初級中學(xué)數(shù)學(xué)規(guī)律探究題

歸納猜想型問題考點一：猜想數(shù)式規(guī)律通常給定一些數(shù)字、代數(shù)式、等式或者不等式，然后猜想其中蘊含的規(guī)律。般解法是先寫出數(shù)式（比較不同等式間相同位置的基本結(jié)構(gòu)，然后通過橫比（比較同一等式中不同部分的數(shù)量關(guān)系）或縱比的數(shù)量關(guān)系）找出各部分的特征，改寫成要求的格式。（比較不同等式間相同位置.（巴中）觀察下面的單項式：a,-2a2,4a3,-8a4,…根據(jù)你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律，第8個式子是;第n個數(shù)據(jù)應(yīng)為。1234TOC\o"1-5"\h\z.（南平）給定一列按規(guī)律排列的數(shù)：2,S'1?！?7,則這列數(shù)的第6個數(shù)是（）7D.——7D.——39a.37b.2c.3135.（黔東南州）觀察規(guī)律：1=12；1+3=22;1+3+5=32;1+3+5+7=42;…，則1+3+5+?+2015的值是..（沈陽）有一組等式：12+22+22=32,22+32+62=72,32+42+122=132,42+52+202=212…請觀察它們的構(gòu)成規(guī)律，用你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律寫出第8個等式為.5.（衡陽）觀察下列按順序排列的等式：想第5.（衡陽）觀察下列按順序排列的等式：想第n個等式（n為正整數(shù)）：an=11a1=1-3,a2=2111114,a3=35,a4=4抵…，試猜6.（南寧）有這樣一組數(shù)據(jù)a16.（南寧）有這樣一組數(shù)據(jù)a1,a2,a3,???an,滿足以下規(guī)律:111a1=2,a2=1a1,a3=1a2,1an=1an=1an1（門》2且門為正整數(shù)）,則a2016的值為（結(jié)果用數(shù)字表示）7.（廣安）已知直線y=7.（廣安）已知直線y=（n1）x

n21（n為正整數(shù)）與坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積為Sn,則n28.S1+S2+S3+8.S1+S2+S3+…+S2016=…“1（大慶）已知——13依據(jù)上述規(guī)律，計算1_（1°）3113111一（35231135571、1一），5571的結(jié)果為20152017.將全體正整數(shù)排成一個三角形數(shù)陣：123456;第n;第n行（n>3從左到右的第3按照以上排列的規(guī)律，第5行從左到右的第3個數(shù)為個數(shù)為.（用含n的代數(shù)式表示）.請看楊輝三角（1）,并觀察下列等式（2）

11111121133114641TOC\o"1-5"\h\z(ab)ab22_2(ab)a2abb(ab)3a33a2b3ab2b3根據(jù)前面各式的規(guī)律，則（ab）6考點二：猜想圖形規(guī)律根據(jù)一組相關(guān)圖形的變化規(guī)律，從中總結(jié)通過圖形的變化所反映的規(guī)律。其中，以圖形為載體的數(shù)字規(guī)律最為常見。猜想這種規(guī)律，需要把圖形中的有關(guān)數(shù)量關(guān)系列式表達出來，再對所列式進行對照，仿照猜想數(shù)式規(guī)律的方法得到最終結(jié)論。.（牡丹江）用大小相同的小三角形擺成如圖所示的圖案，按照這樣的規(guī)律擺放,則第n個圖案中共有小三角形的個數(shù)是AAAAA△△A八八八八△△

△△△△弗二3八AAAA△△根據(jù)前面各式的規(guī)律，則（ab）6考點二：猜想圖形規(guī)律根據(jù)一組相關(guān)圖形的變化規(guī)律，從中總結(jié)通過圖形的變化所反映的規(guī)律。其中，以圖形為載體的數(shù)字規(guī)律最為常見。猜想這種規(guī)律，需要把圖形中的有關(guān)數(shù)量關(guān)系列式表達出來，再對所列式進行對照，仿照猜想數(shù)式規(guī)律的方法得到最終結(jié)論。.（牡丹江）用大小相同的小三角形擺成如圖所示的圖案，按照這樣的規(guī)律擺放,則第n個圖案中共有小三角形的個數(shù)是AAAAA△△A八八八八△△

△△△△弗二3八AAAA△△△△△△△△△△△.（婁底）如圖，是用火柴棒拼成的圖形，則第n個圖形需根火柴棒..（江西）觀察下列圖形中點的個數(shù)，若按其規(guī)律再畫下去，可以得到第n個圖形中所有點的個數(shù)為（用含n的代數(shù)式表示）..（呼和浩特）如圖，下列圖案均是長度相同的火柴按一定的規(guī)律拼搭而成：第1個圖案需7根火柴,第2個圖案需13根火柴，…，依此規(guī)律，第11個圖案需根火柴.第/個第二個第/個5.（遂寧）為慶祝六兒童節(jié)，某幼兒園舉行用火柴棒擺金魚”比賽.如圖所示：按照上面的規(guī)律,擺第（n）圖，需用火柴棒的根數(shù)為?5.（遂寧）為慶祝六兒童節(jié)，某幼兒園舉行用火柴棒擺金魚”比賽.如圖所示：按照上面的規(guī)律,擺第（n）圖，需用火柴棒的根數(shù)為?)IX6.（深圳）如圖，每一幅圖中均含有若⑶F個正方形，第1幅圖中有1個正方形；第2幅圖中有5個正方.如圖所示，下列圖形是將正三角形按一定規(guī)律排列，則第5個圖形中所有正三角形的個數(shù)為.如圖是一組有規(guī)律的圖案，圖案1是由4個令組成的，圖案2是由7個⑥組成的，那么圖案3是由個⑥組成的，依此，第n個圖案是由個，碟'組成的..（2015重慶（B）,8,3分）下列圖形都是由幾個黑色和白色的正方形按一定規(guī)律組成，圖1中有2個黑色正方形，圖2中有5個黑色正方形，圖3中有8個黑色正方形，圖4中有11個黑色正方形，…,依此規(guī)律，圖11中黑色正方形的個數(shù)是（）TOC\o"1-5"\h\z圖1圖2圖3困4A.32B.29C.28D.26.（2015重慶（A）,8,3分）下列圖形中都是由同樣大小的小圓圈按一定規(guī)律組成的，其中第1個圖形中一共有6個小圓圈，第2個圖形中一共有9個小圓圈，第3個圖形中一共有12個小圓圈，…，按此規(guī)律排列，則第7個圖形中小圓圈的個數(shù)為（）OOOOOO…OOOOOOOOOOOOOOOOOOOOO23A.21B.24C.27D.30.將圖1的正方形作如下操作：第1次分別連接對邊中點如圖2,得到5個正方形；第2次將圖2左上角正方形按上述方法再分割如圖3,得到9個正方形…，以此類推，第n次操作后，得到正方形的個數(shù)是

.如圖是一組有規(guī)律的圖案，它們是由邊長相同的正方形和正三角形鑲嵌而成，第（1）個圖案有4個三角形，第（2）個圖案有7個三角形，第（3）個圖案有10個三角形，…依此規(guī)律，第n個圖案有個三角形（用含n的代數(shù)式表示）.平移小菱形?可以得到美麗的“中國結(jié)”圖案，下面四個圖案是由小菱形?平移后得到的類似“中國結(jié)”的圖案，按圖中規(guī)律，第20個圖案中，小菱形的個數(shù)是個.第1第1個第2個第3個第4個.將一個面積為1的等邊三角形挖去連結(jié)三邊中點所組成的三角形（如圖1）后，繼續(xù)挖去連結(jié)剩余各個三角形三邊中點所成的三角形（如圖2、圖3）…如此進行挖下去，第4個圖中，剩余圖形的面積為,那么第n（n為正整數(shù)）個圖中，挖去的所有三角形的面積和為（用含n的代數(shù)式表木）.考點三：幾何圖形計算變化規(guī)律隨著數(shù)字或圖形的變化，它原先的一些性質(zhì)有的不會改變，有的則發(fā)生了變化，而且這種變化是有一定規(guī)律的。比如，在幾何圖形按特定要求變化后，只要本質(zhì)不變，通常的規(guī)律是位置關(guān)系不改變，乘除乘方不改變，減變加法加變減，正號負號要互換這種規(guī)律可以作為猜想的一個參考依據(jù)。.（張家界）如圖，OP=1,過P作PP/OP,得OP1=J2;再過P1作P1P2,OP1且P1P2=1,得OP2=也；又過P2作P2P3,OP2且P2P3=1,得OP3=2；…依此法繼續(xù)作下去，得OP2016=00.（黑龍江）已知等邊三角形ABC的邊長是2,以BC邊上的高AB1為邊作等邊三角形，得到第一個等邊三角形ABiCi,再以等邊三角形ABiCi的BiCi邊上白^高AB2為邊作等邊三角形，得到第二個等邊三角形AB2c2,再以等邊三角形AB2c2的邊B2c2邊上白^高AB3為邊作等邊三角形，得到第三個等邊AB3c3；…，如此下去，這樣得到的第n個等邊三角形ABnCn的面積為..（牡丹江）如圖，邊長為i的菱形ABCD中，/DAB=60°.連結(jié)對角線AC,以AC為邊作第二個菱形ACEF,使/FAC=60°.連結(jié)AE,再以AE為邊作第三個菱形AEGH使/HAE=60°??按此規(guī)律所作的第n個菱形的邊長是.（六盤水）把邊長為i的正方形紙片OABC放在直線m上，OA邊在直線m上，然后將正方形紙片繞著頂點A按順時針方向旋轉(zhuǎn)90°,此時，點O運動到了點Oi處（即點B處），點C運動到了點Ci處，點Ci處，點B運動到了點

述方法經(jīng)過4次旋轉(zhuǎn)后,Bi處，又將正方形紙片

頂點O經(jīng)過的總路程為AOiCiBi繞Bi點，按順時針方向旋轉(zhuǎn)90°按上,經(jīng)過6i次旋轉(zhuǎn)后，頂點O經(jīng)過的總路程為rBtoJ，'rBtoJ，''工i.如圖，點Pi（xi,yi）,P2（X2,y）,…，Pn（xn,yn）均在反比例函數(shù)y—（x>0）的圖象上，右△PiOAi,△P2AiA2,△P3A2A3,…，APnAniAn都是等腰直角三角形，斜邊OAi,AiA2,A2A3,…，AniAn都在X軸上（n是大于或等于2的正整數(shù)），則點P3的坐標(biāo)是，點Pn的坐標(biāo)是.（用含n的代數(shù)式表示）6.二次函數(shù)6.二次函數(shù)yB2,B3--Bn在二次函數(shù)位于第一象限的圖象上，點Ci,C2,C3-Cn在二次函數(shù)位于第二象限的圖象上，四邊形A0BiAiCi,四邊形AiB2A2c2,四邊形A2B3A3c3…四邊形An-iBnAnCn都是菱形，/A0BiAi=/AiB2A2=/A2B3A3-=/An-iBnAn=60°,菱形An-iBnAnCn的周長為

y*O(Aoy*O(Ao)x.（2015浙江湖州，16,4分）已知正方形ABCiDi的邊長為1,延長CiDi到Ai,以A1C1為邊向右作正方形A1C1C2D2,延長C2D2到A2,以A2c2為邊向右作正方形A2c2c3D3,（如圖所示）,以此類推…若AiCi=2,過點A,D2,D3,…Dio都在同一直線上，則正方形A9c9C10D10的邊長是..如圖，將正△ABC分割成m個邊長為1的小正三角形和一個黑色菱形，這個黑色菱形可分割成n個邊長為1的小正三角形，若旨茅則正^ABC的邊長是.AA.設(shè)△ABC的面積為1,如圖1將邊BC,AC分別2等分，BEi,ADi相交于點O,△AOB的面積記為Si；如圖2將邊BC,AC分別3等分，BEi,ADi相交于點O,△AOB的面積記為S2；……，依此類推，則&可表示為（用含n的代數(shù)式表示，其中n為正整數(shù)）.考點四：坐標(biāo)系和表格中的規(guī)律.（聊城）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，一動點從原點O出發(fā)，按向上，向右，向下，向右的方向不斷地移動，每移動一個單位，得到點Ai（0,1）,A2（1,1）,A3（1,0）,A4（2,0）,…那么點A4n+1（n為自然數(shù)）的坐標(biāo)為（用n表示）。

.（撫順）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點A、B、C的坐標(biāo)分別是（-1,-1）、（0,2）、（2,0）,點P在y軸上，且坐標(biāo)為（0,-2）.點P關(guān)于點A的對稱點為Pi,點Pi關(guān)于點B的對稱點為P2,點P2關(guān)于點C的對稱點為P3,點P3關(guān)于點A的對稱點為P4,點P4關(guān)于點B的對稱點為P5,點P5關(guān)于點C的對稱點為P6,點P6關(guān)于點A的對稱點為P7…，按此規(guī)律進行下去，則點P2016的坐標(biāo)是.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，有若干個橫、縱坐標(biāo)均為整數(shù)的點，其順序按圖中“一'方向排列，如（1,0）,（2,0）,（2,1）,（1,1）,（1,2）,（2,2）,…，根據(jù)這個規(guī)律，第2016個點的坐標(biāo)為.yhyh3-2-1-O.（湖州）將連續(xù)正整數(shù)按以下規(guī)律排列，則位于第7行第7列的數(shù)x是第一列莖二列莖三列重四列史五品紀(jì)六列叁七列???拿一打13610IS21第二行2391420第三行4S1526■■■篝四行7121$25---第五行111724■■■第八仃1623■.■第七行22-X.（恩施州）把奇數(shù)列成下表，根據(jù)表中數(shù)的排列規(guī)律，則上起第8行，左起第6列的數(shù)是的頂點Mi,M2,M3,…，Mn都在直線l：y=x上；②拋物線依次經(jīng)過點Ai,A2,A3,…，An.則頂點m2016的坐標(biāo)為（,）.課后練習(xí)考點一：猜想數(shù)式規(guī)律1.(2015湖北黃岡中學(xué)自主招生)兩列數(shù)如下：7,10,13,16,19,22,25,28,31…7,11,15,19,23,27,31,35,39-第1個相同的數(shù)是7,第10個相同的數(shù)是A.115B.127C.139()D.1512.（2015浙江寧波）一列數(shù)b0,b1,b2,…，具有下面的規(guī)律,則b2015的值是b2n+1=bn,b2n+2=bn+bn+1,右b0=1,A.1B.6C.9D.193.（20153.（2015山東德州）一組數(shù)1,1,2,x,之和”，那么這組數(shù)中y表示的數(shù)為5,y,…滿足從第三個數(shù)起，每個數(shù)都等于它前面的兩個數(shù)（4.A.8B.9C.13圖形中M與（m,)A.M=mn（2013山東日照）如圖，下列各圖形中的三個數(shù)之間均具有相同的規(guī)律.n的關(guān)系是MD.15根據(jù)此規(guī)律,D.M=m(n+1)13579.（2014貴州畢節(jié)）觀察下列一組數(shù):49,方王,話…，它們是按一定規(guī)律排列的，那么這一組數(shù)據(jù)的第n個數(shù)是.人民公園的側(cè)門口有9級臺階，小聰一步只能上1級臺階或2級臺階，小聰發(fā)現(xiàn)當(dāng)臺階數(shù)分別為1級、2級、3級、4級、5級、6級、7級…逐漸增加時，上臺階的不同方法的種數(shù)依次為1、2、3、5、8、13、21…這就是著名的斐波那契數(shù)列.那么小聰上這9級臺階共有種不同方法.].（2014江蘇揚州，18,3分）設(shè)a1，a2,…，a2014是從1,0,-1這三個數(shù)中取值的一列數(shù)，若a1+a2+…+a2014=69,（a1+1）2+（a2+1）2+…+（a2014+1）2=4001,則a1，a2,…，a2014中為0的個數(shù)是..數(shù)學(xué)家歌德巴赫通過研究下面一系列等式，作出了一個著名的猜想.4=2+2;6=3+3;4=2+2;6=3+3;8=3+5;10=3+7=5+512=5+7;14=3+11=7+7;16=3+13=5+11;18=5+13=7+11;9.通過這組等式,

觀察下列等式:你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律是（請用文字語言表達）.第一個等式:a1312221.2，222第二個等式:a2第三個等式:9.通過這組等式,

觀察下列等式:你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律是（請用文字語言表達）.第一個等式:a1312221.2，222第二個等式:a2第三個等式:a353424323第四個等式:a44232364525122214241.3，323525按上述規(guī)律,回答以下問題:（1）用含n的代數(shù)式表示第n個等式:(2)式子仇(2)式子仇a2a3a2010.下面是一個按某種規(guī)律排列的數(shù)陣：1.2.32.5.610.下面是一個按某種規(guī)律排列的數(shù)陣：1.2.32.5.6,7223,.記.行-13、值,154,173,2第2行2國第3行^192而第4行根據(jù)數(shù)陣排列的規(guī)律，第n（n是整數(shù)，且n>3）行從左向右數(shù)第n-2個數(shù)是考點二：猜想圖形規(guī)律1.（2015廣東深圳，9,4分）觀察下列圖形，它們是按一定規(guī)律排列的，依照此規(guī)律，第5個圖形有個太陽.家祭京祭奈察奈奈奈/森森森丑裊丑總丑邕甘丑方得:&丑圖1圖2圖3圖42.觀察下列圖形規(guī)律：當(dāng)n=2.觀察下列圖形規(guī)律：當(dāng)n=時，圖形“■的個數(shù)和△”的個數(shù)相等..希臘人常用小石子在沙灘上擺成各種形狀來研究數(shù).例如：他們研究過圖由于這些數(shù)能夠表示成三角形，將其稱為三角形數(shù)；類似地，稱圖稱為正方形數(shù).下列數(shù)中既是三角形數(shù)又是正方形數(shù)的是1中的1,3,6,10,…,2中的1,4,9,16…這樣的數(shù)16A.289.希臘人常用小石子在沙灘上擺成各種形狀來研究數(shù).例如：他們研究過圖由于這些數(shù)能夠表示成三角形，將其稱為三角形數(shù)；類似地，稱圖稱為正方形數(shù).下列數(shù)中既是三角形數(shù)又是正方形數(shù)的是1中的1,3,6,10,…,2中的1,4,9,16…這樣的數(shù)16A.289B.1024C.1225.如圖，在一個三角點陣中，從上向下數(shù)有無數(shù)多行，其中各行點數(shù)依次為你探究出前n行的點數(shù)和所滿足的規(guī)律.若前n行點數(shù)和為930,D.13782,4,6,…，2n,…，請n=??At????禺

?????A.29B.30A.29B.305.圖（1）是一個水平擺放的小正方體木塊，圖（C.31D.322）、（3）是由這樣的小正方體木塊疊放而成，那么圖此時.（重慶）下列圖形都是由同樣大小的棋子按形一共有6棵棋子，第③個圖形一共有定的規(guī)律組成，其中第①個圖形有1棵棋子，第②個圖16棵棋子，…，則第⑥個圖形中棋子的顆數(shù)為（國①此時.（重慶）下列圖形都是由同樣大小的棋子按形一共有6棵棋子，第③個圖形一共有定的規(guī)律組成，其中第①個圖形有1棵棋子，第②個圖16棵棋子，…，則第⑥個圖形中棋子的顆數(shù)為（國①A.51B.70C.76.（2012浙江麗水，10,3分）小明用棋子擺放圖形來研究數(shù)的規(guī)律,D.81圖1中棋子圍成三角形，其顆數(shù)3,（2）中的小正方形有塊；按照這樣的規(guī)律繼續(xù)疊放下去，至第七個疊放的圖形,第七個圖形中小正方體木塊總數(shù)應(yīng)是塊.6,9,12,…稱為三角形數(shù)，類似地，圖2中的4,8,12,16,…稱為正方形數(shù)，下列數(shù)中既是三角形數(shù)又是正方形數(shù)的是（）???????????A.2010B.2012C.2014D.2016形中共有8形中共有82個三角形，第二個圖8.(2014重慶，10,4分)下列圖形都是按照一定規(guī)律組成，第一個圖形中共有14個三角形，…，依此規(guī)律，第五個圖形中三角形的個數(shù)第三個圖形A.229.觀察下列圖形，它們是按B.24C.26定的規(guī)律排列的，依照此規(guī)律，第D.2820個圖形中的表”有★★第1個圖形★★

★★★第2個圖形★★★★★

★★★★第3個圖形★*★★★★★★★★★★第4個圖形A.57個B.60個C.63個D.85個10個點，第3()C.10個點，第3()C.61A.38B.46D.64.觀察下列一組圖形中點的個數(shù)，其中第一個圖形中共有4個點，第2個圖形中共有個圖形中共有19個點，…按此規(guī)律第6.如圖，4ABC的三個頂點和它內(nèi)部的點P1,把4ABC分成3個互不重疊的小三角形；4ABC的三個頂點和它內(nèi)部的點P1、P2,把△ABC分成5個互不重疊的小三角形；△ABC的三個頂點和它內(nèi)部的點P1、P2、P3,把△ABC分成7個互不重疊的小三角形；…4ABC的三個頂點和它內(nèi)部的點P1、P2、P3、…、Pn,把4ABC分成個互不重疊的小三角形..觀察下列圖形的構(gòu)成規(guī)律，依照此規(guī)律，第10個圖形中共有根火柴棒.（用含n的代數(shù)式表示）.如圖是由火柴棒搭成的幾何圖案，則第根火柴棒.（用含n的代數(shù)式表示）4根rt=J4根rt=J.梅花朵朵迎春來”，下面四個圖形是由小梅花煙擺成的一組有規(guī)律的圖案，按圖中規(guī)律，第n個圖形中小梅花的個數(shù)是.考點三：幾何圖形計算變化規(guī)律.如圖，在^AiBiCi中，已知AiBi=7,BiCi=4,AiCi=5,依次連接^AiBiCi三邊中點，得^A2B2C2,再依次連接^A2B2c2的三邊中點得△A3B3c3,…，則4A5B5c5的周長為A.偽印.已知RtAABC中，/C=90°,BC=i,AC=4,如圖所示把邊長分別為xi,X2,X3,…，xn的n個正方形依次放入4ABC中，則第n個正方形的邊長Xn=（用含n的式子表示，n>i）.如圖，正^ABC的邊長為2,以BC邊上的高ABi為邊作正^ABiCi,△ABC與△ABiCi公共部分的面積記為Si；再以正△ABiCi邊BiCi上的高AB2為邊作正^AB2c2,△ABiCi與△AB2c2公共部分的面積記為S2；…，以此類推，則S=.（用含n的式子表示）.如圖，在矩形ABCD中，已知AB=4,BC=3,矩形在直線上繞其右下角的頂點B向右旋轉(zhuǎn)90。至圖①位置，再繞右下角的頂點繼續(xù)向右旋轉(zhuǎn)90。至圖②位置，…，以此類推，這樣連續(xù)旋轉(zhuǎn)20i5次后，頂點A在整個旋轉(zhuǎn)過程中所經(jīng)過的路程之和是。

H萬①②⑤.如圖，將那BC沿著過AB中點D的直線折疊，使點A落在BC邊上的Ai處，稱為第1次操作，折痕DE到BC的距離記為hi；還原紙片后，再將那DE沿著過AD中點Di的直線折疊，使點A落在DE邊上的A2處，稱為第2次操作，折痕DiEi到BC的距離記為h2；按上述方法不斷操作下去…，經(jīng)過第2015次操作后得到的折痕D20I4E20I4到BC的距離記為h20I5,到BC的距離記為h20I5.若hi=i,貝Uh20i5的值為..如圖，已知Ai,A2,A3,…，An,An+i是x軸上的點，且OAi=AiA2=A2A3=…=AnAn+i=i,分別過點Ai,A2,A3,…，An,An+i作x軸的垂線，交直線y=2x于點Bi,B2,B3,…，Bn,Bn+i,連接AiB2,BiA2,A2B3,B2A3,…，AnBn+i,BnAn+i,依次相交于點Pi,P2,P3,…，Pn.△AiBiPi,△A2B2P2,Si,S2,S3,…，Sn,則Sn為△A3B3P3,…，△AnSi,S2,S3,…，Sn,則Sn為A.ni2niB.n3ni2n2niA.ni2niB.n3ni2n2ni7.如圖，已知點Ai,A2,…，An均在直線yxi上，點Bi,B2,…，Bn均在雙曲線y-±,

x并且，滿足：AiBi^x軸，BiA2，y軸，A2B2，x軸，B2A3，y軸，…，AnBn^x軸，BnAn+i^y軸,記點An的橫坐標(biāo)