數(shù)學(xué)建模 課程設(shè)計(jì)參考模板

數(shù)學(xué)建模課程設(shè)計(jì)參考模板數(shù)學(xué)建模課程設(shè)計(jì)參考模板數(shù)學(xué)建模課程設(shè)計(jì)參考模板資料僅供參考文件編號：2022年4月數(shù)學(xué)建模課程設(shè)計(jì)參考模板版本號：A修改號：1頁次：1.0審核：批準(zhǔn):發(fā)布日期：2015-2016第1學(xué)期數(shù)學(xué)建模課程設(shè)計(jì)

題目：醫(yī)療保障基金額度的分配姓名：學(xué)號：班級：時間：摘要隨著人們生活水平的提高及社會制度的發(fā)展,醫(yī)療保險(xiǎn)事業(yè)顯得越來越重要,各企業(yè)也隨之越來越注重員工的福利措施，醫(yī)療保障基金額度的分配也成為了人們的關(guān)注熱點(diǎn)。擴(kuò)大醫(yī)療保障受益人口也是政府和企業(yè)面臨的難題，因而根據(jù)歷史統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)，合理的構(gòu)造出擬合曲線，分析擬合函數(shù)的擬合程度，從而為基金的調(diào)配以及各種分配方案做方向上的指導(dǎo)。本文針對A,B兩個公司關(guān)于醫(yī)療保障基金額度的合理分配問題，根據(jù)兩公司從1980-2003年統(tǒng)計(jì)的醫(yī)療費(fèi)用支出數(shù)據(jù)，科學(xué)地運(yùn)用了MATLAB軟件并基于最小二乘法則進(jìn)行了多項(xiàng)式曲線擬合，成功建立了醫(yī)療保障基金額度的分配模型。最后，對不同階數(shù)的多項(xiàng)式擬合曲線的擬合程度進(jìn)行了殘差分析，并輸出相關(guān)結(jié)果，得出擬合程度與多項(xiàng)式階數(shù)的關(guān)聯(lián)。此問題建立在收集了大量數(shù)據(jù)的基礎(chǔ)上，以及利用了MATLAB編程擬合曲線，使問題更加簡單，清晰。該模型經(jīng)過適當(dāng)?shù)母脑欤梢酝茝V到股票預(yù)測，市場銷售額統(tǒng)計(jì)等相關(guān)領(lǐng)域。關(guān)鍵字：matlab，最小二乘多項(xiàng)式擬合,階數(shù)，殘差分析一．問題重述某集團(tuán)下設(shè)兩個子公司：子公司A、子公司B。各子公司財(cái)務(wù)分別獨(dú)立核算。每個子公司都實(shí)施了對雇員的醫(yī)療保障計(jì)劃，由各子公司自行承擔(dān)雇員的全部醫(yī)療費(fèi)用。過去的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)表明，每個子公司的雇員人數(shù)以及每一年齡段的雇員比例，在各年度都保持相對穩(wěn)定。各子公司各年度的醫(yī)療費(fèi)用支出見下表（附錄1）。試?yán)枚囗?xiàng)式數(shù)據(jù)擬合，得到每個公司醫(yī)療費(fèi)用變化函數(shù)，并繪出標(biāo)出原始數(shù)據(jù)的擬合函數(shù)曲線。需給出三種不同階數(shù)的多項(xiàng)式數(shù)據(jù)擬合，并分析擬合曲線與原始數(shù)據(jù)的擬合程度。二．模型假設(shè)1．假設(shè)A,B兩公司在1980年底才發(fā)放醫(yī)療保障基金。2．假設(shè)在1980—2003年期間，A,B公司的雇員健康狀況基本穩(wěn)定，即沒有大規(guī)模的疾病出現(xiàn)。3．假設(shè)在年期間，每個子公司的雇員人數(shù)以及每一年齡段的雇員比例，在各年度都保持相對穩(wěn)定。三．問題分析解決醫(yī)療保障基金額度的分配問題，就是為了固定資源得到最優(yōu)配置。在此問題中，由于給定的均是離散的數(shù)據(jù)點(diǎn)，并且屬于非線性相關(guān)的點(diǎn)，因此我們采用最小二乘法的思想對離散數(shù)據(jù)點(diǎn)進(jìn)行多項(xiàng)式擬合，分別作出了不同階數(shù)（一階，二階，三階）的擬合曲線，并對各擬合曲線的擬合程度進(jìn)行了定性和定量的分析，本文主要采用的是圖示法和殘差分析法。由題設(shè)知，A,B兩個子公司在1980-2003年的醫(yī)療保障費(fèi)用支出已給定，利用matlab中的繪圖函數(shù)plot函數(shù)先將給定的離散點(diǎn)繪出，觀察圖形的基本走勢，最終確定出利用最小二乘法的基本思想，將多項(xiàng)式作為基函數(shù)對已知節(jié)點(diǎn)進(jìn)行擬合，即多項(xiàng)式擬合。為了達(dá)到更好的擬合程度，分別采用了不同階數(shù)的曲線擬合，并對最終擬合結(jié)果進(jìn)行誤差分析。采用最小二乘法則進(jìn)行擬合曲線時，實(shí)際上是求一個系數(shù)向量，該系數(shù)向量是一個多項(xiàng)式的系數(shù)。在matlab中，主要用polyfit函數(shù)求得擬合多項(xiàng)式的系數(shù)，再用polyval函數(shù)按所得多項(xiàng)式計(jì)算所給出的點(diǎn)上的函數(shù)近似值。1．polyfit函數(shù)的調(diào)用格式：[P,S]=polyfit(X,Y,n)2.polyval函數(shù)的調(diào)用格式：Y=polyval(P,X)說明：X,Y為已知離散數(shù)據(jù)點(diǎn)，n為多項(xiàng)式階數(shù)，返回P為冪次從高到低的多項(xiàng)式系數(shù)向量,是一個行向量。S是一個數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)，返回采樣點(diǎn)的誤差向量。本題中，將年分，公司A,B的保障基金的數(shù)值分別構(gòu)造成矩陣。X=1980:2003;A=[,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,];B=[,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,];其中X是年份矩陣,A是公司A的數(shù)值矩陣，B是公司B的數(shù)值矩陣。四．模型建立通過對該問題的分析，基于最小二乘曲線擬合的大量調(diào)研資料結(jié)果表明，采用多項(xiàng)式數(shù)據(jù)擬合所得到的擬合優(yōu)度較其他形式的基函數(shù)所得的擬合結(jié)果高，因此，本題中假定了所給定的離散數(shù)據(jù)點(diǎn)是服從一般多項(xiàng)式的形式：。于是，以年份X作為自變量，醫(yī)療費(fèi)用支出作為因變量Y，根據(jù)散點(diǎn)圖的走勢，對A,B兩子公司分別作了以下階數(shù)的數(shù)據(jù)擬合：直線趨勢方程：二階多項(xiàng)式趨勢方程：三階多項(xiàng)式趨勢方程：五階多項(xiàng)式趨勢方程：利用matlab軟件進(jìn)行了繪圖，殘差分析，相應(yīng)的程序源代碼見附錄。五．模型求解1.A子公司的相關(guān)數(shù)據(jù)擬合信息A公司的離散數(shù)據(jù)散點(diǎn)圖：根據(jù)離散點(diǎn)圖的走勢，確定擬合階數(shù)。A子公司不同階數(shù)擬合曲線與原始數(shù)據(jù)比較示意圖以及相應(yīng)的殘差變化圖如下：程序運(yùn)行結(jié)果見附錄2：2.B子公司的相關(guān)數(shù)據(jù)擬合信息B子公司的離散數(shù)據(jù)散點(diǎn)圖：根據(jù)離散點(diǎn)圖的走勢，確定擬合階數(shù)。B子公司不同階數(shù)擬合曲線與原始數(shù)據(jù)比較示意圖以及相應(yīng)的殘差變化圖如下：程序運(yùn)行結(jié)果見附錄2.六．模型分析與改進(jìn)1．模型分析與檢驗(yàn):本文主要采用的是基于matlab的多項(xiàng)式擬合，實(shí)現(xiàn)了對于給定離散數(shù)據(jù)，在同一坐標(biāo)下繪出不同階數(shù)（一階，二階，三階，五階）的擬合曲線與原始數(shù)據(jù)的對比圖以及殘差變化圖，并將多項(xiàng)式系數(shù)，殘差以表格形式輸出，整個建模過程直觀，清晰。下面具體從擬合值的準(zhǔn)確性來檢驗(yàn)?zāi)Ｐ偷膬?yōu)良性。方法一：對于模型的擬合程度，可直接將擬合函數(shù)和實(shí)際值繪制在同一坐標(biāo)下，對數(shù)據(jù)進(jìn)行直觀的對比，從而判斷所得擬合函數(shù)的優(yōu)良。方法二：可以利用（）（二范數(shù)）來求取各階的實(shí)際數(shù)值與擬合函數(shù)值之間的波動情況，簡略的以此來鑒定該階數(shù)在特定的那種情況下的擬合程度。根據(jù)圖示以及殘差返回值可知，A，B兩子公司在采用多項(xiàng)式擬合時，不同階數(shù)的擬合曲線都是相對穩(wěn)定的，比較而言，采用較高（n<=5）階進(jìn)行擬合時，誤差會較小，擬合程度較為理想，但當(dāng)階數(shù)達(dá)到一定程度時，會出現(xiàn)龍格現(xiàn)象，即擬合的病態(tài)問題。因此，為了避免這種病態(tài)的產(chǎn)生，在實(shí)際應(yīng)用過程中，應(yīng)盡可能采用低階進(jìn)行擬合，對于實(shí)現(xiàn)要求較高次數(shù)的多項(xiàng)式擬合，應(yīng)采用分段，低次的多項(xiàng)式進(jìn)行組合擬合。2．模型評價(jià):模型優(yōu)點(diǎn)：(1)本文對A,B公司在進(jìn)行四個模型的建模時，基函數(shù)采用的是相對簡單，形式較統(tǒng)一化的多項(xiàng)式，整個擬合過程相對簡單，便于理解。(2)利用matlab繪圖功能實(shí)現(xiàn)了對于給定離散數(shù)據(jù)，在同一坐標(biāo)下繪出不同階數(shù)（一階，二階，三階，五階）的擬合曲線與原始數(shù)據(jù)的對比圖以及殘差變化圖，對后續(xù)的模型分析和檢驗(yàn)提供了較為直觀的圖形依據(jù)。(3)利用matlab標(biāo)準(zhǔn)輸出，將不同階數(shù)（一階，二階，三階，五階）的多項(xiàng)式系數(shù)，殘差以表格形式打印出來，對后續(xù)的模型分析和檢驗(yàn)提供了較為準(zhǔn)確的數(shù)據(jù)依據(jù)。模型缺點(diǎn)：(1）在建立模型時，只是對文中所給定的離散數(shù)據(jù)進(jìn)行了簡單的擬合，功能相對單一，可擴(kuò)展性差。(2)模型的準(zhǔn)確性直接影響模型的正確性，在數(shù)據(jù)處理方面存一定的不足，影響模型的正確性。(3）按題目要求本文只是簡單的運(yùn)用多項(xiàng)式擬合，得到每個公司醫(yī)療費(fèi)用變化函數(shù)，適用性不強(qiáng)。3模型改進(jìn)和推廣：(1)在擬合時可用較為復(fù)雜的一般的擬合函數(shù)代替簡單的多項(xiàng)式擬合，得到每個公司醫(yī)療費(fèi)用變化函數(shù)，使得結(jié)果更加精確，(2)過去的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)表明，每個子公司的雇員人數(shù)以及每一年齡段的雇員比例，在各年度都保持相對穩(wěn)定，本文建立的模型可用來預(yù)測2003年之后各子公司各年度的醫(yī)療費(fèi)用支出情況。（3）本文建立的模型可用來預(yù)測各部分比例較固定的事物的發(fā)展趨勢，比如預(yù)測某一地區(qū)短期內(nèi)某一類產(chǎn)品的幾類子產(chǎn)品的銷售量；（4）本文建立的模型可推廣到市場預(yù)測，對市場調(diào)查后的數(shù)據(jù)進(jìn)行運(yùn)算、處理以及股票預(yù)測等應(yīng)用領(lǐng)域。七．建模心得數(shù)學(xué)建模，對于我們數(shù)學(xué)專業(yè)的學(xué)生來說并不陌生，但又不是太了解。本學(xué)期開設(shè)了數(shù)學(xué)模型，使我們真正知道了什么叫做數(shù)學(xué)建模。在學(xué)習(xí)之中，鍛煉了我們的能力，獲益非淺。真正用到了數(shù)學(xué)的理論知識去解決我們在實(shí)際生活上的一些問題。從最初的“建模”簡介，我們了解到數(shù)學(xué)在實(shí)際生活中的應(yīng)用之廣、之深、之切。小到日常的衣食住行，大到科技進(jìn)步，人類生存。龐大的數(shù)學(xué)知識體系良好地規(guī)范我們的生活，與我們每個人都息息相關(guān)，并隨著科技的進(jìn)步，數(shù)學(xué)與我們的關(guān)系也越來越密切。終于明白了，為什么數(shù)學(xué)是真正的科學(xué)工具，是人類發(fā)展進(jìn)步的基礎(chǔ)學(xué)科，它既能規(guī)范現(xiàn)在，又能預(yù)測未來。在這次實(shí)踐中，我們選擇的是關(guān)于醫(yī)療保障基金額度的分配模型，可以說是一個小模型，里面所用到的知識和方法也是比較容易的。在分配到相應(yīng)題目之后，全體組員就開始著手分頭行動，經(jīng)過三天的努力模型基本建成，通過三天的互相交流，我們感覺到團(tuán)隊(duì)精神是數(shù)學(xué)建模是否取得好成績的最重要的因素，一隊(duì)四個人要相互支持，相互鼓勵。在今后的學(xué)習(xí)生活中，我們應(yīng)當(dāng)將理論與實(shí)踐相結(jié)合，努力提高自己的數(shù)學(xué)專業(yè)水平，盡早成為一名優(yōu)秀的數(shù)學(xué)人。參考文獻(xiàn)：[1]姜啟源謝金星葉俊，數(shù)學(xué)模型，北京：高等教育出版社，2011年.[2]李慶揚(yáng)王能超易大義，數(shù)值分析，北京：清華大學(xué)出版社，2008年.[3]劉衛(wèi)國，MATLAB程序設(shè)計(jì)與應(yīng)用，北京：高等教育出版社，2009年.[4]GeraldRecktenwald，數(shù)值方法和matlab實(shí)現(xiàn)與應(yīng)用，北京：機(jī)械工業(yè)出版社，2004年.附錄：附錄1:年度公司A公司B198019811982198319841985198619871988198919901991199219931994199519961997199819992000200120022003附錄2(matlab程序源代碼）：X=1980:1:2003;Y=[,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,];xfit=linspace(1980,2003);p1=polyfit(X,Y,1);yfit1=polyval(p1,xfit);r1=Y-polyval(p1,X);p2=polyfit(X,Y,2);yfit2=polyval(p2,xfit);r2=Y-polyval(p2,X);p3=polyfit(X,Y,3);yfit3=polyval(p3,xfit);r3=Y-polyval(p3,X);p5=polyfit(X,Y,5);yfit5=polyval(p5,xfit);r5=Y-polyval(p5,X);fprintf('\nCurvecoefficients\n');fprintf('constantxx^2x^3x^4x^5\n');fprintf('liner');fprintf('%14e',fliplr(p1));fprintf('\n');%fliplr(p1)對p1實(shí)施左右翻轉(zhuǎn)fprintf('quadratic');fprintf('%14e',fliplr(p2));fprintf('\n');fprintf('cubic');fprintf('%14e',fliplr(p3));fprintf('\n');fprintf('higher');fprintf('%14e',fliplr(p5));fprintf('\n');subplot(2,1,1);plot(X,Y,'-p',xfit,yfit1,'g-',xfit,yfit2,'m:',xfit,yfit3,'b:',xfit,yfit5,'y-');legend('data','liner','quadratic','cubic','higher');xlabel('X');ylabel('Y');title('線性，二階，三階，五階的擬合曲線與原始數(shù)據(jù)比較圖');subplot(2,1,2);plot(X,r1,'-o',X,r2,'--s',X,r3,':d',X,r5,'-*');legend('liner','quadratic','cubic','higher');xlabel('X');ylabel('Y');title('線性，二階，三階,五階的擬合曲線殘差變化圖');fprintf('\nresiduals\n||r||_2maxerror\n');fprintf('liner%%\n',norm(r1),norm(r1,inf));%norm(r1)求矩陣r1的二范數(shù)。fprintf('quadratic%%\n',norm(r2),norm(r2,inf));fprintf('cubic%%\n',norm(r3),norm(r3,inf));fprintf('higher%%\n',norm(r5),norm(r5,inf));附錄3(程序用到的相關(guān)數(shù)據(jù))：X=1980:2003;A=[,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,];B=[,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,];其中X是年份矩陣,A是公司A的數(shù)值矩陣，B是公司B的數(shù)值矩陣。附錄4(最終運(yùn)行結(jié)果)：A子公司的運(yùn)行結(jié)果：Curvecoefficientsconstantxx^2x^3x^4liner+002quadratic+004+001cubic+006+004+000higher+012+009+006+003x^5根據(jù)以上運(yùn)行所得數(shù)據(jù)，進(jìn)行線性組合，從