2023學(xué)年江蘇省南京梅山高級中學(xué)高考壓軸卷數(shù)學(xué)試卷（含答案解析）

2023高考數(shù)學(xué)模擬試卷注意事項：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫在答題卡上。2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑，如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標(biāo)號?；卮鸱沁x擇題時，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效。3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知復(fù)數(shù)是正實數(shù)，則實數(shù)的值為()A． B． C． D．2．是拋物線上一點，是圓關(guān)于直線的對稱圓上的一點，則最小值是（）A． B． C． D．3．設(shè)等差數(shù)列的前n項和為，且，，則()A．9 B．12 C． D．4．若數(shù)列為等差數(shù)列，且滿足，為數(shù)列的前項和，則（）A． B． C． D．5．過雙曲線的右焦點F作雙曲線C的一條弦AB，且，若以AB為直徑的圓經(jīng)過雙曲線C的左頂點，則雙曲線C的離心率為（）A． B． C．2 D．6．若復(fù)數(shù)為虛數(shù)單位在復(fù)平面內(nèi)所對應(yīng)的點在虛軸上，則實數(shù)a為（）A． B．2 C． D．7．已知函數(shù)，為圖象的對稱中心，若圖象上相鄰兩個極值點，滿足，則下列區(qū)間中存在極值點的是（）A． B． C． D．8．設(shè)直線過點，且與圓：相切于點，那么（）A． B．3 C． D．19．已知不重合的平面和直線，則“”的充分不必要條件是（）A．內(nèi)有無數(shù)條直線與平行 B．且C．且 D．內(nèi)的任何直線都與平行10．已知向量，滿足||＝1，||＝2，且與的夾角為120°，則＝（）A． B． C． D．11．上世紀(jì)末河南出土的以鶴的尺骨（翅骨）制成的“骨笛”（圖1），充分展示了我國古代高超的音律藝術(shù)及先進(jìn)的數(shù)學(xué)水平，也印證了我國古代音律與歷法的密切聯(lián)系.圖2為骨笛測量“春（秋）分”，“夏（冬）至”的示意圖，圖3是某骨笛的部分測量數(shù)據(jù)（骨笛的彎曲忽略不計），夏至（或冬至）日光（當(dāng)日正午太陽光線）與春秋分日光（當(dāng)日正午太陽光線）的夾角等于黃赤交角.由歷法理論知，黃赤交角近1萬年持續(xù)減小，其正切值及對應(yīng)的年代如下表：黃赤交角正切值0.4390.4440.4500.4550.461年代公元元年公元前2000年公元前4000年公元前6000年公元前8000年根據(jù)以上信息，通過計算黃赤交角，可估計該骨笛的大致年代是()A．公元前2000年到公元元年 B．公元前4000年到公元前2000年C．公元前6000年到公元前4000年 D．早于公元前6000年12．已知雙曲線的右焦點為，若雙曲線的一條漸近線的傾斜角為，且點到該漸近線的距離為，則雙曲線的實軸的長為A． B．C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知，滿足約束條件，則的最小值為______．14．的展開式中項的系數(shù)為_______．15．設(shè)函數(shù)，若存在實數(shù)m，使得關(guān)于x的方程有4個不相等的實根，且這4個根的平方和存在最小值，則實數(shù)a的取值范圍是______.16．已知等比數(shù)列{an}的前n項和為Sn，若a2三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知數(shù)列滿足.（1）求數(shù)列的通項公式；（2）設(shè)數(shù)列的前項和為，證明：.18．（12分）已知件次品和件正品混放在一起，現(xiàn)需要通過檢測將其區(qū)分，每次隨機(jī)檢測一件產(chǎn)品，檢測后不放回，直到檢測出件次品或者檢測出件正品時檢測結(jié)束．（1）求第一次檢測出的是次品且第二次檢測出的是正品的概率；（2）已知每檢測一件產(chǎn)品需要費用元，設(shè)表示直到檢測出件次品或者檢測出件正品時所需要的檢測費用（單位：元），求的分布列．19．（12分）已知函數(shù)的最大值為，其中.（1）求實數(shù)的值；（2）若求證:.20．（12分）設(shè)數(shù)列的前列項和為，已知.（1）求數(shù)列的通項公式；（2）求證：.21．（12分）在直角坐標(biāo)系中，曲線的參數(shù)方程是（是參數(shù)），以原點為極點，軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系.（1）求曲線的極坐標(biāo)方程；（2）在曲線上取一點，直線繞原點逆時針旋轉(zhuǎn)，交曲線于點，求的最大值.22．（10分）已知函數(shù)，其中e為自然對數(shù)的底數(shù).（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；（2）用表示中較大者，記函數(shù).若函數(shù)在上恰有2個零點，求實數(shù)a的取值范圍.

2023學(xué)年模擬測試卷參考答案（含詳細(xì)解析）一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．C【答案解析】

將復(fù)數(shù)化成標(biāo)準(zhǔn)形式，由題意可得實部大于零，虛部等于零，即可得到答案.【題目詳解】因為為正實數(shù)，所以且，解得.故選：C【答案點睛】本題考查復(fù)數(shù)的基本定義，屬基礎(chǔ)題.2．C【答案解析】

求出點關(guān)于直線的對稱點的坐標(biāo)，進(jìn)而可得出圓關(guān)于直線的對稱圓的方程，利用二次函數(shù)的基本性質(zhì)求出的最小值，由此可得出，即可得解.【題目詳解】如下圖所示：設(shè)點關(guān)于直線的對稱點為點，則，整理得，解得，即點，所以，圓關(guān)于直線的對稱圓的方程為，設(shè)點，則，當(dāng)時，取最小值，因此，.故選：C.【答案點睛】本題考查拋物線上一點到圓上一點最值的計算，同時也考查了兩圓關(guān)于直線對稱性的應(yīng)用，考查計算能力，屬于中等題.3．A【答案解析】

由，可得以及，而，代入即可得到答案.【題目詳解】設(shè)公差為d，則解得，所以.故選：A.【答案點睛】本題考查等差數(shù)列基本量的計算，考查學(xué)生運算求解能力，是一道基礎(chǔ)題.4．B【答案解析】

利用等差數(shù)列性質(zhì)，若，則求出，再利用等差數(shù)列前項和公式得【題目詳解】解：因為，由等差數(shù)列性質(zhì)，若，則得，．為數(shù)列的前項和，則．故選：．【答案點睛】本題考查等差數(shù)列性質(zhì)與等差數(shù)列前項和.(1)如果為等差數(shù)列，若，則．(2)要注意等差數(shù)列前項和公式的靈活應(yīng)用，如.5．C【答案解析】

由得F是弦AB的中點.進(jìn)而得AB垂直于x軸，得，再結(jié)合關(guān)系求解即可【題目詳解】因為，所以F是弦AB的中點.且AB垂直于x軸.因為以AB為直徑的圓經(jīng)過雙曲線C的左頂點，所以，即，則，故.故選：C【答案點睛】本題是對雙曲線的漸近線以及離心率的綜合考查，是考查基本知識，屬于基礎(chǔ)題．6．D【答案解析】

利用復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運算化簡，再由實部為求得值．【題目詳解】解：在復(fù)平面內(nèi)所對應(yīng)的點在虛軸上，，即．故選D．【答案點睛】本題考查復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運算，考查復(fù)數(shù)的代數(shù)表示法及其幾何意義，是基礎(chǔ)題．7．A【答案解析】

結(jié)合已知可知，可求，進(jìn)而可求，代入，結(jié)合，可求，即可判斷．【題目詳解】圖象上相鄰兩個極值點，滿足，即，，，且，，，，，，當(dāng)時，為函數(shù)的一個極小值點，而．故選：．【答案點睛】本題主要考查了正弦函數(shù)的圖象及性質(zhì)的簡單應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是性質(zhì)的靈活應(yīng)用．8．B【答案解析】

過點的直線與圓：相切于點，可得.因此，即可得出.【題目詳解】由圓：配方為，，半徑.∵過點的直線與圓：相切于點，∴；∴；故選：B.【答案點睛】本小題主要考查向量數(shù)量積的計算，考查圓的方程，屬于基礎(chǔ)題.9．B【答案解析】

根據(jù)充分不必要條件和直線和平面，平面和平面的位置關(guān)系，依次判斷每個選項得到答案.【題目詳解】A.內(nèi)有無數(shù)條直線與平行，則相交或，排除；B.且，故，當(dāng)，不能得到且，滿足；C.且，，則相交或，排除；D.內(nèi)的任何直線都與平行，故，若，則內(nèi)的任何直線都與平行，充要條件，排除.故選：.【答案點睛】本題考查了充分不必要條件和直線和平面，平面和平面的位置關(guān)系，意在考查學(xué)生的綜合應(yīng)用能力.10．D【答案解析】

先計算，然后將進(jìn)行平方，，可得結(jié)果.【題目詳解】由題意可得：∴∴則.故選：D.【答案點睛】本題考查的是向量的數(shù)量積的運算和模的計算，屬基礎(chǔ)題。11．D【答案解析】

先理解題意，然后根據(jù)題意建立平面幾何圖形，在利用三角函數(shù)的知識計算出冬至日光與春秋分日光的夾角，即黃赤交角，即可得到正確選項．【題目詳解】解：由題意，可設(shè)冬至日光與垂直線夾角為，春秋分日光與垂直線夾角為，則即為冬至日光與春秋分日光的夾角，即黃赤交角，將圖3近似畫出如下平面幾何圖形：則，，．，估計該骨笛的大致年代早于公元前6000年．故選：．【答案點睛】本題考查利用三角函數(shù)解決實際問題的能力，運用了兩角和與差的正切公式，考查了轉(zhuǎn)化思想，數(shù)學(xué)建模思想，以及數(shù)學(xué)運算能力，屬中檔題．12．B【答案解析】

雙曲線的漸近線方程為，由題可知．設(shè)點，則點到直線的距離為，解得，所以，解得，所以雙曲線的實軸的長為，故選B．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．2【答案解析】

作出可行域，平移基準(zhǔn)直線到處，求得的最小值.【題目詳解】畫出可行域如下圖所示，由圖可知平移基準(zhǔn)直線到處時，取得最小值為.故答案為：【答案點睛】本小題主要考查線性規(guī)劃求最值，考查數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法，屬于基礎(chǔ)題.14．40【答案解析】

根據(jù)二項定理展開式，求得r的值，進(jìn)而求得系數(shù)．【題目詳解】根據(jù)二項定理展開式的通項式得所以，解得所以系數(shù)【答案點睛】本題考查了二項式定理的簡單應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．15．【答案解析】

先確定關(guān)于x的方程當(dāng)a為何值時有4個不相等的實根，再將這四個根的平方和表示出來，利用函數(shù)思想來判斷當(dāng)a為何值時這4個根的平方和存在最小值即可.【題目詳解】由題意，當(dāng)時，，此時，此時函數(shù)在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，方程最多2個不相等的實根，舍；當(dāng)時，函數(shù)圖象如下所示：從左到右方程，有4個不相等的實根，依次為，，，，即，由圖可知，故，且，，從而，令，顯然，，要使該式在時有最小值，則對稱軸，解得.綜上所述，實數(shù)a的取值范圍是.【答案點睛】本題考查了函數(shù)和方程的知識，但需要一定的邏輯思維能力，屬于較難題.16．-2【答案解析】試題分析：∵a2考點：等比數(shù)列性質(zhì)及求和公式三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（1）；（2）見解析.【答案解析】

（1）令，，利用可求得數(shù)列的通項公式，由此可得出數(shù)列的通項公式；（2）求得，利用裂項相消法求得，進(jìn)而可得出結(jié)論.【題目詳解】（1）令，，當(dāng)時，；當(dāng)時，，則，故；（2），.【答案點睛】本題考查利用求通項，同時也考查了裂項相消法求和，考查計算能力與推理能力，屬于基礎(chǔ)題.18．（1）；（2）見解析.【答案解析】

（1）利用獨立事件的概率乘法公式可計算出所求事件的概率；（2）由題意可知隨機(jī)變量的可能取值有、、，計算出隨機(jī)變量在不同取值下的概率，由此可得出隨機(jī)變量的分布列.【題目詳解】（1）記“第一次檢測出的是次品且第二次檢測出的是正品”為事件，則；（2）由題意可知，隨機(jī)變量的可能取值為、、．則，，．故的分布列為【答案點睛】本題考查概率的計算，同時也考查了隨機(jī)變量分布列，考查計算能力，屬于基礎(chǔ)題.19．（1）1；（2）證明見解析.【答案解析】

（1）利用零點分段法將表示為分段函數(shù)的形式，由此求得的最大值，進(jìn)而求得的值.（2）利用（1）的結(jié)論，將轉(zhuǎn)化為，求得的取值范圍，利用換元法，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性，證得，由此證得不等式成立.【題目詳解】（1）當(dāng)時，取得最大值.（2）證明:由（1）得，，，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，令，則在上單調(diào)遞減當(dāng)時，.【答案點睛】本小題主要考查含有絕對值的函數(shù)的最值的求法，考查利用基本不等式進(jìn)行證明，屬于中檔題.20．（1）（2）證明見解析【答案解析】

（1）由已知可得，構(gòu)造等比數(shù)列即可求出通項公式；（2）當(dāng)時，由，可求，時，由，可證，驗證時，不等式也成立，即可得證.【題目詳解】（1）由可得，，即，所以，解得，（2）當(dāng)時，，,當(dāng)時，，綜上，由可得遞增，，時；所以，綜上：故.【答案點睛】本題主要考查了遞推數(shù)列求通項公式，利用放縮法證明不等式，涉及等比數(shù)列的求和公式，屬于難題.21．（1）（2）最大值為【答案解析】

（1）利用消去參數(shù)，求得曲線的普通方程，再轉(zhuǎn)化為極坐標(biāo)方程.（2）設(shè)出兩點的坐標(biāo)，求得的表達(dá)式，并利用三角恒等變換進(jìn)行化簡，再結(jié)合三角函數(shù)最值的求法，求得的最大值.【題目詳解】（1）由消去得曲線的普通方程為.所以的極坐標(biāo)方程為，即.（2）不妨設(shè)，，，，，則當(dāng)時，取得最大值，最大值為.【答案點睛】本小題主要考查參數(shù)方程化為普通方程，普通方程化為極坐標(biāo)方程，考查極坐標(biāo)系下線段長度的乘積的最值的求法，考查三角恒等變換，考查三角函數(shù)最值的求法，屬于中檔題.22．（1）函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為和，單調(diào)遞減區(qū)間為；（2）.【答案解析】

（1）由題可得,結(jié)合的范圍判斷的正負(fù),即可求解；（2）結(jié)合導(dǎo)數(shù)及函數(shù)的零點的判定定理,分類討論進(jìn)行求解【題目詳解】（1）,①當(dāng)時,,∴函數(shù)在內(nèi)單調(diào)遞增；②當(dāng)時,令,解得或,