勾股定理的應(yīng)用折疊和展開問題

關(guān)于勾股定理的應(yīng)用折疊和展開問題第一頁，共四十八頁，2022年，8月28日12.如圖，△ABC中，∠A=45°，∠B=30°，BC=8.求AC的長.ABCD84442八年級下冊勾股定理---運用第二頁，共四十八頁，2022年，8月28日1.在ABC中,∠C=90°,AC=6,CB=8,則ABC面積為_____,斜邊為上的高為______.244.8ABCD練習(xí)&2?面積法第三頁，共四十八頁，2022年，8月28日1、已知：Rt△ＡBC中，AB＝４，AC＝３,則BC的長為

.5或43ACB43CAB分類討論基礎(chǔ)練習(xí)：zxxkw第四頁，共四十八頁，2022年，8月28日

2.三角形ABC中,AB=10,AC=17,BC邊上的高線AD=8,求BC∟D∟DABCABC1017817108分類討論基礎(chǔ)練習(xí)：zxxkw第五頁，共四十八頁，2022年，8月28日1.小溪邊長著兩棵樹，恰好隔岸相望，一棵樹高30尺，另外一棵樹高20尺；兩棵樹干間的距離是50尺，每棵樹上都停著一只鳥，忽然兩只鳥同時看到兩樹間水面上游出一條魚，它們立刻以同樣的速度飛去抓魚，結(jié)果同時到達(dá)目標(biāo)。問這條魚出現(xiàn)在兩樹之間的何處？3020x50-x應(yīng)用舉例：方程思想第六頁，共四十八頁，2022年，8月28日小明想知道學(xué)校旗桿的高，他發(fā)現(xiàn)旗桿頂端的繩子垂到地面還多1米，當(dāng)他把繩子的下端拉開5米后，發(fā)現(xiàn)下端剛好接觸地面，求旗桿的高度。x+1x51練習(xí)&1?方程思想第七頁，共四十八頁，2022年，8月28日2.在△ABC中，AB=15，BC=14，AC=13，求(1)△ABC的面積；(2)求腰AC上的高ABC151413Dx14-x12應(yīng)用舉例：E方程思想面積法第八頁，共四十八頁，2022年，8月28日ABC螞蟻從A點經(jīng)B到C點的最少要爬了多少厘米？GE34512513（小方格的邊長為1厘米）練習(xí)1:第九頁，共四十八頁，2022年，8月28日小明在平坦無障礙物的草地上,從A地向東走3m,再向北走2m,再向西走1m,再向北走6m,最后向東走4m到達(dá)B地,求A、B兩地的最短距離是多少?A3216B4c68答：A、B兩地的最短距離是10米.練習(xí)2:第十頁，共四十八頁，2022年，8月28日小明的媽媽買了一部29英寸（74厘米）的電視機(jī)。小明量了電視機(jī)的屏幕后，發(fā)現(xiàn)屏幕只有58厘米長和46厘米寬，他覺得一定是售貨員搞錯了。你能解釋這是為什么嗎？我們通常所說的29英寸或74厘米的電視機(jī)，是指其熒屏對角線的長度∴售貨員沒搞錯∵議一議熒屏對角線大約為74厘米4658第十一頁，共四十八頁，2022年，8月28日以直角三角形三邊為邊作等邊三角形,這3個等邊三角形的面積之間有什么關(guān)系？ABCDEF

議一議第十二頁，共四十八頁，2022年，8月28日（2）在長方形ABCD中，寬AB為1m，長BC為2m，求AC長．1m2mACBD在Rt△ABC中，∠B=90°,由勾股定理可知：第十三頁，共四十八頁，2022年，8月28日活動2問題（1）在長方形ABCD中AB、BC、AC大小關(guān)系？ACBDAB＜BC＜AC第十四頁，共四十八頁，2022年，8月28日1.在長和寬分別是40cm,30cm的文具盒中，能放進(jìn)一支長為48cm的鉛筆嗎？40cm30cm分析：根據(jù)題意，關(guān)鍵是求對角線的長度。x解：設(shè)對角線長為xcm由勾股定理得：302+402=x2x2=2500解得：x=50∵50＞48∴該文具盒能放進(jìn)一支長為48cm的鉛筆八年級下冊勾股定理勾股定理---運用第十五頁，共四十八頁，2022年，8月28日活動2（2）一個門框尺寸如下圖所示．①若有一塊長3米，寬0.8米的薄木板，問怎樣從門框通過？②若薄木板長3米，寬1.5米呢？③若薄木板長3米，寬2.2米呢？為什么？ABC1m2m∵木板的寬2.2米大于1米，∴橫著不能從門框通過；∵木板的寬2.2米大于2米，∴豎著也不能從門框通過．∴只能試試斜著能否通過，對角線AC的長最大，因此需要求出AC的長，怎樣求呢？第十六頁，共四十八頁，2022年，8月28日想一想例1一個門框的尺寸如圖所示，一塊長3m，寬2.2m的長方形薄木板能否從門框內(nèi)通過？為什么？

解：在Rt△ABC中，根據(jù)勾股定理，得AC2=AB2+BC2=12+22=5．AC=≈2.24．因為大于木板的寬2.2m，所以木板能從門框內(nèi)通過．將實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，建立幾何模型，畫出圖形，分析已知量、待求量，讓學(xué)生掌握解決實際問題的一般套路．ABCD1m2m第十七頁，共四十八頁，2022年，8月28日小東拿著一根長竹竿進(jìn)一個寬為3米的城門，他先橫著拿不進(jìn)去，又豎起來拿，結(jié)果竹竿比城門高1米，當(dāng)他把竹竿斜著時，兩端剛好頂著城門的對角，問竹竿長多少米？解:設(shè)竹竿長X米,則城門高為(X－1)米.根據(jù)題意得:32+(X－1)

2=X29+X2

－2X+1=X210－2X=02X=10X=5答:竹竿長5米第十八頁，共四十八頁，2022年，8月28日有一個小朋友拿著一根竹竿要通過一個長方形的門，如果把竹竿豎放就比門高出1尺，斜放就恰好等于門的對角線，已知門寬4尺，求竹竿高與門高.解:設(shè)竹竿高X尺,則門高為(X－1)尺.根據(jù)題意得:42+(X－1)

2=X216+X2

－2X+1=X217－2X=02X=17X=8.5答:竹竿高8.5尺,門高為7.5尺.第十九頁，共四十八頁，2022年，8月28日例3:在我國古代數(shù)學(xué)著作《九章算術(shù)》中記載了一道有趣的問題這個問題意思是：有一個水池，水面是一個邊長為10尺的正方形,在水池的中央有一根新生的蘆葦，它高出水面1尺，如果把這根蘆葦拉向岸邊，它的頂端恰好到達(dá)岸邊的水面，問這個水池的深度和這根蘆葦?shù)拈L度各是多少？DABC解:設(shè)水池的深度AC為X米,則蘆葦高AD為(X+1)米.根據(jù)題意得:BC2+AC2=AB2∴52+X2=(X+1)225+X2=X2+2X+1

X=12∴X+1=12+1=13(米)答:水池的深度為12米,蘆葦高為13米.第二十頁，共四十八頁，2022年，8月28日（3）有一個邊長為50dm的正方形洞口，想用一個圓蓋去蓋住這個洞口，圓的直徑至少多長？（結(jié)果保留整數(shù)）50dmABCD解：∵在Rt△ABC中，∠B=90°,AC=BC=50,∴由勾股定理可知：第二十一頁，共四十八頁，2022年，8月28日想一想問題如果知道平面直角坐標(biāo)系坐標(biāo)軸上任意兩點的坐標(biāo)為（x，0），（0，y），你能求這兩點之間的距離嗎？

第二十二頁，共四十八頁，2022年，8月28日例1：一個2.5m長的梯子AB斜靠在一豎直的墻AC上，這時AC的距離為2.4m．如果梯子頂端A沿墻下滑0.4m，那么梯子底端B也外移0。4m嗎？

DE解：在Rt△ABC中，∵∠ACB=90°

∴AC2+BC2＝AB22.42+BC2＝2.52∴BC＝0.7m由題意得：DE＝AB＝2.5mDC＝AC－AD＝2.4－0.4＝2m在Rt△DCE中，∴BE＝1.5－0.7＝0.8m≠0.4m答；梯子底端B不是外移0.4m

∵∠DCE=90°

∴DC2+CE2＝DE222+BC2＝2.52∴CE＝1.5m第二十三頁，共四十八頁，2022年，8月28日在數(shù)學(xué)中也有這樣一幅美麗的“海螺型”圖案由此可知,利用勾股定理,可以作出長為111111111111111111第七屆國際數(shù)學(xué)教育大會的會徽1數(shù)學(xué)海螺圖：你能在數(shù)軸上表示出的點嗎？的線段.第二十四頁，共四十八頁，2022年，8月28日-10

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23你能在數(shù)軸上表示出的點嗎？你能在數(shù)軸上畫出表示的點嗎？探究1:√√學(xué).科.網(wǎng)第二十五頁，共四十八頁，2022年，8月28日01234步驟：lABC1、在數(shù)軸上找到點A,使OA=3;2、作直線l⊥OA,在l上取一點B，使AB=2;3,以原點O為圓心，以O(shè)B為半徑作弧，弧與數(shù)軸交于C點，則點C即為表示的點。你能在數(shù)軸上畫出表示的點和的點嗎？∴點C即為表示的點你能在數(shù)軸上畫出表示的點嗎？探究1:第二十六頁，共四十八頁，2022年，8月28日01234lABC你能在數(shù)軸上畫出表示的點和的點嗎？√√01234ABCzxxkw第二十七頁，共四十八頁，2022年，8月28日1、如圖為4×4的正方形網(wǎng)格,以格點與點A為端點,你能畫出幾條邊長為的線段?A練習(xí)&1?第二十八頁，共四十八頁，2022年，8月28日2.如圖，D(2,1),以O(shè)D為一邊畫等腰三角形，并且使另一個頂點在x軸上，這樣的等腰三角形能畫多少個?寫出落在x軸上的頂點坐標(biāo).ＯＤ⌒ＣＥＦＨxy練習(xí)&1?第二十九頁，共四十八頁，2022年，8月28日例4:矩形ABCD如圖折疊，使點D落在BC邊上的點F處，已知AB=8，BC=10，求折痕AE的長。ABCDFE解:設(shè)DE為X,X(8-X)則CE為(8－X).由題意可知:EF=DE=X,XAF=AD=1010108∵∠B=90°

∴AB2+BF2＝AF282+BF2＝102∴BF＝6∴CF＝BC－BF＝10－6＝464∵∠C=90°

∴CE2+CF2＝EF2(8－X)2+42=X264－16X+X2+16=X280－16X=016X=80X=5第三十頁，共四十八頁，2022年，8月28日長方形ABCD如圖折疊，使點D落在BC邊上的點F處，已知AB=8，BC=10，求折痕AE的長。ABCDFE810810106xx8-x4?探究3:折疊問題第三十一頁，共四十八頁，2022年，8月28日ABCDEF如右圖將矩形ABCD沿直線AE折疊,頂點D恰好落在BC邊上F處,已知CE=3,AB=8,則BF=___________。折疊問題第三十二頁，共四十八頁，2022年，8月28日折疊長方形紙片，先折出折痕對角線BD，在繞點D折疊，使點A落在BD的E處，折痕DG，若AB=4，BC=3，求AG的長。DAGBCE練習(xí)&3?4x3434-xx3你還能用其他方法求AG的長嗎？折疊問題第三十三頁，共四十八頁，2022年，8月28日折疊長方形紙片，先折出折痕對角線BD，在繞點D折疊，使點A落在BD的E處，折痕DG，若AB=4，BC=3，求AG的長。DAGBCE練習(xí)&3?4x3434-xx3你還能用其他方法求AG的長嗎？折疊問題第三十四頁，共四十八頁，2022年，8月28日如圖，小潁同學(xué)折疊一個直角三角形的紙片，使A與B重合，折痕為DE，若已知AC=10cm，BC=6cm,你能求出CE的長嗎？CABDEx10-x6練習(xí)&2?10-xzxxkw折疊問題第三十五頁，共四十八頁，2022年，8月28日邊長為8和4的矩形OABC的兩邊分別在直角坐標(biāo)系的x軸和y軸上，若沿對角線AC折疊后，點B落在第四象限B1處，設(shè)B1C交X軸于點D，求（1）點D的坐標(biāo)；（2）三角形ADC的面積；（3）點B1的坐標(biāo).OCBAB1D123E8484xyzz8-z探究2:435折疊問題第三十六頁，共四十八頁，2022年，8月28日如圖，有一個直角三角形紙片，兩直直角邊AC=6cm,BC=8cm,現(xiàn)將直角邊AC沿∠CAB的角平分線AD折疊，使它落在斜邊AB上，且與AE重合，你能求出CD的長嗎？AECDBE折疊問題第三十七頁，共四十八頁，2022年，8月28日例2：如圖，鐵路上A，B兩點相距25km，C，D為兩莊，DA⊥AB于A，CB⊥AB于B，已知DA=15km,CB=10km，現(xiàn)在要在鐵路AB上建一個土特產(chǎn)品收購站E，使得C，D兩村到E站的距離相等，則E站應(yīng)建在離A站多少km處？CAEBDx25-x解：設(shè)AE=xkm，根據(jù)勾股定理，得AD2+AE2=DE2

BC2+BE2=CE2又∵DE=CE∴AD2+AE2=BC2+BE2即：152+x2=102+（25-x)2答：E站應(yīng)建在離A站10km處。∴X=10則BE=（25-x）km1510第三十八頁，共四十八頁，2022年，8月28日AB我怎么走會最近呢?1.有一個圓柱,它的高等于12厘米,底面半徑等于3厘米,在圓柱下底面上的A點有一只螞蟻,它想從點A爬到點B,螞蟻沿著圓柱側(cè)面爬行的最短路程是多少?(π的值取3)

BA高12cmBA長18cm(π的值取3)9cm∵AB2=92+122=81+144=225=∴AB=15(cm)螞蟻爬行的最短路程是15厘米.152展開問題第三十九頁，共四十八頁，2022年，8月28日有一圓柱，底面圓的周長為24cm，高為6cm，一只螞蟻從底面的A處爬行到對角B處吃食物，它爬行的最短路線長為多少？ABBAC螞蟻從距底面1cm的A處爬行到對角B處吃食物，它爬行的最短路線長為多少？ABBAC探究1:分析：由于螞蟻是沿著圓柱的表面爬行的，故需把圓柱展開成平面圖形.根據(jù)兩點之間線段最短，可以發(fā)現(xiàn)A、B分別在圓柱側(cè)面展開圖的寬6cm處和長24cm中點處，即AB長為最短路線.(如圖)12612513展開問題第四十頁，共四十八頁，2022年，8月28日A變式1：

有一木質(zhì)圓柱形筆筒的高為h，底面半徑為r，現(xiàn)要圍繞筆筒的表面由A至C，（A,C在圓柱的同一軸截面上）鑲?cè)胍粭l銀色金屬線作為裝飾，這條金屬線的最短長度是多少？CBADCzxxkw學(xué).科.網(wǎng)第四十一頁，共四十八頁，2022年，8月28日

如圖,一圓柱高8cm,底面半徑2cm,一只螞蟻從點A爬到點B處吃食,要爬行的最短路程(取3）是()A.20cmB.10cmC.14cmD.無法確定BB8OA2蛋糕ACB練習(xí)第四十二頁，共四十八頁，2022年，8月28日4.如圖是一個三級臺階，它的每一級的長寬和高分別為20dm、3dm、2dm，A和B是這個臺階兩個相對的端點，A點有一只螞蟻，想到B點去吃可口的食物，則螞蟻沿著臺階面爬到B點最短路程是多少？2032AB２０