一元三次、一元四次方程的基本解法畢業(yè)論文

1、引言一般三次方程的解法的思路是化為缺項(xiàng)的三次方程，再作變換轉(zhuǎn)換為二次方程來求解。一般四次方程的解法也是轉(zhuǎn)換為缺項(xiàng)的四次方程，再將缺項(xiàng)的四次方程轉(zhuǎn)換為三次方程后，再求出四次方程的根。我在本論文中首先提出一元三次方程的定義和一般形式與一元四次方程的定義和一般形式，然后詳細(xì)地討論一元三次，一元四次方程的基本解法，最后根據(jù)該解法解出給定舉例的根。 1一元三次方程的解法定義：如果只含有一個(gè)未知數(shù)并且未知數(shù)的最高次數(shù)為三的方程叫做一元三次方程.一元三次方程的一般形式： ， 1.1形如的一元三次方程的解法.設(shè)有方程 （1） 我們令，并代入方程（1）得展開并整理得到 （2）為了減少（2）中的未知數(shù)，不妨設(shè)從而

2、（2）變?yōu)?即 根據(jù)偉大定理可知是二次方程的兩個(gè)根，解這個(gè)二次方程得從而有 ， ， ， ， 其中 ， 因此方程 三個(gè)解的公式是：這個(gè)公式叫做卡丹（cardano）公式.這里中與各有3個(gè)值，因此共有9個(gè)值，但是其中的三個(gè)值滿足條件，所以原方程只有三個(gè)解.如： 又如： ， 其中6個(gè)值不滿足條件 . 下面討論根的情況：由以上可得一元三次方程的判別式：.并且可知決定了根的性質(zhì)：（1）當(dāng)時(shí)，是不相等的兩個(gè)實(shí)數(shù)，原方程（1）有一個(gè)實(shí)根和兩個(gè)共軛虛根，即 （2）當(dāng)時(shí)，原方程（1）有三個(gè)實(shí)根，并且其中兩個(gè)相等，即（3） 當(dāng)時(shí)，和都是復(fù)數(shù)，并且共軛復(fù)數(shù)，因?yàn)橛?有因?yàn)?即 即 設(shè)是的任意一個(gè)值，從而，因此有即時(shí)

3、原方程有三個(gè)互異的實(shí)根，它們是： ， ， 例1. 解方程 解： ， 因此原方程有三個(gè)互異的實(shí)根。又由 ， 所以三個(gè)根 ，其中 ，其中 所以原方程的三個(gè)根為： ， ，. 1.2.一般一元三次方程 的解法設(shè)有一般地一元三次方程 （1）對(duì)它進(jìn)行化簡，目標(biāo)是將它的二次項(xiàng)系數(shù)化為零.令 ，其中是一個(gè)待定常數(shù)并代入(1) 得 展開并整理得到取 （2）把（2）代入（1）得即 （3） . 其中 ， 只要解出（3）的解，利用變化（2）就可以知道方程（1）的解.根據(jù)形如的一元三次方程的解法可以知道方程（3）的三個(gè)解：又由得到原方程的三個(gè)根.由以上的討論可知方程的解法步驟：(1)由的值求或代入原方程得寫出的值，且寫

4、出.(2)計(jì)算判別式 與 其中根據(jù)的值計(jì)算出的解.(3)把的值代入得到原方程的三個(gè)根.例2. 解出方程.解：（1）由已知得且（2）且 即 即 由可知原方程有一個(gè)實(shí)根，兩個(gè)共軛虛根，即 （3）由得到原方程的三個(gè)根： ， ， ，.例3. 解方程 解：（1）由已知得 且 ， （2）因此原方程有三個(gè)實(shí)根，其中兩個(gè)相等，即 （3）由得到原方程的三個(gè)根是： ， .2.一元四次方程的解法定義：如果只含有一個(gè)未知數(shù)并且未知數(shù)的最高次數(shù)為四的方程叫做一元四次方程.一元四次方程的一般形式： .2.1.用待定系數(shù)法解一元四次方程待定系數(shù)法的定義：為了求得某一個(gè)代數(shù)式可以根據(jù)這個(gè)代數(shù)式的一般形式引入待定的系數(shù)，然后根

5、據(jù)條件列出方程組，再通過解方程組來確定待定的系數(shù)值，這種確定未知代數(shù)式的方程叫做待定系數(shù)法. 設(shè)有方程 （1） 令 ， 并代入原方程消去三次項(xiàng)得 （2） 設(shè) 其中系數(shù) 是待定常數(shù)，通過比較系數(shù)得 （3）若 ，則 ，此時(shí)方程是雙二次方程，很容易解出若 時(shí)可解得 （4）于是 （5）設(shè)是該方程的任意一個(gè)根，則由（4）有 ， 從而方程（2）變?yōu)?分別解方程 和 即可得方程（2）的解，并進(jìn)一步得到方程（1）的解.例4. 解方程 . 解：令 并代入所給的方程，化簡得 （1）設(shè) 因?yàn)?，于是有得待添加的隱藏文字內(nèi)容3取 ， ， 因此方程（1）可寫成 由 解得 由 解得 由 得原方程的四個(gè)根： ， ， .2.

6、2解一元四次方程的一般方法設(shè)有方程 （1）對(duì)它進(jìn)行化簡，目標(biāo)是將它得三次項(xiàng)系數(shù)化為零.令 ， 其中是待定常數(shù).把 代入（1）得展開并整理得到 又令 ，并代入 得到 （2）把（2）代入（1）得 （3）其中用表示的常數(shù).只要解出（3）的解，利用變化（2）就可以知道方程（1）的解.又令代入（3），展開并整理得到令 且 （5） （6）把（5），（6）代入（4）得從而有 ， 即得到 （7）由（7）可知是下面三次方程的根 （8）我們根據(jù)一元三次方程的解法求出（8）的三個(gè)根，若這三次方程的根是 . 即 這時(shí)有8種可能的結(jié)合，但是由于（6）的限制所以實(shí)際上只有4種結(jié)合，這就是四次方程的解，又由得到原方程的四個(gè)根. 總結(jié)總的來說，如果要求解出一元三次，四次方程的根，那么根據(jù)一元三次，四次方程的解法任選用上面所述的解法能降低運(yùn)算量，并且順利達(dá)到目的。 參考文獻(xiàn) 中學(xué)代數(shù)研究，張奠宙，張廣祥.高等教育出版社，2006年1月第一版. 一元三次方程的解法，玉素音.艾山，喀什師范學(xué)院學(xué)報(bào)，2008年12月20日出版. 初等代數(shù)研究（下冊(cè)），余元希，田萬海，毛宏德.高等教育出版社，1988年2月第一版. 初等代數(shù)研究，李辰明，周煥山.高等教育出版社，19