實二次型的合同標(biāo)準(zhǔn)形與正交標(biāo)準(zhǔn)形模板課件

實二次型的合同標(biāo)準(zhǔn)形與正交標(biāo)準(zhǔn)形xxx莆田學(xué)院數(shù)學(xué)系福建省《高等代數(shù)》與《線性代數(shù)》課程建設(shè)第八次研討會1謝謝觀賞2019-5-23實二次型的合同標(biāo)準(zhǔn)形與正交標(biāo)準(zhǔn)形xxx莆田學(xué)院數(shù)學(xué)系福建省《一、二次型的基本問題（1）（1）可被唯一表示為（2）基本問題：（3）其中,可逆2謝謝觀賞2019-5-23一、二次型的基本問題（1）（1）可被唯一表示為（2）基本問題常用的實二次型化簡2）（5）（5）中為實二次型的正交標(biāo)準(zhǔn)形.1）（4）稱（4）為實二次型的合同標(biāo)準(zhǔn)形.其中,可逆,,為正、負(fù)慣性指數(shù).3謝謝觀賞2019-5-23常用的實二次型化簡2）（5）（5）中二、目前的教材處理情況1.北大教材[1]第五章二次型五節(jié)內(nèi)容基本問題：合同標(biāo)準(zhǔn)形第九章歐幾里得空間§9.6實對稱矩陣的標(biāo)準(zhǔn)形基本問題：正交標(biāo)準(zhǔn)形第十章雙線性函數(shù)與辛空間§10.3雙線性函數(shù)將基本知識分散處理于三部分

距離遠(yuǎn)、聯(lián)系差4謝謝觀賞2019-5-23二、目前的教材處理情況1.北大教材[1]第五章二次型五2.張禾瑞、郝鈵新：高等代數(shù)（第四版）[2]第八章歐氏空間和酉空間§8.4對稱變換和對稱矩陣基本問題：正交標(biāo)準(zhǔn)形第九章二次型§9.1-§9.3基本問題：合同標(biāo)準(zhǔn)形§9.4主軸問題、正交標(biāo)準(zhǔn)形

福師大所編教材[3]的處理與[2]相似（只講第六章二次型，第七章歐氏空間），[3]另一個特點是二次型從簡單的線性函數(shù)和雙線性函數(shù)入門（也綜合[1]的較高的起點）.5謝謝觀賞2019-5-232.張禾瑞、郝鈵新：高等代數(shù)（第四版）[2]第八章歐氏3.非數(shù)學(xué)專業(yè)教材兩種標(biāo)準(zhǔn)形是緊密出現(xiàn)的

居余馬[4]第五章特征值和特征向量、矩陣的對角化

§5.3實對稱矩陣的對角化（正交標(biāo)準(zhǔn)形）第六章二次型（主要是實二次型）

同濟(jì)線性代數(shù)[5]第五章相似矩陣及二次型

§5.4對稱矩陣的對角化

§5.5二次型及其標(biāo)準(zhǔn)型

§5.6用配方法化二次型成標(biāo)準(zhǔn)型

§5.7正定二次型6謝謝觀賞2019-5-233.非數(shù)學(xué)專業(yè)教材兩種標(biāo)準(zhǔn)形是緊密出現(xiàn)的居余馬[4]第五

中國人大線性代數(shù)[6]第四章矩陣的特征值

§4.4

實對稱矩陣的對角化第五章二次型7謝謝觀賞2019-5-23中國人大線性代數(shù)[6]第四章矩陣的特征值§4.新出版的一些高等代數(shù)教材

邱維聲[7]第五章矩陣的相抵分類與相似分類第六章二次型、矩陣的合同分類這樣可將正交標(biāo)準(zhǔn)形同時納入教學(xué)內(nèi)容8謝謝觀賞2019-5-234.新出版的一些高等代數(shù)教材邱維聲[7]第五章矩陣的相

姚慕生[8]

實對稱矩陣的正交相似標(biāo)準(zhǔn)型是比一般合同標(biāo)準(zhǔn)型更強(qiáng)有力的工具.（見[8,P246]）第八章二次型

§8.1正交相似標(biāo)準(zhǔn)形

§8.2合同標(biāo)準(zhǔn)形第九章內(nèi)積空間第十章雙線性型9謝謝觀賞2019-5-23姚慕生[8]實對稱矩陣的正交相似標(biāo)準(zhǔn)型是比

張賢科[9]結(jié)構(gòu)有較大變化，分三部分：Ⅰ基礎(chǔ)內(nèi)容

多項式線性代數(shù)線性空間線性變換Ⅱ

深入內(nèi)容第七章方陣相似標(biāo)準(zhǔn)形與空間分解第八章雙線性型、二次型與方陣相合第九章歐幾里德空間與酉空間Ⅲ

選學(xué)內(nèi)容10謝謝觀賞2019-5-23張賢科[9]結(jié)構(gòu)有較大變化，分三部分：Ⅰ基礎(chǔ)內(nèi)容多項三、幾點看法1.

實二次型兩種標(biāo)準(zhǔn)形的重要性數(shù)學(xué)專業(yè)教材

新編教材非數(shù)學(xué)專業(yè)教材2007年國家教育部頒布的考研大綱，變化最大的部分是二次型的兩種標(biāo)準(zhǔn)形作為高數(shù)四的新增內(nèi)容.現(xiàn)在高數(shù)一、二、三、四的線性代數(shù)考綱基本相同.11謝謝觀賞2019-5-23三、幾點看法1.實二次型兩種標(biāo)準(zhǔn)形的重要性數(shù)學(xué)專業(yè)教材新2.

要注重討論的幾何背景合同標(biāo)準(zhǔn)形可給出二次曲面的仿射分類[9,§8.8二次曲面的仿射分類,定理8.13]定理8.13

對中二次超曲面記分別為的秩、正慣性指數(shù)、負(fù)慣性指數(shù)、符號差；分別為相應(yīng)的值.則可經(jīng)仿射變換化此二次超曲面的方程為當(dāng)當(dāng)當(dāng)1）2）3）12謝謝觀賞2019-5-232.要注重討論的幾何背景合同標(biāo)準(zhǔn)形可給出二次曲面的仿射分類[9,§9.5二次曲面的正交分解,定理9.12]

定理9.12

設(shè)歐幾里得空間中二次超曲面在一標(biāo)準(zhǔn)正交基下的方程為實對稱方陣的非零特征值，則可經(jīng)過正交變換化此曲面為下列情形之一：1）（當(dāng)為的秩）2）（當(dāng)）

（）3）（當(dāng)）13謝謝觀賞2019-5-23[9,§9.5二次曲面的正交分解,定理9.12]3.

要加強(qiáng)對正交矩陣相關(guān)性質(zhì)的教學(xué)

運算性質(zhì)

與正交標(biāo)準(zhǔn)形相關(guān)的矩陣分解

結(jié)構(gòu)性質(zhì)i)

行(列)向量標(biāo)準(zhǔn)基ii)

元素與代數(shù)余子式iii)

特征值14謝謝觀賞2019-5-233.要加強(qiáng)對正交矩陣相關(guān)性質(zhì)的教學(xué)運算性質(zhì)與正交標(biāo)準(zhǔn)形應(yīng)用:i)

分解設(shè),如果,則有唯一的正交矩陣和正上三角矩陣使得.（文獻(xiàn)[1]第九章習(xí)題14）①

設(shè)為階正定矩陣,則有正上三角矩陣

使（文獻(xiàn)[1]第九章習(xí)題20）②

設(shè)證明存在正交矩陣,使為三角陣的充分必要條件是的特征多項式的根全部是實的.15謝謝觀賞2019-5-23應(yīng)用:i)分解設(shè)ⅱ)

矩陣偶(文獻(xiàn)[1]第九章補充題10)設(shè)

都是實對稱矩陣且

是正定的,證明存在實可逆矩陣

,使與同時為對角矩陣.ⅲ)

正定矩陣的正定平方根設(shè)

是一個正定矩陣,證明存在一個正定矩陣

,使得

.①可以證明

是唯一的,因此可記②你能否證明:對任意正整數(shù)

,正定矩陣

有唯一的

次正定方根使得?③

正定矩陣的乘積是否還是正定矩陣？④

正定矩陣乘積的特征值都是正實數(shù)？16謝謝觀賞2019-5-23ⅱ)矩陣偶(文獻(xiàn)[1]第九章補充題10)設(shè)ⅳ)極分解（北師大高等代數(shù)第四版§9.4習(xí)題２）設(shè)為可逆矩陣,證明存在正定矩陣和正交矩陣,使得.

①

這種分解是唯一的嗎?②

是否有分解形式?

17謝謝觀賞2019-5-23ⅳ)極分解（北師大高等代數(shù)第四版§9.4習(xí)題２）設(shè)ⅴ)奇異值分解設(shè)為可逆矩陣,證明存在正交矩陣和使得①

當(dāng)

時,上述分解形式有什么變化?②

稱為的奇異值,與的特征值是什么關(guān)系?18謝謝觀賞2019-5-23ⅴ)奇異值分解設(shè)為可逆矩陣,參考文獻(xiàn)：[1]北京大學(xué)編,高等代數(shù)（第三版）,高等教育出版社,2003年.[2]張禾瑞,郝鈵新編,高等代數(shù)(第四版),高等教育出版社,1999年.[3]陳昭木,陳清華,王華雄,林亞南編著,高等代數(shù)(下),福建教育出版社,1992年.[4]居余馬,線性代數(shù)(第二版),清華大學(xué)出版社,2002年.[5]同濟(jì)大學(xué)應(yīng)用數(shù)學(xué)系編,線性代數(shù)(第四版),高等教育出版社,2003年.[6]吳贛昌主編,線性代數(shù)(理工類),中國人民大學(xué)出版社,2006年.[7]邱維聲,高等代數(shù)(上冊),高等教育出版社,北京,2002年.[8]姚慕生,高等代數(shù)(大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)方法指導(dǎo)叢書),復(fù)旦大學(xué)出版社,2002年.[9]張賢科,許甫華,高等代數(shù)學(xué)(第二版),清華大學(xué)出版社,2004年.19謝謝觀賞2019-5-23參考文獻(xiàn)：[1]北京大學(xué)編,高等代數(shù)（第三版）,高等謝謝!20謝謝觀賞2019-5-23謝謝!20謝謝觀賞2019-5-23實二次型的合同標(biāo)準(zhǔn)形與正交標(biāo)準(zhǔn)形xxx莆田學(xué)院數(shù)學(xué)系福建省《高等代數(shù)》與《線性代數(shù)》課程建設(shè)第八次研討會21謝謝觀賞2019-5-23實二次型的合同標(biāo)準(zhǔn)形與正交標(biāo)準(zhǔn)形xxx莆田學(xué)院數(shù)學(xué)系福建省《一、二次型的基本問題（1）（1）可被唯一表示為（2）基本問題：（3）其中,可逆22謝謝觀賞2019-5-23一、二次型的基本問題（1）（1）可被唯一表示為（2）基本問題常用的實二次型化簡2）（5）（5）中為實二次型的正交標(biāo)準(zhǔn)形.1）（4）稱（4）為實二次型的合同標(biāo)準(zhǔn)形.其中,可逆,,為正、負(fù)慣性指數(shù).23謝謝觀賞2019-5-23常用的實二次型化簡2）（5）（5）中二、目前的教材處理情況1.北大教材[1]第五章二次型五節(jié)內(nèi)容基本問題：合同標(biāo)準(zhǔn)形第九章歐幾里得空間§9.6實對稱矩陣的標(biāo)準(zhǔn)形基本問題：正交標(biāo)準(zhǔn)形第十章雙線性函數(shù)與辛空間§10.3雙線性函數(shù)將基本知識分散處理于三部分

距離遠(yuǎn)、聯(lián)系差24謝謝觀賞2019-5-23二、目前的教材處理情況1.北大教材[1]第五章二次型五2.張禾瑞、郝鈵新：高等代數(shù)（第四版）[2]第八章歐氏空間和酉空間§8.4對稱變換和對稱矩陣基本問題：正交標(biāo)準(zhǔn)形第九章二次型§9.1-§9.3基本問題：合同標(biāo)準(zhǔn)形§9.4主軸問題、正交標(biāo)準(zhǔn)形

福師大所編教材[3]的處理與[2]相似（只講第六章二次型，第七章歐氏空間），[3]另一個特點是二次型從簡單的線性函數(shù)和雙線性函數(shù)入門（也綜合[1]的較高的起點）.25謝謝觀賞2019-5-232.張禾瑞、郝鈵新：高等代數(shù)（第四版）[2]第八章歐氏3.非數(shù)學(xué)專業(yè)教材兩種標(biāo)準(zhǔn)形是緊密出現(xiàn)的

居余馬[4]第五章特征值和特征向量、矩陣的對角化

§5.3實對稱矩陣的對角化（正交標(biāo)準(zhǔn)形）第六章二次型（主要是實二次型）

同濟(jì)線性代數(shù)[5]第五章相似矩陣及二次型

§5.4對稱矩陣的對角化

§5.5二次型及其標(biāo)準(zhǔn)型

§5.6用配方法化二次型成標(biāo)準(zhǔn)型

§5.7正定二次型26謝謝觀賞2019-5-233.非數(shù)學(xué)專業(yè)教材兩種標(biāo)準(zhǔn)形是緊密出現(xiàn)的居余馬[4]第五

中國人大線性代數(shù)[6]第四章矩陣的特征值

§4.4

實對稱矩陣的對角化第五章二次型27謝謝觀賞2019-5-23中國人大線性代數(shù)[6]第四章矩陣的特征值§4.新出版的一些高等代數(shù)教材

邱維聲[7]第五章矩陣的相抵分類與相似分類第六章二次型、矩陣的合同分類這樣可將正交標(biāo)準(zhǔn)形同時納入教學(xué)內(nèi)容28謝謝觀賞2019-5-234.新出版的一些高等代數(shù)教材邱維聲[7]第五章矩陣的相

姚慕生[8]

實對稱矩陣的正交相似標(biāo)準(zhǔn)型是比一般合同標(biāo)準(zhǔn)型更強(qiáng)有力的工具.（見[8,P246]）第八章二次型

§8.1正交相似標(biāo)準(zhǔn)形

§8.2合同標(biāo)準(zhǔn)形第九章內(nèi)積空間第十章雙線性型29謝謝觀賞2019-5-23姚慕生[8]實對稱矩陣的正交相似標(biāo)準(zhǔn)型是比

張賢科[9]結(jié)構(gòu)有較大變化，分三部分：Ⅰ基礎(chǔ)內(nèi)容

多項式線性代數(shù)線性空間線性變換Ⅱ

深入內(nèi)容第七章方陣相似標(biāo)準(zhǔn)形與空間分解第八章雙線性型、二次型與方陣相合第九章歐幾里德空間與酉空間Ⅲ

選學(xué)內(nèi)容30謝謝觀賞2019-5-23張賢科[9]結(jié)構(gòu)有較大變化，分三部分：Ⅰ基礎(chǔ)內(nèi)容多項三、幾點看法1.

實二次型兩種標(biāo)準(zhǔn)形的重要性數(shù)學(xué)專業(yè)教材

新編教材非數(shù)學(xué)專業(yè)教材2007年國家教育部頒布的考研大綱，變化最大的部分是二次型的兩種標(biāo)準(zhǔn)形作為高數(shù)四的新增內(nèi)容.現(xiàn)在高數(shù)一、二、三、四的線性代數(shù)考綱基本相同.31謝謝觀賞2019-5-23三、幾點看法1.實二次型兩種標(biāo)準(zhǔn)形的重要性數(shù)學(xué)專業(yè)教材新2.

要注重討論的幾何背景合同標(biāo)準(zhǔn)形可給出二次曲面的仿射分類[9,§8.8二次曲面的仿射分類,定理8.13]定理8.13

對中二次超曲面記分別為的秩、正慣性指數(shù)、負(fù)慣性指數(shù)、符號差；分別為相應(yīng)的值.則可經(jīng)仿射變換化此二次超曲面的方程為當(dāng)當(dāng)當(dāng)1）2）3）32謝謝觀賞2019-5-232.要注重討論的幾何背景合同標(biāo)準(zhǔn)形可給出二次曲面的仿射分類[9,§9.5二次曲面的正交分解,定理9.12]

定理9.12

設(shè)歐幾里得空間中二次超曲面在一標(biāo)準(zhǔn)正交基下的方程為實對稱方陣的非零特征值，則可經(jīng)過正交變換化此曲面為下列情形之一：1）（當(dāng)為的秩）2）（當(dāng)）

（）3）（當(dāng)）33謝謝觀賞2019-5-23[9,§9.5二次曲面的正交分解,定理9.12]3.

要加強(qiáng)對正交矩陣相關(guān)性質(zhì)的教學(xué)

運算性質(zhì)

與正交標(biāo)準(zhǔn)形相關(guān)的矩陣分解

結(jié)構(gòu)性質(zhì)i)

行(列)向量標(biāo)準(zhǔn)基ii)

元素與代數(shù)余子式iii)

特征值34謝謝觀賞2019-5-233.要加強(qiáng)對正交矩陣相關(guān)性質(zhì)的教學(xué)運算性質(zhì)與正交標(biāo)準(zhǔn)形應(yīng)用:i)

分解設(shè),如果,則有唯一的正交矩陣和正上三角矩陣使得.（文獻(xiàn)[1]第九章習(xí)題14）①

設(shè)為階正定矩陣,則有正上三角矩陣

使（文獻(xiàn)[1]第九章習(xí)題20）②

設(shè)證明存在正交矩陣,使為三角陣的充分必要條件是的特征多項式的根全部是實的.35謝謝觀賞2019-5-23應(yīng)用:i)分解設(shè)ⅱ)

矩陣偶(文獻(xiàn)[1]第九章補充題10)設(shè)

都是實對稱矩陣且

是正定的,證明存在實可逆矩陣

,使與同時為對角矩陣.ⅲ)

正定矩陣的正定平方根設(shè)

是一個正定矩陣,證明存在一個正定矩陣

,使得

.①可以證明

是唯一的,因此可記②你能否證明:對任意正整數(shù)

,正定矩陣

有唯一的

次正定方根使得?③

正定矩陣的乘積是否還是正定矩陣？④

正定矩陣乘積的特征值都是正實數(shù)？36謝謝觀賞2019-5-23ⅱ)矩陣偶(文獻(xiàn)[1]第九章補充題10)設(shè)ⅳ)極分解（北師大高等代數(shù)第四版§9.4習(xí)題２）設(shè)為可逆矩陣,證明存在正定矩陣和正交矩陣,使得