)下的振動(dòng)，飛機(jī)和船舶在航行中的振動(dòng)，機(jī)床和刀具在加工時(shí)的振動(dòng)，各種動(dòng)力機(jī)械的振動(dòng)，控制系統(tǒng)中的自激振動(dòng)等。114在工程技術(shù)領(lǐng)域中，振動(dòng)現(xiàn)象也比比皆3在許多情況下，振動(dòng)被認(rèn)為是消極因素。例如，振動(dòng)會(huì)影響精密儀器設(shè)備的功能，降低加工精度，加劇構(gòu)件的疲勞和磨損，從而縮短機(jī)器和結(jié)構(gòu)物的使用壽命。振動(dòng)還可能引起結(jié)構(gòu)的大變形破壞，有的橋梁曾因振動(dòng)而坍塌；飛機(jī)機(jī)翼的顫振、機(jī)輪的抖振往往造成事故；車、船和機(jī)艙的振動(dòng)會(huì)劣化乘載條件；強(qiáng)烈的振動(dòng)噪聲會(huì)形成嚴(yán)重的公害。115在許多情況下，振動(dòng)被認(rèn)為是消極因素。4然而，振動(dòng)也有它積極的一面。振動(dòng)是通信、廣播、電視、雷達(dá)等工作的基礎(chǔ)。近幾十年以來，陸續(xù)出現(xiàn)許多利用振動(dòng)的生產(chǎn)裝備和工藝。例如，振動(dòng)傳輸、振動(dòng)篩選、振動(dòng)研磨、振動(dòng)拋光、振動(dòng)沉樁、振動(dòng)消除內(nèi)應(yīng)力等。它們極大地改善了勞動(dòng)條件，成十倍、成百倍地提高了勞動(dòng)生產(chǎn)率?？梢灶A(yù)期，隨著生產(chǎn)實(shí)賤和科學(xué)研究的不斷進(jìn)展，振動(dòng)的利用還會(huì)與日俱增。116然而，振動(dòng)也有它積極的一面。振動(dòng)是通信、廣5研究振動(dòng)問題時(shí)，一般將研究對(duì)象(如一部機(jī)器、一種結(jié)構(gòu))稱為系統(tǒng)。

機(jī)械振動(dòng)是指機(jī)械系統(tǒng)(即力學(xué)系統(tǒng))中的振動(dòng)。任何力學(xué)系統(tǒng)，只要它具有彈性和慣性，都可能發(fā)生振動(dòng)。這種力學(xué)系統(tǒng)稱為振動(dòng)系統(tǒng)。振動(dòng)系統(tǒng)可分為兩大類，離散系統(tǒng)和連續(xù)系統(tǒng)。117研究振動(dòng)問題時(shí)，一般將研究對(duì)象(如一部機(jī)6把外界對(duì)系統(tǒng)的作用或機(jī)器自身運(yùn)動(dòng)產(chǎn)生的力，稱為激勵(lì)或輸入；把機(jī)器或結(jié)構(gòu)在激勵(lì)作用下產(chǎn)生的動(dòng)態(tài)行為，稱為響應(yīng)或輸出。振動(dòng)分析(理論或?qū)嶒?yàn)分析)就是研究這三者間的相互關(guān)系。118把外界對(duì)系統(tǒng)的作用或機(jī)器自身運(yùn)動(dòng)產(chǎn)生的力，稱為激勵(lì)或輸入；7工程中常見的振動(dòng)問題A機(jī)械中的振動(dòng)問題B結(jié)構(gòu)中的振動(dòng)問題C機(jī)械加工過程中的振動(dòng)問題119工程中常見的振動(dòng)問題8

振動(dòng)診斷，就是對(duì)正在運(yùn)行的機(jī)械設(shè)備或給非工作狀態(tài)的系統(tǒng)某種激勵(lì)，測(cè)其振動(dòng)響應(yīng)，對(duì)由測(cè)量響應(yīng)得到的各種數(shù)據(jù)進(jìn)行分析處理，然后將結(jié)果與事先制訂的某一標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行比較。進(jìn)而判斷系統(tǒng)內(nèi)部結(jié)構(gòu)的破壞、裂紋、開焊、磨損、松脫及老化等各種影響系統(tǒng)正常運(yùn)行的故障。依此采取相應(yīng)的對(duì)策來消除故障，保證系統(tǒng)安全運(yùn)行。120振動(dòng)診斷，就是對(duì)正在運(yùn)行的機(jī)械設(shè)備或9第一節(jié)機(jī)械振動(dòng)的運(yùn)動(dòng)學(xué)一、機(jī)械振動(dòng)及其分類機(jī)械振動(dòng)：由于受外界條件的影響，機(jī)械系統(tǒng)將會(huì)圍繞其平衡位置作往復(fù)運(yùn)動(dòng)；是一種特殊的運(yùn)動(dòng)形式。121第一節(jié)機(jī)械振動(dòng)的運(yùn)動(dòng)學(xué)一、機(jī)械振動(dòng)及其分類10機(jī)械振動(dòng)分類：1．按對(duì)系統(tǒng)的輸入不同分類(1)自由振動(dòng)系統(tǒng)初始干擾或原有的外激振力取消后產(chǎn)生的振動(dòng)，即當(dāng)系統(tǒng)的平衡被破壞后，沒有外力作用而只靠其彈性恢復(fù)力來維持的振動(dòng)；(2)強(qiáng)迫振動(dòng)系統(tǒng)在外力作用下被迫產(chǎn)生的振動(dòng)；(3)自激振動(dòng)由于系統(tǒng)具有非振蕩性能源和反饋特性，并有能源補(bǔ)充，而產(chǎn)生的一種穩(wěn)定的周期性振動(dòng)。122機(jī)械振動(dòng)分類：112．按系統(tǒng)的輸出特性分類(1)簡(jiǎn)諧振動(dòng)振動(dòng)量的時(shí)間歷程為單一正弦或余弦函數(shù)的振動(dòng)；(2)非簡(jiǎn)諧周期振動(dòng)振動(dòng)量為時(shí)間的周期函數(shù)，而又不是簡(jiǎn)諧振動(dòng)的振動(dòng)，即簡(jiǎn)諧振動(dòng)之外的周期振動(dòng)；(3)瞬態(tài)振動(dòng)振動(dòng)量為時(shí)間的非周期函數(shù)，且通常只在一定的時(shí)間段內(nèi)發(fā)生的振動(dòng)；1232．按系統(tǒng)的輸出特性分類12(4)準(zhǔn)周期振動(dòng)

(5)隨機(jī)振動(dòng)

振動(dòng)量不是時(shí)間的確定性函數(shù)

124(4)準(zhǔn)周期振動(dòng)(5)隨機(jī)振動(dòng)133．按系統(tǒng)的自由度之?dāng)?shù)目分類

(1)單自由度系統(tǒng)的振動(dòng)

(2)多自由度系統(tǒng)的振動(dòng)

(3)彈性體振動(dòng)

1253．按系統(tǒng)的自由度之?dāng)?shù)目分類(1)單自由度系統(tǒng)的振動(dòng)4．按描述系統(tǒng)的微分方程分類

(2)非線性振動(dòng)

(1)線性振動(dòng)

1264．按描述系統(tǒng)的微分方程分類(2)非線性振動(dòng)(1)二、機(jī)械振動(dòng)按其輸出的分類描述1.簡(jiǎn)諧振動(dòng)127二、機(jī)械振動(dòng)按其輸出的分類描述1.簡(jiǎn)諧振動(dòng)16

2、非簡(jiǎn)諧周期振動(dòng)

非簡(jiǎn)諧周期振動(dòng)，就是指除簡(jiǎn)諧振動(dòng)以外的周期振動(dòng)。可以用周期性的時(shí)間變量函數(shù)來描述，即非簡(jiǎn)諧周期振動(dòng)，可按傅里葉級(jí)數(shù)展開而分解為簡(jiǎn)諧振動(dòng)的疊加，即1282、非簡(jiǎn)諧周期振動(dòng)非簡(jiǎn)諧周期振動(dòng)，就是指除簡(jiǎn)諧振動(dòng)以129183、準(zhǔn)周期振動(dòng)所謂準(zhǔn)周期振動(dòng)，也是由一些不同頻率的簡(jiǎn)諧振動(dòng)合成的振動(dòng)。1303、準(zhǔn)周期振動(dòng)19圖3-5準(zhǔn)周期振動(dòng)時(shí)歷曲線及頻譜圖a－時(shí)歷曲線b－頻譜圖至少有一組fm/fn為無理數(shù)131圖3-5準(zhǔn)周期振動(dòng)時(shí)歷曲線及頻譜圖至少有一組fm/fn4、瞬態(tài)振動(dòng)瞬態(tài)振動(dòng)屬于非周期振動(dòng)，是一種只在某一確定時(shí)間段內(nèi)才發(fā)生的振動(dòng)，可以用各種脈沖函數(shù)或衰減函數(shù)描述的振動(dòng)。1324、瞬態(tài)振動(dòng)215、隨機(jī)振動(dòng)隨機(jī)振動(dòng)是一種非確定性振動(dòng)，不能用精確的數(shù)學(xué)關(guān)系式描述，因?yàn)檫@種現(xiàn)象每次觀察都是不一樣的。隨機(jī)振動(dòng)雖然具有不確定性，但卻具有一定統(tǒng)計(jì)規(guī)律性。所謂統(tǒng)計(jì)規(guī)律性，就是在一定條件下多次重復(fù)某項(xiàng)實(shí)驗(yàn)或觀察某種現(xiàn)象所得結(jié)果呈現(xiàn)出的規(guī)律性。1335、隨機(jī)振動(dòng)隨機(jī)振動(dòng)雖然具有不確定性，但卻具有一定統(tǒng)計(jì)規(guī)第二節(jié)機(jī)械振動(dòng)系統(tǒng)的建模基礎(chǔ)機(jī)械系統(tǒng)的振動(dòng)量(位移、速度和加速度的幅值)、頻率(或周期)、相位和頻譜等，常稱為該系統(tǒng)振動(dòng)的基本參數(shù)。影響這些基本參數(shù)的因素主要是：(1)系統(tǒng)本身結(jié)構(gòu)的動(dòng)態(tài)特性——質(zhì)量或轉(zhuǎn)動(dòng)慣量、剛度和阻尼；(2)系統(tǒng)的工作條件和外部激勵(lì)的情況。134第二節(jié)機(jī)械振動(dòng)系統(tǒng)的建?；A(chǔ)機(jī)械系統(tǒng)的振動(dòng)量(位移、速通過測(cè)量(檢測(cè)或監(jiān)測(cè))計(jì)算或模擬試驗(yàn)求得機(jī)械系統(tǒng)振動(dòng)的主要參數(shù)及本身結(jié)構(gòu)的動(dòng)態(tài)特性，是研究各種振動(dòng)問題的主要內(nèi)容。分析、計(jì)算振動(dòng)特性的一般步驟應(yīng)是：將實(shí)際機(jī)械系統(tǒng)簡(jiǎn)化為動(dòng)力學(xué)模型；計(jì)算或測(cè)定系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)特性參數(shù)；根據(jù)力學(xué)模型查表，或者建立并解出系統(tǒng)振動(dòng)的運(yùn)動(dòng)方程，從而求得所需要的振動(dòng)特性及有關(guān)參數(shù)。135通過測(cè)量(檢測(cè)或監(jiān)測(cè))計(jì)算或模擬試驗(yàn)24一、建立力學(xué)模型的前期準(zhǔn)備

1．連續(xù)系統(tǒng)的離散化詳細(xì)做法是：把彈性較小、質(zhì)量較大的構(gòu)件簡(jiǎn)化為不計(jì)彈性的集中質(zhì)量；把質(zhì)量較小、彈性較大的構(gòu)件簡(jiǎn)化為不計(jì)質(zhì)量的彈性元件；也可把構(gòu)件中阻尼特性較大的部分簡(jiǎn)化為不計(jì)質(zhì)量和彈性的阻尼元件。136一、建立力學(xué)模型的前期準(zhǔn)備1．連續(xù)系統(tǒng)的離散化252．非線性系統(tǒng)的線性化質(zhì)量、彈性(剛度)、阻尼等嚴(yán)格地說都與系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)成復(fù)雜的關(guān)系。但在一定的條件下，可將這些復(fù)雜的關(guān)系簡(jiǎn)化為線性關(guān)系，此即線性化過程。如，當(dāng)位移和速度較小時(shí)，就可以認(rèn)為彈性力與位移的一次方成正比，阻尼力與速度的一次方成正比等。1372．非線性系統(tǒng)的線性化26

二振動(dòng)系統(tǒng)力學(xué)模型的三要素及自由度

彈簧、質(zhì)量、阻尼、自由度1．彈簧系統(tǒng)線性化后，振動(dòng)體受到的彈性力與其位移的一次方成正比，這就是說，若某振動(dòng)體一端受一個(gè)作用力F，則它的另一端必有一個(gè)大小與F相等，方向與之相反的力作用。力的大小與彈簧兩端點(diǎn)的相對(duì)位移成正比138二振動(dòng)系統(tǒng)力學(xué)模型的三要素及自由度彈簧、2．質(zhì)量這是表示力和加速度關(guān)系的元件。在力學(xué)模型中，它被抽象為絕對(duì)不變形的剛體。

1392．質(zhì)量283．阻尼工程實(shí)際中的阻尼種類很多，在振動(dòng)、沖擊和噪聲領(lǐng)域涉及到的主要有：粘性阻尼(線性阻尼)、干摩擦阻尼(庫(kù)侖阻尼)、結(jié)構(gòu)阻尼(材料內(nèi)阻，也稱滯延阻尼)。（1）粘性阻尼粘性阻尼是一種最具代表性的理想阻尼形式，在系統(tǒng)線性化的假設(shè)前提下，粘性阻尼力與速度成正比，而方向與速度相反，即1403．阻尼29

（2）干摩擦阻尼又稱庫(kù)侖阻尼，根據(jù)庫(kù)侖定律，兩干燥物體接觸面間的摩擦力為141（2）干摩擦阻尼又稱庫(kù)侖阻尼，根據(jù)庫(kù)侖定30（3）結(jié)構(gòu)阻尼結(jié)構(gòu)阻尼是由于材料的內(nèi)摩擦而產(chǎn)生，故又稱內(nèi)摩擦阻尼，簡(jiǎn)稱內(nèi)阻。142（3）結(jié)構(gòu)阻尼結(jié)構(gòu)阻尼是由于材料的內(nèi)31由材料力學(xué)的知識(shí)知道，當(dāng)我們對(duì)一種材料加載到超過其彈性極限，然后卸載，并繼續(xù)往反方向加載，再卸載。在這樣一個(gè)循環(huán)過程中，其應(yīng)力應(yīng)變曲線會(huì)形成一個(gè)滯后回線，如圖3－9所示，滯后回線所包圍的面積表示了材料在一個(gè)循環(huán)過程中釋放的能量，這部分能量將以熱能的形式逸散出去。143由材料力學(xué)的知識(shí)知道，當(dāng)我們32結(jié)構(gòu)材料實(shí)際上不是完全彈性體，在振動(dòng)過程中，也就是處在加載和卸載過程中，每個(gè)振動(dòng)周期引起一次滯后回線。大量試驗(yàn)表明，每一循環(huán)由結(jié)構(gòu)阻尼所引起的能量損失在很大一個(gè)頻率范圍內(nèi)與頻率無關(guān)，且其值為式中b——材料內(nèi)阻尼系數(shù)，又稱滯遲系數(shù)。

K——與材料尺寸、形狀和特性有關(guān)的修正系數(shù)；

A——振動(dòng)振幅；

n——振動(dòng)振幅的指數(shù)。144結(jié)構(gòu)材料實(shí)際上不是完全彈性體，在振動(dòng)過程中，

(4)等效粘性阻尼由于粘性阻尼力與速度成線性關(guān)系，而使其在處理振動(dòng)問題時(shí)比較方便，因此，當(dāng)振動(dòng)系統(tǒng)中存在非粘性阻尼(如摩擦阻尼、結(jié)構(gòu)阻尼等)時(shí)，我們通常用一個(gè)等效粘性阻尼Ce來進(jìn)行近似計(jì)算。將非粘性阻尼簡(jiǎn)化為粘性阻尼的等效原則，是使得一個(gè)周期內(nèi)兩者所消耗的能量相等。即使

We＝Wr145(4)等效粘性阻尼由于粘性阻尼力與速度34設(shè)簡(jiǎn)諧振動(dòng)表達(dá)式為則等效粘性阻尼力為而等效粘性阻尼在一個(gè)簡(jiǎn)諧振動(dòng)周期內(nèi)所作的功為由We＝Wr可得，等效粘性阻尼系數(shù)為146設(shè)簡(jiǎn)諧振動(dòng)表達(dá)式為35①干摩擦阻尼的等效粘性阻尼干摩擦力F一般可近似認(rèn)為是一個(gè)常力。它在整個(gè)強(qiáng)迫振動(dòng)過程中大小不變，但方向始終與運(yùn)動(dòng)方向相反。即在每1/4個(gè)周期內(nèi)，摩擦力作功為FA，而在一個(gè)整周期內(nèi)作功總和為

We＝4FA將其代入式，即可求得干摩擦阻尼的等效阻尼系數(shù)為147①干摩擦阻尼的等效粘性阻尼干摩擦力F一般36②流體阻尼的等效粘性阻尼當(dāng)物體以較高的速度在粘性較小的流體(包括空氣、液體)中運(yùn)動(dòng)時(shí)，物體所受的阻力與速度的平方成正比，即有可得流體阻尼在一個(gè)整周期內(nèi)所作的功為其等效粘性阻尼系數(shù)為148②流體阻尼的等效粘性阻尼當(dāng)物體以較高的37

③結(jié)構(gòu)阻尼的等效粘性阻尼由式和式得結(jié)構(gòu)阻尼的等效粘性阻尼系數(shù)為149③結(jié)構(gòu)阻尼的等效粘性阻尼由式38經(jīng)過這種等效化以后，振動(dòng)系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)微分方程中的阻尼項(xiàng)在各種阻尼情況下都為線性關(guān)系。150經(jīng)過這種等效化以后，振動(dòng)系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)微394.自由度一個(gè)自由質(zhì)點(diǎn)在空間的位置可以用三個(gè)直角坐標(biāo)來確定，故空間一自由質(zhì)點(diǎn)的自由度數(shù)為3；一個(gè)自由剛體在空間的位置可以用其上某點(diǎn)的三個(gè)直角坐標(biāo)及繞三個(gè)坐標(biāo)軸的轉(zhuǎn)角來確定，空間一自由剛體的自由度數(shù)為6；一個(gè)機(jī)械系統(tǒng)被離散化以后，其各集中質(zhì)量的位置可用某幾個(gè)獨(dú)立的坐標(biāo)來確定，這幾個(gè)獨(dú)立坐標(biāo)稱為廣義坐標(biāo)。而決定該系統(tǒng)位置的獨(dú)立廣義坐標(biāo)的數(shù)目稱為自由度數(shù)。對(duì)于離散化的集中參數(shù)系統(tǒng)，其自由度數(shù)目是有限的，這種系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)需用常微分方程來描述，常微分方程的數(shù)目應(yīng)等于系統(tǒng)的自由度數(shù)。1514.自由度40第三節(jié)單自由度系統(tǒng)的自由振動(dòng)

自由振動(dòng)：就是指系統(tǒng)在初始干擾的作用后，僅靠彈性恢復(fù)力來維持的振動(dòng)形式。其中，系統(tǒng)中不存在阻尼的叫無阻尼自由振動(dòng)，而有阻尼的則稱之為有阻尼的自由振動(dòng)。一．單自由度系統(tǒng)的無阻尼自由振動(dòng)1．直線振動(dòng)單自由度系統(tǒng)的無阻尼自由振動(dòng)的力學(xué)模型可用彈簧－質(zhì)量系統(tǒng)來描述。

152第三節(jié)單自由度系統(tǒng)的自由振動(dòng)自由振動(dòng)：就是指系統(tǒng)在初始一．單自由度系統(tǒng)的無阻尼自由振動(dòng)1．直線振動(dòng)

單自由度系統(tǒng)的無阻尼自由振動(dòng)的力學(xué)模型可用彈簧-質(zhì)量系統(tǒng)來描述。由靜平衡條件可得

取x軸向下為正，則由牛頓第二定律可得即單自由度無阻尼自由直線振動(dòng)的微分方程式。153一．單自由度系統(tǒng)的無阻尼自由振動(dòng)取x軸向下為正，則由牛頓第二令則可得單自由度系統(tǒng)的無阻尼自由振動(dòng)微分方程的標(biāo)準(zhǔn)形式，即此即單自由度系統(tǒng)在無阻尼情況下的自由響應(yīng)的一般形式。154令則可得單自由度系統(tǒng)的無阻尼自由振動(dòng)微分方程的標(biāo)準(zhǔn)形式，即設(shè)初始條件為：時(shí)，代入上式，可解得155設(shè)初始條件為：時(shí)，代入上式，可解得44結(jié)論：?jiǎn)巫杂啥认到y(tǒng)的無阻尼自由振動(dòng)是一簡(jiǎn)諧振動(dòng)，其振動(dòng)頻率只取決于系統(tǒng)本身的結(jié)構(gòu)特性，而與初始條件無關(guān)，稱為固有頻率，而振動(dòng)的振幅值和初相位與初始條件有關(guān)；(2)常力只改變系統(tǒng)的靜平衡位置，而不影響系統(tǒng)的固有頻率、振幅和初相位，即不影響系統(tǒng)的振動(dòng)。因此，在分析振動(dòng)問題時(shí)，只要以靜平衡位置作為坐標(biāo)原點(diǎn)就可以不考慮常力，這一點(diǎn)對(duì)于建立系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)微分方程有幫助。

156結(jié)論：452．扭轉(zhuǎn)振動(dòng)工程上還有一種需要用角位移θ作為廣義坐標(biāo)來表達(dá)的振動(dòng)形式，即扭轉(zhuǎn)振動(dòng)，又稱角振動(dòng)。圖3-11所示圓盤－直桿系統(tǒng)即為扭轉(zhuǎn)振動(dòng)的力學(xué)模型?，F(xiàn)取θ為廣義坐標(biāo)，逆時(shí)針方向?yàn)檎?，則通過受力分析，可以建立起系統(tǒng)的扭轉(zhuǎn)振動(dòng)微分方程為即

1572．扭轉(zhuǎn)振動(dòng)現(xiàn)取θ為廣義坐標(biāo)，逆時(shí)針方向?yàn)檎?，則通過令則有設(shè)初始條件為：時(shí)，代入上式，可解得158令則有設(shè)初始條件為：時(shí)，代入上式，可解得473．系統(tǒng)固有頻率的求解固有頻率是自由振動(dòng)系統(tǒng)的一個(gè)重要特征參量，求解系統(tǒng)固有頻率常用方法：(1)能量法當(dāng)系統(tǒng)只受保守力(如重力、彈性力等)作用而沒有阻尼時(shí)，則系統(tǒng)在整個(gè)運(yùn)動(dòng)過程中將沒有能量的損耗而保持機(jī)械能守恒，即有即1593．系統(tǒng)固有頻率的求解即48對(duì)于簡(jiǎn)諧振動(dòng)，可以選取兩個(gè)特殊的瞬時(shí)位置，即可選當(dāng)質(zhì)點(diǎn)正通過靜平衡點(diǎn)時(shí)為第一瞬時(shí)位置，此時(shí)速度最大，即動(dòng)能最大，而把其勢(shì)能定義為零，即有；把質(zhì)點(diǎn)到達(dá)最大位移時(shí)作為第二瞬時(shí)位置，此時(shí)，系統(tǒng)的勢(shì)能最大，而速度為零，即動(dòng)能為零，此時(shí)有。由此可得160對(duì)于簡(jiǎn)諧振動(dòng)，可以選取兩個(gè)特殊的瞬時(shí)位置，即可選當(dāng)質(zhì)點(diǎn)正通過例：圖3-12所示為測(cè)量低頻振幅用的傳感器中的一個(gè)元件—無定向擺的示意圖。無定向擺的擺輪上鉸接一搖桿，搖桿的另一端有一敏感質(zhì)量m。在搖桿離轉(zhuǎn)動(dòng)軸O距離為a的某個(gè)位置，左右各聯(lián)結(jié)一剛度為K的平衡彈簧，以保持?jǐn)[在垂直方向的穩(wěn)定位置。設(shè)已知整個(gè)系統(tǒng)對(duì)轉(zhuǎn)動(dòng)軸O的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為試求該系統(tǒng)的固有頻率。161例：圖3-12所示為測(cè)量低頻振幅用的傳感器中的一個(gè)元件—無解：取搖桿偏離靜平衡位置的角位移θ為廣義坐標(biāo)，并設(shè)

則由此得在搖桿擺過靜平衡位置時(shí)，系統(tǒng)的動(dòng)能最大，為162解：取搖桿偏離靜平衡位置的角位移θ為廣義坐則由此得在搖桿當(dāng)搖桿擺到最大角位移時(shí)，系統(tǒng)的勢(shì)能最大，為由，得163當(dāng)搖桿擺到最大角位移時(shí)，系統(tǒng)的勢(shì)能最大，為由，得52即164即53(2)靜變形法

在某些實(shí)際問題中，當(dāng)不能直接給出其系統(tǒng)的彈性剛度K時(shí)，采用靜變形法來計(jì)算系統(tǒng)的固有頻率是比較方便的。由式165(2)靜變形法在某些實(shí)際問題中，當(dāng)不能直接給出16655例設(shè)一不計(jì)自重的懸臂梁，在自由端有一集中質(zhì)量m，抗彎剛度未知，試求這個(gè)系統(tǒng)的固有頻率。

解設(shè)測(cè)得懸臂梁在自由端質(zhì)量塊m處的靜位移為δst，則可得該系統(tǒng)的固有頻率為167例設(shè)一不計(jì)自重的懸臂梁，56(3)瑞利法假設(shè)系統(tǒng)中彈簧的質(zhì)量可以忽略不計(jì)，這種簡(jiǎn)化在許多實(shí)際問題中可能已經(jīng)足夠準(zhǔn)確，但當(dāng)彈簧本身的質(zhì)量占有系統(tǒng)總質(zhì)量的相當(dāng)比重而不能忽略時(shí)，仍采用前面的方法來計(jì)算固有頻率，就會(huì)使計(jì)算值偏高。在這種彈簧本身質(zhì)量不可忽略的情況下，為了得出更精確的計(jì)算結(jié)果，就要采用瑞利法計(jì)算。它運(yùn)用能量原理，把一個(gè)分布質(zhì)量系統(tǒng)簡(jiǎn)化為一個(gè)單自由度系統(tǒng)，從而把彈簧分布質(zhì)量對(duì)系統(tǒng)振動(dòng)頻率的影響考慮進(jìn)去，得出更精確的固有頻率值。168(3)瑞利法假設(shè)系統(tǒng)中彈簧的質(zhì)量可以忽略不計(jì)，這應(yīng)用瑞利法時(shí)，必須先假定一個(gè)系統(tǒng)的振動(dòng)形式，并且固有頻率的計(jì)算結(jié)果準(zhǔn)確程度取決于這個(gè)假定的振動(dòng)形式與系統(tǒng)的實(shí)際振動(dòng)形式的接近程度。假定的振動(dòng)形式越準(zhǔn)確，則計(jì)算結(jié)果就越精確。實(shí)踐證明，以靜變形作為假定的振動(dòng)形式，所得近似解與準(zhǔn)確解比較，一般來說誤差是很小的。169應(yīng)用瑞利法時(shí)，必須先假定一個(gè)系統(tǒng)的振58例設(shè)有如圖所示的彈簧質(zhì)量系統(tǒng)，彈簧的剛度為K，靜長(zhǎng)度為l，單位長(zhǎng)度的質(zhì)量為ρ，質(zhì)量塊m在光滑平面上作水平往復(fù)運(yùn)動(dòng)，求該系統(tǒng)的固有頻率。170例設(shè)有如圖所示的彈簧質(zhì)量系統(tǒng)，彈簧的剛59

解

因?yàn)閺椈傻馁|(zhì)量不可忽略，故可用瑞利法來求解。為此，假定彈簧各截面在振動(dòng)過程中，任一瞬時(shí)的位移和一根等直桿在一端固定另一端受軸向靜載荷作用下各截面的位移一樣。根據(jù)材料力學(xué)，這時(shí)各截面的軸向位移與它離固定端的距離成正比，設(shè)彈簧在聯(lián)結(jié)質(zhì)量塊的一端位移為x，則距固定端ζ處的位移為ζx/l。171解因?yàn)閺椈傻馁|(zhì)量不可忽略，故可用瑞利法來求60

設(shè)彈簧在聯(lián)結(jié)質(zhì)量塊的一端位移為x，則距固定端ζ處的位移為ζx/l，因此，當(dāng)質(zhì)量m在某一瞬時(shí)的速度為時(shí)，彈簧在ζ處的微段dζ的相應(yīng)速度為，則該微段dζ的動(dòng)能為，所以，整個(gè)彈簧的動(dòng)能為：172設(shè)彈簧在聯(lián)結(jié)質(zhì)量塊的一端位移為x，則距固定61于是整個(gè)系統(tǒng)的總動(dòng)能為質(zhì)量塊m的動(dòng)能和彈簧質(zhì)量的動(dòng)能之和，在質(zhì)量塊經(jīng)過靜平衡位置時(shí)，系統(tǒng)動(dòng)能最大，為系統(tǒng)的勢(shì)能仍和忽略彈簧質(zhì)量時(shí)的一樣，最大勢(shì)能為由Tmax＝Vmax，得對(duì)于簡(jiǎn)諧振動(dòng)，有代入上式，得173于是整個(gè)系統(tǒng)的總動(dòng)能為質(zhì)量塊m的動(dòng)能和彈簧62考慮彈簧質(zhì)量時(shí)，系統(tǒng)的固有頻率為174考慮彈簧質(zhì)量時(shí)，系統(tǒng)的固有頻率為63作業(yè)：一無質(zhì)量的剛性桿鉸接于O，試確定系統(tǒng)振動(dòng)的固有頻率。175作業(yè)：64二、單自由度系統(tǒng)的有阻尼自由振動(dòng)

工程實(shí)際中的阻尼有各種來源，但在線性化的假設(shè)條件下，都可認(rèn)為阻尼力的大小與物體的運(yùn)動(dòng)速度成正比，即為線性阻尼。這樣，有阻尼的單自由度振動(dòng)系統(tǒng)便可用以下的力學(xué)模型來進(jìn)行描述，即彈簧－質(zhì)量－阻尼系統(tǒng)。176二、單自由度系統(tǒng)的有阻尼自由振動(dòng)工程實(shí)際中的阻尼有與無阻尼自由振動(dòng)一樣，仍取質(zhì)量塊m的上下運(yùn)動(dòng)軌跡為廣義坐標(biāo)方向，并取向下為正，廣義坐標(biāo)原點(diǎn)取在靜平衡位置，則由牛頓第二定律可得

177與無阻尼自由振動(dòng)一樣，仍取質(zhì)量塊m的上下運(yùn)動(dòng)軌跡為廣義坐標(biāo)方將代入，并整理可得此即為單自由度系統(tǒng)有阻尼自由振動(dòng)的運(yùn)動(dòng)微分方程。令可將上式化為如下的標(biāo)準(zhǔn)形式由微分方程解的理論，可設(shè)其解為※178將代入，并整理可得此即為單自由度系統(tǒng)有代入上式得其特征方程為其特征根為當(dāng)時(shí)，得原方程(※)的通解為當(dāng)，即特征方程有重根時(shí)，原方程式(※)的通解為179代入上式得其特征方程為其特征根為當(dāng)時(shí)，得原方引入一個(gè)無量綱量，稱為相對(duì)阻尼系數(shù)或阻尼比，即當(dāng)，即，根式為實(shí)數(shù)，稱為強(qiáng)阻尼狀態(tài)；當(dāng)，即，根式為虛數(shù)，稱為弱阻尼狀態(tài)；當(dāng)，即，根式為零數(shù)，稱為臨界阻尼狀態(tài)；180引入一個(gè)無量綱量，稱為相對(duì)阻尼系數(shù)或阻尼比，即1、弱阻尼狀態(tài)(1)弱阻尼狀態(tài)下的振動(dòng)響應(yīng)此時(shí)或，利用歐拉(Euler)公式可將式（3-41）改寫為式中A，φ—待定常數(shù)，由初始條件決定。1811、弱阻尼狀態(tài)此時(shí)或，利用歐拉(E設(shè)初始條件為：時(shí)，代入上式，可得由此可以解得182設(shè)初始條件為：時(shí)，代入上式，可得由此可以解得71由式(3-44)可知，系統(tǒng)的振動(dòng)已不再是等幅的簡(jiǎn)諧振動(dòng)，而是振幅按規(guī)律衰減振動(dòng)，當(dāng)t→∞時(shí)，x→0，振動(dòng)最終將消失，n—衰減系數(shù)，n越大，表示阻尼越大，振幅衰減得越快。圖3-17是這種衰減振動(dòng)的響應(yīng)曲線。183由式(3-44)可知，系統(tǒng)的振動(dòng)已不再是等幅的簡(jiǎn)諧振動(dòng)，而是A=1n=1ωn=4φ=0184A=1n=1ωn=4φ=073A=1n=0.1ωn=4φ=0185A=1n=0.1ωn=4φ=074(2)振動(dòng)特性討論①阻尼系統(tǒng)的振動(dòng)名義周期略為增大。衰減振動(dòng)的圓頻率為衰減振動(dòng)的周期為186(2)振動(dòng)特性討論①阻尼系統(tǒng)的振動(dòng)名義周期略為增大。衰減振②阻尼使系統(tǒng)振動(dòng)的振幅按幾何級(jí)數(shù)衰減。相鄰兩個(gè)振幅之比為式中η—減幅系數(shù)。工程上，為應(yīng)用方便起見，常用對(duì)數(shù)減幅系數(shù)δ代替減幅系數(shù)η，即187②阻尼使系統(tǒng)振動(dòng)的振幅按幾何級(jí)數(shù)衰減。式中η—減幅系數(shù)。2、強(qiáng)阻尼狀態(tài)當(dāng)，即，根式為實(shí)根，原微分方程的通解為

其中的兩個(gè)指數(shù)函數(shù)的指數(shù)均為負(fù)數(shù)，系統(tǒng)不再具有振動(dòng)特性，其位移按指數(shù)規(guī)律衰減。當(dāng)|C1|>|C2|

，C1>0，C2<0時(shí)，運(yùn)動(dòng)的時(shí)歷曲線如圖3-18所示，即強(qiáng)阻尼可以抑制振動(dòng)的發(fā)生。1882、強(qiáng)阻尼狀態(tài)當(dāng)，即，根式圖3-18強(qiáng)阻尼狀態(tài)下的響應(yīng)曲線189圖3-18強(qiáng)阻尼狀態(tài)下的響應(yīng)曲線78C1=5C2=－3n=5ωn=4190C1=5C2=－3n=53、臨界阻尼狀態(tài)在t=0時(shí)

此時(shí)，即，特征方程有兩重根；原微分方程的通解為系統(tǒng)也不具有振動(dòng)特性。

的初始條件下，系統(tǒng)的響應(yīng)為1913、臨界阻尼狀態(tài)在t=0時(shí)此時(shí)，即圖3