非線性振動與混沌簡介課件

非線性振動系統(tǒng)及混沌的基本概念概述：混沌的發(fā)現(xiàn)1961年冬的一天，美國麻省理工學院的氣象學家愛德華·洛侖茲在計算機上模擬天氣情況，他的真空管計算機速度約每秒做6次乘法。經(jīng)簡化后的洛侖茲氣象模型為●蝴蝶效應(yīng)●非線性系統(tǒng)的運動現(xiàn)象1非線性振動系統(tǒng)及混沌的基本概念概述：混沌的發(fā)現(xiàn)1961年為省時間，洛侖茲將上次記錄的中間數(shù)據(jù)作為初值輸入重新計算，指望重復出現(xiàn)上次計算的后半段結(jié)果，然后再接下去往前算。然而經(jīng)過一段重復后，計算機卻偏離了上次的結(jié)果。他第二次輸入時去掉了小數(shù)點后面三位：混沌的初值敏感性2為省時間，洛侖茲將上次記錄的中間數(shù)據(jù)作為初值輸入重新計算，指●蝴蝶效應(yīng)洛侖茲吸引子（奇怪吸引子）3●蝴蝶效應(yīng)洛侖茲吸引子（奇怪吸引子）3非線性振動系統(tǒng)及混沌的基本概念一、任意擺角情況下單擺的運動線性系統(tǒng)（數(shù)學定義）：若則滿足是線性的；為非線性，則★自由單擺的運動方程：線性近似：當

很小，(sin)若按級數(shù)展開，取第一項而得.4非線性振動系統(tǒng)及混沌的基本概念一、任意擺角情況下單擺的運動若為任意值，故自由單擺為非線性振動系統(tǒng)：令，以及，則上式變?yōu)槎?sin)5若為任意值，故自由單擺為非線性振動系統(tǒng)：令，以及，則上式方程解的非唯一性1.設(shè)初始條件為0=

，0=0，運動分析：在最高點=，=0，系統(tǒng)非穩(wěn)定平衡點?？赡艹霈F(xiàn)三種運動情況：a.停留在該頂點，爾后徑直下落；b.調(diào)頭沿原路返回；c.越過該頂點繼續(xù)向前運動。則其解為6方程解的非唯一性1.設(shè)初始條件為0=，0=0，則解為類似地，當令0=0，最高點(=)，非穩(wěn)平衡，運動非唯一性?！飳τ谝话銌螖[的運動方程（受周期性驅(qū)動力作用的阻尼單擺）：●一個復雜的非線性系統(tǒng)。其解更為復雜。結(jié)論：對于一個非線性系統(tǒng)，在確定的初始條件下，其解可能具有不可預測的隨機性。7，則解為類似地，當令0=0，最高點(=)，非穩(wěn)二、確定性系統(tǒng)中的內(nèi)在隨機性●在一個確定性的系統(tǒng)中，由于其本身的非線性性質(zhì)所產(chǎn)生的運動隨機性稱為確定性系統(tǒng)的內(nèi)在隨機性。例如，上述非線性單擺的運動?！镏湔麄€系統(tǒng)運動的因素是嚴格確定的（具有確定的運動方程），系統(tǒng)完全不存在隨機力的作用?！锶欢?jīng)過時間的演化，在這種確定性系統(tǒng)中出現(xiàn)了隨機行為，產(chǎn)生出完全不可預測的、極為復雜的結(jié)果來，最后得到一條完全隨機的運動軌道。8二、確定性系統(tǒng)中的內(nèi)在隨機性●在一個確定性的系統(tǒng)中，由于其三、混沌的基本概念1.

混沌定義（物理學上）：在確定性系統(tǒng)中所表現(xiàn)出來的內(nèi)在隨機行為。是一個決定論的系統(tǒng)中所存在的運動的不可預測性。2.相圖●描述系統(tǒng)運動的各狀態(tài)參量之間的關(guān)系圖。例：自由單擺（簡諧振動）★簡諧振動是周期運動，每隔一定的時間運動又復原，所以相軌線為一閉合曲線。9三、混沌的基本概念1.混沌定義（物理學上）：在確定性系統(tǒng)3.自治系統(tǒng)與非自治系統(tǒng)●不顯含時間t的動力學方程稱為自治系統(tǒng)，而顯含時間t的動力學方程稱為非自治系統(tǒng)?！镉删€性單擺方程可得不顯含t，在二維相空間中為自治系統(tǒng)?！镉墒茏枇椭芷诓邉恿ψ饔玫姆蔷€性單擺方程可得（角諧振動）顯含t，在二維相空間中為非自治系統(tǒng)。103.自治系統(tǒng)與非自治系統(tǒng)●不顯含時間t的動力學方程稱自治系統(tǒng)的相空間與相軌線引入新變量=t，可將方程化為三維相空間中的自治系統(tǒng)：●一個自治系統(tǒng)在其相空間上的相軌線不會相交，即通過每一相點的軌線是唯一的。而非自治系統(tǒng)中相軌線則會相交。如上述系統(tǒng)在二維相平面上相軌線有相交情況。11自治系統(tǒng)的相空間與相軌線引入新變量=t，可將方程4.彭加勒截面圖若沿方向截取一系列截面，則根據(jù)該自治系統(tǒng)的性質(zhì)，每個截面上只有一個交點，即相軌線一次性的穿過每一個截面。

因 ，若以2為周長，將相空間彎成一圓環(huán)，則在該環(huán)形相空間上所取的任一固定截面稱為彭加勒截面。124.彭加勒截面圖若沿方向截取一系列截面，則根據(jù)該自治系●相軌線在彭加勒截面上的交點的集合就稱為彭加勒截面圖?！锿ㄟ^分析相軌線在彭加勒截面上的交點的分布規(guī)律，就可了解到在長時間周期性的演變過程中系統(tǒng)的運動規(guī)律。13●相軌線在彭加勒截面上的交點的集合就稱為13討論：●單周期振動，每隔2運動狀態(tài)復原，即相軌線每次都從同一點穿過彭加勒截面，★在彭加勒截面圖上只有一個不動點；●運動無周期性，則彭加勒截面圖上有無窮多個點?！癖吨芷诘倪\動，彭加勒截面圖上有兩個不動點；…。14討論：●單周期振動，每隔2運動狀態(tài)復原，即相軌線每次都從同四、單擺與混沌單擺方程按泰勒級數(shù)適當代換，得到非線性振動方程（杜芬方程）取前兩項近似，運動的演變討論1.線性近似下的單擺運動15四、單擺與混沌單擺方程按泰勒級數(shù)適當代換，得到非線性振動三種情況：a.

f==

=

0；b.

f==0；c.

=0，相應(yīng)得出簡諧振動、阻尼和受迫振動方程。令=0，退化為線性方程★阻尼振動的相軌線：從外向內(nèi)收縮的螺旋線，最終停止于中點---不動點吸引子---。★受迫振動：經(jīng)過暫態(tài)之后趨于一穩(wěn)定的閉合圈---周期吸引子或極限環(huán)。★簡諧振動的相軌線：閉合圈---周期環(huán)---。16三種情況：a.f===0；b.f=★方程代表復雜的非線性振動系統(tǒng)。2.非線性近似下的單擺運動混沌為簡化問題，在四個參數(shù)中只改變f的值。數(shù)值模擬發(fā)現(xiàn)，隨著f的逐漸增大，該振動系統(tǒng)產(chǎn)生了由簡單的周期運動到出現(xiàn)倍周期分岔，再進入混沌的演化過程。從周期運動到倍周期分岔◎當f=0.8，系統(tǒng)的運動仍是一個簡單的周期運動。17★方程代表復雜的非線性振動系統(tǒng)。2.非線性近似下的單擺運◎當f=0.89，其結(jié)果為一個二倍周期的運動，即出現(xiàn)了倍周期分岔。說明：圖中看上去的每一條曲線實際上是完全重合的兩條曲線，它們的初始值略有差異：a.

x0=1，0=0；b.

x0=1.001，0=0.001.結(jié)論：●初始條件的微小差別對周期性運動不產(chǎn)生影響，或者說周期運動對初值不敏感?；煦邕\動繼續(xù)增大f，當

=1.3，隨機性運動取代了周期性運動，表明系統(tǒng)已進入混沌狀態(tài)。18◎當f=0.89，其結(jié)果為一個二倍周期的運動，即出現(xiàn)了倍注意：圖(a)中的兩條運動曲線的初值分別為x0=1，0=0和x0=1.00001，0=0.00001。誤差僅在小數(shù)點后面第五位上，而給運動帶來的差別正可謂“差之毫厘，失之千里”?！裉幱诨煦鐮顟B(tài)時，系統(tǒng)的行為對于初值十分敏感，稱這一特性為混沌的初值敏感性?！裣鄨D(b)反映出混沌運動的隨機性。即相軌道(運動狀態(tài))完全不可預測。運動的隨機性---蝴蝶效應(yīng)---19注意：圖(a)中的兩條運動曲線的初值分別為x0=1，0=混沌的內(nèi)在規(guī)律性----混沌吸引子圖(a)中兩條曲線的運動完全各異，但它們的彭加勒截面圖[(c)和(d)]卻又是完全相同的。把混沌的相軌線在彭加勒截面上的這種點集稱為混沌吸引子?！蚧煦缥邮欠蔷€性耗散系統(tǒng)混沌的特征，表明耗散系統(tǒng)演化的歸宿?！锎砘煦缧袨榈娜痔卣??！窕煦缥芋w現(xiàn)出混沌運動的內(nèi)存規(guī)律性。20混沌的內(nèi)在規(guī)律性----混沌吸引子圖(a)中兩條曲線的運動結(jié)論★然而混沌的全局特征——混沌吸引子卻具有不依賴于初值的、確定的規(guī)則?！衩菜齐S機的混沌運動，其長期的演化行為遵從確定的規(guī)律---混沌運動的內(nèi)在規(guī)律性。★這是混沌運動區(qū)別于真實隨機運動的重要標志。初值懸殊的三個吸引子★混沌行為具有極為敏感的初值依賴性；21結(jié)論★然而混沌的全局特征——混沌吸引子卻具有不依賴于初值的、如繼續(xù)增大f，當f=1.53，則出現(xiàn)一個三倍周期的運動---周期三窗口。當f=1.75時，系統(tǒng)又再次進入混沌狀態(tài)。周期窗口●在混沌狀態(tài)中又復現(xiàn)的周期性運動，稱為混沌區(qū)中的周期窗口。22如繼續(xù)增大f，當f=1.53，則出現(xiàn)一個三倍周期的運五、混沌的演化，內(nèi)部結(jié)構(gòu)和普適性利用最簡單的非線性方程作進一步分析：---拋物線方程，得拋物線形迭代方程令在整個區(qū)間取值迭代便得出由周期運動到倍周期分岔，再進入混沌狀態(tài)的整個演化過程。1.混沌的演化（通向混沌的道路）23五、混沌的演化，內(nèi)部結(jié)構(gòu)和普適性利用最簡單的非線性方程作進倍周期分岔序列：12482n

.●當n，則解的數(shù)目，意味著系統(tǒng)已進入混沌狀態(tài)。將混沌開始時對應(yīng)的記為(=1.40115518909205)。2.混沌區(qū)的結(jié)構(gòu)a.窗口●在混沌區(qū)中重又出現(xiàn)的周期性運動?！锎翱谥邪c整體完全相似的結(jié)構(gòu)。周期三窗口通向混沌的其它道路●準周期道路：平衡態(tài)→周期→準周期→混沌.●陣發(fā)混沌道路24倍周期分岔序列：12482n.2.混沌1框內(nèi)部分放大得下頁圖251框內(nèi)部分放大得下頁圖25框內(nèi)再放大得下頁圖226框內(nèi)再放大得下頁圖226327327123混沌內(nèi)部的自相似結(jié)構(gòu)28123混沌內(nèi)部的自相似結(jié)構(gòu)28看似混亂的混沌體系中，包含著豐富有序的內(nèi)部結(jié)構(gòu)?！锶魏尉植康男^(qū)域都包含著整體的信息，具有與整體完全相似的規(guī)律。●在混沌內(nèi)部所包含的這種在不同尺度上的相似結(jié)構(gòu)稱為自相似性。◎從拓撲空間上來講，自相似結(jié)構(gòu)的維數(shù)往往不是整數(shù)維，而是分數(shù)維的，也就是具有分形的性質(zhì)。b.自相似結(jié)構(gòu)混沌帶的合并--從逆著混沌演化的方向，可找到混沌帶合并的規(guī)律：29看似混亂的混沌體系中，包含著豐富有序的內(nèi)部結(jié)構(gòu)。b.自相似c.普適性若將第n倍周期分岔（或混沌帶合并）時對應(yīng)的參數(shù)記為n，則相繼兩次分岔（或合并）的間隔之比趨于同一個常數(shù)：注意：常數(shù)并不只限于單擺公式，而是對所有同一類的變換，所得的值都精確地相同。●的數(shù)值只與系統(tǒng)的某種非線性性質(zhì)有關(guān)，而與各個系統(tǒng)的其他具體細節(jié)無關(guān)。●反映出混沌演化過程中所存在的一種普適性.●是混沌內(nèi)在規(guī)律性的另一個側(cè)面反映。費根鮑姆常數(shù)30c.普適性若將第n倍周期分岔（或混沌帶合并）時對應(yīng)的參數(shù)在倍周期分岔序列圖中，同次周期分岔中上下的各對周期點之間的距離之比，以及第相鄰兩次周期分岔中的各對周期點之間的距離之比又趨于另一個常數(shù)，稱為標度因子或普適常數(shù):標度因子例如，圖中注意：當不滿足，則比值只是近似的。31在倍周期分岔序列圖中，同次周期分岔中上下的各對周期點之間的距討論●相同的常數(shù)和出現(xiàn)在不同的非線性系統(tǒng)之中，充分顯示出非線性系統(tǒng)中存在的某種共性，說明通往混沌的道路是有確定的規(guī)律可循的。●混沌現(xiàn)象是確定性系統(tǒng)中的內(nèi)在隨機行為，是非線性系統(tǒng)的一種固有屬性?！窠?jīng)典力學的觀點并不能理解內(nèi)在隨機性。◎按照牛頓決定論的觀念，一個沒有外來隨機因素影響的確定性系統(tǒng)，其運動的規(guī)律也必然是確定的。就是說，只要初始條件給定，則系統(tǒng)在以后任一時刻的運動狀態(tài)都是完全可以預見的，決不可能出現(xiàn)任何“越軌”的隨機行為。32討論●相同的常數(shù)和出現(xiàn)在不同的非線性系統(tǒng)之中，充分顯★從整個自然界來講，線性系統(tǒng)與非線性系統(tǒng)之比正如有理數(shù)與無理數(shù)之比，我們實際上是生活在一個非線性的世界之中?！窕煦绗F(xiàn)象無處不有?；煦缫?guī)律不僅支配著整個自然界的各個領(lǐng)域，而且也支配著人類的各種社會活動?！窕煦绲陌l(fā)現(xiàn)是對經(jīng)典的決定論的沖擊，或者說混沌理論是對經(jīng)典力學理論的補充和發(fā)展?！窕煦缭诂F(xiàn)代科技以及經(jīng)濟、社會領(lǐng)域中都有若干重要應(yīng)用。33★從整個自然界來講，線性系統(tǒng)與非線性系統(tǒng)之比正如有理數(shù)與無理非線性振動系統(tǒng)及混沌的基本概念概述：混沌的發(fā)現(xiàn)1961年冬的一天，美國麻省理工學院的氣象學家愛德華·洛侖茲在計算機上模擬天氣情況，他的真空管計算機速度約每秒做6次乘法。經(jīng)簡化后的洛侖茲氣象模型為●蝴蝶效應(yīng)●非線性系統(tǒng)的運動現(xiàn)象34非線性振動系統(tǒng)及混沌的基本概念概述：混沌的發(fā)現(xiàn)1961年為省時間，洛侖茲將上次記錄的中間數(shù)據(jù)作為初值輸入重新計算，指望重復出現(xiàn)上次計算的后半段結(jié)果，然后再接下去往前算。然而經(jīng)過一段重復后，計算機卻偏離了上次的結(jié)果。他第二次輸入時去掉了小數(shù)點后面三位：混沌的初值敏感性35為省時間，洛侖茲將上次記錄的中間數(shù)據(jù)作為初值輸入重新計算，指●蝴蝶效應(yīng)洛侖茲吸引子（奇怪吸引子）36●蝴蝶效應(yīng)洛侖茲吸引子（奇怪吸引子）3非線性振動系統(tǒng)及混沌的基本概念一、任意擺角情況下單擺的運動線性系統(tǒng)（數(shù)學定義）：若則滿足是線性的；為非線性，則★自由單擺的運動方程：線性近似：當

很小，(sin)若按級數(shù)展開，取第一項而得.37非線性振動系統(tǒng)及混沌的基本概念一、任意擺角情況下單擺的運動若為任意值，故自由單擺為非線性振動系統(tǒng)：令，以及，則上式變?yōu)槎?sin)38若為任意值，故自由單擺為非線性振動系統(tǒng)：令，以及，則上式方程解的非唯一性1.設(shè)初始條件為0=

，0=0，運動分析：在最高點=，=0，系統(tǒng)非穩(wěn)定平衡點?？赡艹霈F(xiàn)三種運動情況：a.停留在該頂點，爾后徑直下落；b.調(diào)頭沿原路返回；c.越過該頂點繼續(xù)向前運動。則其解為39方程解的非唯一性1.設(shè)初始條件為0=，0=0，則解為類似地，當令0=0，最高點(=)，非穩(wěn)平衡，運動非唯一性?！飳τ谝话銌螖[的運動方程（受周期性驅(qū)動力作用的阻尼單擺）：●一個復雜的非線性系統(tǒng)。其解更為復雜。結(jié)論：對于一個非線性系統(tǒng)，在確定的初始條件下，其解可能具有不可預測的隨機性。40，則解為類似地，當令0=0，最高點(=)，非穩(wěn)二、確定性系統(tǒng)中的內(nèi)在隨機性●在一個確定性的系統(tǒng)中，由于其本身的非線性性質(zhì)所產(chǎn)生的運動隨機性稱為確定性系統(tǒng)的內(nèi)在隨機性。例如，上述非線性單擺的運動。★支配整個系統(tǒng)運動的因素是嚴格確定的（具有確定的運動方程），系統(tǒng)完全不存在隨機力的作用。★然而經(jīng)過時間的演化，在這種確定性系統(tǒng)中出現(xiàn)了隨機行為，產(chǎn)生出完全不可預測的、極為復雜的結(jié)果來，最后得到一條完全隨機的運動軌道。41二、確定性系統(tǒng)中的內(nèi)在隨機性●在一個確定性的系統(tǒng)中，由于其三、混沌的基本概念1.

混沌定義（物理學上）：在確定性系統(tǒng)中所表現(xiàn)出來的內(nèi)在隨機行為。是一個決定論的系統(tǒng)中所存在的運動的不可預測性。2.相圖●描述系統(tǒng)運動的各狀態(tài)參量之間的關(guān)系圖。例：自由單擺（簡諧振動）★簡諧振動是周期運動，每隔一定的時間運動又復原，所以相軌線為一閉合曲線。42三、混沌的基本概念1.混沌定義（物理學上）：在確定性系統(tǒng)3.自治系統(tǒng)與非自治系統(tǒng)●不顯含時間t的動力學方程稱為自治系統(tǒng)，而顯含時間t的動力學方程稱為非自治系統(tǒng)?！镉删€性單擺方程可得不顯含t，在二維相空間中為自治系統(tǒng)。★由受阻力和周期策動力作用的非線性單擺方程可得（角諧振動）顯含t，在二維相空間中為非自治系統(tǒng)。433.自治系統(tǒng)與非自治系統(tǒng)●不顯含時間t的動力學方程稱自治系統(tǒng)的相空間與相軌線引入新變量=t，可將方程化為三維相空間中的自治系統(tǒng)：●一個自治系統(tǒng)在其相空間上的相軌線不會相交，即通過每一相點的軌線是唯一的。而非自治系統(tǒng)中相軌線則會相交。如上述系統(tǒng)在二維相平面上相軌線有相交情況。44自治系統(tǒng)的相空間與相軌線引入新變量=t，可將方程4.彭加勒截面圖若沿方向截取一系列截面，則根據(jù)該自治系統(tǒng)的性質(zhì)，每個截面上只有一個交點，即相軌線一次性的穿過每一個截面。

因 ，若以2為周長，將相空間彎成一圓環(huán)，則在該環(huán)形相空間上所取的任一固定截面稱為彭加勒截面。454.彭加勒截面圖若沿方向截取一系列截面，則根據(jù)該自治系●相軌線在彭加勒截面上的交點的集合就稱為彭加勒截面圖。★通過分析相軌線在彭加勒截面上的交點的分布規(guī)律，就可了解到在長時間周期性的演變過程中系統(tǒng)的運動規(guī)律。46●相軌線在彭加勒截面上的交點的集合就稱為13討論：●單周期振動，每隔2運動狀態(tài)復原，即相軌線每次都從同一點穿過彭加勒截面，★在彭加勒截面圖上只有一個不動點；●運動無周期性，則彭加勒截面圖上有無窮多個點?！癖吨芷诘倪\動，彭加勒截面圖上有兩個不動點；…。47討論：●單周期振動，每隔2運動狀態(tài)復原，即相軌線每次都從同四、單擺與混沌單擺方程按泰勒級數(shù)適當代換，得到非線性振動方程（杜芬方程）取前兩項近似，運動的演變討論1.線性近似下的單擺運動48四、單擺與混沌單擺方程按泰勒級數(shù)適當代換，得到非線性振動三種情況：a.

f==

=

0；b.

f==0；c.

=0，相應(yīng)得出簡諧振動、阻尼和受迫振動方程。令=0，退化為線性方程★阻尼振動的相軌線：從外向內(nèi)收縮的螺旋線，最終停止于中點---不動點吸引子---?！锸芷日駝樱航?jīng)過暫態(tài)之后趨于一穩(wěn)定的閉合圈---周期吸引子或極限環(huán)?！锖喼C振動的相軌線：閉合圈---周期環(huán)---。49三種情況：a.f===0；b.f=★方程代表復雜的非線性振動系統(tǒng)。2.非線性近似下的單擺運動混沌為簡化問題，在四個參數(shù)中只改變f的值。數(shù)值模擬發(fā)現(xiàn)，隨著f的逐漸增大，該振動系統(tǒng)產(chǎn)生了由簡單的周期運動到出現(xiàn)倍周期分岔，再進入混沌的演化過程。從周期運動到倍周期分岔◎當f=0.8，系統(tǒng)的運動仍是一個簡單的周期運動。50★方程代表復雜的非線性振動系統(tǒng)。2.非線性近似下的單擺運◎當f=0.89，其結(jié)果為一個二倍周期的運動，即出現(xiàn)了倍周期分岔。說明：圖中看上去的每一條曲線實際上是完全重合的兩條曲線，它們的初始值略有差異：a.

x0=1，0=0；b.

x0=1.001，0=0.001.結(jié)論：●初始條件的微小差別對周期性運動不產(chǎn)生影響，或者說周期運動對初值不敏感?；煦邕\動繼續(xù)增大f，當

=1.3，隨機性運動取代了周期性運動，表明系統(tǒng)已進入混沌狀態(tài)。51◎當f=0.89，其結(jié)果為一個二倍周期的運動，即出現(xiàn)了倍注意：圖(a)中的兩條運動曲線的初值分別為x0=1，0=0和x0=1.00001，0=0.00001。誤差僅在小數(shù)點后面第五位上，而給運動帶來的差別正可謂“差之毫厘，失之千里”?！裉幱诨煦鐮顟B(tài)時，系統(tǒng)的行為對于初值十分敏感，稱這一特性為混沌的初值敏感性?！裣鄨D(b)反映出混沌運動的隨機性。即相軌道(運動狀態(tài))完全不可預測。運動的隨機性---蝴蝶效應(yīng)---52注意：圖(a)中的兩條運動曲線的初值分別為x0=1，0=混沌的內(nèi)在規(guī)律性----混沌吸引子圖(a)中兩條曲線的運動完全各異，但它們的彭加勒截面圖[(c)和(d)]卻又是完全相同的。把混沌的相軌線在彭加勒截面上的這種點集稱為混沌吸引子?！蚧煦缥邮欠蔷€性耗散系統(tǒng)混沌的特征，表明耗散系統(tǒng)演化的歸宿?！锎砘煦缧袨榈娜痔卣??！窕煦缥芋w現(xiàn)出混沌運動的內(nèi)存規(guī)律性。53混沌的內(nèi)在規(guī)律性----混沌吸引子圖(a)中兩條曲線的運動結(jié)論★然而混沌的全局特征——混沌吸引子卻具有不依賴于初值的、確定的規(guī)則?！衩菜齐S機的混沌運動，其長期的演化行為遵從確定的規(guī)律---混沌運動的內(nèi)在規(guī)律性?！镞@是混沌運動區(qū)別于真實隨機運動的重要標志。初值懸殊的三個吸引子★混沌行為具有極為敏感的初值依賴性；54結(jié)論★然而混沌的全局特征——混沌吸引子卻具有不依賴于初值的、如繼續(xù)增大f，當f=1.53，則出現(xiàn)一個三倍周期的運動---周期三窗口。當f=1.75時，系統(tǒng)又再次進入混沌狀態(tài)。周期窗口●在混沌狀態(tài)中又復現(xiàn)的周期性運動，稱為混沌區(qū)中的周期窗口。55如繼續(xù)增大f，當f=1.53，則出現(xiàn)一個三倍周期的運五、混沌的演化，內(nèi)部結(jié)構(gòu)和普適性利用最簡單的非線性方程作進一步分析：---拋物線方程，得拋物線形迭代方程令在整個區(qū)間取值迭代便得出由周期運動到倍周期分岔，再進入混沌狀態(tài)的整個演化過程。1.混沌的演化（通向混沌的道路）56五、混沌的演化，內(nèi)部結(jié)構(gòu)和普適性利用最簡單的非線性方程作進倍周期分岔序列：12482n

.●當n，則解的數(shù)目，意味著系統(tǒng)已進入混沌狀態(tài)。將混沌開始時對應(yīng)的記為(=1.40115518909205)。2.混沌區(qū)的結(jié)構(gòu)a.窗口●在混沌區(qū)中重又出現(xiàn)的周期性運動?！锎翱谥邪c整體完全相似的結(jié)構(gòu)。周期三窗口通向混沌的其它道路●準周期道路：平衡態(tài)→周期→準周期→混沌.●陣發(fā)混沌道路57倍周期分岔序列：12482n.2.混沌1框內(nèi)部分放大得下頁圖581框內(nèi)部分放大得下頁圖25框內(nèi)再放大得下頁圖259框內(nèi)再放大得下頁圖226360327123混沌內(nèi)部的自相似結(jié)構(gòu)61123混沌內(nèi)部的自相似結(jié)構(gòu)28看似混亂的混沌體系中，