第3章金融工程的基本分析方法金融工程與風(fēng)險(xiǎn)管理-南課件

金融工程與風(fēng)險(xiǎn)管理第3章金融工程的基本分析方法12/16/20221金融工程與風(fēng)險(xiǎn)管理第3章金融工程的基本分析方法12/143.1無(wú)套利定價(jià)法套利（Arbitrage）：能帶來(lái)利潤(rùn)的零風(fēng)險(xiǎn)和零凈投資的戰(zhàn)略。零投資（zeroinvestment）：構(gòu)建一個(gè)自融資組合（self-financingportfolio）。無(wú)風(fēng)險(xiǎn)（riskfree）正收益（positivereturn）例如：某人從A銀行以5%的年利率借入，同時(shí)以6%的年利率存入B銀行，這就構(gòu)成了套利。12/16/202223.1無(wú)套利定價(jià)法套利（Arbitrage）：能帶兩種套利途徑：當(dāng)前時(shí)刻凈支出為0，將來(lái)獲得正收益（收益凈現(xiàn)值為正）當(dāng)前時(shí)刻一系列能帶來(lái)正收益的投資，將來(lái)的凈支出為零（支出的凈現(xiàn)值為0）。套利=免費(fèi)的午餐。通過(guò)套利將市場(chǎng)從非均衡拉向均衡，故金融資產(chǎn)的均衡價(jià)格是無(wú)套利條件下給出，形成了無(wú)套利定價(jià)原則。一個(gè)均衡的市場(chǎng)是不存在套利機(jī)會(huì)的，金融資產(chǎn)的均衡價(jià)格不可能提供套利機(jī)會(huì)。無(wú)套利并不需要市場(chǎng)參與者一致行動(dòng)，實(shí)際上只要少量的理性投資者就可以使市場(chǎng)無(wú)套利。12/16/20223兩種套利途徑：12/14/20223案例2-1假設(shè)現(xiàn)在6個(gè)月即期年利率為10%（連續(xù)復(fù)利，下同），1年期的即期利率是12%。如果有人把今后6個(gè)月到1年期的遠(yuǎn)期利率定為11%，試問(wèn)這樣的市場(chǎng)行情能否產(chǎn)生套利活動(dòng)？答案是肯定的。12/16/20224案例2-1假設(shè)現(xiàn)在6個(gè)月即期年利率為10%（連續(xù)復(fù)利，回顧：連續(xù)復(fù)利的概念若名義利率為r，一年（期）平均付息m次，則相應(yīng)的有效利率rm為后者為連續(xù)復(fù)利，如果是T年（期），則12/16/20225回顧：連續(xù)復(fù)利的概念后者為連續(xù)復(fù)利，如果是T年（期），則12套利過(guò)程是：交易者按10%的利率借入一筆6個(gè)月資金（假設(shè)1000萬(wàn)元）簽訂一份協(xié)議（遠(yuǎn)期利率協(xié)議），該協(xié)議規(guī)定該交易者可以按11%的利率，在6個(gè)月后從市場(chǎng)借入資金1051萬(wàn)元（等于1000e0.10×0.5）。按12%的利率貸出一筆1年期的款項(xiàng)金額為1000萬(wàn)元。1年后收回1年期貸款，得本息1127萬(wàn)元（等于1000e0.12×1），并用1110萬(wàn)元（等于1051e0.11×0.5）償還1年期的債務(wù)后，交易者凈賺17萬(wàn)元（1127萬(wàn)元-1110萬(wàn)元）。這是哪一種套利？

12/16/20226套利過(guò)程是：12/14/20226無(wú)套利的定價(jià)法的應(yīng)用原理：

無(wú)套利定價(jià)的關(guān)鍵技術(shù)是所謂“復(fù)制”技術(shù)，即用一組證券來(lái)復(fù)制另外一組證券。

如果兩種資產(chǎn)（組合）的現(xiàn)金流特征完全相同，根據(jù)無(wú)套利原理，二者可以相互復(fù)制如果A資產(chǎn)（組合）與B資產(chǎn)（組合）的風(fēng)險(xiǎn)完全相同，則已知A資產(chǎn)的收益，就可以推斷B的收益，從而得到B的資產(chǎn)的定價(jià)。12/16/20227無(wú)套利的定價(jià)法的應(yīng)用原理：無(wú)套利定價(jià)的關(guān)鍵技術(shù)是所謂“復(fù)制3.2金融工程的基本假設(shè)金融工程需要通過(guò)建立模型來(lái)實(shí)現(xiàn)風(fēng)險(xiǎn)的定量化，為此，需要對(duì)現(xiàn)實(shí)的世界做出一定的假設(shè)市場(chǎng)無(wú)摩擦性（frictionless）無(wú)交易成本、無(wú)賣空限制，簡(jiǎn)化金融工具的定價(jià)分析過(guò)程，并由理想的市場(chǎng)進(jìn)一步到現(xiàn)實(shí)的市場(chǎng)。無(wú)對(duì)手風(fēng)險(xiǎn)（counterpartrisk）：交易的任何一方無(wú)違約市場(chǎng)參與者厭惡風(fēng)險(xiǎn)，且希望財(cái)富越多越好。市場(chǎng)不存在套利機(jī)會(huì)。這是金融工程最重要的假設(shè)。12/16/202283.2金融工程的基本假設(shè)金融工程需要通過(guò)建立模型來(lái)實(shí)現(xiàn)風(fēng)案例2-2無(wú)套利定價(jià)法運(yùn)用到期權(quán)定價(jià)中假設(shè)一種不支付紅利的股票，目前的市價(jià)為10元，我們知道在3個(gè)月后，該股票價(jià)格要么是11元，要么是9元。假設(shè)現(xiàn)在的無(wú)風(fēng)險(xiǎn)年利率等于10%，問(wèn)題：求一份3個(gè)月期執(zhí)行價(jià)格為10.5元的該股票歐式看漲期權(quán)的價(jià)值。

12/16/20229案例2-2無(wú)套利定價(jià)法運(yùn)用到期權(quán)定價(jià)中假設(shè)一種不支付紅利為了找出該期權(quán)的價(jià)值，可構(gòu)建一個(gè)由一單位看漲期權(quán)空頭和m單位的標(biāo)的股票多頭組成的組合。若股票價(jià)格＝11，則該期權(quán)執(zhí)行，則組合價(jià)值為11m－0.5若股票價(jià)格＝9，則該期權(quán)不執(zhí)行，則組合價(jià)值為9m為了使該組合在期權(quán)到期時(shí)無(wú)風(fēng)險(xiǎn)，m必須滿足下式：11m－0.5＝9m，即m=0.25組合價(jià)值為2.25元12/16/202210為了找出該期權(quán)的價(jià)值，可構(gòu)建一個(gè)由一單位看漲期權(quán)空頭和m單由于該組合中有一單位看漲期權(quán)空頭和0.25單位股票多頭，而目前股票市場(chǎng)價(jià)格為10元，因此，從無(wú)套利出發(fā)，期權(quán)費(fèi)f（期權(quán)的價(jià)值）必須滿足根據(jù)無(wú)套利定價(jià)原理，無(wú)風(fēng)險(xiǎn)組合只能獲得無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率，所以組合的現(xiàn)值為12/16/202211由于該組合中有一單位看漲期權(quán)空頭和0.25單位股票多頭，而目無(wú)套利定價(jià)法的應(yīng)用

金融工具的模仿（mimicking）即通過(guò)構(gòu)建一個(gè)資產(chǎn)（組合）使之與被模仿的金融工具具有相同或相似的盈虧狀況。注意：盈虧狀況相似或者相同，但價(jià)值可能有所不同。金融工具的合成（compound）即通過(guò)構(gòu)建一個(gè)資產(chǎn)（組合）使之與被模仿的金融工具具有相同價(jià)值。合成是建立在模仿的基礎(chǔ)上12/16/202212無(wú)套利定價(jià)法的應(yīng)用金融工具的模仿（mimicking）1案例2-3：模仿股票（themimickingstock)模仿股票：一個(gè)買(mǎi)權(quán)多頭和一個(gè)賣權(quán)空頭的組合。假設(shè)t時(shí)刻，股票買(mǎi)權(quán)和賣權(quán)的價(jià)格分別是ct和pt，兩個(gè)期權(quán)的執(zhí)行價(jià)格都是X＝St（t時(shí)刻股票的價(jià)格），到期日股票價(jià)格為ST。則到期日的收益為12/16/202213案例2-3：模仿股票（themimickingstock股票模仿股票模仿股票與實(shí)際股票有所區(qū)別！12/16/202214股票模仿股票模仿股票與實(shí)際股票有所區(qū)別！12/14/2022案例2-4合成股票（compoundstock）合成股票的構(gòu)成是：一個(gè)看漲期權(quán)的多頭，一個(gè)看跌期權(quán)的空頭+無(wú)風(fēng)險(xiǎn)債券多頭。為消除模擬股票與股票之間的差異（-ct＋pt），需要購(gòu)買(mǎi)的無(wú)風(fēng)險(xiǎn)債券的數(shù)量為：-ct＋pt

則到期日，組合的價(jià)值為max(0,ST-X)-max(0,X-ST)=ST-X12/16/202215案例2-4合成股票（compoundstock）合成股3.3風(fēng)險(xiǎn)中性定價(jià)法無(wú)風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的收益是確定的，其風(fēng)險(xiǎn)為零，而風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的收益具有隨機(jī)性——各種狀態(tài)的出現(xiàn)具有一定的概率，故具有補(bǔ)償風(fēng)險(xiǎn)的超額收益率。風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的效用需要考慮人的風(fēng)險(xiǎn)偏好，而無(wú)風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)只需要考慮收益，與風(fēng)險(xiǎn)偏好無(wú)關(guān)啟發(fā)：改變各個(gè)狀態(tài)出現(xiàn)的概率，使風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的回報(bào)率等于無(wú)風(fēng)險(xiǎn)收益率——超額收益率為0。12/16/2022163.3風(fēng)險(xiǎn)中性定價(jià)法無(wú)風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的收益是確定的，其風(fēng)險(xiǎn)為零風(fēng)險(xiǎn)中性定價(jià)原理風(fēng)險(xiǎn)中性定價(jià)原理：在這個(gè)改變了概率的世界里，所有證券的預(yù)期收益率都等于無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率r，所有現(xiàn)金流量都可以通過(guò)無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率進(jìn)行貼現(xiàn)求得現(xiàn)值。風(fēng)險(xiǎn)中性假定僅僅是為了定價(jià)方便而作出的人為假定聯(lián)系：數(shù)學(xué)中的坐標(biāo)變換、微觀經(jīng)濟(jì)學(xué)中的效用？12/16/202217風(fēng)險(xiǎn)中性定價(jià)原理風(fēng)險(xiǎn)中性定價(jià)原理：在這個(gè)改變了概率的世界里，應(yīng)用案例2-2，在風(fēng)險(xiǎn)中性世界中，我們假定該股票上升的概率為p，下跌的概率為1-p。（雖然有實(shí)際的概率，但可以不管），如果風(fēng)險(xiǎn)中性，則該股票無(wú)超額收益，這個(gè)風(fēng)險(xiǎn)中性世界的概率是同樣，在風(fēng)險(xiǎn)中性的世界里，可以賦予期權(quán)價(jià)值的概率，該期權(quán)同樣只能獲得無(wú)風(fēng)險(xiǎn)收益率，則期權(quán)的現(xiàn)值為兩種方法求得結(jié)果是等價(jià)的——風(fēng)險(xiǎn)中性定價(jià)本質(zhì)上仍是無(wú)套利定價(jià)。12/16/202218應(yīng)用案例2-2，在風(fēng)險(xiǎn)中性世界中，我們假定該股票上升的概率為風(fēng)險(xiǎn)中性定價(jià)法的含義對(duì)于兩個(gè)資產(chǎn)組合1和2，其均值和方差分別如下在上述的這種情況下，我們無(wú)法比較哪種資產(chǎn)組合占優(yōu)，此時(shí)就將這兩種資產(chǎn)組合放入一個(gè)風(fēng)險(xiǎn)中性的世界，比較他們的收益的大小。12/16/202219風(fēng)險(xiǎn)中性定價(jià)法的含義對(duì)于兩個(gè)資產(chǎn)組合1和2，其均值和方差分別比較兩種定價(jià)方法假設(shè)一個(gè)無(wú)紅利支付的股票，當(dāng)前時(shí)刻t，股票價(jià)格為s，基于該股票的某個(gè)期權(quán)的價(jià)值是f，期權(quán)的有效期是T，在這個(gè)有效期內(nèi)，股票價(jià)格或者上升到su（u>1），或者下降到sd（1>d>0）。當(dāng)股票價(jià)格上升到su時(shí)，我們假設(shè)期權(quán)的收益為fu，如果股票的價(jià)格下降到sd時(shí)，期權(quán)的收益為fd。12/16/202220比較兩種定價(jià)方法假設(shè)一個(gè)無(wú)紅利支付的股票，當(dāng)前時(shí)刻t，股票價(jià)無(wú)套利定價(jià)法的思路首先，構(gòu)造由m股股票多頭和一個(gè)期權(quán)空頭組成的證券組合，并計(jì)算出該組合為無(wú)風(fēng)險(xiǎn)時(shí)的m值。12/16/202221無(wú)套利定價(jià)法的思路首先，構(gòu)造由m股股票多頭和一個(gè)期權(quán)空頭組成如果無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率為r，則該無(wú)風(fēng)險(xiǎn)組合的現(xiàn)值為在無(wú)套利假定下，構(gòu)造組合的成本滿足將（3.1）代入（3.2）整理得到12/16/202222如果無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率為r，則該無(wú)風(fēng)險(xiǎn)組合的現(xiàn)值為在無(wú)套利假定下，構(gòu)總結(jié)：風(fēng)險(xiǎn)中性定價(jià)的思路假定風(fēng)險(xiǎn)中性世界中股票的上升概率為p，由于股票的期望值按無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率貼現(xiàn)，其現(xiàn)值必須等于該股票目前的價(jià)格，因此該概率可通過(guò)下式求得：12/16/202223總結(jié)：風(fēng)險(xiǎn)中性定價(jià)的思路假定風(fēng)險(xiǎn)中性世界中股票的上升概率為p由上式可見(jiàn)，期權(quán)價(jià)值只與無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率、股票上漲（下跌）的幅度和時(shí)間有關(guān)，而不依賴于股票上漲的實(shí)際概率。這完全違反直覺(jué)！期權(quán)的價(jià)值依賴于標(biāo)的資產(chǎn)的上漲（下跌），但未來(lái)上升和下跌的概率已經(jīng)包含在股票的價(jià)格中！12/16/202224由上式可見(jiàn)，期權(quán)價(jià)值只與無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率、股票上漲（下跌）的幅度和3.3狀態(tài)價(jià)格定價(jià)技術(shù)定義：在特定的狀態(tài)發(fā)生時(shí)回報(bào)為1，否則回報(bào)為0。如果未來(lái)時(shí)刻有N種狀態(tài)，而這N種狀態(tài)的價(jià)格我們都知道，那么我們只要知道某種資產(chǎn)在未來(lái)各種狀態(tài)下的回報(bào)狀況以及市場(chǎng)無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率水平，我們就可以對(duì)該資產(chǎn)進(jìn)行定價(jià)，這就是狀態(tài)價(jià)格定價(jià)技術(shù)。該方法是無(wú)套利定價(jià)原則和證券復(fù)制技術(shù)的具體運(yùn)用。12/16/2022253.3狀態(tài)價(jià)格定價(jià)技術(shù)定義：在特定的狀態(tài)發(fā)生時(shí)回報(bào)為1案例2-5A是有風(fēng)險(xiǎn)證券，當(dāng)前的價(jià)格PA，一年后其價(jià)格要么上升到uPA，要么下降到dPA。這就是市場(chǎng)的兩種狀態(tài)：上升狀態(tài)（概率是q）和下降狀態(tài)（概率是1-q），由A證券的價(jià)格變化可以構(gòu)造兩個(gè)基本證券。uPAdPAPAq1-q12/16/202226案例2-5A是有風(fēng)險(xiǎn)證券，當(dāng)前的價(jià)格PA，一年后其價(jià)格1、構(gòu)造兩個(gè)基本證券（單位證券）。基本證券1在證券市場(chǎng)上升時(shí)價(jià)值為1，下跌時(shí)價(jià)值為0；基本證券1現(xiàn)在的市場(chǎng)價(jià)格是πu，基本證券2恰好相反，在市場(chǎng)上升時(shí)價(jià)值為0，在下跌時(shí)價(jià)值為1?；咀C券2的價(jià)格是πd。

10πuq1-q01πdq1-q12/16/2022271、構(gòu)造兩個(gè)基本證券（單位證券）。10πuq1-q01πdqq1-qπuuPA+πddPA1×uPA＋0×dPA＝uPA0×uPA＋1×dPA＝dPAuPAdPAPAq1-q2、令基本證券的現(xiàn)金流等價(jià)于證券A。購(gòu)買(mǎi)uPA份基本證券1和dPA份基本證券2組成一個(gè)假想的證券組合根據(jù)無(wú)套利假設(shè)12/16/202228q1-qπuuPA+πddPA1×uPA＋0×dPA＝uPA由此可見(jiàn)，該組合在T時(shí)刻無(wú)論發(fā)生什么情況，都能夠產(chǎn)生和證券A一樣的現(xiàn)金流，所以兩個(gè)基本證券的組合是證券A的復(fù)制品。根據(jù)無(wú)套利原理，復(fù)制品與被復(fù)制對(duì)象的市場(chǎng)價(jià)格應(yīng)該相等，即或者（3.3）12/16/202229由此可見(jiàn)，該組合在T時(shí)刻無(wú)論發(fā)生什么情況，都能夠產(chǎn)生和證券A3、求兩個(gè)基本證券當(dāng)前的價(jià)值在T時(shí)刻無(wú)論出現(xiàn)什么狀態(tài)，各1個(gè)單位基本證券構(gòu)成的組合其終值為1元。q1-q1πu+1πd1×1＋0×1＝10×1＋1×1＝1因此，該組合是無(wú)風(fēng)險(xiǎn)的，根據(jù)無(wú)套利原理該基本證券組合的收益率，只能是無(wú)風(fēng)險(xiǎn)收益率，若無(wú)風(fēng)險(xiǎn)收益率為r，則（3.4）tT12/16/2022303、求兩個(gè)基本證券當(dāng)前的價(jià)值q1-q1πu+1πd1×1＋0所以由（3.3）和（3.4）聯(lián)立得到注意：在上述的兩個(gè)等式中，實(shí)際的概率并沒(méi)有在等式中出現(xiàn)？狀態(tài)價(jià)格定價(jià)技術(shù)：（1）由市場(chǎng)上已知證券的狀態(tài)得到基本證券；（2）由基本證券來(lái)模擬未知的證券，使他們終值相等，從而得到未知證券的現(xiàn)值。12/16/202231所以由（3.3）和（3.4）聯(lián)立得到注意：在上述的兩個(gè)等式中例子：狀態(tài)價(jià)格法定價(jià)技術(shù)假設(shè)有價(jià)證券的市場(chǎng)情況如下：PA＝100，r＝2％，u＝1.07，d＝0.98，T－t＝1，若另外有一個(gè)證券B，其價(jià)格1年后可能上升為103，也可能下降為98.5元，求證券B的合理價(jià)格。計(jì)算步驟：由證券A構(gòu)造基本證券1和基本證券2；基本證券來(lái)復(fù)制證券B：uPB份的基本證券1和dPB份的基本證券2。12/16/202232例子：狀態(tài)價(jià)格法定價(jià)技術(shù)假設(shè)有價(jià)證券的市場(chǎng)情況如下：PA＝112/16/20223312/14/202233結(jié)論：只要有具備上述性質(zhì)的兩個(gè)基本證券存在，我們就能夠通過(guò)復(fù)制技術(shù)，為金融市場(chǎng)上的任何有價(jià)證券定價(jià)。擴(kuò)展二叉數(shù)模型。關(guān)于有價(jià)證券的價(jià)格上升的概率q，雖依賴于人們作出的主觀判斷，但是人們對(duì)q認(rèn)識(shí)的分歧不影響為有價(jià)證券定價(jià)的結(jié)論。無(wú)套利分析（包括其應(yīng)用狀態(tài)價(jià)格定價(jià)技術(shù)）的過(guò)程與結(jié)果同市場(chǎng)參與者的風(fēng)險(xiǎn)偏好無(wú)關(guān)。12/16/202234結(jié)論：12/14/202234PAu1PAu1u2PAu1d1PAd1d2PAd1PA二叉數(shù)模型的基本原理12/16/202235PAu1PAu1u2PAu1d1PAd1d2PAd1PA二叉演講完畢，謝謝觀看！演講完畢，謝謝觀看！金融工程與風(fēng)險(xiǎn)管理第3章金融工程的基本分析方法12/16/202237金融工程與風(fēng)險(xiǎn)管理第3章金融工程的基本分析方法12/143.1無(wú)套利定價(jià)法套利（Arbitrage）：能帶來(lái)利潤(rùn)的零風(fēng)險(xiǎn)和零凈投資的戰(zhàn)略。零投資（zeroinvestment）：構(gòu)建一個(gè)自融資組合（self-financingportfolio）。無(wú)風(fēng)險(xiǎn)（riskfree）正收益（positivereturn）例如：某人從A銀行以5%的年利率借入，同時(shí)以6%的年利率存入B銀行，這就構(gòu)成了套利。12/16/2022383.1無(wú)套利定價(jià)法套利（Arbitrage）：能帶兩種套利途徑：當(dāng)前時(shí)刻凈支出為0，將來(lái)獲得正收益（收益凈現(xiàn)值為正）當(dāng)前時(shí)刻一系列能帶來(lái)正收益的投資，將來(lái)的凈支出為零（支出的凈現(xiàn)值為0）。套利=免費(fèi)的午餐。通過(guò)套利將市場(chǎng)從非均衡拉向均衡，故金融資產(chǎn)的均衡價(jià)格是無(wú)套利條件下給出，形成了無(wú)套利定價(jià)原則。一個(gè)均衡的市場(chǎng)是不存在套利機(jī)會(huì)的，金融資產(chǎn)的均衡價(jià)格不可能提供套利機(jī)會(huì)。無(wú)套利并不需要市場(chǎng)參與者一致行動(dòng)，實(shí)際上只要少量的理性投資者就可以使市場(chǎng)無(wú)套利。12/16/202239兩種套利途徑：12/14/20223案例2-1假設(shè)現(xiàn)在6個(gè)月即期年利率為10%（連續(xù)復(fù)利，下同），1年期的即期利率是12%。如果有人把今后6個(gè)月到1年期的遠(yuǎn)期利率定為11%，試問(wèn)這樣的市場(chǎng)行情能否產(chǎn)生套利活動(dòng)？答案是肯定的。12/16/202240案例2-1假設(shè)現(xiàn)在6個(gè)月即期年利率為10%（連續(xù)復(fù)利，回顧：連續(xù)復(fù)利的概念若名義利率為r，一年（期）平均付息m次，則相應(yīng)的有效利率rm為后者為連續(xù)復(fù)利，如果是T年（期），則12/16/202241回顧：連續(xù)復(fù)利的概念后者為連續(xù)復(fù)利，如果是T年（期），則12套利過(guò)程是：交易者按10%的利率借入一筆6個(gè)月資金（假設(shè)1000萬(wàn)元）簽訂一份協(xié)議（遠(yuǎn)期利率協(xié)議），該協(xié)議規(guī)定該交易者可以按11%的利率，在6個(gè)月后從市場(chǎng)借入資金1051萬(wàn)元（等于1000e0.10×0.5）。按12%的利率貸出一筆1年期的款項(xiàng)金額為1000萬(wàn)元。1年后收回1年期貸款，得本息1127萬(wàn)元（等于1000e0.12×1），并用1110萬(wàn)元（等于1051e0.11×0.5）償還1年期的債務(wù)后，交易者凈賺17萬(wàn)元（1127萬(wàn)元-1110萬(wàn)元）。這是哪一種套利？

12/16/202242套利過(guò)程是：12/14/20226無(wú)套利的定價(jià)法的應(yīng)用原理：

無(wú)套利定價(jià)的關(guān)鍵技術(shù)是所謂“復(fù)制”技術(shù)，即用一組證券來(lái)復(fù)制另外一組證券。

如果兩種資產(chǎn)（組合）的現(xiàn)金流特征完全相同，根據(jù)無(wú)套利原理，二者可以相互復(fù)制如果A資產(chǎn)（組合）與B資產(chǎn)（組合）的風(fēng)險(xiǎn)完全相同，則已知A資產(chǎn)的收益，就可以推斷B的收益，從而得到B的資產(chǎn)的定價(jià)。12/16/202243無(wú)套利的定價(jià)法的應(yīng)用原理：無(wú)套利定價(jià)的關(guān)鍵技術(shù)是所謂“復(fù)制3.2金融工程的基本假設(shè)金融工程需要通過(guò)建立模型來(lái)實(shí)現(xiàn)風(fēng)險(xiǎn)的定量化，為此，需要對(duì)現(xiàn)實(shí)的世界做出一定的假設(shè)市場(chǎng)無(wú)摩擦性（frictionless）無(wú)交易成本、無(wú)賣空限制，簡(jiǎn)化金融工具的定價(jià)分析過(guò)程，并由理想的市場(chǎng)進(jìn)一步到現(xiàn)實(shí)的市場(chǎng)。無(wú)對(duì)手風(fēng)險(xiǎn)（counterpartrisk）：交易的任何一方無(wú)違約市場(chǎng)參與者厭惡風(fēng)險(xiǎn)，且希望財(cái)富越多越好。市場(chǎng)不存在套利機(jī)會(huì)。這是金融工程最重要的假設(shè)。12/16/2022443.2金融工程的基本假設(shè)金融工程需要通過(guò)建立模型來(lái)實(shí)現(xiàn)風(fēng)案例2-2無(wú)套利定價(jià)法運(yùn)用到期權(quán)定價(jià)中假設(shè)一種不支付紅利的股票，目前的市價(jià)為10元，我們知道在3個(gè)月后，該股票價(jià)格要么是11元，要么是9元。假設(shè)現(xiàn)在的無(wú)風(fēng)險(xiǎn)年利率等于10%，問(wèn)題：求一份3個(gè)月期執(zhí)行價(jià)格為10.5元的該股票歐式看漲期權(quán)的價(jià)值。

12/16/202245案例2-2無(wú)套利定價(jià)法運(yùn)用到期權(quán)定價(jià)中假設(shè)一種不支付紅利為了找出該期權(quán)的價(jià)值，可構(gòu)建一個(gè)由一單位看漲期權(quán)空頭和m單位的標(biāo)的股票多頭組成的組合。若股票價(jià)格＝11，則該期權(quán)執(zhí)行，則組合價(jià)值為11m－0.5若股票價(jià)格＝9，則該期權(quán)不執(zhí)行，則組合價(jià)值為9m為了使該組合在期權(quán)到期時(shí)無(wú)風(fēng)險(xiǎn)，m必須滿足下式：11m－0.5＝9m，即m=0.25組合價(jià)值為2.25元12/16/202246為了找出該期權(quán)的價(jià)值，可構(gòu)建一個(gè)由一單位看漲期權(quán)空頭和m單由于該組合中有一單位看漲期權(quán)空頭和0.25單位股票多頭，而目前股票市場(chǎng)價(jià)格為10元，因此，從無(wú)套利出發(fā)，期權(quán)費(fèi)f（期權(quán)的價(jià)值）必須滿足根據(jù)無(wú)套利定價(jià)原理，無(wú)風(fēng)險(xiǎn)組合只能獲得無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率，所以組合的現(xiàn)值為12/16/202247由于該組合中有一單位看漲期權(quán)空頭和0.25單位股票多頭，而目無(wú)套利定價(jià)法的應(yīng)用

金融工具的模仿（mimicking）即通過(guò)構(gòu)建一個(gè)資產(chǎn)（組合）使之與被模仿的金融工具具有相同或相似的盈虧狀況。注意：盈虧狀況相似或者相同，但價(jià)值可能有所不同。金融工具的合成（compound）即通過(guò)構(gòu)建一個(gè)資產(chǎn)（組合）使之與被模仿的金融工具具有相同價(jià)值。合成是建立在模仿的基礎(chǔ)上12/16/202248無(wú)套利定價(jià)法的應(yīng)用金融工具的模仿（mimicking）1案例2-3：模仿股票（themimickingstock)模仿股票：一個(gè)買(mǎi)權(quán)多頭和一個(gè)賣權(quán)空頭的組合。假設(shè)t時(shí)刻，股票買(mǎi)權(quán)和賣權(quán)的價(jià)格分別是ct和pt，兩個(gè)期權(quán)的執(zhí)行價(jià)格都是X＝St（t時(shí)刻股票的價(jià)格），到期日股票價(jià)格為ST。則到期日的收益為12/16/202249案例2-3：模仿股票（themimickingstock股票模仿股票模仿股票與實(shí)際股票有所區(qū)別！12/16/202250股票模仿股票模仿股票與實(shí)際股票有所區(qū)別！12/14/2022案例2-4合成股票（compoundstock）合成股票的構(gòu)成是：一個(gè)看漲期權(quán)的多頭，一個(gè)看跌期權(quán)的空頭+無(wú)風(fēng)險(xiǎn)債券多頭。為消除模擬股票與股票之間的差異（-ct＋pt），需要購(gòu)買(mǎi)的無(wú)風(fēng)險(xiǎn)債券的數(shù)量為：-ct＋pt

則到期日，組合的價(jià)值為max(0,ST-X)-max(0,X-ST)=ST-X12/16/202251案例2-4合成股票（compoundstock）合成股3.3風(fēng)險(xiǎn)中性定價(jià)法無(wú)風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的收益是確定的，其風(fēng)險(xiǎn)為零，而風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的收益具有隨機(jī)性——各種狀態(tài)的出現(xiàn)具有一定的概率，故具有補(bǔ)償風(fēng)險(xiǎn)的超額收益率。風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的效用需要考慮人的風(fēng)險(xiǎn)偏好，而無(wú)風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)只需要考慮收益，與風(fēng)險(xiǎn)偏好無(wú)關(guān)啟發(fā)：改變各個(gè)狀態(tài)出現(xiàn)的概率，使風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的回報(bào)率等于無(wú)風(fēng)險(xiǎn)收益率——超額收益率為0。12/16/2022523.3風(fēng)險(xiǎn)中性定價(jià)法無(wú)風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的收益是確定的，其風(fēng)險(xiǎn)為零風(fēng)險(xiǎn)中性定價(jià)原理風(fēng)險(xiǎn)中性定價(jià)原理：在這個(gè)改變了概率的世界里，所有證券的預(yù)期收益率都等于無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率r，所有現(xiàn)金流量都可以通過(guò)無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率進(jìn)行貼現(xiàn)求得現(xiàn)值。風(fēng)險(xiǎn)中性假定僅僅是為了定價(jià)方便而作出的人為假定聯(lián)系：數(shù)學(xué)中的坐標(biāo)變換、微觀經(jīng)濟(jì)學(xué)中的效用？12/16/202253風(fēng)險(xiǎn)中性定價(jià)原理風(fēng)險(xiǎn)中性定價(jià)原理：在這個(gè)改變了概率的世界里，應(yīng)用案例2-2，在風(fēng)險(xiǎn)中性世界中，我們假定該股票上升的概率為p，下跌的概率為1-p。（雖然有實(shí)際的概率，但可以不管），如果風(fēng)險(xiǎn)中性，則該股票無(wú)超額收益，這個(gè)風(fēng)險(xiǎn)中性世界的概率是同樣，在風(fēng)險(xiǎn)中性的世界里，可以賦予期權(quán)價(jià)值的概率，該期權(quán)同樣只能獲得無(wú)風(fēng)險(xiǎn)收益率，則期權(quán)的現(xiàn)值為兩種方法求得結(jié)果是等價(jià)的——風(fēng)險(xiǎn)中性定價(jià)本質(zhì)上仍是無(wú)套利定價(jià)。12/16/202254應(yīng)用案例2-2，在風(fēng)險(xiǎn)中性世界中，我們假定該股票上升的概率為風(fēng)險(xiǎn)中性定價(jià)法的含義對(duì)于兩個(gè)資產(chǎn)組合1和2，其均值和方差分別如下在上述的這種情況下，我們無(wú)法比較哪種資產(chǎn)組合占優(yōu)，此時(shí)就將這兩種資產(chǎn)組合放入一個(gè)風(fēng)險(xiǎn)中性的世界，比較他們的收益的大小。12/16/202255風(fēng)險(xiǎn)中性定價(jià)法的含義對(duì)于兩個(gè)資產(chǎn)組合1和2，其均值和方差分別比較兩種定價(jià)方法假設(shè)一個(gè)無(wú)紅利支付的股票，當(dāng)前時(shí)刻t，股票價(jià)格為s，基于該股票的某個(gè)期權(quán)的價(jià)值是f，期權(quán)的有效期是T，在這個(gè)有效期內(nèi)，股票價(jià)格或者上升到su（u>1），或者下降到sd（1>d>0）。當(dāng)股票價(jià)格上升到su時(shí)，我們假設(shè)期權(quán)的收益為fu，如果股票的價(jià)格下降到sd時(shí)，期權(quán)的收益為fd。12/16/202256比較兩種定價(jià)方法假設(shè)一個(gè)無(wú)紅利支付的股票，當(dāng)前時(shí)刻t，股票價(jià)無(wú)套利定價(jià)法的思路首先，構(gòu)造由m股股票多頭和一個(gè)期權(quán)空頭組成的證券組合，并計(jì)算出該組合為無(wú)風(fēng)險(xiǎn)時(shí)的m值。12/16/202257無(wú)套利定價(jià)法的思路首先，構(gòu)造由m股股票多頭和一個(gè)期權(quán)空頭組成如果無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率為r，則該無(wú)風(fēng)險(xiǎn)組合的現(xiàn)值為在無(wú)套利假定下，構(gòu)造組合的成本滿足將（3.1）代入（3.2）整理得到12/16/202258如果無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率為r，則該無(wú)風(fēng)險(xiǎn)組合的現(xiàn)值為在無(wú)套利假定下，構(gòu)總結(jié)：風(fēng)險(xiǎn)中性定價(jià)的思路假定風(fēng)險(xiǎn)中性世界中股票的上升概率為p，由于股票的期望值按無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率貼現(xiàn)，其現(xiàn)值必須等于該股票目前的價(jià)格，因此該概率可通過(guò)下式求得：12/16/202259總結(jié)：風(fēng)險(xiǎn)中性定價(jià)的思路假定風(fēng)險(xiǎn)中性世界中股票的上升概率為p由上式可見(jiàn)，期權(quán)價(jià)值只與無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率、股票上漲（下跌）的幅度和時(shí)間有關(guān)，而不依賴于股票上漲的實(shí)際概率。這完全違反直覺(jué)！期權(quán)的價(jià)值依賴于標(biāo)的資產(chǎn)的上漲（下跌），但未來(lái)上升和下跌的概率已經(jīng)包含在股票的價(jià)格中！12/16/202260由上式可見(jiàn)，期權(quán)價(jià)值只與無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率、股票上漲（下跌）的幅度和3.3狀態(tài)價(jià)格定價(jià)技術(shù)定義：在特定的狀態(tài)發(fā)生時(shí)回報(bào)為1，否則回報(bào)為0。如果未來(lái)時(shí)刻有N種狀態(tài)，而這N種狀態(tài)的價(jià)格我們都知道，那么我們只要知道某種資產(chǎn)在未來(lái)各種狀態(tài)下的回報(bào)狀況以及市場(chǎng)無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率水平，我們就可以對(duì)該資產(chǎn)進(jìn)行定價(jià)，這就是狀態(tài)價(jià)格定價(jià)技術(shù)。該方法是無(wú)套利定價(jià)原則和證券復(fù)制技術(shù)的具體運(yùn)用。12/16/2022613.3狀態(tài)價(jià)格定價(jià)技術(shù)定義：在特定的狀態(tài)發(fā)生時(shí)回報(bào)為1案例2-5A是有風(fēng)險(xiǎn)證券，當(dāng)前的價(jià)格PA，一年后其價(jià)格要么上升到uPA，要么下降到dPA。這就是市場(chǎng)的兩種狀態(tài)：上升狀態(tài)（概率是q）和下降狀態(tài)（概率是1-q），由A證券的價(jià)格變化可以構(gòu)造兩個(gè)基本證券。uPAdPAPAq1-q12/16/202262案例2-5A是有風(fēng)險(xiǎn)證券，當(dāng)前的價(jià)格PA，一年后其價(jià)格1、構(gòu)造兩個(gè)基本證券（單位證券）?；咀C券1在證券市場(chǎng)上升時(shí)價(jià)值為1，下跌時(shí)價(jià)值為0；基本證券1現(xiàn)在的市場(chǎng)價(jià)格是πu，基本證券2恰好相反，在市場(chǎng)上升時(shí)價(jià)值為0，在下跌時(shí)價(jià)值為1。基本證券2的價(jià)格是πd。

10πuq1-q01πdq1-q12/16/2022631、構(gòu)造兩個(gè)基本證券（單位證券）。10πuq1-q01πdqq1-qπuuPA+πddPA1×uPA＋0×dPA＝uPA0×uPA＋1×dPA＝dPAuPAd