無窮級數(shù)課件

無窮級數(shù)

無窮級數(shù)無窮級數(shù)是研究函數(shù)的工具表示函數(shù)研究性質(zhì)數(shù)值計算數(shù)項級數(shù)冪級數(shù)付氏級數(shù)無窮級數(shù)無窮級數(shù)無窮級數(shù)是研究函數(shù)的工具表示函數(shù)研究性質(zhì)數(shù)1常數(shù)項級數(shù)的概念和性質(zhì)

一、常數(shù)項級數(shù)的概念

二、無窮級數(shù)的基本性質(zhì)三、級數(shù)收斂的必要條件*四、柯西審斂原理機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束第一節(jié)第十一章常數(shù)項級數(shù)的概念和性質(zhì)一、常數(shù)項級數(shù)的概念二、無窮級數(shù)的2給定一個數(shù)列將各項依即稱上式為無窮級數(shù)，其中第n項一般項,或通項。級數(shù)的前n項和次相加,簡記為機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束定義：一、常數(shù)項級數(shù)的概念

叫做級數(shù)的稱為級數(shù)的部分和。給定一個數(shù)列將各項依即稱上式為無窮級數(shù)，其中第n項一般項3記作并稱S

為級數(shù)的和,收斂,則稱無窮級數(shù)則稱無窮級數(shù)發(fā)散.當(dāng)級數(shù)收斂時,稱差值稱為級數(shù)的余項.顯然記作并稱S為級數(shù)的和,收斂,則稱無窮級數(shù)則稱無窮級數(shù)發(fā)4(又稱幾何級數(shù))(q

稱為公比)部分和機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束級數(shù)收斂,等比級數(shù)級數(shù)發(fā)散(又稱幾何級數(shù))(q稱為公比)部分和機(jī)動目錄5例2.判別下列級數(shù)的斂散性:解:(1)

所以級數(shù)(1)發(fā)散;技巧:利用“拆項相消”求和機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束例2.判別下列級數(shù)的斂散性:解:(1)所以級數(shù)(1)6(2)所以級數(shù)(2)收斂,其和為1.技巧:利用“拆項相消”求和機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束(2)所以級數(shù)(2)收斂,其和為1.技巧:利用7二、無窮級數(shù)的基本性質(zhì)性質(zhì)1.若級數(shù)收斂于S,則各項乘以常數(shù)c所得級數(shù)也收斂,即其和為cS.機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束性質(zhì)2.設(shè)有兩個收斂級數(shù)則級數(shù)也收斂,其和為二、無窮級數(shù)的基本性質(zhì)性質(zhì)1.若級數(shù)收斂于S,則各8說明:(2)若兩級數(shù)中一個收斂一個發(fā)散,則必發(fā)散.但若二級數(shù)都發(fā)散,不一定發(fā)散.例如,

(1)性質(zhì)2表明收斂級數(shù)可逐項相加或減.(用反證法可證)機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束說明:(2)若兩級數(shù)中一個收斂一個發(fā)散,則必發(fā)散.9性質(zhì)3.在級數(shù)前面加上或去掉有限項,不會影響級數(shù)的斂散性.證:將級數(shù)的前k項去掉,的部分和為數(shù)斂散性相同.當(dāng)級數(shù)收斂時,其和的關(guān)系為類似可證前面加上有限項的情況.極限狀況相同,故新舊兩級所得新級數(shù)機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束性質(zhì)3.在級數(shù)前面加上或去掉有限項,不會影響級數(shù)的斂散性.10性質(zhì)4.收斂級數(shù)加括弧后所成的級數(shù)仍收斂于原級數(shù)的和.證:設(shè)收斂級數(shù)若按某一規(guī)律加括弧,則新級數(shù)的部分和序列為原級數(shù)部分和序列的一個子序列,推論:若加括弧后的級數(shù)發(fā)散,則原級數(shù)必發(fā)散.注意:收斂級數(shù)去括弧后所成的級數(shù)不一定收斂.但發(fā)散.因此必有例如，用反證法可證例如機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束性質(zhì)4.收斂級數(shù)加括弧后所成的級數(shù)仍收斂于原級數(shù)的和.證:11例4.判斷級數(shù)的斂散性:解:考慮加括號后的級數(shù)發(fā)散,從而原級數(shù)發(fā)散.機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束例4.判斷級數(shù)的斂散性:解:考慮加括號后的級數(shù)發(fā)散,從而12三、級數(shù)收斂的必要條件

設(shè)收斂級數(shù)則必有證:

可見:若級數(shù)的一般項不趨于0,則級數(shù)必發(fā)散.例如,其一般項為不趨于0,因此這個級數(shù)發(fā)散.機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束三、級數(shù)收斂的必要條件設(shè)收斂級數(shù)則必有證:可見:若13注意:并非級數(shù)收斂的充分條件.例如,調(diào)和級數(shù)雖然但此級數(shù)發(fā)散.事實上,假設(shè)調(diào)和級數(shù)收斂于S,則但矛盾!所以假設(shè)不真.機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束注意:并非級數(shù)收斂的充分條件.例如,調(diào)和級數(shù)雖然但此級數(shù)發(fā)14解:(1)令則故從而所以級數(shù)(1)發(fā)散.機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束例5.判斷下列級數(shù)的斂散性,若收斂求其和:解:(1)令則故從而所以級數(shù)(1)發(fā)散.機(jī)動目15機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束(2)令則所以級數(shù)(2)收斂.機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束(216的充分必要條件是:四、柯西收斂原理

定理：有證:設(shè)所給級數(shù)部分和數(shù)列為因為所以,利用數(shù)列的柯西收斂原理即得本定理的結(jié)論.機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束的充分必要條件是:四、柯西收斂原理定理：有證:設(shè)所給級數(shù)17例6.

解:有利用柯西收斂原理判別級數(shù)機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束例6.解:有利用柯西收斂原理判別級數(shù)機(jī)動目錄18當(dāng)n﹥N時,都有由柯西審斂原理可知,級數(shù)第二節(jié)目錄上頁下頁返回結(jié)束當(dāng)n﹥N時,都有由柯西審斂原理可知,級數(shù)第二節(jié)目19二、交錯級數(shù)及其審斂法三、絕對收斂與條件收斂

第二節(jié)一、正項級數(shù)及其審斂法常數(shù)項級數(shù)的審斂法

機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束二、交錯級數(shù)及其審斂法三、絕對收斂與條件收斂第二節(jié)一、正20一、正項級數(shù)的斂散性若定理1.正項級數(shù)收斂的充分必要條件是部分和序列有界.若收斂,部分和數(shù)列有界,故從而又已知故有界.則稱為正項級數(shù).單調(diào)遞增,收斂,也收斂.證:“”“”機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束一、正項級數(shù)的斂散性若定理1.正項級數(shù)收斂的充分必要條件21都有定理2(比較判別法)設(shè)且存在對一切有(1)若強(qiáng)級數(shù)則弱級數(shù)(2)若弱級數(shù)則強(qiáng)級數(shù)證:設(shè)對一切則有收斂,也收斂;發(fā)散,也發(fā)散.分別表示弱級數(shù)和強(qiáng)級數(shù)的部分和,是兩個正項級數(shù),(常數(shù)k>0),因在級數(shù)前加、減有限項不改變其斂散性,故不妨機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束都有定理2(比較判別法)設(shè)且存在對一切有(1)若強(qiáng)級數(shù)則22(1)若強(qiáng)級數(shù)則有因此對一切有由定理1可知,則有(2)若弱級數(shù)因此這說明強(qiáng)級數(shù)也發(fā)散.也收斂.發(fā)散,收斂,弱級數(shù)機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束則有(1)若強(qiáng)級數(shù)則有因此對一切有由定理1可知,則有(2)23(常數(shù)p>0)的斂散性.解:1)當(dāng)而調(diào)和級數(shù)由比較審斂法可知p級數(shù)發(fā)散.發(fā)散,機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束2)當(dāng)p級數(shù)例1.討論p級數(shù)收斂(常數(shù)p>0)的斂散性.解:1)當(dāng)而調(diào)和級數(shù)由24若存在對一切機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束調(diào)和級數(shù)與p級數(shù)是兩個常用的比較級數(shù).若存在對一切機(jī)動目錄上頁下頁返回25證明級數(shù)發(fā)散.證:因為而級數(shù)發(fā)散根據(jù)比較判別法可知,所給級數(shù)發(fā)散.例2.機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束證明級數(shù)發(fā)散.證:因為而級數(shù)發(fā)散根據(jù)比較判別法可知,所給26定理3.(比較判別法的極限形式)則有兩個級數(shù)同時收斂或發(fā)散;(2)當(dāng)

l=

0

(3)當(dāng)

l=∞

證:據(jù)極限定義,設(shè)兩正項級數(shù)滿足(1)當(dāng)0<l<∞時,機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束定理3.(比較判別法的極限形式)則有兩個級數(shù)同時收斂或發(fā)散27由定理

2可知同時收斂或同時發(fā)散;(3)當(dāng)l=∞時,即由定理2可知,若發(fā)散,(1)當(dāng)0<l<∞時,(2)當(dāng)l=

0時,由定理2知收斂,若機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束由定理2可知同時收斂或同時發(fā)散;(3)當(dāng)l=∞時28是兩個正項級數(shù),(1)當(dāng)時,兩個級數(shù)同時收斂或發(fā)散;特別取可得如下結(jié)論:對正項級數(shù)(2)當(dāng)且收斂時,(3)當(dāng)且發(fā)散時,也收斂;也發(fā)散.機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束是兩個正項級數(shù),(1)當(dāng)時29的斂散性.～例3.判別級數(shù)的斂散性.解:

根據(jù)比較審斂法的極限形式知例4.判別級數(shù)解:根據(jù)比較審斂法的極限形式知～機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束的斂散性.～例3.判別級數(shù)的斂散性.解:根據(jù)比較審斂30定理4.比值判別法(D’alembert判別法)設(shè)為正項級數(shù),且則(1)當(dāng)(2)當(dāng)證:(1)收斂,時,級數(shù)收斂;或時,級數(shù)發(fā)散.由比較審斂法可知機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束定理4.比值判別法(D’alembert判別法)設(shè)31因此所以級數(shù)發(fā)散.時(2)當(dāng)說明:當(dāng)時,級數(shù)可能收斂也可能發(fā)散.例如,p–級數(shù)但級數(shù)收斂;級數(shù)發(fā)散.從而機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束因此所以級數(shù)發(fā)散.時(2)當(dāng)說明:當(dāng)時,級數(shù)可能收斂也可32例5.討論級數(shù)的斂散性.解:

根據(jù)定理4可知:級數(shù)收斂;級數(shù)發(fā)散;機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束例5.討論級數(shù)的斂散性.解:根據(jù)定理4可知:級數(shù)收斂33對任意給定的正數(shù)定理5.根值判別法法(Cauchy判別法)設(shè)為正項級則證明提示:

即分別利用上述不等式的左,右部分,可推出結(jié)論正確.數(shù),且機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束對任意給定的正數(shù)定理5.根值判別法法(Cauchy34時,級數(shù)可能收斂也可能發(fā)散.例如,p–級數(shù)說明:但級數(shù)收斂;級數(shù)發(fā)散.機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束時,級數(shù)可能收斂也可能發(fā)散.例如,p–級數(shù)說35例6.

證明級數(shù)收斂解:

由定理5可知該級數(shù)收斂.機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束例6.證明級數(shù)收斂解:由定理5可知該級數(shù)收斂.機(jī)動36例7.判別下列級數(shù)的斂散性:提示:(1)據(jù)比較判別法,原級數(shù)發(fā)散.因調(diào)和級數(shù)發(fā)散,機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束例7.判別下列級數(shù)的斂散性:提示:(1)據(jù)比較判別法,37利用比值判別法,可知原級數(shù)發(fā)散.用比值法,可判斷級數(shù)因n充分大時∴原級數(shù)發(fā)散.

用比值判別法可知:時收斂;時,與p

級數(shù)比較可知時收斂;時發(fā)散.再由比較法可知原級數(shù)收斂.時發(fā)散.發(fā)散,收斂,機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束利用比值判別法,可知原級數(shù)發(fā)散.用比值法,可判斷級數(shù)因38例8.設(shè)正項級數(shù)和也收斂.提示:因存在N>0,又因由比較判別法，可證。都收斂,證明級數(shù)當(dāng)n>N時機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束例8.設(shè)正項級數(shù)和也收斂.提示:因存在N>0,又39二、交錯級數(shù)及其審斂法

則各項符號正負(fù)相間的級數(shù)稱為交錯級數(shù).定理6

.(Leibnitz

判別法)若交錯級數(shù)滿足條件:則級數(shù)收斂,且其和機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束二、交錯級數(shù)及其審斂法則各項符號正負(fù)相間的級數(shù)稱為交錯級40證:是單調(diào)遞增有界數(shù)列,又故級數(shù)收斂于S,且故機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束證:是單調(diào)遞增有界數(shù)列,又故級數(shù)收斂于S,且故機(jī)動41收斂收斂用Leibnitz判別法判別下列級數(shù)的斂散性:收斂上述級數(shù)各項取絕對值后所成的級數(shù)是否收斂?發(fā)散收斂收斂機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束收斂收斂用Leibnitz判別法判別下列級數(shù)的斂散性:收斂42三、絕對收斂與條件收斂

定義:對任意項級數(shù)若若原級數(shù)收斂,但取絕對值以后的級數(shù)發(fā)散,則稱原級收斂,數(shù)為條件收斂.均為絕對收斂.例如：絕對收斂；則稱原級數(shù)條件收斂.機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束三、絕對收斂與條件收斂定義:對任意項級數(shù)若若原級數(shù)收斂43定理7.絕對收斂的級數(shù)一定收斂.證:設(shè)根據(jù)比較判別法顯然收斂,收斂也收斂且收斂,令機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束定理7.絕對收斂的級數(shù)一定收斂.證:設(shè)根據(jù)比較判別44例1.證明下列級數(shù)絕對收斂:證:(1)而收斂,收斂因此絕對收斂.機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束例1.證明下列級數(shù)絕對收斂:證:(1)而收斂,收斂因45(2)令因此收斂,絕對收斂.機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束(2)令因此收斂,絕對收斂.機(jī)動目錄上頁46例2.討論下列級數(shù)的絕對收斂性與條件收斂性:解:(1)P>1時,絕對收斂;0<p≤1時,條件收斂;p≤0時,發(fā)散.(2)因各項取絕對值后所得強(qiáng)級數(shù)

原級數(shù)絕對收斂.故機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束例2.討論下列級數(shù)的絕對收斂性與條件收斂性:解:(1)P47因單調(diào)遞減,且但所以原級數(shù)僅條件收斂.由Leibniz判別法知級數(shù)收斂;機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束因單調(diào)遞減,且但所以原級數(shù)僅條件收斂.由Leibniz判48因所以原級數(shù)絕對收斂.機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束因所以原級數(shù)絕對收斂.機(jī)動目錄上頁下頁49則級數(shù)(A)發(fā)散;(B)絕對收斂;(C)條件收斂;(D)收斂性根據(jù)條件不能確定.分析:(B)錯;又C機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束例3.則級數(shù)(A)發(fā)散;(B)絕對收50第三節(jié)一、函數(shù)項級數(shù)的概念

二、冪級數(shù)及其收斂性三、冪級數(shù)的運算冪級數(shù)

機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束第三節(jié)一、函數(shù)項級數(shù)的概念二、冪級數(shù)及其收斂性三、冪51一、函數(shù)項級數(shù)的概念設(shè)為定義在區(qū)間I上的函數(shù)項級數(shù).對若常數(shù)項級數(shù)斂點,所有收斂點的全體稱為其收斂域;若常數(shù)項級數(shù)為定義在區(qū)間I上的函數(shù),稱收斂,發(fā)散,所有為其收為其發(fā)散點,

發(fā)散點的全體稱為其發(fā)散域.機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束一、函數(shù)項級數(shù)的概念設(shè)為定義在區(qū)間I上的函數(shù)項級數(shù).52為級數(shù)的和函數(shù),并寫成若用令余項則在收斂域上有表示函數(shù)項級數(shù)前n項的和,即在收斂域上,函數(shù)項級數(shù)的和是x的函數(shù)稱它機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束為級數(shù)的和函數(shù),并寫成若用令余項則在收斂域上有表示函數(shù)項53它的收斂域是它的發(fā)散域是或?qū)懽饔秩?級數(shù)級數(shù)發(fā)散;所以級數(shù)的收斂域僅為和函數(shù)機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束例如,等比級數(shù)它的收斂域是它的發(fā)散域是或?qū)懽饔秩?級數(shù)級數(shù)發(fā)散;所以級54形如稱為它在級數(shù)為當(dāng)例如,冪級數(shù)為冪級數(shù)的系數(shù).即是如此時稱機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束

二、冪級數(shù)及其收斂性冪函數(shù)，冪級數(shù),形如稱為它在級數(shù)為當(dāng)例如,冪級數(shù)為冪級數(shù)的系數(shù).即是如此55發(fā)散發(fā)散收斂收斂發(fā)散定理1.(Abel定理)

若冪級數(shù)則對滿足不等式的一切x冪級數(shù)都絕對收斂.反之,若當(dāng)?shù)囊磺衳,該冪級數(shù)也發(fā)散.時該冪級數(shù)發(fā)散,則對滿足不等式證:設(shè)收斂,則必有于是存在常數(shù)M>0,使阿貝爾目錄上頁下頁返回結(jié)束發(fā)散發(fā)散收斂56當(dāng)時,收斂,故原冪級數(shù)絕對收斂.也收斂,反之,若當(dāng)時該冪級數(shù)發(fā)散,下面用反證法證之.假設(shè)有一點滿足不等式所以若當(dāng)滿足且使級數(shù)收斂,面的證明可知,級數(shù)在點故假設(shè)不真.的x,原冪級數(shù)也發(fā)散.

時冪級數(shù)發(fā)散,則對一切則由前也應(yīng)收斂,與所設(shè)矛盾,證畢機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束當(dāng)時,收斂,故原冪級數(shù)57冪級數(shù)在(－∞,+∞)收斂;由Abel定理可以看出,中心的區(qū)間.用±R表示冪級數(shù)收斂與發(fā)散的分界點,的收斂域是以原點為則R=0時,冪級數(shù)僅在x=0收斂;R=時,冪級數(shù)在(－R,R)收斂;(－R,R)加上收斂的端點稱為收斂域.R稱為收斂半徑，在[－R,R]可能收斂也可能發(fā)散.外發(fā)散;在(－R,R)稱為收斂區(qū)間.發(fā)散發(fā)散收斂收斂發(fā)散機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束冪級數(shù)在(－∞,+∞)收斂;由Abel定理可以看出58定理2.若的系數(shù)滿足證:1)若≠0,則根據(jù)比值審斂法可知:當(dāng)原級數(shù)收斂;當(dāng)原級數(shù)發(fā)散.即時,1)當(dāng)≠0時,2)當(dāng)＝0時,3)當(dāng)＝∞時,即時,則機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束

收斂半徑收斂半徑收斂半徑定理2.若的系數(shù)滿足證:1)若≠0,則根據(jù)比值審斂法592)若則根據(jù)比值審斂法可知,絕對收斂,3)若則對除x=0以外的一切x原級發(fā)散,對任意x原級數(shù)因此因此的收斂半徑為說明:據(jù)此定理因此級數(shù)的收斂半徑機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束2)若則根據(jù)比值審斂法可知,絕對收斂,3)若則對除60對端點x=－1,

的收斂半徑及收斂域.解:對端點x=1,級數(shù)為交錯級數(shù)收斂;級數(shù)為發(fā)散.故收斂域為例1.求冪級數(shù)

機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束對端點x=－1,的收斂半徑及收斂域.解:對端點x=61例2.求下列冪級數(shù)的收斂域:解:(1)所以收斂域為(2)所以級數(shù)僅在x=0處收斂.規(guī)定:0!=1機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束例2.求下列冪級數(shù)的收斂域:解:(1)所以收斂域為(262例3.的收斂半徑.解:級數(shù)缺少奇次冪項,不能直接應(yīng)用定理2,比值審斂法求收斂半徑.時級數(shù)收斂時級數(shù)發(fā)散故收斂半徑為故直接由機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束例3.的收斂半徑.解:級數(shù)缺少奇次冪項,不能直接應(yīng)用定理63的收斂域.解:令級數(shù)變?yōu)楫?dāng)t=2時,級數(shù)為此級數(shù)發(fā)散;當(dāng)t=–2時,級數(shù)為此級數(shù)條件收斂;的收斂域為故原級數(shù)的收斂域為機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束所以例4.因此級數(shù)的收斂域.解:令級數(shù)變?yōu)楫?dāng)t=2時,級數(shù)為此級64定理4若冪級數(shù)的收斂半徑則其和函在收斂域上連續(xù),且在收斂區(qū)間內(nèi)可逐項求導(dǎo)與逐項求積分,運算前后收斂半徑相同:注:逐項積分時,運算前后端點處的斂散性不變.機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束定理4若冪級數(shù)的收斂半徑則其和函在收斂域上連續(xù),且在收斂65例5.的和函數(shù)解:易求出冪級數(shù)的收斂半徑為1,x＝±1時級數(shù)發(fā)散,機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束例5.的和函數(shù)解:易求出冪級數(shù)的收斂半徑為1,x＝±666.已知處條件收斂,問該級數(shù)收斂半徑是多少?答:根據(jù)Abel定理可知,級數(shù)在收斂,時發(fā)散.故收斂半徑為機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束6.已知處條件收斂,問該級數(shù)收斂半徑是多少?答:根據(jù)67例7.冪級數(shù)求收斂半徑?解：因為故原級數(shù)當(dāng)時級數(shù)收斂,時級數(shù)發(fā)散,故機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束例7.冪級數(shù)求收斂半徑?解：因為故原級數(shù)當(dāng)時級數(shù)收斂,時68解:因故收斂區(qū)間為級數(shù)收斂;一般項不趨于0,級數(shù)發(fā)散;機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束解:因故收斂區(qū)間為級數(shù)收斂;一般項不趨于0,級數(shù)發(fā)散;機(jī)69例8.將函數(shù)展開成x的冪級數(shù).解:收斂域為利用此題可得x＝1時，收斂,于是機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束x＝-1時，發(fā)散,例8.將函數(shù)展開成x的冪級數(shù).解:收斂域為利用此題可70例9.

將展成x－1的冪級數(shù).解:

機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束例9.將展成x－1的冪級數(shù).解:機(jī)動目錄71,展開成x-3的冪級數(shù),解:機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束例10.設(shè),展開成x-3的冪級數(shù),解:機(jī)動目錄上頁72機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束73機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束收斂當(dāng)x=1時，級數(shù)發(fā)散，故級數(shù)收斂域為機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束收斂74第七節(jié)一、三角級數(shù)及三角函數(shù)系的正交性

機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束二、函數(shù)展開成傅里葉級數(shù)三、正弦級數(shù)和余弦級數(shù)第十一章Fourier級數(shù)第七節(jié)一、三角級數(shù)及三角函數(shù)系的正交性機(jī)動目錄75定理2.設(shè)f(x)是周期為2的周期函數(shù),其中機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束二、函數(shù)展開成Fourier級數(shù)定理2.設(shè)f(x)是周期為2的周期函數(shù),76定理3(收斂定理,展開定理)設(shè)f(x)是周期為2的周期函數(shù),并滿足條件:1)連續(xù)或只有有限個第一類間斷點;2)至多只有有限個極值點,則f(x)的Fourier級數(shù)收斂,并且

x為間斷點

x為連續(xù)點簡介目錄上頁下頁返回結(jié)束f(x)~定理3(收斂定理,展開定理)設(shè)f(x)是周期為277例2.上的表達(dá)式為將f(x)展成傅里葉級數(shù).解:

設(shè)f(x)是周期為2的周期函數(shù),它在機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束例2.上的表達(dá)式為將f(x)展成傅里葉級數(shù).解:78機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束79三、正弦級數(shù)和余弦級數(shù)1.周期為2的奇、偶函數(shù)的Fourier級數(shù)定理4.對周期為2的奇函數(shù)f(x),其傅里葉級數(shù)為周期為2的偶函數(shù)f(x),其傅里葉級數(shù)為余弦級數(shù),它的傅里葉系數(shù)為正弦級數(shù),它的傅里葉系數(shù)為機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束三、正弦級數(shù)和余弦級數(shù)1.周期為2的奇、偶函數(shù)的Fou80的表達(dá)式為f(x)＝x,將f(x)展成Fourier級數(shù).是周期為2的周期函數(shù),它在解:為周期為2的奇函數(shù),因此機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束例4.設(shè)的表達(dá)式為f(x)＝x,將f(x)展成Fouri81無窮級數(shù)

無窮級數(shù)無窮級數(shù)是研究函數(shù)的工具表示函數(shù)研究性質(zhì)數(shù)值計算數(shù)項級數(shù)冪級數(shù)付氏級數(shù)無窮級數(shù)無窮級數(shù)無窮級數(shù)是研究函數(shù)的工具表示函數(shù)研究性質(zhì)數(shù)82常數(shù)項級數(shù)的概念和性質(zhì)

一、常數(shù)項級數(shù)的概念

二、無窮級數(shù)的基本性質(zhì)三、級數(shù)收斂的必要條件*四、柯西審斂原理機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束第一節(jié)第十一章常數(shù)項級數(shù)的概念和性質(zhì)一、常數(shù)項級數(shù)的概念二、無窮級數(shù)的83給定一個數(shù)列將各項依即稱上式為無窮級數(shù)，其中第n項一般項,或通項。級數(shù)的前n項和次相加,簡記為機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束定義：一、常數(shù)項級數(shù)的概念

叫做級數(shù)的稱為級數(shù)的部分和。給定一個數(shù)列將各項依即稱上式為無窮級數(shù)，其中第n項一般項84記作并稱S

為級數(shù)的和,收斂,則稱無窮級數(shù)則稱無窮級數(shù)發(fā)散.當(dāng)級數(shù)收斂時,稱差值稱為級數(shù)的余項.顯然記作并稱S為級數(shù)的和,收斂,則稱無窮級數(shù)則稱無窮級數(shù)發(fā)85(又稱幾何級數(shù))(q

稱為公比)部分和機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束級數(shù)收斂,等比級數(shù)級數(shù)發(fā)散(又稱幾何級數(shù))(q稱為公比)部分和機(jī)動目錄86例2.判別下列級數(shù)的斂散性:解:(1)

所以級數(shù)(1)發(fā)散;技巧:利用“拆項相消”求和機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束例2.判別下列級數(shù)的斂散性:解:(1)所以級數(shù)(1)87(2)所以級數(shù)(2)收斂,其和為1.技巧:利用“拆項相消”求和機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束(2)所以級數(shù)(2)收斂,其和為1.技巧:利用88二、無窮級數(shù)的基本性質(zhì)性質(zhì)1.若級數(shù)收斂于S,則各項乘以常數(shù)c所得級數(shù)也收斂,即其和為cS.機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束性質(zhì)2.設(shè)有兩個收斂級數(shù)則級數(shù)也收斂,其和為二、無窮級數(shù)的基本性質(zhì)性質(zhì)1.若級數(shù)收斂于S,則各89說明:(2)若兩級數(shù)中一個收斂一個發(fā)散,則必發(fā)散.但若二級數(shù)都發(fā)散,不一定發(fā)散.例如,

(1)性質(zhì)2表明收斂級數(shù)可逐項相加或減.(用反證法可證)機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束說明:(2)若兩級數(shù)中一個收斂一個發(fā)散,則必發(fā)散.90性質(zhì)3.在級數(shù)前面加上或去掉有限項,不會影響級數(shù)的斂散性.證:將級數(shù)的前k項去掉,的部分和為數(shù)斂散性相同.當(dāng)級數(shù)收斂時,其和的關(guān)系為類似可證前面加上有限項的情況.極限狀況相同,故新舊兩級所得新級數(shù)機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束性質(zhì)3.在級數(shù)前面加上或去掉有限項,不會影響級數(shù)的斂散性.91性質(zhì)4.收斂級數(shù)加括弧后所成的級數(shù)仍收斂于原級數(shù)的和.證:設(shè)收斂級數(shù)若按某一規(guī)律加括弧,則新級數(shù)的部分和序列為原級數(shù)部分和序列的一個子序列,推論:若加括弧后的級數(shù)發(fā)散,則原級數(shù)必發(fā)散.注意:收斂級數(shù)去括弧后所成的級數(shù)不一定收斂.但發(fā)散.因此必有例如，用反證法可證例如機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束性質(zhì)4.收斂級數(shù)加括弧后所成的級數(shù)仍收斂于原級數(shù)的和.證:92例4.判斷級數(shù)的斂散性:解:考慮加括號后的級數(shù)發(fā)散,從而原級數(shù)發(fā)散.機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束例4.判斷級數(shù)的斂散性:解:考慮加括號后的級數(shù)發(fā)散,從而93三、級數(shù)收斂的必要條件

設(shè)收斂級數(shù)則必有證:

可見:若級數(shù)的一般項不趨于0,則級數(shù)必發(fā)散.例如,其一般項為不趨于0,因此這個級數(shù)發(fā)散.機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束三、級數(shù)收斂的必要條件設(shè)收斂級數(shù)則必有證:可見:若94注意:并非級數(shù)收斂的充分條件.例如,調(diào)和級數(shù)雖然但此級數(shù)發(fā)散.事實上,假設(shè)調(diào)和級數(shù)收斂于S,則但矛盾!所以假設(shè)不真.機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束注意:并非級數(shù)收斂的充分條件.例如,調(diào)和級數(shù)雖然但此級數(shù)發(fā)95解:(1)令則故從而所以級數(shù)(1)發(fā)散.機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束例5.判斷下列級數(shù)的斂散性,若收斂求其和:解:(1)令則故從而所以級數(shù)(1)發(fā)散.機(jī)動目96機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束(2)令則所以級數(shù)(2)收斂.機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束(297的充分必要條件是:四、柯西收斂原理

定理：有證:設(shè)所給級數(shù)部分和數(shù)列為因為所以,利用數(shù)列的柯西收斂原理即得本定理的結(jié)論.機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束的充分必要條件是:四、柯西收斂原理定理：有證:設(shè)所給級數(shù)98例6.

解:有利用柯西收斂原理判別級數(shù)機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束例6.解:有利用柯西收斂原理判別級數(shù)機(jī)動目錄99當(dāng)n﹥N時,都有由柯西審斂原理可知,級數(shù)第二節(jié)目錄上頁下頁返回結(jié)束當(dāng)n﹥N時,都有由柯西審斂原理可知,級數(shù)第二節(jié)目100二、交錯級數(shù)及其審斂法三、絕對收斂與條件收斂

第二節(jié)一、正項級數(shù)及其審斂法常數(shù)項級數(shù)的審斂法

機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束二、交錯級數(shù)及其審斂法三、絕對收斂與條件收斂第二節(jié)一、正101一、正項級數(shù)的斂散性若定理1.正項級數(shù)收斂的充分必要條件是部分和序列有界.若收斂,部分和數(shù)列有界,故從而又已知故有界.則稱為正項級數(shù).單調(diào)遞增,收斂,也收斂.證:“”“”機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束一、正項級數(shù)的斂散性若定理1.正項級數(shù)收斂的充分必要條件102都有定理2(比較判別法)設(shè)且存在對一切有(1)若強(qiáng)級數(shù)則弱級數(shù)(2)若弱級數(shù)則強(qiáng)級數(shù)證:設(shè)對一切則有收斂,也收斂;發(fā)散,也發(fā)散.分別表示弱級數(shù)和強(qiáng)級數(shù)的部分和,是兩個正項級數(shù),(常數(shù)k>0),因在級數(shù)前加、減有限項不改變其斂散性,故不妨機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束都有定理2(比較判別法)設(shè)且存在對一切有(1)若強(qiáng)級數(shù)則103(1)若強(qiáng)級數(shù)則有因此對一切有由定理1可知,則有(2)若弱級數(shù)因此這說明強(qiáng)級數(shù)也發(fā)散.也收斂.發(fā)散,收斂,弱級數(shù)機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束則有(1)若強(qiáng)級數(shù)則有因此對一切有由定理1可知,則有(2)104(常數(shù)p>0)的斂散性.解:1)當(dāng)而調(diào)和級數(shù)由比較審斂法可知p級數(shù)發(fā)散.發(fā)散,機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束2)當(dāng)p級數(shù)例1.討論p級數(shù)收斂(常數(shù)p>0)的斂散性.解:1)當(dāng)而調(diào)和級數(shù)由105若存在對一切機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束調(diào)和級數(shù)與p級數(shù)是兩個常用的比較級數(shù).若存在對一切機(jī)動目錄上頁下頁返回106證明級數(shù)發(fā)散.證:因為而級數(shù)發(fā)散根據(jù)比較判別法可知,所給級數(shù)發(fā)散.例2.機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束證明級數(shù)發(fā)散.證:因為而級數(shù)發(fā)散根據(jù)比較判別法可知,所給107定理3.(比較判別法的極限形式)則有兩個級數(shù)同時收斂或發(fā)散;(2)當(dāng)

l=

0

(3)當(dāng)

l=∞

證:據(jù)極限定義,設(shè)兩正項級數(shù)滿足(1)當(dāng)0<l<∞時,機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束定理3.(比較判別法的極限形式)則有兩個級數(shù)同時收斂或發(fā)散108由定理

2可知同時收斂或同時發(fā)散;(3)當(dāng)l=∞時,即由定理2可知,若發(fā)散,(1)當(dāng)0<l<∞時,(2)當(dāng)l=

0時,由定理2知收斂,若機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束由定理2可知同時收斂或同時發(fā)散;(3)當(dāng)l=∞時109是兩個正項級數(shù),(1)當(dāng)時,兩個級數(shù)同時收斂或發(fā)散;特別取可得如下結(jié)論:對正項級數(shù)(2)當(dāng)且收斂時,(3)當(dāng)且發(fā)散時,也收斂;也發(fā)散.機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束是兩個正項級數(shù),(1)當(dāng)時110的斂散性.～例3.判別級數(shù)的斂散性.解:

根據(jù)比較審斂法的極限形式知例4.判別級數(shù)解:根據(jù)比較審斂法的極限形式知～機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束的斂散性.～例3.判別級數(shù)的斂散性.解:根據(jù)比較審斂111定理4.比值判別法(D’alembert判別法)設(shè)為正項級數(shù),且則(1)當(dāng)(2)當(dāng)證:(1)收斂,時,級數(shù)收斂;或時,級數(shù)發(fā)散.由比較審斂法可知機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束定理4.比值判別法(D’alembert判別法)設(shè)112因此所以級數(shù)發(fā)散.時(2)當(dāng)說明:當(dāng)時,級數(shù)可能收斂也可能發(fā)散.例如,p–級數(shù)但級數(shù)收斂;級數(shù)發(fā)散.從而機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束因此所以級數(shù)發(fā)散.時(2)當(dāng)說明:當(dāng)時,級數(shù)可能收斂也可113例5.討論級數(shù)的斂散性.解:

根據(jù)定理4可知:級數(shù)收斂;級數(shù)發(fā)散;機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束例5.討論級數(shù)的斂散性.解:根據(jù)定理4可知:級數(shù)收斂114對任意給定的正數(shù)定理5.根值判別法法(Cauchy判別法)設(shè)為正項級則證明提示:

即分別利用上述不等式的左,右部分,可推出結(jié)論正確.數(shù),且機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束對任意給定的正數(shù)定理5.根值判別法法(Cauchy115時,級數(shù)可能收斂也可能發(fā)散.例如,p–級數(shù)說明:但級數(shù)收斂;級數(shù)發(fā)散.機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束時,級數(shù)可能收斂也可能發(fā)散.例如,p–級數(shù)說116例6.

證明級數(shù)收斂解:

由定理5可知該級數(shù)收斂.機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束例6.證明級數(shù)收斂解:由定理5可知該級數(shù)收斂.機(jī)動117例7.判別下列級數(shù)的斂散性:提示:(1)據(jù)比較判別法,原級數(shù)發(fā)散.因調(diào)和級數(shù)發(fā)散,機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束例7.判別下列級數(shù)的斂散性:提示:(1)據(jù)比較判別法,118利用比值判別法,可知原級數(shù)發(fā)散.用比值法,可判斷級數(shù)因n充分大時∴原級數(shù)發(fā)散.

用比值判別法可知:時收斂;時,與p

級數(shù)比較可知時收斂;時發(fā)散.再由比較法可知原級數(shù)收斂.時發(fā)散.發(fā)散,收斂,機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束利用比值判別法,可知原級數(shù)發(fā)散.用比值法,可判斷級數(shù)因119例8.設(shè)正項級數(shù)和也收斂.提示:因存在N>0,又因由比較判別法，可證。都收斂,證明級數(shù)當(dāng)n>N時機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束例8.設(shè)正項級數(shù)和也收斂.提示:因存在N>0,又120二、交錯級數(shù)及其審斂法

則各項符號正負(fù)相間的級數(shù)稱為交錯級數(shù).定理6

.(Leibnitz

判別法)若交錯級數(shù)滿足條件:則級數(shù)收斂,且其和機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束二、交錯級數(shù)及其審斂法則各項符號正負(fù)相間的級數(shù)稱為交錯級121證:是單調(diào)遞增有界數(shù)列,又故級數(shù)收斂于S,且故機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束證:是單調(diào)遞增有界數(shù)列,又故級數(shù)收斂于S,且故機(jī)動122收斂收斂用Leibnitz判別法判別下列級數(shù)的斂散性:收斂上述級數(shù)各項取絕對值后所成的級數(shù)是否收斂?發(fā)散收斂收斂機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束收斂收斂用Leibnitz判別法判別下列級數(shù)的斂散性:收斂123三、絕對收斂與條件收斂

定義:對任意項級數(shù)若若原級數(shù)收斂,但取絕對值以后的級數(shù)發(fā)散,則稱原級收斂,數(shù)為條件收斂.均為絕對收斂.例如：絕對收斂；則稱原級數(shù)條件收斂.機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束三、絕對收斂與條件收斂定義:對任意項級數(shù)若若原級數(shù)收斂124定理7.絕對收斂的級數(shù)一定收斂.證:設(shè)根據(jù)比較判別法顯然收斂,收斂也收斂且收斂,令機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束定理7.絕對收斂的級數(shù)一定收斂.證:設(shè)根據(jù)比較判別125例1.證明下列級數(shù)絕對收斂:證:(1)而收斂,收斂因此絕對收斂.機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束例1.證明下列級數(shù)絕對收斂:證:(1)而收斂,收斂因126(2)令因此收斂,絕對收斂.機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束(2)令因此收斂,絕對收斂.機(jī)動目錄上頁127例2.討論下列級數(shù)的絕對收斂性與條件收斂性:解:(1)P>1時,絕對收斂;0<p≤1時,條件收斂;p≤0時,發(fā)散.(2)因各項取絕對值后所得強(qiáng)級數(shù)

原級數(shù)絕對收斂.故機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束例2.討論下列級數(shù)的絕對收斂性與條件收斂性:解:(1)P128因單調(diào)遞減,且但所以原級數(shù)僅條件收斂.由Leibniz判別法知級數(shù)收斂;機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束因單調(diào)遞減,且但所以原級數(shù)僅條件收斂.由Leibniz判129因所以原級數(shù)絕對收斂.機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束因所以原級數(shù)絕對收斂.機(jī)動目錄上頁下頁130則級數(shù)(A)發(fā)散;(B)絕對收斂;(C)條件收斂;(D)收斂性根據(jù)條件不能確定.分析:(B)錯;又C機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束例3.則級數(shù)(A)發(fā)散;(B)絕對收131第三節(jié)一、函數(shù)項級數(shù)的概念

二、冪級數(shù)及其收斂性三、冪級數(shù)的運算冪級數(shù)

機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束第三節(jié)一、函數(shù)項級數(shù)的概念二、冪級數(shù)及其收斂性三、冪132一、函數(shù)項級數(shù)的概念設(shè)為定義在區(qū)間I上的函數(shù)項級數(shù).對若常數(shù)項級數(shù)斂點,所有收斂點的全體稱為其收斂域;若常數(shù)項級數(shù)為定義在區(qū)間I上的函數(shù),稱收斂,發(fā)散,所有為其收為其發(fā)散點,

發(fā)散點的全體稱為其發(fā)散域.機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束一、函數(shù)項級數(shù)的概念設(shè)為定義在區(qū)間I上的函數(shù)項級數(shù).133為級數(shù)的和函數(shù),并寫成若用令余項則在收斂域上有表示函數(shù)項級數(shù)前n項的和,即在收斂域上,函數(shù)項級數(shù)的和是x的函數(shù)稱它機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束為級數(shù)的和函數(shù),并寫成若用令余項則在收斂域上有表示函數(shù)項134它的收斂域是它的發(fā)散域是或?qū)懽饔秩?級數(shù)級數(shù)發(fā)散;所以級數(shù)的收斂域僅為和函數(shù)機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束例如,等比級數(shù)它的收斂域是它的發(fā)散域是或?qū)懽饔秩?級數(shù)級數(shù)發(fā)散;所以級135形如稱為它在級數(shù)為當(dāng)例如,冪級數(shù)為冪級數(shù)的系數(shù).即是如此時稱機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束

二、冪級數(shù)及其收斂性冪函數(shù)，冪級數(shù),形如稱為它在級數(shù)為當(dāng)例如,冪級數(shù)為冪級數(shù)的系數(shù).即是如此136發(fā)散發(fā)散收斂收斂發(fā)散定理1.(Abel定理)

若冪級數(shù)則對滿足不等式的一切x冪級數(shù)都絕對收斂.反之,若當(dāng)?shù)囊磺衳,該冪級數(shù)也發(fā)散.時該冪級數(shù)發(fā)散,則對滿足不等式證:設(shè)收斂,則必有于是存在常數(shù)M>0,使阿貝爾目錄上頁下頁返回結(jié)束發(fā)散發(fā)散收斂137當(dāng)時,收斂,故原冪級數(shù)絕對收斂.也收斂,反之,若當(dāng)時該冪級數(shù)發(fā)散,下面用反證法證之.假設(shè)有一點滿足不等式所以若當(dāng)滿足且使級數(shù)收斂,面的證明可知,級數(shù)在點故假設(shè)不真.的x,原冪級數(shù)也發(fā)散.

時冪級數(shù)發(fā)散,則對一切則由前也應(yīng)收斂,與所設(shè)矛盾,證畢機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束當(dāng)時,收斂,故原冪級數(shù)138冪級數(shù)在(－∞,+∞)收斂;由Abel定理可以看出,中心的區(qū)間.用±R表示冪級數(shù)收斂與發(fā)散的分界點,的收斂域是以原點為則R=0時,冪級數(shù)僅在x=0收斂;R=時,冪級數(shù)在(－R,R)收斂;(－R,R)加上收斂的端點稱為收斂域.R稱為收斂半徑，在[－R,R]可能收斂也可能發(fā)散.外發(fā)散;在(－R,R)稱為收斂區(qū)間.發(fā)散發(fā)散收斂收斂發(fā)散機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束冪級數(shù)在(－∞,+∞)收斂;由Abel定理可以看出139定理2.若的系數(shù)滿足證:1)若≠0,則根據(jù)比值審斂法可知:當(dāng)原級數(shù)收斂;當(dāng)原級數(shù)發(fā)散.即時,1)當(dāng)≠0時,2)當(dāng)＝0時,3)當(dāng)＝∞時,即時,則機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束

收斂半徑收斂半徑收斂半徑定理2.若的系數(shù)滿足證:1)若≠0,則根據(jù)比值審斂法1402)若則根據(jù)比值審斂法可知,絕對收斂,3)若則對除x=0以外的一切x原級發(fā)散,對任意x原級數(shù)因此因此的收斂半徑為說明:據(jù)此定理因此級數(shù)的收斂半徑機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束2)若則根據(jù)比值審斂法可知,絕對收斂,3)若則對除141對端點x=－1,

的收斂半徑及收斂域.解:對端點x=1,級數(shù)為交錯級數(shù)收斂;級數(shù)為發(fā)散.故收斂域為例1.求冪級數(shù)

機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束對端點x=－1,的收斂半徑及收斂域.解:對端點x=142例2.求下列冪級數(shù)的收斂域:解:(1)所以收斂域為(2)所以級數(shù)僅在x=0處收斂.規(guī)定:0!=1機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束例2.求下列冪級數(shù)的收斂域:解:(1)所以收斂域為(2143例3.的收斂半徑.解:級數(shù)缺少奇次冪項,不能直接應(yīng)用定理2,比值審斂法求收斂半徑.時級數(shù)收斂時級數(shù)發(fā)散故收斂半徑為故直接由機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束例3.的收斂半徑.解:級數(shù)缺少奇次冪項,不能直接應(yīng)用定理144的收斂域.解