數(shù)學(xué)里的高山流水

數(shù)學(xué)里的高山流水?dāng)?shù)學(xué)里的高山流水?dāng)?shù)學(xué)里的高山流水資料僅供參考文件編號(hào)：2022年4月數(shù)學(xué)里的高山流水版本號(hào)：A修改號(hào)：1頁(yè)次：1.0審核：批準(zhǔn):發(fā)布日期：數(shù)學(xué)里的高山流水——圓和相似的巧妙結(jié)合，便猶如伯牙遇上了鐘子期……初三（5）班高佳琴（備注：該生2011屆重點(diǎn)高中保送畢業(yè)生）步入初三，漸漸深入接觸了圓和相似這兩個(gè)版塊，同學(xué)們深切感慨：圓和相似真的好難！老師口中的話已經(jīng)講了不知多少遍，提醒我們要重視圓與相似，遇到圓的題目不要緊張，要靈活地運(yùn)用相似。而且它們也是中考的常客，老師出題的法寶。在中考前，很多同學(xué)都為此而感到焦慮。下列是摘取于XX討論群的部分對(duì)話記錄：（省略日期）∮ind·回憶：同志們，好久不見(jiàn)啦，都出來(lái)聊聊Loading……：有啥好聊的，都要中考了，你可真是平常心面對(duì)呀∮ind·回憶：不是老師說(shuō)的嗎？考前要放輕松，才能發(fā)揮好Loading……：(+﹏+)~狂暈，世上怎么會(huì)有這般人也……┧＋Ⅰ≠①：小朋友呀，別這么悲觀Loading……：唉，我的數(shù)學(xué)啊，不想說(shuō)，實(shí)在太“杯具”啦┧＋Ⅰ≠①：說(shuō)到這個(gè)，難得今天有空，大家聚起來(lái)一起來(lái)討論一道數(shù)學(xué)題目，咋樣Loading……：你你你…你故意刺激我？

丅①站の詠恆：我發(fā)表一下感慨：與其抱怨不如欣然接受。你快點(diǎn)說(shuō)題吧┧＋Ⅰ≠①：ABCDFE如圖如圖，已知E是ABCDFE如圖求證:DE＝DB＝DC;若AD=8cm，DF：FA=1：3，求DE的長(zhǎng)（1）已證，求（2）即可∮ind·回憶：這還不簡(jiǎn)單！Soeasy??！∮ind·回憶：E是圓心，DE=1/2AD=4∮ind·回憶：這么簡(jiǎn)單，╭∩╮(︶︿︶)╭∩╮鄙視你?。々耍瘛佗伲侯~，要是這么簡(jiǎn)單，那我還不如買塊形似板磚的豆腐拍死自己算啦梟梟嫻子：--，E又沒(méi)說(shuō)是圓心丅①站の詠恆：既然題目中有角平分線，肯定要用到的嘛！丅①站の詠恆：或許可以用到別的知識(shí)，比如說(shuō)相似┧＋Ⅰ≠①：嗯，說(shuō)的有道理，那我再回去想想吧88Loading……：真?zhèn)?，完全把我忽略啦就上題而言，許多同學(xué)多會(huì)用圓的知識(shí)來(lái)解題，而且會(huì)誤以為E便是該圓的圓心這就是理解不當(dāng)所致，以及知識(shí)點(diǎn)沒(méi)有完全掌握。外接圓的圓心是指該圓的內(nèi)接△三條邊的垂直平分線的交點(diǎn)（即外心），內(nèi)接圓的圓心是指該圓的外接△的三條角平分線的交點(diǎn)。（即內(nèi)心）當(dāng)解一道難題時(shí)，形如上題，表面上要用到圓的知識(shí),但似乎又行不通，這個(gè)時(shí)候就該想想別的方法，如相似。而且當(dāng)實(shí)在寫不下去的時(shí)候，可以適當(dāng)采用倒推的方法，以便更好地解題。那我們就來(lái)看一下這道題目吧。如圖，已知E是△ABC的內(nèi)心，∠A的平分線交BC于點(diǎn)F,且與△ABC的外接圓相交于點(diǎn)D.（1）求證:DE＝DB＝DC;（2）若AD=8cm，DF：FA=1：3，求DE的長(zhǎng)一、思路：第1小題要求線段相等，到現(xiàn)在為止我們學(xué)過(guò)的方法有如下幾種：①證明全等②等角對(duì)等邊③在圓中，可以采用圓的一些性質(zhì)來(lái)證明線段相等ABABCDFE如圖由題目中的條件可得,AD為角平分線,∴圓周角∠BAD=∠CAD運(yùn)用方法③可得BD=CD剩下的可運(yùn)用①或②來(lái)解決（∵DE不是弦，∴無(wú)法用③來(lái)解決）∵圖中無(wú)法找出全等的△與BD、ED產(chǎn)生關(guān)系∴有可能需要構(gòu)造全等，但又似乎太麻煩，可以留到最后再來(lái)嘗試∵它共同藏在一個(gè)△中∴方法②似乎很適合這題而要證明其為等腰△，可以利用外角的性質(zhì)+一些等量代換求角相等而題中講到內(nèi)心可利用其知識(shí)點(diǎn)得到∠ABE=∠CBE，∠CAD=∠BAD而利用圓的性質(zhì)可得∠CAD=∠CBD，∴∠CBD=∠BAD∴∠CBE+∠CBD=∠ABE+∠BAD即∠EBD=∠BED∴BD=BE∴BE=BD=DC二、思路：第2小題要我們求線段的長(zhǎng)度，到現(xiàn)在為止我們學(xué)過(guò)的方法有如下幾種：①證明全等或相似②等量代換③勾股定理④三角函數(shù)⑤面積、體積助算法……∵題中無(wú)關(guān)于Rt∠的任何信息和角的具體數(shù)值∴可以不能方法③和④∵題中無(wú)任何關(guān)于面積和體積的實(shí)際數(shù)值∴不能用方法⑤所以可以嘗試使用方法①和②由題易得：AF=6，DF=2由一中得，BD=BE=CD∴要求DE，也可以轉(zhuǎn)化為求BD或CD接下來(lái)便是找BD或CD與已知條件（AF，DF，AD…）的關(guān)系A(chǔ)BCDFE如圖ABCDFE如圖∴或許可以運(yùn)用到相似∵一中已證∠CBD=∠BAD，加上一個(gè)公共角∠ADB∴利用兩個(gè)角相等可以證三角形相似即△DFB∽△DBA∴DF：DB=BD：DA且BD為中間項(xiàng)∴BD=√（2×8）=4∴DE=DB=4所以解一些難題時(shí)，像這種圓和相似結(jié)合的題目，首先要認(rèn)清題目要我們求什么，再根據(jù)這個(gè)要求回憶所學(xué)的知識(shí)，及解這類題目的方法，根據(jù)題意選擇適當(dāng)?shù)姆椒ā．?dāng)題目比較復(fù)雜，涉及多個(gè)知