三年級(jí)奧數(shù)教程

三年級(jí)奧數(shù)教程三年級(jí)奧數(shù)教程三年級(jí)奧數(shù)教程xxx公司三年級(jí)奧數(shù)教程文件編號(hào)：文件日期：修訂次數(shù)：第1.0次更改批準(zhǔn)審核制定方案設(shè)計(jì)，管理制度目錄TOC\o"1-3"\h\u27648第一講速算與巧算 130822(一)加減法中的計(jì)算 27568(二)乘除法中的計(jì)算 31394第二講找規(guī)律 625692（一）豎列規(guī)律 628121（二）圖形規(guī)律 824801第三講數(shù)字謎 94795（一）橫式字謎 928682（二）豎式字謎 121143（三）趣味九宮格 1516723第四講圖解法解應(yīng)用題 1716628第五講列方程式解應(yīng)用題 203295第六講植樹問題 2113543第七講雞兔同籠問題 255351第八講移多補(bǔ)少平均數(shù) 2714928第九講歸一問題 2920681第十講倒推法 3313422第十一講列舉法 368894第十二講奇數(shù)與偶數(shù) 408390第十三講周期性問題 4419895第十四講有趣的幾何圖形 463064第十五講邏輯推理 504965第十六講一筆畫 5216959第十七講火柴棍游戲 55826(一)擺圖形游戲 5516607(二)移動(dòng)火柴，變換圖形游戲 562717(三)去掉火柴，變換圖形游戲 57

第一講速算與巧算計(jì)算是數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)，小學(xué)生要學(xué)好數(shù)學(xué)，必須具有過硬的計(jì)算本領(lǐng)。準(zhǔn)確、快速的計(jì)算能力既是一種技巧，也是一種思維訓(xùn)練，既能提高計(jì)算效率、節(jié)省計(jì)算時(shí)間，更可以鍛煉記憶力，提高分析、判斷能力，促進(jìn)思維和智力的發(fā)展。森林王國(guó)的歌舞比賽進(jìn)行得既緊張又激烈。選手們?yōu)闋?zhēng)奪冠軍，都在舞臺(tái)上發(fā)揮著自己的最好水平。臺(tái)下的工作人員小熊和小白兔正在統(tǒng)計(jì)著最后的得分。由于他們對(duì)每個(gè)選手分?jǐn)?shù)的及時(shí)通報(bào)，臺(tái)下的觀眾頻頻為選手取得的好成績(jī)而熱烈鼓掌，同時(shí)，觀眾也帶著更濃厚的興趣邊看邊猜測(cè)誰(shuí)能拿到冠軍。觀眾的情緒也影響著兩位分?jǐn)?shù)統(tǒng)計(jì)者。只見分?jǐn)?shù)一到小白兔手中，就像變魔術(shù)般地得出了答案。等小熊滿頭大汗地算出來(lái)時(shí)，小白兔已欣賞了一陣比賽，結(jié)果每次小熊算得結(jié)果和小白兔是一樣的。小熊不禁問：“白兔弟弟，你這么快就算出了答案，有什么決竅嗎？”小白兔說(shuō)：“比如2號(hào)選手是93、95、98、96、88、89、87、91、93、91，去掉最高分98，去掉最低分87，剩下的都接近90為基準(zhǔn)數(shù)，超過90的表示成90+‘零頭數(shù)’，不足90的表示成90－‘零頭數(shù)’。于是（93+95+96+88+89+91+93+91）÷8=90+（3+5+6―2―1+1+3+1）÷8=90+2=92。你可以試一試?！?/p>

小熊照著小白兔說(shuō)的去做，果然既快又對(duì)。這下小熊明白了，掌握了速算的技巧，在工作和生活中的作用很大。它不僅可以節(jié)省運(yùn)算時(shí)間，更主要的是提高了我們的工作效率。我們?cè)谶M(jìn)行速算時(shí)，要根據(jù)題目的具體情況靈活運(yùn)用有關(guān)定律和法則，選擇合理的方法。下面介紹在整數(shù)加減法運(yùn)算中常用的幾種速算方法。加減法中的計(jì)算例題與方法指導(dǎo)：例1、用簡(jiǎn)便方法計(jì)算下面各題：（1）63+48+173+37+52（2）9+99+999+9999+4例2、用簡(jiǎn)便方法計(jì)算計(jì)算下面各題：⑴1000－90－80－20－10（2）1508－561＋61例3、用簡(jiǎn)便方法計(jì)算計(jì)算下面各題：⑴576＋（432－176）⑵1689＋999－689例4、計(jì)算（22＋24＋26＋28＋30＋32）－（21＋23＋25＋27＋29＋31）訓(xùn)練鞏固1．用簡(jiǎn)便方法計(jì)算計(jì)算下面各題：⑴1362＋973＋638＋27⑵7443＋2485＋567＋2452．下面各題，怎樣簡(jiǎn)便就怎樣計(jì)算：⑴1886＋1998⑵5426－29953．計(jì)算：⑴1088＋988＋88＋36⑵49999＋4999＋499＋49＋44.計(jì)算：⑴103＋99＋103＋97＋106＋102＋98＋98＋101+102拓展提升1．用簡(jiǎn)便方法計(jì)算下面各題：⑴9＋99＋999＋9999⑵4996＋3993＋2992＋1991＋982．下面各題，怎樣簡(jiǎn)便就怎樣計(jì)算：⑴93＋92＋88＋89＋90＋91＋88＋87＋94＋89⑵20＋19－18－17＋16＋15－14－13＋12＋11－10－9＋8＋7－6－5＋4＋3－2－13.計(jì)算下面各題：⑴（38＋42＋46＋50＋54＋58＋62＋66＋70）－（37＋41＋45＋49＋53＋57＋61＋65＋69）⑵（1999＋1997＋1995＋……＋3＋1）－（1998＋1996＋1994＋……＋4＋2）(二)乘除法中的計(jì)算一、例題與方法指導(dǎo)：兩個(gè)數(shù)之和等于10，則稱這兩個(gè)數(shù)互補(bǔ)。在整數(shù)乘法運(yùn)算中，常會(huì)遇到像72×78，26×86等被乘數(shù)與乘數(shù)的十位數(shù)字相同或互補(bǔ)，或被乘數(shù)與乘數(shù)的個(gè)位數(shù)字相同或互補(bǔ)的情況。72×78的被乘數(shù)與乘數(shù)的十位數(shù)字相同、個(gè)位數(shù)字互補(bǔ)，這類式子我們稱為“頭相同、尾互補(bǔ)”型；26×86的被乘數(shù)與乘數(shù)的十位數(shù)字互補(bǔ)、個(gè)位數(shù)字相同，這類式子我們稱為“頭互補(bǔ)、尾相同”型。計(jì)算這兩類題目，有非常簡(jiǎn)捷的速算方法，分別稱為“同補(bǔ)”速算法和“補(bǔ)同”速算法。例1（1）76×74＝

（2）31×39＝？思路導(dǎo)航：本例兩題都是“頭相同、尾互補(bǔ)”類型。（1）由乘法分配律和結(jié)合律，得到76×74＝（7＋6）×（70+4）＝（70＋6）×70＋（7＋6）×4＝70×70＋6×70＋70×4＋6×4＝70×（70＋6＋4）＋6×4＝70×（70＋10）＋6×4＝7×（7+1）×100＋6×4。于是，我們得到下面的速算式：（2）與（1）類似可得到下面的速算式：由例1看出，在“頭相同、尾互補(bǔ)”的兩個(gè)兩位數(shù)乘法中，積的末兩位數(shù)是兩個(gè)因數(shù)的個(gè)位數(shù)之積（不夠兩位時(shí)前面補(bǔ)0，如1×9＝09），積中從百位起前面的數(shù)是被乘數(shù)（或乘數(shù)）的十位數(shù)與十位數(shù)加1的乘積?！巴a(bǔ)”速算法簡(jiǎn)單地說(shuō)就是：積的末兩位是“尾×尾”，前面是“頭×（頭+1）”。我們?cè)趯W(xué)到的15×15，25×25，…，95×95的速算，實(shí)際上就是“同補(bǔ)”速算法。例2（1）78×38＝

（2）43×63＝？思路導(dǎo)航：本例兩題都是“頭互補(bǔ)、尾相同”類型。（1）由乘法分配律和結(jié)合律，得到78×38＝（70＋8）×（30＋8）＝（70＋8）×30＋（70＋8）×8＝70×30+8×30＋70×8＋8×8＝70×30＋8×（30＋70）＋8×8＝7×3×100＋8×100＋8×8＝（7×3＋8）×100＋8×8。于是，我們得到下面的速算式：（2）與（1）類似可得到下面的速算式：由例2看出，在“頭互補(bǔ)、尾相同”的兩個(gè)兩位數(shù)乘法中，積的末兩位數(shù)是兩個(gè)因數(shù)的個(gè)位數(shù)之積（不夠兩位時(shí)前面補(bǔ)0，如3×3＝09），積中從百位起前面的數(shù)是兩個(gè)因數(shù)的十位數(shù)之積加上被乘數(shù)（或乘數(shù)）的個(gè)位數(shù)。“補(bǔ)同”速算法簡(jiǎn)單地說(shuō)就是：積的末兩位數(shù)是“尾×尾”，前面是“頭×頭+尾”。例1和例2介紹了兩位數(shù)乘以兩位數(shù)的“同補(bǔ)”或“補(bǔ)同”形式的速算法。當(dāng)被乘數(shù)和乘數(shù)多于兩位時(shí)，情況會(huì)發(fā)生什么變化呢？

我們先將互補(bǔ)的概念推廣一下。當(dāng)兩個(gè)數(shù)的和是10，100，1000，…時(shí)，這兩個(gè)數(shù)互為補(bǔ)數(shù)，簡(jiǎn)稱互補(bǔ)。如43與57互補(bǔ)，99與1互補(bǔ)，555與445互補(bǔ)。在一個(gè)乘法算式中，當(dāng)被乘數(shù)與乘數(shù)前面的幾位數(shù)相同，后面的幾位數(shù)互補(bǔ)時(shí)，這個(gè)算式就是“同補(bǔ)”型，即“頭相同，尾互補(bǔ)”型。例如7077×7023，因?yàn)楸怀藬?shù)與乘數(shù)的前兩位數(shù)相同，都是70，后兩位數(shù)互補(bǔ)，77＋23＝100，所以是“同補(bǔ)”型。又如148×152，238×232等都是“同補(bǔ)”型。當(dāng)被乘數(shù)與乘數(shù)前面的幾位數(shù)互補(bǔ)，后面的幾位數(shù)相同時(shí)，這個(gè)乘法算式就是“補(bǔ)同”型，即“頭互補(bǔ)，尾相同”型。例如，734×274，9826×226，681×481等都是“補(bǔ)同”型。在計(jì)算多位數(shù)的“同補(bǔ)”型乘法時(shí)，例1的方法仍然適用。例3（1）702×708=

（2）1708×1792＝？解：（1）（2）計(jì)算多位數(shù)的“同補(bǔ)”型乘法時(shí)，將“頭×（頭+1）”作為乘積的前幾位，將兩個(gè)互補(bǔ)數(shù)之積作為乘積的后幾位。注意：互補(bǔ)數(shù)如果是n位數(shù)，則應(yīng)占乘積的后2n位，不足的位補(bǔ)“0”。在計(jì)算多位數(shù)的“補(bǔ)同”型乘法時(shí)，如果“補(bǔ)”與“同”，即“頭”與“尾”的位數(shù)相同，那么例2的方法仍然適用（見例4）；如果“補(bǔ)”與“同”的位數(shù)不相同，那么例2的方法不再適用，因?yàn)闆]有簡(jiǎn)捷實(shí)用的方法，所以就不再討論了。例42865×7265＝？

解：二、訓(xùn)練鞏固計(jì)算下列各題：1.68×62； 2.93×97；3.27×87； 4.79×39；5.42×62； 6.603×607；7.693×607； 8.4085×6085。第二講找規(guī)律（一）豎列規(guī)律按照一定次序排列起來(lái)的一列數(shù)，叫做數(shù)列。如自然數(shù)列：1、2、3、4……；雙數(shù)列：2、4、6、8……。我們研究數(shù)列，目的就是為了發(fā)現(xiàn)數(shù)列中數(shù)排列的規(guī)律，并依據(jù)這個(gè)規(guī)律來(lái)填寫空缺的數(shù)。按照一定的順序排列的一列數(shù)，只要從連續(xù)的幾個(gè)數(shù)中找到規(guī)律，那么就可以知道其余所有的數(shù)。尋找數(shù)列的排列規(guī)律，除了從相鄰兩數(shù)的和、差考慮，有時(shí)還要從積、商考慮。善于發(fā)現(xiàn)數(shù)列的規(guī)律是填數(shù)的關(guān)鍵。例題與方法指導(dǎo)例1在括號(hào)內(nèi)填上合適的數(shù)。（1）3，6，9，12，（），（）（2）1，2，4，7，11，（），（）（3）2，6，18，54，（），（）思路導(dǎo)航：（1）在數(shù)列3，6，9，12，（），（）中，前一個(gè)數(shù)加上3就等于后一個(gè)數(shù)，相鄰兩個(gè)數(shù)的差都是3，根據(jù)這一規(guī)律，可以確定（）里分別填15和18；（2）在數(shù)列1，2，4，7，11，（），（）中，第一個(gè)數(shù)增加1等于第二個(gè)數(shù)，第二個(gè)數(shù)增加2等于第三個(gè)數(shù)，也就是相鄰兩個(gè)數(shù)的差依次是1，2，3，4……這樣下一個(gè)數(shù)應(yīng)為11增加5，所以應(yīng)填16；再下一個(gè)數(shù)應(yīng)比16大6，填22。（3）在數(shù)列2，6，18，54，（），（）中，后一個(gè)數(shù)是前一個(gè)數(shù)的3倍，根據(jù)這一規(guī)律可知道（）里應(yīng)分別填162和486。例2先找出規(guī)律，再在括號(hào)里填上合適的數(shù)。（1）15，2，12，2，9，2，（），（）；（2）21，4，18，5，15，6，（），（）；思路導(dǎo)航：（1）在15，2，12，2，9，2，（），（）中隔著看，第一個(gè)數(shù)減3是第三個(gè)數(shù)，第三個(gè)數(shù)減3是第五個(gè)數(shù)，第二、四、六的數(shù)不變。根據(jù)這一規(guī)律，可以確定括號(hào)里分別應(yīng)填6、2；（2）在21，4，18，5，15，6，（），（）中，隔著看第一個(gè)數(shù)減3為第三個(gè)數(shù)，第三個(gè)數(shù)減3為第五個(gè)數(shù)。第二個(gè)數(shù)增加1為第四個(gè)數(shù)，第四個(gè)數(shù)增加1是第六個(gè)數(shù)。根據(jù)這一規(guī)律，可以確定括號(hào)里分別應(yīng)填12和7。訓(xùn)練鞏固1，在括號(hào)里填數(shù)。（1）2，4，6，8，10，（），（）（2）1，2，5，10，17，（），（）2，按規(guī)律填數(shù)。（1）2，8，32，128，（），（）（2）1，5，25，125，（），（）3，先找規(guī)律再填數(shù)。（1）2，1，4，1，6，1，（），（）（2）3，2，9，2，27，2，（），（）（3）12，1，10，1，8，1，（），（）4，在括號(hào)里填數(shù)。答（1）18，3，15，4，12，5，（），（）（2）1，15，3，13，5，11，（），（）（3）1，2，5，14，（），（）（二）圖形規(guī)律一、例題與方法指導(dǎo)例：根據(jù)前面圖形里的數(shù)的排列規(guī)律，填入適當(dāng)?shù)臄?shù)。思路導(dǎo)航：（1）橫著看，右邊的比左邊的數(shù)多5，豎著看，下面的數(shù)比上面的數(shù)多4。根據(jù)這一規(guī)律，方格里填18；（2）通過觀察可以發(fā)現(xiàn)，前兩個(gè)圖形三個(gè)數(shù)之間有這樣的關(guān)系：4×8÷2=16，7×8÷4=14，也就是說(shuō)中心數(shù)是上面的數(shù)與左下方數(shù)的乘積除以右下方的數(shù)。根據(jù)這個(gè)規(guī)律，第三個(gè)圖形空格中的數(shù)為9×4÷3=12；（3）橫著看，第一行和第二行中，第一個(gè)數(shù)除以3等于第二個(gè)數(shù)，第一個(gè)數(shù)乘3等于第三個(gè)數(shù)。根據(jù)這一規(guī)律，36×3=108就是空格中的數(shù)。訓(xùn)練鞏固根據(jù)規(guī)律，在空格內(nèi)填數(shù)。（1）187，286，385，（），（）；

思路導(dǎo)航：（1）在187，286，385，（），（）中，十位上的數(shù)字8不變，百位上的數(shù)字是1，2，3…依次增加1，個(gè)位上的數(shù)字是7，6，5…依次減少1，并且百位上的數(shù)字與個(gè)位上的數(shù)字的和為8。根據(jù)這一規(guī)律，括號(hào)里應(yīng)填484，583；（2）通過觀察可以發(fā)現(xiàn)，前兩個(gè)圖形之間有一定聯(lián)系：左上數(shù)十位上的數(shù)字和右上數(shù)個(gè)位上的數(shù)字分別與下面數(shù)的千位、個(gè)位上的數(shù)字相同；左上數(shù)與右上數(shù)十位上的數(shù)字之和為下面數(shù)的百位上的數(shù)字，左上數(shù)與右上數(shù)個(gè)位上的數(shù)字之和為下面數(shù)的十位上的數(shù)字。根據(jù)這一規(guī)律，空格內(nèi)應(yīng)填3594。第三講數(shù)字謎小朋友們都玩過字謎吧，就是一種文字游戲，例如“空中碼頭”（打一城市名）。謎底你還記得嗎？記不得也沒關(guān)系，想想“空中”指什么？“天”。這個(gè)地名第1個(gè)字可能是天?！按a頭”指什么呢？碼頭又稱渡口，聯(lián)系這個(gè)地名開頭是“天”字，容易想到“天津”這個(gè)地名，而“津”正好又是“渡口”的意思。這樣謎底就出來(lái)了：天津。算式謎又被稱為“蟲食算”，意思是說(shuō)一道算式中的某些數(shù)字被蟲子吃掉了無(wú)法辨認(rèn)，需要運(yùn)用四則運(yùn)算各部分之間的關(guān)系，通過推理判定被吃掉的數(shù)字，把算式還原。“蟲食算”主要指橫式算式謎和豎式算式謎，其中未知的數(shù)字常常用□、△、☆等圖形符號(hào)或字母表示。文字算式謎是前兩種算式謎的延伸，用文字或字母來(lái)代替未知的數(shù)字，在同一道算式中不同的文字或字母表示不同的數(shù)字，相同的數(shù)字或字母表示同一個(gè)數(shù)字。文字算式謎也是最難的一種算式謎。在數(shù)學(xué)里面，文字也可以組成許許多多的數(shù)學(xué)游戲，就讓我們一起來(lái)看看吧。橫式字謎例題與方法指導(dǎo)例1□，□8，□97在上面的3個(gè)方框內(nèi)分別填入恰當(dāng)?shù)臄?shù)字，可以使得這3個(gè)數(shù)的平均數(shù)是150。那么所填的3個(gè)數(shù)字之和是多少？

思路導(dǎo)航：150*3-8-97-5=340

所以3個(gè)數(shù)之和為3+4+5=12。例2在下列算式的□中填上適當(dāng)?shù)臄?shù)字，使得等式成立：

（1）6□□4÷56=□0□，

（2）7□□8÷37=□1□，

（3）3□□3÷2□=□17，

（4）8□□□÷58=□□6。分析：（1）6104/56=109（2）7548/37=204

（3）3393/29=117

（4）8468/58=146例3在算式40796÷□□□=□99……98的各個(gè)方框內(nèi)填入適當(dāng)?shù)臄?shù)字后，就可以使其成為正確的等式。求其中的除數(shù)。分析：40796/102=399...98。例4我學(xué)數(shù)學(xué)樂×我學(xué)數(shù)學(xué)樂=數(shù)數(shù)數(shù)學(xué)數(shù)數(shù)學(xué)學(xué)數(shù)學(xué)

在上面的乘法算式中，“我、學(xué)、數(shù)、樂”分別代表的4個(gè)不同的數(shù)字。如果“樂”代表9，那么“我數(shù)學(xué)”代表的三位數(shù)是多少？

分析：學(xué)=1，我=8，數(shù)=6，81619*81619=6661661161例5□÷（□÷□÷□）=24在式中的4個(gè)方框內(nèi)填入4個(gè)不同的一位數(shù)，使左邊的數(shù)比右邊的數(shù)小，并且等式成立。思路導(dǎo)航：這樣，我們可以先用字母代替數(shù)字，原等式寫成：a/(b/c/d)=a/(b/c*d)=a*c*d/b，(a<b<c<d)

當(dāng)a=1時(shí)，有6*8/2=24，8*9/3=24；

當(dāng)a=2時(shí)，有4*9/3=12，6*8/4=12，8*9/6=12；

所以，滿足要求的等式有：1÷（2÷6÷8）=24，1÷（3÷8÷9）=24，2÷（3÷4÷9）=24，2÷（4÷6÷8）=24，2÷（6÷8÷9）=24。例6①□×□=5□；②12+□－□=□，把1至9這9個(gè)數(shù)字分別填入上面兩個(gè)算式的各個(gè)方框中，使等式成立，這里有3個(gè)數(shù)字已經(jīng)填好。

分析：根據(jù)第一個(gè)等式，只有兩種可能：7*8=56，6*9=54；如果為7*8=56，則余下的數(shù)字有：3、4、9，顯然不行；而當(dāng)6*9=54時(shí)，余下的數(shù)字有：3、7、8，那么，12+3-7=8或12+3-8=7都能滿足。訓(xùn)練鞏固1.迎迎×春春=杯迎迎杯，數(shù)數(shù)×學(xué)學(xué)=數(shù)賽賽數(shù)，春春×春春=迎迎賽賽在上面的3個(gè)算式中，相同的漢字代表相同的數(shù)字，不同的漢字代表不同的數(shù)字。如果這3個(gè)等式都成立，那么，“迎+春+杯+數(shù)+學(xué)+賽”等于多少？分析：考察上面三個(gè)等式，可以從最后一個(gè)等式入手：能夠滿足：春春×春春=迎迎賽賽的只有88*88=7744，于是，春=8，迎=7，賽=4；這樣，不難得到第一個(gè)為：77*88=6776，第二個(gè)為：55*99=5445；

所以，迎+春+杯+數(shù)+學(xué)+賽=7+8+6+5+9+4=39。2.迎+春×春=迎春，（迎+杯）×（迎+杯）=迎杯

在上面的兩個(gè)橫式中，相同的漢字代表相同的數(shù)字，不同的漢字代表不同的數(shù)字。那么“迎+春+杯”等于多少？

分析：同樣可以從第二個(gè)算式入手，發(fā)現(xiàn)滿足要求的只有（8+1）*（8+1）=81，于是，迎=8；

這樣，第一個(gè)算式顯然只有：8+9*9=89；所以，迎+春+杯=8+9+1=18。拓展提升1.在下列各式的□中分別填入相同的兩位數(shù)：(1)5×□=2□； (2)6×□＝3□。將3～9中的數(shù)填入下列各式，使算式成立，要求各式中無(wú)重復(fù)的數(shù)字：(1)□÷□=□÷□； (2)□÷□＞□÷□。3.在下列各式的□中填入合適的數(shù)字：(1)448÷□□=□； (2)2822÷□□=□□；(3)13×□□=4□6。在下列各式的□中填入合適的數(shù)：(1)□÷32＝8……31； (2)573÷32＝□……29；(3)4837÷□＝74……27。答案與提示

練習(xí)224.(1)287；(2)17；()65。豎式字謎例1在圖4-1所示的算式中，每一個(gè)漢字代表一個(gè)數(shù)字，不同的漢字代表不同的數(shù)字．那么“喜歡”這兩個(gè)漢字所代表的兩位數(shù)是多少？

分析：首先看個(gè)位，可以得到“歡”是0或5，但是“歡”是第二個(gè)數(shù)的十位，所以“歡”不能是0，只能是5。再看十位，“歡”是5，加上個(gè)位有進(jìn)位1，那么，加起來(lái)后得到的“人”就應(yīng)該是偶數(shù)，因?yàn)榻Y(jié)果的百位也是“人”，所以“人”只能是2；由此可知，“喜”等于8。所以，“喜歡”這兩個(gè)漢字所代表的兩位數(shù)就是85。例2在圖4-2所示的豎式中，相同的漢字表示相同的數(shù)字，不同的漢字表示不同的數(shù)字．如果：巧+解+數(shù)+字+謎=30，那么“數(shù)字謎”所代表的三位數(shù)是多少？

分析：還是先看個(gè)位，5個(gè)“謎”相加的結(jié)果個(gè)位還是等于“謎”，“謎”必定是5（0顯然可以排出）；接著看十位，四個(gè)“字”相加再加上進(jìn)位2，結(jié)果尾數(shù)還是“字”，那說(shuō)明“字”只能是6；再看百位，三個(gè)“數(shù)”相加再加上進(jìn)位2，結(jié)果尾數(shù)還是“數(shù)”，“數(shù)”可能是4或9；再看千位，（1）如果“數(shù)”為4，兩個(gè)“解”相加再加上進(jìn)位1，結(jié)果尾數(shù)還是“解”，那說(shuō)明“解”只能是9；5+6+4+9=24，30-24=6，“巧”等于6與“字”等于6重復(fù)，不能；（2）如果“數(shù)”為9，兩個(gè)“解”相加再加上進(jìn)位2，結(jié)果尾數(shù)還是“解”，那說(shuō)明“解”只能是8；5+6+9+8=28，30-28=2，可以。所以“數(shù)字謎”代表的三位數(shù)是965。例3在圖4-3所示的加法算式中，相同的漢字表示相同的數(shù)字，不同的漢字表示不同的數(shù)字．請(qǐng)把這個(gè)豎式翻譯成數(shù)字算式．

分析：首先萬(wàn)位上“華”=1；再看千位，“香”只能是8或9，那么“人”就相應(yīng)的只能是0或1。但是“華”=1，所以，“人”就是0；再看百位，“人”=0，那么，十位上必須有進(jìn)位，否則“港”+“人”還是“港”。由此可知“回”比“港”大1，這樣就說(shuō)明“港”不是9，百位向千位也沒有進(jìn)位。于是可以確定“香”等于9的；再看十位，“回”+“愛”=“港”要有進(jìn)位的，而“回”比“港”大1，那么“愛”就等于8；同時(shí)，個(gè)位必須有進(jìn)位；再看個(gè)位，兩數(shù)相加至少12，至多13，即只能是5+7或6+7，顯然“港”=5，“回”=6，“歸”=7。這樣，整個(gè)算式就是：9567+1085=10652。例4圖4-4是一個(gè)加法豎式，其中E，F(xiàn)，I，N，O，RS，T，X，Y分別表示從0到9的不同數(shù)字，且F，S不等于零．那么這個(gè)算式的結(jié)果是多少

分析：先看個(gè)位和十位，N應(yīng)為0，E應(yīng)為5；再看最高位上，S比F大1；千位上O最少是8；但因?yàn)镹等于0，所以，I只能是1，O只能是9；由于百位向千位進(jìn)位是2，且X不能是0，因此決定了T、R只能是7、8這兩個(gè)；如果T=7，X=3，這是只剩下了2、4、6三個(gè)數(shù)，無(wú)法滿足S、F是兩個(gè)連續(xù)數(shù)的要求。所以，T=8、R=7；由此得到X=4；那么，F(xiàn)=2，S=3，Y=6。所以，得到的算式結(jié)果是31486。訓(xùn)練鞏固1.在圖4-5所示的減法算式中，每一個(gè)字母代表一個(gè)數(shù)字，不同的字母代表不同的數(shù)字．那么D+G等于多少？

分析：先從最高位看，顯然A=1，B=0，E=9；接著看十位，因?yàn)镋等于9，說(shuō)明個(gè)位有借位，所以F只能是8；由F=8可知，C=7；這樣，D、G有2、4，3、5和4、6三種可能。所以，D＋G就可以等于6，8或10。2.王老師家的電話號(hào)碼是一個(gè)七位數(shù)，把它前四位組成的數(shù)與后三位組成的數(shù)相加得9063，把它前三位數(shù)組成的數(shù)與后四位數(shù)組成的數(shù)相加得2529．求王老師家的電話號(hào)碼．分析：我們可以用abcdefg來(lái)表示這個(gè)七位數(shù)電話號(hào)碼。由題意知，abcd+efg=9063，abc+defg=2529；

首先從第一個(gè)算式可以看出，a=8，從第二個(gè)算式可以看出，d=1；再回到第一個(gè)算式，g=2，掉到第二個(gè)算式，c=7；又回到第一個(gè)算式，f=9，掉到第二個(gè)算式，b=3；那么，e=6。所以，王老師家的電話號(hào)碼是8371692。3.將一個(gè)四位數(shù)的各位順序顛倒過來(lái)，得到一個(gè)新的四位數(shù)．如果新數(shù)比原數(shù)大7902，那么在所有符合這樣條件的四位數(shù)中，原數(shù)最大是多少？

分析：用abcd來(lái)表示愿四位數(shù)，那么新四位數(shù)為dcba，dcba-abcd=7902；由最高為看起，a最大為2，則d=9；但個(gè)位上10+a-d=2，所以，a只能是1；接下來(lái)看百位，b最大是9，那么，c=8正好能滿足要求。所以，原四位數(shù)最大是1989。拓展提升1.已知圖4-6所示的乘法豎式成立．那么ABCDE是多少

分析：由1/7的特點(diǎn)易知，ABCDE=42857。142857*3=428571。2.某個(gè)自然數(shù)的個(gè)位數(shù)字是4，將這個(gè)4移到左邊首位數(shù)字的前面，所構(gòu)成的新數(shù)恰好是原數(shù)的4倍．問原數(shù)最小是多少

分析：由個(gè)位起逐個(gè)遞推：4*4=16，原十位為6；4*6+1=25，原百位為5；4*5+2=22，原千位為2；

4*2+2=10，原萬(wàn)位為0；1*4=4，正好。所以，原數(shù)最小是102564。3.在圖4-7所示的豎式中，相同的漢字表示相同的數(shù)字，不同的漢字表示不同的數(shù)字．則符合題意的數(shù)“迎春杯競(jìng)賽贊”是多少

分析：同第10題一樣，也是利用1/7的特點(diǎn)。因?yàn)槊總€(gè)字母代表不同的數(shù)字，因此“好”只有3和6可選：

好=3，則：142857*3=428571；好=6，則：142857*6=857142；兩個(gè)都能滿足，所以，符合題意的數(shù)“迎春杯競(jìng)賽贊”可能是428571或857142。趣味九宮格九宮格型數(shù)字推理即在九宮格中已知8個(gè)數(shù)，根據(jù)已知數(shù)之間的關(guān)系，求出未知的項(xiàng)。此種類型的觀察角度為橫向、縱向、對(duì)角線，考查最多的是橫向，一般考查三個(gè)數(shù)之間的線性關(guān)系，可從大數(shù)入手考慮。有時(shí)，會(huì)整體考，比如行列各個(gè)數(shù)之和的關(guān)系。1．A．7 B．5 C．3 D．9【答案】C。解析：每行三個(gè)數(shù)字之和依次是20，（30），40，是等差數(shù)列。2．A．27 B．8 C．21 D．18【答案】D。解析：每行前兩個(gè)數(shù)字之差除以3等于第三個(gè)數(shù)。（63-9）÷3=（18）。3．A．14．2 B．16．4 C．18．6 D．15【答案】A。解析：每行第一個(gè)數(shù)字加1等于后兩個(gè)數(shù)字之和。4．A．6．1 B．5．3 C．4 D．2【答案】D。解析：從每行來(lái)看，第一個(gè)數(shù)字加2，再乘以第三個(gè)數(shù)字等于中間數(shù)字。5．A．20．4 B．18．6 C．11．6 D．8．6【答案】B。解析：每行第三個(gè)數(shù)字減去第二個(gè)數(shù)字，再乘以2等于第一個(gè)數(shù)字。第四講圖解法解應(yīng)用題例題與方法指導(dǎo)例1小明早晨起床,要完成這幾件事:起床穿衣5分鐘,刷牙洗臉6分鐘,在火爐上燒水煮面要16分鐘,整理房間8分鐘,為了盡快做完這些事,最少要分鐘.思路導(dǎo)航：用圖表示:3345分起床516分燒、煮218分整理6分刷牙、洗臉?biāo)允?+16=21(分)例2少先隊(duì)員參加植樹勞動(dòng),每人植樹2棵,如果一個(gè)人挖坑,一個(gè)要25分,運(yùn)樹苗一趟(最多可運(yùn)4棵)要20分,提一桶水(可澆4棵樹)要10分,栽好一棵樹要10分.現(xiàn)以兩個(gè)人為一小組合作,完成植樹任務(wù)最少要分鐘.思路導(dǎo)航：挖3個(gè)坑挖3個(gè)坑運(yùn)苗種1棵樹栽3棵樹挖1個(gè)坑提水完成20分乙甲75分10分25分10分所以:75+10=85(分)例3甲、乙兩地相距6千米,小晶從甲地、小紅從乙地同時(shí)相向而行,在兩村之間不斷地往返行走,在出發(fā)后40分鐘,兩人第一次相遇.小紅到達(dá)甲村后返回,在離甲村2千米處,兩人第二次相遇,求小晶和小紅的速度各是、.思路導(dǎo)航：小晶5千米/小時(shí);小紅4千米/小時(shí).甲相遇甲相遇相遇紅晶乙合走1個(gè)全程要40分,3個(gè)應(yīng)是40×3÷60=2(小時(shí))晶:(6+4)÷2=5(千米/小時(shí))紅:(6+2)÷2=4(千米/小時(shí))例4早上10點(diǎn)8分,小明放學(xué)回家,8分鐘后,周老師騎車追他,在離學(xué)校4千米的地方追上了他,然后周老師立即回校,回到校后又追小明,第二次追上時(shí)剛好離家8千米,求這時(shí)是時(shí)分.思路導(dǎo)航：早上10點(diǎn)8分放學(xué),小明從學(xué)?；丶?8分鐘后,周老師騎車追他,追上時(shí)離校4千米,后來(lái)老師馬上回校后又追他,追上時(shí)小明也只走了4千米,從下圖可知,照后來(lái)速度算,周老師前面應(yīng)走4×3=12(千米).因?yàn)樯僮?分鐘,所以少走12-4=8千米.所以現(xiàn)在時(shí)間應(yīng)是:10:08+0.08+0.16=10:32.校校明4千米周4千米時(shí)間一樣鞏固訓(xùn)練1.A,B,C,D,E五位同學(xué)進(jìn)行象棋單循環(huán)比賽,已知A,B,C,D已經(jīng)賽過的盤數(shù)依次為4,3,2,1盤,此時(shí),E賽了盤.2.有號(hào)碼為1,2,3,4四名運(yùn)動(dòng)員,在一次比賽中獲得了前4名,已知:①每個(gè)運(yùn)動(dòng)員的號(hào)碼都與自己的名次不符;②某運(yùn)動(dòng)員的名次是第四名運(yùn)動(dòng)員的號(hào)碼,而此人的號(hào)碼又是2號(hào)運(yùn)動(dòng)員的名次.③3號(hào)運(yùn)動(dòng)員不是第一名,那么1號(hào)得名,二號(hào)得名,三號(hào)得名,四號(hào)得名.3.四名棋手進(jìn)行循環(huán)比賽,勝一局得2分,平一局得1分,負(fù)一局得0分.如果各人得的總分不同,第一名不是全勝,那么,至多有局平局.4.京華小學(xué)五年級(jí)學(xué)生采集標(biāo)本,采集昆蟲標(biāo)本的有25人,采集植物標(biāo)本的有19人,兩種標(biāo)本都采集的有8人,全班共40人,沒有采集標(biāo)本的有人.答案：1.兩盤.AEBDC用連線表示兩人已賽過一場(chǎng),A應(yīng)畫四條線,B應(yīng)畫3條,但不能連D,又有一條AB,所以,B只畫BC,BE.從AEBDC2.1號(hào)第三,2號(hào)第一,3號(hào)第四,4號(hào)第二.由①、③可知,第一名是2或4,依題意畫圖如下:143143①2341②413③123④312⑤21⑥4以上六種情況中,符合題意的只有③方案.3.3局.四名棋手應(yīng)賽4×3÷2=6(局),應(yīng)決出2×6=12(分)又各人得分不同,且第一名不是全勝,可知他們得分只有:12=5+4+2+1或12=5+4+3+0兩種.再由“平局最多”可決定甲5分,乙4分,丙2分,丁1分.這樣應(yīng):甲甲丙乙丁勝平平平勝勝4.4人.25人825人8人19人昆蟲、植物標(biāo)本植物標(biāo)本昆蟲標(biāo)本40-(25+19-8)=4(人)拓展提升1.有100名旅客,其中有10人不懂英語(yǔ)又不懂俄語(yǔ),有75人懂英語(yǔ),83人懂俄語(yǔ),既懂英語(yǔ)又懂俄語(yǔ)的有人.2.某班數(shù)字、英語(yǔ)的期中考試成績(jī)?nèi)缦?英語(yǔ)得100分的有12人,數(shù)學(xué)得100分的有10人,兩門功課都得100分的有3人,兩門功課都未得100分的有26人,這個(gè)班有學(xué)生人.答案：9.68人.作下圖:英語(yǔ)英語(yǔ)75人俄語(yǔ)83人不懂的有10人都懂的75+83-(100-10)=68(人)10.45名.12人10人12人10人兩門都不得10026人兩門100英語(yǔ)100數(shù)學(xué)1003人12+(10-3)+26=45(人)第五講列方程式解應(yīng)用題一、例題與方法指導(dǎo)例1買來(lái)一批蘋果,分給幼兒園大班的小朋友,如果每人分3個(gè),那么還剩32個(gè).如果每人分8個(gè),還有5個(gè)小朋友分不到蘋果.這批蘋果的個(gè)數(shù)是多少個(gè)?

蘋果數(shù)不變(抓不變量)、間接設(shè)未知數(shù)例2一條鯊魚，頭長(zhǎng)3米，身長(zhǎng)等于頭長(zhǎng)加尾長(zhǎng)，尾長(zhǎng)等于頭長(zhǎng)再加上半個(gè)身長(zhǎng)，這條魚全長(zhǎng)多少米？

間接設(shè)未知數(shù)設(shè)鯊魚身長(zhǎng)x米。身長(zhǎng)=頭長(zhǎng)+尾長(zhǎng)，尾長(zhǎng)=x÷2＋3身長(zhǎng)＝3＋x÷2＋3，例3雞、兔共60只，雞腳比兔腳多60只。問：雞、兔各多少只?

解答：假設(shè)60只都是雞，沒有兔，那么就有雞腳120只，而兔的腳數(shù)為零。這樣雞腳比兔腳多120只，而實(shí)際上只多60只，這說(shuō)明假設(shè)的雞腳比兔腳多的數(shù)比實(shí)際上多120-60=60(只)?，F(xiàn)在以兔換雞，每換一只，雞腳減少2只，兔腳增加4只，即雞腳比兔腳多的腳數(shù)中就會(huì)減少4+2=6(只)，而60÷6=10，因此有兔子10只，雞60-10=50(只)。二、鞏固訓(xùn)練1.有一些糖，每人分5塊多10塊；如果現(xiàn)有的人數(shù)增加到原人數(shù)的1.5倍，那么每人4塊就少2塊.問這些糖共有多少塊?解，等量關(guān)系為兩種分法的糖總數(shù)不變?cè)O(shè)開始共有x人，5x+10=4×1.5x-2，解得x=12，所以這些糖共有12×5+10=70塊．2.甲、乙、丙、丁四人今年分別是16、12、11、9歲。問：多少年前，甲、乙的年齡和是丙、丁年齡和的2倍？

解答：這是一道年齡問題，也可以用方程來(lái)解決。等量關(guān)系為：多少年前，甲、乙的年齡和是丙、丁年齡和的2倍。關(guān)鍵：在相同的時(shí)間內(nèi)，每個(gè)人增加或減少的年齡是相同的。設(shè)x年前，甲乙的年齡和是丙、丁年齡和的2倍.16+12-2x=2×(11+9-2x),解得x=6.所以，6年前，甲、乙的年齡和是丙、丁年齡和的2倍.第六講植樹問題只要我們稍加留意，都會(huì)看到在馬路兩旁一般都種有樹木。細(xì)心觀察，這些樹木的間距一般都是等距離種植的。路長(zhǎng)、間距、棵數(shù)之間存在著確定的關(guān)系，我們把這種關(guān)系叫做“植樹問題”。而植樹問題，一般又可分為封閉型的和不封閉型的（開放型的）。封閉型的和不封閉型的植樹問題，區(qū)別在于間隔數(shù)（段數(shù)）與棵數(shù)的關(guān)系：1、不封閉型的（多為直線上），一般情況為兩端植樹，如下圖所示，其路長(zhǎng)、間距、棵數(shù)的關(guān)系是：但如果只在一端植樹，如右圖所示，這時(shí)路長(zhǎng)、間距、棵數(shù)的關(guān)系就是：如果兩端都不植樹，那么棵數(shù)比一端植樹還要再少一棵，其路長(zhǎng)、間距、棵數(shù)的關(guān)系就是：2、封閉型的情況（多為圓周形），如下圖所示，那么：植樹問題的三要素：總路線長(zhǎng)、間距(棵距)長(zhǎng)、棵數(shù)．只要知道這三個(gè)要素中任意兩個(gè)要素，就可以求出第三個(gè)．植樹問題的分類：⑴直線型的植樹問題⑵封閉型植樹問題⑶特殊類型的植樹問題例題與方法指導(dǎo)例1有一條公路長(zhǎng)1000米，在公路的一側(cè)每隔5米栽一棵垂柳，可種植垂柳多少棵?

思路導(dǎo)航：每隔5米栽一棵垂柳，即以兩棵垂柳之間的距離5米為一段。公路的全長(zhǎng)1000米，分成5米一段，那么里包含有1000÷5=200段。由于公路的兩端都要求種樹，所以要種植的棵數(shù)比分成的段數(shù)多1，所以，可種植垂柳200+1=201棵。例2某一淡水湖的周長(zhǎng)1350米，在湖邊每隔9米種柳樹一株，在兩株柳樹中間種植2株夾枝桃，可栽柳樹多少株可栽?shī)A枝桃多少株兩株夾枝桃之間相距多少米

思路導(dǎo)航：在圓周上植樹時(shí)，由于可栽的株數(shù)等于分成的段數(shù)，所以，可栽柳樹=1350÷9=150株；由于兩株柳樹之間等距離地栽株夾枝桃，而間隔數(shù)（段數(shù)）為150，所以栽?shī)A枝桃的株數(shù)=2×150=300株；每隔9米種柳樹一株，在兩株夾枝桃之間等距地栽2株夾枝桃，這就變成兩端都不植樹的情形，即2株等距離栽在9米的直線上，不含兩端，所以，每?jī)芍曛g的距離=9÷(2+1)=3(米)。例3一條街上，一旁每隔8米有一個(gè)廣告牌，從頭到尾有16個(gè)廣告牌，現(xiàn)在要進(jìn)行調(diào)整，變成每12米有一個(gè)廣告牌。那么除了兩端的廣告牌外，中間還有幾個(gè)牌不需要移動(dòng)？

思路導(dǎo)航：16個(gè)廣告牌，每相鄰的兩個(gè)廣告牌的間隔為8米，則共有16-1=15個(gè)間隔，這條街的總長(zhǎng)度為8×15＝120（米）；現(xiàn)在要調(diào)整為每12米一個(gè)廣告牌，那么不移動(dòng)的牌離端點(diǎn)的距離一定既是8的倍數(shù)，同時(shí)也是12的倍數(shù)；8×3=12×2=24，也就是說(shuō)，每24米及其倍數(shù)處的廣告牌可以不需要移動(dòng)；120÷24＝5，即段數(shù)為5個(gè)，但要扣除兩端的2個(gè)，所以，中間不需要移動(dòng)的有5-1=4個(gè)。事實(shí)上，所謂植樹問題只是我們對(duì)這一種類型問題的總稱，并不單指植樹問題。例如，與之類似的還有爬樓（梯）問題、隊(duì)列問題、敲鐘問題、鋸木頭問題的等。所以，植樹問題又稱上樓梯問題。鞏固訓(xùn)練1某人要到一座高層樓的第8層辦事，不巧停電，電梯停開。如果他從1層走到4層需要48秒，請(qǐng)問以同樣的速度走到八層，還需要多少秒？

思路導(dǎo)航：：要求還需要多少秒才能到達(dá)，必須先求出上一層樓梯需要幾秒，并且知道從4樓走到8樓共需要走幾層樓梯。從1層走到4層，事實(shí)所爬的層數(shù)只是4-1=3層，所以上一層樓梯需要的時(shí)間是48÷（4-1）=16（秒）；又，從4樓走到8樓共需走8-4=4層樓梯，所以還需要的時(shí)間是16×4=64秒。2光華路小學(xué)三年級(jí)學(xué)生有125人參加運(yùn)動(dòng)會(huì)入場(chǎng)式，他們每5人一行，前后每行間隔為2米，主席臺(tái)長(zhǎng)42米，他們以每分鐘45米的速度通過主席臺(tái)需要多少分鐘?

思路導(dǎo)航：：125人參加運(yùn)動(dòng)會(huì)入場(chǎng)式，每5人一行，共排了125÷5=25行，那么這里25行就相當(dāng)于直線上的25棵樹，所以，這列隊(duì)的長(zhǎng)度為兩端植樹的路的長(zhǎng)度，全長(zhǎng)是2×(25-1)=48米；這列隊(duì)伍通過主席臺(tái)，所走的總路程應(yīng)該是隊(duì)伍長(zhǎng)度與主席臺(tái)長(zhǎng)度之和，即：48+42=90米，所以，他們通過主席臺(tái)的時(shí)間是90÷45=2分鐘。3下圖是五個(gè)大小相同的鐵環(huán)連在一起的圖形，它的長(zhǎng)度是多少十個(gè)這樣的鐵環(huán)連在一起有多長(zhǎng)思路導(dǎo)航：：根據(jù)上圖所示，要求出它的總長(zhǎng)度是多少，關(guān)鍵是求出重疊部分需要扣除的長(zhǎng)度。每一個(gè)鐵環(huán)的厚度為6毫米，注意到重疊部分，后面連上的鐵環(huán)將有2個(gè)厚度是重疊的，也就是說(shuō)實(shí)際每加一個(gè)鐵環(huán)所延伸的長(zhǎng)度為4厘米-2×6毫米=40毫米-12毫米=28毫米；根據(jù)我們前面所講的植樹問題，五個(gè)鐵環(huán)連在一起，“環(huán)扣”數(shù)為5-1＝4(個(gè))，所以，五個(gè)大小相同的鐵環(huán)連在一起時(shí)，總長(zhǎng)度為40+4×28＝152(毫米)。同理，十個(gè)鐵環(huán)連在一起的長(zhǎng)度為40+(10-1)×28=292(毫米)。4一個(gè)木工把一根長(zhǎng)24米的木條鋸成了3米長(zhǎng)的小段，每鋸斷一次要用5分鐘，共需多少分鐘?

思路導(dǎo)航：：要求需要的時(shí)間，我們就要弄清楚共需鋸幾次。24米長(zhǎng)的木條里面包含有24÷3=8個(gè)3米，8段有8-1=7個(gè)間隔，即木工只需鋸7次，那么，每次5分鐘,一共需要用時(shí)5×7=35分鐘。鞏固訓(xùn)練1一個(gè)街心花園如下圖所示，它由四個(gè)大小相等的等邊三角形組成。已知從每個(gè)小三角形的頂點(diǎn)開始，到下一個(gè)頂點(diǎn)均勻栽有9棵花。問大三角形邊上栽有多少棵花整個(gè)花園中共栽多少棵花思路導(dǎo)航：：由題意可知，大三角形的邊長(zhǎng)是小三角形邊長(zhǎng)的2倍，因?yàn)槊總€(gè)小三角形的邊上均勻栽9株，而大三角形的每條邊由兩個(gè)小三角形的邊重疊一個(gè)頂點(diǎn)而成，所以，大三角形的每條邊上栽的棵數(shù)為：9×2-1=17棵；又大三角形三個(gè)頂點(diǎn)上栽的一棵花是相鄰的兩條邊公有的，所以，大三角形三條邊上共栽花：（17-1）×3=48棵；再看圖中間的陰影小三角形，每邊所栽花的棵數(shù)就是一個(gè)兩端不種樹的植樹問題，所以小三角形每條邊上栽花的棵數(shù)為9-2=7棵，中間共栽花：7×3=21棵，所以，整個(gè)花壇共栽花：48+21=69棵。2時(shí)鐘4點(diǎn)敲4下，用12秒敲完。那么6點(diǎn)鐘敲6下，幾秒鐘敲完？

思路導(dǎo)航：：4點(diǎn)鐘敲4下，共12秒，而4下中間有3個(gè)間隔，說(shuō)明每一個(gè)間隔的秒數(shù)為12÷（4－1）=4秒；12點(diǎn)敲12下，中間有11個(gè)間隔，所以一共需要4×（12－1）=44秒敲完。3鐵路旁每隔50米有一根電線桿，某旅客為了計(jì)算火車速度，測(cè)量出從經(jīng)過第1根電線桿起到經(jīng)過第37根電線桿止共用了2分。火車的速度是多少？

思路導(dǎo)航：：從第1根電線桿起到第37根電線桿，共有37-1=36個(gè)間隔；每隔50米有一根電線桿，也就是說(shuō)間隔為50米；那么，行使的總路程為：50×（37－1）=1800米；2分鐘=2×60秒=120秒，共行1800米，所以，火車速度為：1800÷120＝15米／秒。第七講雞兔同籠問題雞兔同籠問題是指雞與兔同在一個(gè)籠中，已知雞與兔的總頭數(shù)以及雞與兔的總足數(shù)，求雞和兔各是多少只的應(yīng)用題。這種類型題是古代趣題，在現(xiàn)實(shí)生活和生產(chǎn)中應(yīng)用廣泛，有著十分重要的使用價(jià)值。雞兔問題，也叫簡(jiǎn)換問題。解答時(shí)，一般采用假設(shè)法，即假定全部的只數(shù)都是雞或者是兔，算出假定情況下的足數(shù)和實(shí)際上的足數(shù)和、足數(shù)差，然后推算出雞和兔的只數(shù)。計(jì)算時(shí)的主要數(shù)量關(guān)系是：1.如果假定全部是兔，則雞的只數(shù)=（每只兔的足數(shù)×總頭數(shù)－總足數(shù)）÷（每一只雞與兔足數(shù)的差）簡(jiǎn)單理解就是：雞的只數(shù)=（4×總頭數(shù)－總足數(shù)）÷2兔的只數(shù)=總頭數(shù)－雞的只數(shù)2.如果假定全部是雞，則兔的只數(shù)=（總足數(shù)－每只雞的足數(shù)×總頭數(shù)）÷（每一只雞與兔足數(shù)的差）簡(jiǎn)單寫就是兔的只數(shù)=（總足數(shù)－2×總頭數(shù)）÷2雞的只數(shù)=總頭數(shù)－兔的只數(shù)例題與方法指導(dǎo)例1.雞兔同籠，共有100個(gè)頭，320只腳，問雞和兔各是多少只？

思路導(dǎo)航：雞有2只腳，兔有4只腳，如果把兔子的兩只前腳用繩子捆起來(lái)，當(dāng)成一只腳，兩只后腳也用繩子捆起來(lái)，當(dāng)成一只腳，那么兔子和雞一樣，都是2只腳。雞和兔的總腳數(shù)就是100×2=200（只），但比實(shí)際320只腳要少320－200=120（只），為什么會(huì)少了120只腳呢？是因?yàn)槊恐煌米又凰阋恢磺澳_，一只后腳，而少算了一只前腳和一只后腳。也就是說(shuō)每只兔子都少算了兩只腳，一共少算了120只腳，所以兔子應(yīng)該有120÷2=60（只）。解法一： 解法二：2×100=200（只） 4×100=400（只）320－200=120（只） 400－320=80（只）120÷2=60（只） 80÷2=40（只）100－60=40（只） 100－40=60（只）答：雞有40只，兔有60只。例2.5元紙幣和2元紙幣總張數(shù)是200張，已知它們的總面值是940元，這兩種紙幣各多少?gòu)垼?/p>

思路導(dǎo)航：（1）假設(shè)200張紙幣完全是2元，共值：2×200=400（元）（2）比實(shí)際少：940－400=540（元）（3）2元換成5元，每張?jiān)黾樱?－2=3（元）（4）5元紙幣有：540÷3=180（張）（5）2元紙幣有：200－180=20（張）答：有180張5元、20張2元紙幣。例3.雞兔同籠，雞比兔多25只，腳數(shù)共176只，雞、兔各多少只？

思路導(dǎo)航：假設(shè)去掉多的25只雞，則一共去掉2×25=50（只）腳，那么176－50=126（只）腳是雞和兔一樣多的腳的總數(shù)量，而一對(duì)雞兔共有2＋4=6（只）腳，可以求出去掉25只雞以后一共多少對(duì)雞和兔，然后再加上去掉的25只雞。2×25=50（只）176－50=126（只）2＋4=6（只）126÷6=21（對(duì)）‥‥‥雞、兔各21只21+25=46（只）‥‥‥雞的只數(shù)答：雞有46只，兔有21只。鞏固訓(xùn)練1.雞兔同籠，共有頭90只，腳252只。雞兔各多少只？2.雞兔同籠，共有頭80只，雞的腳數(shù)比兔的腳數(shù)多40只，雞兔各多少只？3.30枚硬幣由2分和5分組成，共值9角9分，兩種硬幣各多少枚？拓展提升雞兔共100只，雞的腳數(shù)比兔少40只，雞兔各多少只？46人去劃船，一共乘坐10條船，其中大船坐7人，小船坐4人，大、小船各多少條？某車棚共停放三輪車和自行車共39輛，兩種車輪總和96個(gè)，三輪車和自行車各多少輛？第八講移多補(bǔ)少平均數(shù) 在日常生活中，我們經(jīng)常遇到這樣的情況：有幾個(gè)杯子，里面的水有多有少。要想使杯中的水一樣多，就得把水多的杯子里的水倒一些到水少的杯子里。反復(fù)幾次，直到幾個(gè)杯子里的水一樣多。這就是我們經(jīng)常駐遇到的“移多補(bǔ)少”……也就是求平均數(shù)問題。一、例題與方法指導(dǎo)例1.小剛有5個(gè)抽屜，分別有圖書33本，42本，20本，53本和32本，平均每個(gè)抽屜里有圖書多少本？

思路導(dǎo)航：分析：如果要求平均每個(gè)抽屜里的圖書，就是把5個(gè)抽屜的總數(shù)除以5。（33+42+20+53+32）÷5=36（本）或取較為中間的一個(gè)數(shù)，如35作為基數(shù)，再把每個(gè)抽屜中的書本與35的差算出來(lái)。將這些差相加減，多出的為加數(shù)，不足的為減數(shù)，所得的數(shù)除以5，再加上基準(zhǔn)數(shù)35，得出的就是要求的平均數(shù)。提出總數(shù)，份數(shù)，平均數(shù)5個(gè)抽屜書本書的總合就是“總數(shù)”，5個(gè)抽屜式“份數(shù)”。得到關(guān)系式：平均數(shù)=總數(shù)÷份數(shù)由此關(guān)系式可得出總數(shù)=份數(shù)×平均數(shù)份數(shù)=總數(shù)÷平均數(shù)例2.小名參加了四次語(yǔ)文測(cè)驗(yàn)，平均成績(jī)是68分，他想通過一次語(yǔ)文測(cè)驗(yàn)，講5次的平均成績(jī)提高最少70分，那么在下次測(cè)驗(yàn)中，他至少要得多少分？

分析1：知道前四次的語(yǔ)文平均成績(jī)后可以求出前四次的總成績(jī)題目中要求是五次的平均成績(jī)提高到70分，那么可以求出5次的總成績(jī)，再用五次的總成績(jī)減去四次的成績(jī)，得到的就是第五次最少應(yīng)考多少分。思路導(dǎo)航：68×4－70×5=78（分）前四次平均為68分，要求平均分為70分，前四次一共差了（70－68）×4=8（分）那么第五次至少要考70+8=78（分）例3.甲、乙兩人帶著同樣多的錢，用他們?nèi)康腻X買了香皂，甲拿走了12塊乙拿走了8塊，回家后甲補(bǔ)給乙4元，每塊香皂多少元？

思路導(dǎo)航：因?yàn)榧滓覂扇藥У氖峭瑯佣嗟腻X，兩人的錢也已經(jīng)全部用完，甲乙兩人平均買了（8+12）÷2=10（塊）香皂，而實(shí)際甲多拿了12－10=2（塊）香皂，2塊香皂是4元，則一塊香皂是4÷2=2（元）二、鞏固訓(xùn)練 1.如果4個(gè)人的平均年齡是18歲，4個(gè)人中沒有小于14歲的，那么年齡最大的人可能是多少歲？

分析：4個(gè)人的平均年齡是18歲，那么四個(gè)人一共就有18×4＝72（歲），題目中告訴我們4個(gè)人中最小的只有14歲，如果要求年齡最大的那么其余3個(gè)人都應(yīng)是最小的，則72－14×3＝20（歲）2.有甲、乙、丙三個(gè)數(shù)，甲數(shù)和乙數(shù)的平均數(shù)是42，乙數(shù)和丙數(shù)的平均數(shù)是47，甲數(shù)和丙數(shù)的平均數(shù)是46，求甲、乙、丙這三個(gè)數(shù)各是多少？

分析：從題目我們可以知道甲＋乙＝42×2=84乙＋丙＝47×2=94甲＋丙＝46×2=922（甲+乙+丙）=84+94+92=270甲：135－94=44乙：135－92=43丙：135－84＝51先求出甲乙丙三個(gè)數(shù)的和，知道另外兩個(gè)數(shù)的和酒可以求出第三個(gè)數(shù)。3.某人沿一條長(zhǎng)為12千米的路上山，又從原路下山。上山時(shí)的速度是每小時(shí)2千米，下山時(shí)的速度是每小時(shí)6千米。那么他在上、下山全過程中的平均速度是每小時(shí)多少千米？

分析：要求上、下山的平均速度先求上下山的總路程和處以時(shí)間即可。解：2×12÷（12÷2＋12÷6）=3（千米）總結(jié)：今天我們學(xué)習(xí)了如何求平均數(shù)，平均數(shù)的意義，也知道在解題過程中，可以運(yùn)用到平均數(shù)的意義。希望同學(xué)們通過今天的學(xué)習(xí)可以掌握所學(xué)的知識(shí)。拓展提升一位小朋友的語(yǔ)文成績(jī)是96分，數(shù)學(xué)成績(jī)是90分，英語(yǔ)成績(jī)是84分，求他三門的平均分。甲、乙、丙三個(gè)數(shù)的平均數(shù)是150，甲數(shù)是48，乙數(shù)與丙數(shù)相同，求乙數(shù)。小明和小紅一起帶著同樣多的錢去學(xué)校旁邊的文具店買鉛筆，他們用全部的錢買了鉛筆，小明買了12只，小紅買了8只，回去后小明給了小紅4元，每支鉛筆多少元？如果4個(gè)人的平均年齡是18歲，4個(gè)人中沒有小于14歲的，那么年齡最大的人可能是多少歲？有甲、乙、丙三個(gè)數(shù)，甲數(shù)和乙數(shù)的平均數(shù)是42，乙數(shù)和丙數(shù)的平均數(shù)是47，甲數(shù)和丙數(shù)的平均數(shù)是46，求甲、乙、丙這三個(gè)數(shù)各是多少？第九講歸一問題為什么把有的問題叫歸一問題？我國(guó)珠算除法中有一種方法，稱為歸除法.除數(shù)是幾，就稱幾歸；除數(shù)是8，就稱為8歸.而歸一的意思，就是用除法求出單一量，這大概就是歸一說(shuō)法的來(lái)歷吧！歸一問題有兩種基本類型.一種是正歸一，也稱為直進(jìn)歸一.如：一輛汽車3小時(shí)行150千米，照這樣，7小時(shí)行駛多少千米另一種是反歸一，也稱為返回歸一.如：修路隊(duì)6小時(shí)修路180千米，照這樣，修路240千米需幾小時(shí)

正、反歸一問題的相同點(diǎn)是：一般情況下第一步先求出單一量；不同點(diǎn)在第二步.正歸一問題是求幾個(gè)單一量是多少，反歸一是求包含多少個(gè)單一量。例題與方法指導(dǎo)例1.一只小蝸牛6分鐘爬行12分米，照這樣速度1小時(shí)爬行多少米？

思路導(dǎo)航：為了求出蝸牛1小時(shí)爬多少米，必須先求出1分鐘爬多少分米，即蝸牛的速度，然后以這個(gè)數(shù)目為依據(jù)按要求算出結(jié)果。解：①小蝸牛每分鐘爬行多少分米

12÷6=2（分米）②1小時(shí)爬幾米？1小時(shí)=60分。

2×60=120（分米）=12（米）答：小蝸牛1小時(shí)爬行12米。還可以這樣想：先求出題目中的兩個(gè)同類量（如時(shí)間與時(shí)間）的倍數(shù)（即60分是6分的幾倍），然后用1倍數(shù)（6分鐘爬行12分米）乘以倍數(shù)，使問題得解。解：1小時(shí)=60分鐘12×（60÷6）＝12×10＝120（分米）＝12（米）或12÷（6÷60）＝12÷0.1=120（分米）=12（米）答：小蝸牛1小時(shí)爬行12米。例2.一個(gè)糧食加工廠要磨面粉20000千克.3小時(shí)磨了6000千克.照這樣計(jì)算，磨完剩下的面粉還要幾小時(shí)？

思路導(dǎo)航：通過3小時(shí)磨6000千克，可以求出1小時(shí)磨粉數(shù)量.問題求磨完剩下的要幾小時(shí)，所以剩下的量除以1小時(shí)磨的數(shù)量，得到問題所求。解：（20000-6000）÷（6000÷3）=7（小時(shí)）答：磨完剩下的面粉還要7小時(shí)。例3.學(xué)校買來(lái)一些足球和籃球.已知買3個(gè)足球和5個(gè)籃球共花了281元；買3個(gè)足球和7個(gè)籃球共花了355元.現(xiàn)在要買5個(gè)足球、4個(gè)籃球共花多少元？

思路導(dǎo)航：要求5個(gè)足球和4個(gè)籃球共花多少元，關(guān)鍵在于先求出每個(gè)足球和每個(gè)籃球各多少元.根據(jù)已知條件分析出第一次和第二次買的足球個(gè)數(shù)相等，而籃球相差7-5＝2（個(gè)），總價(jià)差355-281＝74（元）.74元正好是兩個(gè)籃球的價(jià)錢，從而可以求出一個(gè)籃球的價(jià)錢，一個(gè)足球的價(jià)錢也可以隨之求出，使問題得解。解：①一個(gè)籃球的價(jià)錢：（355-281）÷（7-5）=37元②一個(gè)足球的價(jià)錢：（281-37×5）÷3＝32（元）③共花多少元

32×5＋37×4=308（元）答：買5個(gè)足球，4個(gè)籃球共花308元。例4.某車間要加工一批零件，原計(jì)劃由18人，每天工作8小時(shí)，7.5天完成任務(wù).由于縮短工期，要求4天完成任務(wù)，可是又要增加6人.求每天加班工作幾小時(shí)？

思路導(dǎo)航：我們把1個(gè)工人工作1小時(shí)，作為1個(gè)工時(shí).根據(jù)已知條件，加工這批零件，原計(jì)劃需要多少“工時(shí)”呢？求出“工時(shí)”數(shù)，使我們知道了工作總量.有了工作總量，以它為標(biāo)準(zhǔn)，不管人數(shù)增加或減少，工期延長(zhǎng)或縮短，仍然按照原來(lái)的工作效率，只要能夠達(dá)到加工零件所需“工時(shí)”總數(shù)，再求出要加班的工時(shí)數(shù)，問題就解決了。解：①原計(jì)劃加工這批零件需要的“工時(shí)”：8×18×7.5=1080（工時(shí)）②增加6人后每天工作幾小時(shí)？

1080÷（18+6）÷4=11.25（小時(shí)）③每天加班工作幾小時(shí)

11.25-8=3.25（小時(shí)）

答：每天要加班工作3.25小時(shí)。鞏固訓(xùn)練1.一個(gè)長(zhǎng)方體的水槽可容水480噸.水槽裝有一個(gè)進(jìn)水管和一個(gè)排水管.單開進(jìn)水管8小時(shí)可以把空池注滿；單開排水管6小時(shí)可把滿池水排空.兩管齊開需多少小時(shí)把滿池水排空？

分析要求兩管齊開需要多少小時(shí)把滿池水排光，關(guān)鍵在于先求出進(jìn)水速度和排水速度.當(dāng)兩管齊開時(shí)要把滿池水排空，排水速度必須大于進(jìn)水速度，即單位時(shí)間內(nèi)排出的水等于進(jìn)水與排水速度差.解決了這個(gè)問題，又知道總水量，就可以求出排空滿池水所需時(shí)間。解：①進(jìn)水速度：480÷8=60（噸/小時(shí)）②排水速度：480÷6=80（噸/小時(shí)）③排空全池水所需的時(shí)間：480÷（80-60）=24（小時(shí)）列綜合算式：480÷（480÷6-480÷8）=24（小時(shí)）答：兩管齊開需24小時(shí)把滿池水排空。2.7輛“黃河牌”卡車6趟運(yùn)走336噸沙土.現(xiàn)有沙土560噸，要求5趟運(yùn)完，求需要增加同樣的卡車多少輛？

方法1：分析要想求增加同樣卡車多少輛，先要求出一共需要卡車多少輛；要求5趟運(yùn)完560噸沙土，每趟需多少輛卡車，應(yīng)該知道一輛卡車一次能運(yùn)多少噸沙土。解：①一輛卡車一次能運(yùn)多少噸沙土？

336÷6÷7=56÷7=8（噸）②560噸沙土，5趟運(yùn)完，每趟必須運(yùn)走幾噸？

560÷5＝112（噸）③需要增加同樣的卡車多少輛？

112÷8-7＝7（輛）列綜合算式：560÷5÷（336÷6÷7）-7＝7（輛）答：需增加同樣的卡車7輛。方法2：在求一輛卡車一次能運(yùn)沙土的噸數(shù)時(shí)，可以列出兩種不同情況的算式：①336÷6÷7，②336÷7÷6.算式①先除以6，先求出7輛卡車1次運(yùn)的噸數(shù)，再除以7求出每輛卡車的載重量；算式②，先除以7，求出一輛卡車6次運(yùn)的噸數(shù)，再除以6，求出每輛卡車的載重量。在求560噸沙土5次運(yùn)完需要多少輛卡車時(shí)，有以下幾種不同的計(jì)算方法：求出一共用車14輛后，再求增加的輛數(shù)就容易了。甲、乙兩個(gè)打字員4小時(shí)共打字3600個(gè).現(xiàn)在二人同時(shí)工作，在相同時(shí)間內(nèi)，甲打字2450個(gè)，乙打字2050個(gè).求甲、乙二人每小時(shí)各打字多少個(gè)？已知條件告訴我們：“在相同時(shí)間內(nèi)甲打字2450個(gè)，乙打字2050個(gè).”既然知道了“時(shí)間相同”，問題就容易解決了.題目里還告訴我們：“甲、乙二人4小時(shí)共打字3600個(gè).”這樣可以先求出“甲乙二人每小時(shí)打字個(gè)數(shù)之和”，就可求出所用時(shí)間了.解：①甲、乙二人每小時(shí)共打字多少個(gè)？

3600÷4＝900（個(gè)）②“相同時(shí)間”是幾小時(shí)？

（2450＋2050）÷900＝5（小時(shí)）③甲打字員每小時(shí)打字的個(gè)數(shù)：2450÷5=490（個(gè)）④乙打字員每小時(shí)打字的個(gè)數(shù)：2050÷5=410（個(gè)）答：甲打字員每小時(shí)打字490個(gè)，乙打字員每小時(shí)打字410個(gè)。還可以這樣想：這道題的已知條件可以分兩層.第一層，甲乙二人4小時(shí)共打字3600個(gè)；第二層，在相同時(shí)間內(nèi)甲打字2450個(gè)，乙打字2050個(gè).由這兩個(gè)條件可以求出在相同的時(shí)間內(nèi)，甲乙二人共打字2450+2050=4500（個(gè)）；打字3600個(gè)用4小時(shí)，打字4500個(gè)用幾小時(shí)呢？先求出4500是3600的幾倍，也一定是4小時(shí)的幾倍，即“相同時(shí)間”。解：①“相同時(shí)間”是幾小時(shí)？

4×[（2450＋2050）÷3600]＝5（小時(shí)）②甲每小時(shí)打字多少個(gè)？

2450÷5=490（個(gè)）③乙每小時(shí)打字多少個(gè)？

2050÷5=410（個(gè)）答：甲每小時(shí)打字490個(gè)，乙每小時(shí)打字410個(gè).拓展提升花果山上桃樹多，6只小猴分180棵.現(xiàn)有小猴72只，如數(shù)分后還余90棵，請(qǐng)算出桃樹有幾棵？5箱蜜蜂一年可以釀75千克蜂蜜，照這樣計(jì)算，釀300千克蜂蜜要增加幾箱蜜蜂？4輛汽車行駛300千米需要汽油240公升.現(xiàn)有5輛汽車同時(shí)運(yùn)貨到相距800千米的地方，汽油只有1000公升，問是否夠用？5臺(tái)拖拉機(jī)24天耕地12000公畝.要18天耕完54000公畝土地，需要增加同樣拖拉機(jī)多少臺(tái)？答案：1.180÷6×72+90=2250（棵）或：180×（72÷6）+90=2250（棵）答：桃樹共有2250棵。2.300÷（75÷5）-5=15（箱）或5×[（300-75）÷75]=5×3=15（箱）答：要增加15箱蜜蜂。3.提示：要想得知1000公升汽油是否夠用，先算一算行800千米需要的汽油，然后進(jìn)行比較.如果大于1000公升，說(shuō)明不夠用；小于或等于1000公升，說(shuō)明夠用。240÷4÷300×5×800=800（公升）800公升＜1000公升，說(shuō)明夠用.答：1000公升汽油夠用。4.提示：先求出1臺(tái)拖拉機(jī)1天耕地公畝數(shù)，然后求出18天耕54000公畝需要拖拉機(jī)臺(tái)數(shù)，再求增加臺(tái)數(shù)。答：需要增加25臺(tái)拖拉機(jī).第十講倒推法師說(shuō)：“這里有10張紙牌，依次寫著1-10，我閉上眼睛，你任意抽一張出來(lái)?！薄昂?，已抽好了?！币一卮鸬馈！班?，把你的那張紙牌上的數(shù)乘上6再加9，然后除以3再加上2。算好后告訴我得數(shù)是幾。（可任意找學(xué)生抽卡片）乙又說(shuō)：“得數(shù)是23?！蹦撬榈哪且粡埵菐啄?？這個(gè)數(shù)是9，我們?cè)趺粗劳瑢W(xué)們，你們都知道其中的奧秘嗎

讓這節(jié)課來(lái)告訴大家吧，利用倒推法，倒推法是根據(jù)加法與減法、乘法與除法互相逆運(yùn)算的關(guān)系，從最后的得數(shù)出發(fā)。因?yàn)?3是加上2后得到的，就要減去2，得21；21除以3后得到的，就要乘上3，得63；63是加上9后得到的，就就要減去9得54；54是乘上6后得到的，就要除以6，得9。所以乙抽到的那一張一定是9。一些游戲，只要你知道其中的奧秘后，你就不會(huì)大驚小怪了。例題與方法指導(dǎo)例1.喜迎奧運(yùn)，猜年齡:劉翔的年齡除以4再減去2,乘25正好是100.你知道劉翔今幾歲嗎

思路導(dǎo)航：①100÷25+2×4②100÷(25+2×4)③(100÷25+2)×4到底是哪個(gè)呢？

倒推法的方法：從結(jié)果出發(fā)，從后向前運(yùn)算，并且每個(gè)運(yùn)算變成它的逆運(yùn)算。正確答案③例2.籃子里有一些梨.小剛?cè)∽呖倲?shù)的一半多一個(gè).小明取走余下的一半多1個(gè).小軍取走了小明取走后剩下一半多一個(gè).這時(shí)籃子里還剩梨1個(gè).問：籃子里原有梨多少個(gè)？

思路導(dǎo)航：依題意，畫圖進(jìn)行分析.解：列綜合算式：｛［（1＋1）×2＋1］×2＋1｝×2＝22（個(gè)）答：籃子里原有梨22個(gè).例3.菜站原有冬貯大白菜若干千克.第一天賣出原有大白菜的一半.第二天運(yùn)進(jìn)200千克.第三天賣出現(xiàn)有白菜的一半又30千克，結(jié)果剩余白菜的3倍是1800千克.求原有冬貯大白菜多少千克？

思路導(dǎo)航：解題時(shí)用倒推法進(jìn)行分析.根據(jù)題目的已知條件畫線段圖（見下圖），使數(shù)量關(guān)系清晰的展現(xiàn)出來(lái).解：①剩余的白菜是多少千克？1800÷3＝600（千克）②第二天運(yùn)進(jìn)200千克后的一半是多少千克？

600＋30＝630（千克）③第二天運(yùn)進(jìn)200千克后有白菜多少千克？

630×2＝1260（千克）④原來(lái)的一半是多少千克？1260—200＝1060（千克）⑤原有貯存多少千克？1060×2＝2120（千克）答：菜站原來(lái)貯存大白菜2120千克.綜合算式：［（1800÷3＋30）×2—200］×2＝2120（千克）答：菜站原有冬貯大白菜2120千克.通過以上例題說(shuō)明，用倒推法解題時(shí)要注意：①?gòu)慕Y(jié)果出發(fā)，逐步向前一步一步推理.②在向前推理的過程中，每一步運(yùn)算都是原來(lái)運(yùn)算的逆運(yùn)算.③列式時(shí)注意運(yùn)算順序，正確使用括號(hào)鞏固訓(xùn)練一次數(shù)學(xué)考試后，李軍問于昆數(shù)學(xué)考試得多少分.于昆說(shuō)：“用我得的分?jǐn)?shù)減去8加上10，再除以7，最后乘以4，得56.”小朋友，你知道于昆得多少分嗎？

馬小虎做一道整數(shù)減法題時(shí)，把減數(shù)個(gè)位上的1看成7，把減數(shù)十位上的7看成1，結(jié)果得出差是111.問正確答案應(yīng)是幾？樹林中的三棵樹上共落著48只鳥.如果從第一棵樹上飛走8只落到第二棵樹上；從第二棵樹上飛走6只落到第三棵樹上，這時(shí)三棵樹上鳥的只數(shù)相等.問：原來(lái)每棵樹上各落多少只鳥？拓展提升1. 一次數(shù)學(xué)考試后，李軍問于昆數(shù)學(xué)考試得多少分.于昆說(shuō)：“用我得的分?jǐn)?shù)減去8加上10，再除以7，最后乘以4，得56.”小朋友，你知道于昆得多少分嗎？

分析這道題如果順推思考，比較麻煩，很難理出頭緒來(lái).如果用倒推法進(jìn)行分析，就像剝卷心菜一樣層層深入，直到解決問題.如果把于昆的敘述過程編成一道文字題：一個(gè)數(shù)減去8，加上10，再除以7，乘以4，結(jié)果是56.求這個(gè)數(shù)是多少？把一個(gè)數(shù)用□來(lái)表示，根據(jù)題目已知條件可得到這樣的等式：｛［（□－8）＋10］÷7｝×4＝56.如何求出□中的數(shù)呢？我們可以從結(jié)果56出發(fā)倒推回去.因?yàn)?6是乘以4后得到的，而乘以4之前是56÷4＝14.14是除以7后得到的，除以7之前是14×7＝98.98是加10后得到的，加10以前是98-10＝88.88是減8以后得到的，減8以前是88＋8＝96.這樣倒推使問題得解.解：｛［（□－8）＋10］÷7｝×4＝56［（□－8）＋10〕÷7＝56÷4答：于昆這次數(shù)學(xué)考試成績(jī)是96分.通過以上例題說(shuō)明，用倒推法解題時(shí)要注意：①?gòu)慕Y(jié)果出發(fā)，逐步向前一步一步推理.②在向前推理的過程中，每一步運(yùn)算都是原來(lái)運(yùn)算的逆運(yùn)算.③列式時(shí)注意運(yùn)算順序，正確使用括號(hào).2. 馬小虎做一道整數(shù)減法題時(shí)，把減數(shù)個(gè)位上的1看成7，把減數(shù)十位上的7看成1，結(jié)果得出差是111.問正確答案應(yīng)是幾？分析馬小虎錯(cuò)把減數(shù)個(gè)位上1看成7，使差減少7—1＝6，而把十位上的7看成1，使差增加70—10＝60.因此這道題歸結(jié)為某數(shù)減6，加60得111，求某數(shù)是幾的問題.解：111－（70—10）＋（7—1）＝57答：正確的答案是57.3. 樹林中的三棵樹上共落著48只鳥.如果從第一棵樹上飛走8只落到第二棵樹上；從第二棵樹上飛走6只落到第三棵樹上，這時(shí)三棵樹上鳥的只數(shù)相等.問：原來(lái)每棵樹上各落多少只鳥？分析倒推時(shí)以“三棵樹上鳥的只數(shù)相等”入手分析，可得出現(xiàn)在每棵樹上鳥的只數(shù)48÷3＝16（只）.第三棵樹上現(xiàn)有的鳥16只是從第二棵樹上飛來(lái)的6只后得到的，所以第三棵樹上原落鳥16—6＝10（只）.同理，第二棵樹上原有鳥16＋6—8＝14（只）.第一棵樹上原落鳥16＋8＝24（只），使問題得解.解：①現(xiàn)在三棵樹上各有鳥多少只？48÷3＝16（只）②第一棵樹上原有鳥只數(shù).16＋8＝24（只）③第二棵樹上原有鳥只數(shù).16＋6—8＝14（只）④第三棵樹上原有鳥只數(shù).16—6＝10（只）答：第一、二、三棵樹上原來(lái)各落鳥24只、14只和10只.4. 籃子里有一些梨.小剛?cè)∽呖倲?shù)的一半多一個(gè).小明取走余下的一半多1個(gè).小軍取走了小明取走后剩下一半多一個(gè).這時(shí)籃子里還剩梨1個(gè).問：籃子里原有梨多少個(gè)？分析依題意，畫圖進(jìn)行分析.解：列綜合算式：｛［（1＋1）×2＋1］×2＋1｝×2＝22（個(gè)）答：籃子里原有梨22個(gè).5. 甲乙兩個(gè)油桶各裝了15千克油.售貨員賣了14千克.后來(lái)，售貨員從剩下較多油的甲桶倒一部分給乙桶使乙桶油增加一倍；然后從乙桶倒一部分給甲桶，使甲桶油也增加一倍，這時(shí)甲桶油恰好是乙桶油的3倍.問：售貨員從兩個(gè)桶里各賣了多少千克油？分析解題關(guān)鍵是求出甲、乙兩個(gè)油桶最后各有油多少千克.已知“甲、乙兩個(gè)油桶各裝油15千克.售貨員賣了14千克”.可以求出甲、乙兩個(gè)油桶共剩油15×2－14＝16（千克）.又已知“甲、乙兩個(gè)油桶所剩油”及“這時(shí)甲桶油恰是乙桶油的3倍”.就可以求出甲、乙兩個(gè)油桶最后有油多少千克.求出甲、乙兩個(gè)油桶最后各有油的千克數(shù)后，再用倒推法并畫圖求甲桶往乙桶倒油前甲、乙兩桶各有油多少千克，從而求出從兩個(gè)油桶各賣出多少千克.解：①甲乙兩桶油共剩多少千克？

15×2-14＝16（千克）②乙桶油剩多少千克？16÷（3＋1）＝4（千克）③甲桶油剩多少千克？4×3＝12（千克）用倒推法畫圖如下：④從甲桶賣出油多少千克

15-11＝4（千克）

⑤從乙桶賣出油多少千克

15—5＝10（千克）答：從甲桶賣出油4千克，從乙桶賣出油10千克.第十一講列舉法解應(yīng)用題時(shí)，為了解題的方便，把問題分為不重復(fù)、不遺漏的有限情況，一一列舉出來(lái)加以分析、解決，最終達(dá)到解決整個(gè)問題的目的。這種分析、解決問題的方法叫做列舉法。列舉法也叫枚舉法或窮舉法。用列舉法解應(yīng)用題時(shí)，往往把題中的條件以列表的形式排列起來(lái)，有時(shí)也要畫圖。例題與方法指導(dǎo)例1.一本書共100頁(yè)，在排頁(yè)碼時(shí)要用多少個(gè)數(shù)字是6的鉛字？

思路導(dǎo)航：解：把個(gè)位是6和十位是6的數(shù)一個(gè)一個(gè)地列舉出來(lái)，數(shù)一數(shù)。個(gè)位是6的數(shù)字有：6、16、26、36、46、56、66、76、86、96，共10個(gè)。十位是6的數(shù)字有：60、61、62、63、64、65、66、67、68、69，共10個(gè)。 總共10+10=20（個(gè)）答：在排頁(yè)碼時(shí)要用20個(gè)數(shù)字是6的鉛字。例2.從A市到B市有3條路，從B市到C市有兩條路。從A市經(jīng)過B市到C市有幾種走法（

適于三年級(jí)程度）

思路導(dǎo)航：解：作圖3-1，然后把每一種走法一一列舉出來(lái)。第一種走法：A①B④C第二種走法：A①B⑤C第三種走法：A②B④C第四種走法：A②B⑤C第五種走法：A③B④C第六種走法：A③B⑤C答：從A市經(jīng)過B市到C市共有6種走法。例3.印刷工人在排印一本書的頁(yè)碼時(shí)共用1890個(gè)數(shù)碼，這本書有多少頁(yè)？

思路導(dǎo)航：（1）數(shù)碼一共有10個(gè)：0、1、2……8、9。0不能用于表示頁(yè)碼，所以頁(yè)碼是一位數(shù)的頁(yè)有9頁(yè)，用數(shù)碼9個(gè)。（2）頁(yè)碼是兩位數(shù)的從第10頁(yè)到第99頁(yè)。因?yàn)?9-9=90，所以，頁(yè)碼是兩位數(shù)的頁(yè)有90頁(yè)，用數(shù)碼：2×90=180（個(gè)）（3）還剩下的數(shù)碼：1890-9-180=1701（個(gè)）（4）因?yàn)轫?yè)碼是三位數(shù)的頁(yè)，每頁(yè)用3個(gè)數(shù)碼，100頁(yè)到999頁(yè)，999-99=900，而剩下的1701個(gè)數(shù)碼除以3時(shí)，商不足