數(shù)值分析實(shí)驗(yàn)報(bào)告1Word版

整理為word格式整理為word格式整理為word格式實(shí)驗(yàn)一誤差分析實(shí)驗(yàn)1.1（病態(tài)問題）實(shí)驗(yàn)?zāi)康模核惴ㄓ小皟?yōu)”與“劣”之分，問題也有“好”與“壞”之別。對(duì)數(shù)值方法的研究而言，所謂壞問題就是問題本身對(duì)擾動(dòng)敏感者，反之屬于好問題。通過本實(shí)驗(yàn)可獲得一個(gè)初步體會(huì)。數(shù)值分析的大部分研究課題中，如線性代數(shù)方程組、矩陣特征值問題、非線性方程及方程組等都存在病態(tài)的問題。病態(tài)問題要通過研究和構(gòu)造特殊的算法來解決，當(dāng)然一般要付出一些代價(jià)（如耗用更多的機(jī)器時(shí)間、占用更多的存儲(chǔ)空間等）。問題提出：考慮一個(gè)高次的代數(shù)多項(xiàng)式顯然該多項(xiàng)式的全部根為1,2,…,20共計(jì)20個(gè)，且每個(gè)根都是單重的?，F(xiàn)考慮該多項(xiàng)式的一個(gè)擾動(dòng)其中是一個(gè)非常小的數(shù)。這相當(dāng)于是對(duì)（1.1）中的系數(shù)作一個(gè)小的擾動(dòng)。我們希望比較（1.1）和（1.2）根的差別，從而分析方程（1.1）的解對(duì)擾動(dòng)的敏感性。實(shí)驗(yàn)內(nèi)容：為了實(shí)現(xiàn)方便，我們先介紹兩個(gè)Matlab函數(shù)：“roots”和“poly”。其中若變量a存儲(chǔ)n+1維的向量，則該函數(shù)的輸出u為一個(gè)n維的向量。設(shè)a的元素依次為，則輸出u的各分量是多項(xiàng)式方程的全部根；而函數(shù)的輸出b是一個(gè)n+1維變量，它是以n維變量v的各分量為根的多項(xiàng)式的系數(shù)?？梢姟皉oots”和“poly”是兩個(gè)互逆的運(yùn)算函數(shù)。整理為word格式整理為word格式整理為word格式上述簡單的Matlab程序便得到（1.2）的全部根，程序中的“ess”即是（1.2）中的。實(shí)驗(yàn)要求：選擇充分小的ess，反復(fù)進(jìn)行上述實(shí)驗(yàn)，記錄結(jié)果的變化并分析它們。如果擾動(dòng)項(xiàng)的系數(shù)很小，我們自然感覺（1.1）和（1.2）的解應(yīng)當(dāng)相差很小。計(jì)算中你有什么出乎意料的發(fā)現(xiàn)？表明有些解關(guān)于如此的擾動(dòng)敏感性如何？將方程（1.2）中的擾動(dòng)項(xiàng)改成或其它形式，實(shí)驗(yàn)中又有怎樣的現(xiàn)象出現(xiàn)？（選作部分）請(qǐng)從理論上分析產(chǎn)生這一問題的根源。注意我們可以將方程（1.2）寫成展開的形式，同時(shí)將方程的解x看成是系數(shù)的函數(shù)，考察方程的某個(gè)解關(guān)于的擾動(dòng)是否敏感，與研究它關(guān)于的導(dǎo)數(shù)的大小有何關(guān)系？為什么？你發(fā)現(xiàn)了什么現(xiàn)象，哪些根關(guān)于的變化更敏感？思考題一：（上述實(shí)驗(yàn)的改進(jìn)）在上述實(shí)驗(yàn)中我們會(huì)發(fā)現(xiàn)用roots函數(shù)求解多項(xiàng)式方程的精度不高，為此你可以考慮用符號(hào)函數(shù)solve來提高解的精確度，這需要用到將多項(xiàng)式轉(zhuǎn)換為符號(hào)多項(xiàng)式的函數(shù)poly2sym,函數(shù)的具體使用方法可參考Matlab的幫助。實(shí)驗(yàn)過程：程序：a=poly(1:20);rr=roots(a);forn=2:21nform=1:9ess=10^(-6-m);ve=zeros(1,21);ve(n)=ess;r=roots(a+ve);-6-ms=max(abs(r-rr))endend利用符號(hào)函數(shù)：（思考題一）a=poly(1:20);整理為word格式整理為word格式整理為word格式y(tǒng)=poly2sym(a);rr=solve(y)forn=2:21nform=1:8ess=10^(-6-m);ve=zeros(1,21);ve(n)=ess;a=poly(1:20)+ve;y=poly2sym(a);r=solve(y);-6-ms=max(abs(r-rr))endend數(shù)值實(shí)驗(yàn)結(jié)果及分析：整理為word格式整理為word格式整理為word格式formatlong-6-mn-7-8-9-1022.797226874783311.867536320091581.060527623807480.2527314421904731.693766997674240.923106667069640.084716145697410.4080402640941140.854013934155360.199410220200610.03972935295834050.110311005388710.042965323628440060000700008000090000100000110000120000130000140000150000160000170000180000190000200000210000-6-mn-11-12-13-14整理為word格式整理為word格式整理為word格式20.038776764393800.162565848682800.13322664013598030.02164258317546000400005000060000700008000090000100000110000120000130000140000150000160000170000180000190000200000210000整理為word格式整理為word格式整理為word格式討論：利用這種方法進(jìn)行這類實(shí)驗(yàn)，可以很精確的擾動(dòng)敏感性的一般規(guī)律。即當(dāng)對(duì)擾動(dòng)項(xiàng)的系數(shù)越來越小時(shí)，對(duì)其多項(xiàng)式擾動(dòng)的結(jié)果也就越來越小，即擾動(dòng)敏感性與擾動(dòng)項(xiàng)的系數(shù)成正比，擾動(dòng)項(xiàng)的系數(shù)越大，對(duì)其根的擾動(dòng)敏感性就越明顯，當(dāng)擾動(dòng)的系數(shù)一定時(shí)，擾動(dòng)敏感性與擾動(dòng)的項(xiàng)的冪數(shù)成正比，擾動(dòng)的項(xiàng)的冪數(shù)越高，對(duì)其根的擾動(dòng)敏感性就越明顯。實(shí)驗(yàn)總結(jié)：利用MATLAB來進(jìn)行病態(tài)問題的實(shí)驗(yàn)，雖然其得出的結(jié)果是有誤差的，但是可以很容易的得出對(duì)一個(gè)多次的代數(shù)多項(xiàng)式的其中某一項(xiàng)進(jìn)行很小的擾動(dòng)，對(duì)其多項(xiàng)式的根會(huì)有一定的擾動(dòng)的，所以對(duì)于這類病態(tài)問題可以借助于MATLAB來進(jìn)行問題的分析。學(xué)號(hào)：06450210整理為word格式整理為word格式整理為word格式姓名：萬軒實(shí)驗(yàn)二插值法實(shí)驗(yàn)2.1（多項(xiàng)式插值的振蕩現(xiàn)象）問題提出：考慮一個(gè)固定的區(qū)間上用插值逼近一個(gè)函數(shù)。顯然拉格朗日插值中使用的節(jié)點(diǎn)越多，插值多項(xiàng)式的次數(shù)就越高。我們自然關(guān)心插值多項(xiàng)式的次數(shù)增加時(shí)，L(x)是否也更加靠近被逼近的函數(shù)。龍格給出了一個(gè)極著名例子。設(shè)區(qū)間[-1，1]上函數(shù)f(x)=1／(1+25x^2)實(shí)驗(yàn)內(nèi)容：考慮區(qū)間[-1，1]的一個(gè)等距劃分，分點(diǎn)為：x(i)=-1+2i/n,i=0,1,2…,n澤拉格朗日插值多項(xiàng)式為：L(x)=∑l(i)(x)/(1+25x(j)^2)i=0,1,…n其中l(wèi)(i)(x),i=0,1,…n,n是n次拉格朗日插值基函數(shù)。實(shí)驗(yàn)要求：⑴選擇不斷增大的分點(diǎn)數(shù)目n=2,3…，畫出f(x)及插值多項(xiàng)式函數(shù)L(x)在[-1，1]上的圖象，比較分析實(shí)驗(yàn)結(jié)果。（2）選擇其它的函數(shù)，例如定義在區(qū)間[-5，5]上的函數(shù)h(x)=x/(1+x^4),g(x)=arctanx重復(fù)上述的實(shí)驗(yàn)看其結(jié)果如何。（3）區(qū)間[a,b]上切比雪夫點(diǎn)的定義為：xk=（b+a）/2+((b-a)/2)cos((2k-1)π/(2(n+1))),k=1,2,^,n+1以x1,x2^x(n+1)為插值節(jié)點(diǎn)構(gòu)造上述各函數(shù)的拉格朗日插值多項(xiàng)式，比較其結(jié)果。實(shí)驗(yàn)過程：程序：多項(xiàng)式插值的震蕩現(xiàn)象（實(shí)驗(yàn)2.1）form=1:6subplot(2,3,m)%把窗口分割成2*3大小的窗口largrang(6*m)%對(duì)largrang函數(shù)進(jìn)行運(yùn)行ifm==1title('longn=6')elseifm==2title('longn=12')elseifm==3title('longn=18')elseifm==4title('longn=24')elseifm==5title('longn=30')elseifm==6整理為word格式整理為word格式整理為word格式title('longn=36')end%對(duì)每個(gè)窗口分別寫上標(biāo)題為插值點(diǎn)的個(gè)數(shù)end保存為：chazhi.mfunctionlargrang(longn)mm=input('pleaseinputmm(運(yùn)行第幾個(gè)函數(shù)就輸入mm為幾):mm=')ifmm==1%d表示定義域的邊界值d=1;elseifmm==2||mm==3d=5;endx0=linspace(-d,d,longn);%x的節(jié)點(diǎn)ifmm==1y0=1./(1.+25.*x0.^2);elseifmm==2y0=x0./(1.+x0.^4);elseifmm==3y0=atan(x0);endx=sym('x');n=length(x0);s=0.0;fork=1:np=1.0;forj=1:nifj~=kp=p*(x-x0(j))/(x0(k)-x0(j));endends=p*y0(k)+s;endy=s;ifmm==1ezplot('1/(1+25*x^2)')elseifmm==2ezplot('x/(1+x^4)')elseifmm==3ezplot('atan(x)')endholdonezplot(y,[-d,d])holdoff保存為：largrang.m數(shù)值實(shí)驗(yàn)結(jié)果及分析：對(duì)于第一個(gè)函數(shù)f(x)=1/(1+25x2)整理為word格式整理為word格式整理為word格式對(duì)于第二個(gè)函數(shù)h(x)=x/(1+x4)對(duì)于第三個(gè)函數(shù)g(x)=arctan(x)整理為word格式整理為word格式整理為word格式討論：通過對(duì)三個(gè)函數(shù)得出的largrang插值多項(xiàng)式并在數(shù)學(xué)軟件中的運(yùn)行，得出函數(shù)圖象，說明了對(duì)函數(shù)的支點(diǎn)不是越多越好，而是在函數(shù)的兩端而言支點(diǎn)越多，而largrang插值多項(xiàng)式不是更加靠近被逼近的函數(shù)，反而更加遠(yuǎn)離函數(shù)，在函數(shù)兩端的跳動(dòng)性更加明顯，argrang插值多項(xiàng)式對(duì)函數(shù)不收斂。實(shí)驗(yàn)總結(jié)：利用MATLAB來進(jìn)行函數(shù)的largrang插值多項(xiàng)式問題的實(shí)驗(yàn)，雖然其得出的結(jié)果是有誤差的，但是增加支點(diǎn)的個(gè)數(shù)進(jìn)行多次實(shí)驗(yàn)，可以找出函數(shù)的largrang插值多項(xiàng)式的一般規(guī)律，當(dāng)支點(diǎn)增加時(shí)，largrang插值多項(xiàng)式對(duì)函數(shù)兩端不收斂，不是更加逼近，而是更加遠(yuǎn)離，跳動(dòng)性更強(qiáng)。所以對(duì)于函數(shù)的largrang插值多項(xiàng)式問題可以借助于MATLAB來進(jìn)行問題的分析，得到比較準(zhǔn)確的實(shí)驗(yàn)結(jié)規(guī)律。學(xué)號(hào)：06450210整理為word格式整理為word格式整理為word格式姓名：萬軒實(shí)驗(yàn)五解線性方程組的直接方法實(shí)驗(yàn)5.1（主元的選取與算法的穩(wěn)定性）問題提出：Gauss消去法是我們?cè)诰€性代數(shù)中已經(jīng)熟悉的。但由于計(jì)算機(jī)的數(shù)值運(yùn)算是在一個(gè)有限的浮點(diǎn)數(shù)集合上進(jìn)行的，如何才能確保Gauss消去法作為數(shù)值算法的穩(wěn)定性呢？Gauss消去法從理論算法到數(shù)值算法，其關(guān)鍵是主元的選擇。主元的選擇從數(shù)學(xué)理論上看起來平凡，它卻是數(shù)值分析中十分典型的問題。實(shí)驗(yàn)內(nèi)容：考慮線性方程組編制一個(gè)能自動(dòng)選取主元，又能手動(dòng)選取主元的求解線性方程組的Gauss消去過程。實(shí)驗(yàn)要求：（1）取矩陣，則方程有解。取n=10計(jì)算矩陣的條件數(shù)。讓程序自動(dòng)選取主元，結(jié)果如何？（2）現(xiàn)選擇程序中手動(dòng)選取主元的功能。每步消去過程總選取按模最小或按模盡可能小的元素作為主元，觀察并記錄計(jì)算結(jié)果。若每步消去過程總選取按模最大的元素作為主元，結(jié)果又如何？分析實(shí)驗(yàn)的結(jié)果。（3）取矩陣階數(shù)n=20或者更大，重復(fù)上述實(shí)驗(yàn)過程，觀察記錄并分析不同的問題及消去過程中選擇不同的主元時(shí)計(jì)算結(jié)果的差異，說明主元素的選取在消去過程中的作用。（4）選取其他你感興趣的問題或者隨機(jī)生成矩陣，計(jì)算其條件數(shù)。重復(fù)上述實(shí)驗(yàn)，觀察記錄并分析實(shí)驗(yàn)結(jié)果。實(shí)驗(yàn)過程：程序：建立M文件：functionx=gauss(n,r)n=input('請(qǐng)輸入矩陣A的階數(shù):n=')A=diag(6*ones(1,n))+diag(ones(1,n-1),1)+diag(8*ones(1,n-1),-1)b=A*ones(n,1)p=input('條件數(shù)對(duì)應(yīng)的范數(shù)是p-范數(shù)：p=')pp=cond(A,p)pause[m,n]=size(A);整理為word格式整理為word格式整理為word格式nb=n+1;Ab=[Ab]r=input('請(qǐng)輸入是否為手動(dòng)，手動(dòng)輸入1，自動(dòng)輸入0：r=')fori=1:n-1ifr==0[pivot,p]=max(abs(Ab(i:n,i)));ip=p+i-1;ifip~=iAb([iip],:)=Ab([ipi],:);disp(Ab);pauseendendifr==1i=iip=input('輸入i列所選元素所處的行數(shù)：ip=');Ab([iip],:)=Ab([ipi],:);disp(Ab);pauseendpivot=Ab(i,i);fork=i+1:nAb(k,i:nb)=Ab(k,i:nb)-(Ab(k,i)/pivot)*Ab(i,i:nb);enddisp(Ab);pauseendx=zeros(n,1);x(n)=Ab(n,nb)/Ab(n,n);fori=n-1:-1:1x(i)=(Ab(i,nb)-Ab(i,i+1:n)*x(i+1:n))/Ab(i,i);end數(shù)值實(shí)驗(yàn)結(jié)果及分析：⑴取矩陣A的階數(shù):n=10，自動(dòng)選取主元：>>formatlong>>gauss請(qǐng)輸入矩陣A的階數(shù):n=10n=10條件數(shù)對(duì)應(yīng)的范數(shù)是p-范數(shù)：p=1p=1pp=2.557500000000000e+003請(qǐng)輸入是否為手動(dòng)，手動(dòng)輸入1，自動(dòng)輸入0：r=0r=0⑵取矩陣A的階數(shù):n=10，手動(dòng)選取主元：①選取絕對(duì)值最大的元素為主元：>>gauss請(qǐng)輸入矩陣A的階數(shù):n=10n=10條件數(shù)對(duì)應(yīng)的范數(shù)是p-范數(shù)：p=2p=2整理為word格式整理為word格式整理為word格式pp=1.727556024913903e+003請(qǐng)輸入是否為手動(dòng)，手動(dòng)輸入1，自動(dòng)輸入0：r=1r=1ans=1111111111②選取絕對(duì)值最小的元素為主元：>>gauss請(qǐng)輸入矩陣A的階數(shù):n=10n=10條件數(shù)對(duì)應(yīng)的范數(shù)是p-范數(shù)：p=2p=2pp=1.727556024913903e+003請(qǐng)輸入是否為手動(dòng)，手動(dòng)輸入1，自動(dòng)輸入0：r=1r=1ans=1.000000000000001.000000000000001.000000000000001.000000000000001.000000000000001.000000000000000.999999999999991.000000000000010.999999999999981.00000000000003⑶取矩陣A的階數(shù):n=20，手動(dòng)選取主元：選取絕對(duì)值最大的元素為主元：>>gauss請(qǐng)輸入矩陣A的階數(shù):n=20條件數(shù)對(duì)應(yīng)的范數(shù)是p-范數(shù)：p=1p=1pp=2.621437500000000e+006ans=11111111111111111111選取絕對(duì)值最小的元素為主元：>>gauss請(qǐng)輸入矩陣A的階數(shù):n=20.n=20條件數(shù)對(duì)應(yīng)的范數(shù)是p-范數(shù)：p=2p=2pp=1.789670565881683e+006請(qǐng)輸入是否為手動(dòng)，手動(dòng)輸入1，自動(dòng)輸入0：r=1r=1ans=1.000000000000001.000000000000001.000000000000001.000000000000001.000000000000001.000000000000001.000000000000010.999999999999971.000000000000060.999999999999891.000000000000230.999999999999551.000000000000900.999999999998211.000000000003520.999999999993181.000000000012730.999999999978171.00000000002910⑷將M文件中的第三行：整理為word格式整理為word格式整理為word格式A=diag(6*ones(1,n))+diag(ones(1,n-1),1)+diag(8*ones(1,n-1),-1)改為：A=hilb(n)①>>gauss請(qǐng)輸入矩陣A的階數(shù):n=7n=7條件數(shù)對(duì)應(yīng)的范數(shù)是p-范數(shù)：p=1p=1pp=9.851948872610030e+008請(qǐng)輸入是否為手動(dòng)，手動(dòng)輸入1，自動(dòng)輸入0：r=1r=1ans=1.000000000000510.999999999972511.000000000313540.999999998641331.000000002688050.999999997541811.00000000084337②>>gauss請(qǐng)輸入矩陣A的階數(shù):n=7n=7條件數(shù)對(duì)應(yīng)的范數(shù)是p-范數(shù)：p=2p=2pp=4.753673569067072e+008請(qǐng)輸入是否為手動(dòng)，手動(dòng)輸入1，自動(dòng)輸入0：r=1r=1ans=0.999999999998691.000000000043370.999999999642991.000000001211430.999999998030381.000000001528250.99999999954491該問題在主元選取與算出結(jié)果有著很大的關(guān)系，取絕對(duì)值大的元素作為主元比取絕對(duì)值小的元素作為主元時(shí)產(chǎn)生的結(jié)果比較準(zhǔn)確，即選取絕對(duì)值小的主元時(shí)結(jié)果產(chǎn)生了較大的誤差，條件數(shù)越大產(chǎn)生的誤差就越大。討論：在gauss消去法解線性方程組時(shí)，主元的選擇與算法的穩(wěn)定性有密切的聯(lián)系，選取絕對(duì)值大的元素作為主元比絕對(duì)值小的元素作為主元時(shí)對(duì)結(jié)果產(chǎn)生的誤差較小。條件數(shù)越大對(duì)用gauss消去法解線性方程組時(shí)，對(duì)結(jié)果產(chǎn)生的誤差就越大。實(shí)驗(yàn)總結(jié)：對(duì)用gauss消去法解線性方程組時(shí)，主元的選取與算法的穩(wěn)定性有密切的聯(lián)系，選取適當(dāng)?shù)闹髟欣诘贸龇€(wěn)定的算法，在算法的過程中，選取絕對(duì)值較大的主元比選取絕對(duì)值較小的主元更有利于算法的穩(wěn)定，選取絕對(duì)值最大的元素作為主元時(shí)，得出的結(jié)果相對(duì)較準(zhǔn)確較穩(wěn)定。條件數(shù)越小，對(duì)用這種方法得出的結(jié)果更準(zhǔn)確。在算除法的過程中要盡量避免使用較小的數(shù)做為除數(shù)，以免發(fā)生結(jié)果數(shù)量級(jí)加大，使大數(shù)吃掉小數(shù)，產(chǎn)生舍入誤差。整理為word格式整理為word格式整理為word格式學(xué)號(hào)：06450210姓名：萬軒實(shí)驗(yàn)5.2（線性代數(shù)方程組的性態(tài)與條件數(shù)的估計(jì)）問題提出：理論上，線性代數(shù)方程組的攝動(dòng)滿足矩陣的條件數(shù)確實(shí)是對(duì)矩陣病態(tài)性的刻畫，但在實(shí)際應(yīng)用中直接計(jì)算它顯然不現(xiàn)實(shí)，因?yàn)橛?jì)算通常要比求解方程還困難。實(shí)驗(yàn)內(nèi)容：Matlab中提供有函數(shù)“condest”可以用來估計(jì)矩陣的條件數(shù)，它給出的是按1-范數(shù)的條件數(shù)。首先構(gòu)造非奇異矩陣A和右端，使得方程是可以精確求解的。再人為地引進(jìn)系數(shù)矩陣和右端的攝動(dòng)，使得充分小。實(shí)驗(yàn)要求：（1）假設(shè)方程Ax=b的解為x，求解方程，以1-范數(shù)，給出的計(jì)算結(jié)果。（2）選擇一系列維數(shù)遞增的矩陣（可以是隨機(jī)生成的），比較函數(shù)“condest”所需機(jī)器時(shí)間的差別.考慮若干逆是已知的矩陣，借助函數(shù)“eig”很容易給出cond2(A)的數(shù)值。將它與函數(shù)“cond(A,2)”所得到的結(jié)果進(jìn)行比較。（3）利用“condest”給出矩陣A條件數(shù)的估計(jì)，針對(duì)（1）中的結(jié)果給出的理論估計(jì)，并將它與（1）給出的計(jì)算結(jié)果進(jìn)行比較，分析所得結(jié)果。注意，如果給出了cond(A)和的估計(jì)，馬上就可以給出的估計(jì)。（4）估計(jì)著名的Hilbert矩陣的條件數(shù)。實(shí)驗(yàn)過程：程序：⑴n=input('pleaseinputn:n=')%輸入矩陣的階數(shù)a=fix(100*rand(n))+1%隨機(jī)生成一個(gè)矩陣ax=ones(n,1)%假設(shè)知道方程組的解全為1整理為word格式整理為word格式整理為word格式b=a*x%用矩陣a和以知解得出矩陣bdata=rand(n)*0.00001%隨即生成擾動(dòng)矩陣datadatb=rand(n,1)*0.00001%隨即生成擾動(dòng)矩陣datbA=a+dataB=b+datbxx=geshow(A,B)%解擾動(dòng)后的解x0=norm(xx-x,1)/norm(x,1)%得出的理論結(jié)果保存為：fanshu.mfunctionx=geshow(A,B)%用高斯消去法解方程組[m,n]=size(A);nb=n+1;AB=[AB];fori=1:n-1pivot=AB(i,i);fork=i+1:nAB(k,i:nb)=AB(k,i:nb)-(AB(k,i)/pivot)*AB(i,i:nb);endendx=zeros(n,1);x(n)=AB(n,nb)/AB(n,n);fori=n-1:-1:1x(i)=(AB(i,nb)-AB(i,i+1:n)*x(i+1:n))/AB(i,i);end保存為：geshow.m⑵functioncond2(A)%自定義求二階條件數(shù)B=A'*A;[V1,D1]=eig(B);[V2,D2]=eig(B^(-1));cond2A=sqrt(max(max(D1)))*sqrt(max(max(D2)))end保存為：cond2.mformatlongforn=10:10:100n=n%n為矩陣的階A=fix(100*randn(n));%隨機(jī)生成矩陣AcondestA=condest(A)%用condest求條件數(shù)cond2(A)%用自定義的求條件數(shù)condA2=cond(A,2)%用cond求條件數(shù)pause%運(yùn)行一次暫停end保存為：shiyan52.m整理為word格式整理為word格式整理為word格式⑶n=input('pleaseinputn:n=')%輸入矩陣的階數(shù)a=fix(100*rand(n))+1;%隨機(jī)生成一個(gè)矩陣ax=ones(n,1);%假設(shè)知道方程組的解全為1b=a*x;%用矩陣a和以知解得出矩陣bdata=rand(n)*0.00001;%隨即生成擾動(dòng)矩陣datadatb=rand(n,1)*0.00001;%隨即生成擾動(dòng)矩陣datbA=a+data;B=b+datb;xx=geshow(A,B);%利用第一小問的geshow.m求出解陣x0=norm(xx-x,1)/norm(x,1)%得出的理論結(jié)果x00=cond(A)/(1-norm(inv(A))*norm(xx-x))*(norm((xx-x))/(norm(A))+norm(datb)/norm(B))%得出的估計(jì)值datx=abs(x0-x00)%求兩者之間的誤差保存為：sy5_2.m⑷formatlongforn=4:11n=n%n為矩陣的階數(shù)Hi=hilb(n);%生成Hilbert矩陣cond1Hi=cond(Hi,1)%求Hilbert矩陣得三種條件數(shù)cond2Hi=cond(Hi,2)condinfHi=cond(Hi,inf)pauseend整理為word格式整理為word格式整理為word格式整理為word格式整理為word格式整理為word格式數(shù)值實(shí)驗(yàn)結(jié)果及分析：⑴>>fanshupleaseinputn:n=6n=6a=14251688198932938548926014408850131623521929232整理為word格式整理為word格式整理為word格式4010100737241437227701x=111111b=251410221157218187data=1.0e-005*0.396903791869100.781961841960500.637121940845900.820643682285740.660932132239470.514880318987830.649868130592500.237565082040220.545924155099020.970472374609110.358017113387810.221579346385610.085000606214630.195730763783280.848057224416930.486924995541900.938199430101210.725009370952220.768809503258760.263213915175610.802097658480110.817468535546950.487666974764870.068246610970090.969701704971700.713785064596140.668306410066720.641571167846000.090990357743970.964124268372540.714797231876210.977599739435650.670982633969850.306349359513900.673834116862070.20765658836866datb=1.0e-005*0.161118225551380.638221382592750.000228172891620.335632943352170.275099821466210.04452752039203A=1.0e+002*0.140000039690380.250000078196180.160000063712190.880000082064370.190000066093210.890000051488030.320000064986810.930000023756510.850000054592420.480000097047240.920000035801710.600000022157930.140000008500060.400000019573080.880000084805720.500000048692500.130000093819940.160000072500940.230000076880950.520000026321390.190000080209770.290000081746850.020000048766700.320000006824660.400000096970170.100000071378511.000000066830640.070000064157120.370000009099040.240000096412430.140000071479720.030000097759970.720000067098260.270000030634940.700000067383410.01000002076566B=1.0e+002*2.510000016111824.100000063822142.210000000022821.570000033563292.180000027509981.87000000445275xx=0.999998307797201.000000225695551.00000019341555整理為word格式整理為word格式整理為word格式0.999999093880730.999999968940211.00000066032794x0=6.181368174725440e-007的計(jì)算結(jié)果為：6.181368174725440e-007（2）整理為word格式整理為word格式整理為word格式NcondestAcond2AcondA2101.152530883943102e+00232.8905456307542132.89054563075420203.470959631940668e+00265.5412238417896665.54122384178720306.050503865112835e+0021.126539755706398e+0021.126539755706322e+002403.549487892582470e+00261.3753756968344861.37537569683365506.855018184779408e+00281.1213899375359481.12138993753482601.082004656409367e+0041.704830815154781e+0031.704830815108527e+003703.234679145192132e+0033.878481155980936e+0023.878481155978439e+002808.318226153918658e+00286.2381429985251386.23814299853018902.063634143407935e+0032.120696380331705e+0022.120696380331079e+0021001.536592818758897e+0031.559132035738491e+0021.559132035738373e+002整理為word格式整理為word格式整理為word格式⑶>>sy5_2pleaseinputn:n=8n=8x0=1.095033343195828e-006x00=1.705456352162135e-005datx=1.595953017842553e-005給出對(duì)的估計(jì)是：1.705456352162135e-005的理論結(jié)果是：1.095033343195828e-006結(jié)果相差：1.595953017842553e-005整理為word格式整理為word格式整理為word格式(4)整理為word格式整理為word格式整理為word格式整理為word格式整理為word格式整理為word格式ncond1Hicond2HicondinfHi42.837499999999738e+0041.551373873892786e+0042.837499999999739e+00459.436559999999364e+0054.766072502414135e+0059.436559999999336e+00562.907027900294878e+0071.495105864009243e+0072.907027900294064e+00779.851948897194700e+0084.753673565864586e+0089.851948897198483e+00883.387279082022742e+0101.525757545841988e+0103.387279081949470e+01091.099650993366047e+0124.931544439891016e+0111.099650991701052e+012103.535372424347474e+0131.602528637652488e+0133.535372455375642e+013111.230369955362001e+0155.223946340715823e+0141.230369938308720e+015討論：線性代數(shù)方程組的性態(tài)與條件數(shù)有著很重要的關(guān)系，既矩陣的條件數(shù)是刻畫矩陣性質(zhì)的一個(gè)重要的依據(jù)，條件數(shù)越大，矩陣“病態(tài)”性越嚴(yán)重，在解線性代數(shù)方程組的過程中較容易產(chǎn)生比較大的誤差，則在實(shí)際問題的操作過程中，我們必須要減少對(duì)條件數(shù)來求解，把條件數(shù)較大的矩陣化成條件數(shù)較小的矩陣來進(jìn)行求解。實(shí)驗(yàn)總結(jié)：在本次實(shí)驗(yàn)中，使我們知道了矩陣條件數(shù)對(duì)線性代數(shù)方程組求解的影響，條件數(shù)越大，對(duì)最后解的影響的越大，hilbert矩陣是一個(gè)很”病態(tài)”的矩陣，他的條件數(shù)隨著階數(shù)的增加而增大，每增加一階，條件數(shù)就增大一個(gè)數(shù)量級(jí)，在求解的過程中要盡量避免hilbert矩陣整理為word格式整理為word格式整理為word格式學(xué)號(hào)：06450210姓名：萬軒整理為word格式整理為word格式整理為word格式實(shí)驗(yàn)七非線性方程求根實(shí)驗(yàn)7.1（迭代法、初始值與收斂性）實(shí)驗(yàn)?zāi)康模撼醪秸J(rèn)識(shí)非線性問題的迭代法與線性問題迭代法的差別，探討迭代法及初始值與迭代收斂性的關(guān)系。問題提出：迭代法是求解非線性方程的基本思想方法，與線性方程的情況一樣，其構(gòu)造方法可以有多種多樣，但關(guān)鍵是怎樣才能使迭代收斂且有較快的收斂速度。實(shí)驗(yàn)內(nèi)容：考慮一個(gè)簡單的代數(shù)方程針對(duì)上述方程，可以構(gòu)造多種迭代法，如在實(shí)軸上取初始值x0，請(qǐng)分別用迭代（7.1）-（7.3）作實(shí)驗(yàn)，記錄各算法的迭代過程。實(shí)驗(yàn)要求：（1）取定某個(gè)初始值，分別計(jì)算（7.1）-（7.3）迭代結(jié)果，它們的收斂性如何？重復(fù)選取不同的初始值，反復(fù)實(shí)驗(yàn)。請(qǐng)自選設(shè)計(jì)一種比較形象的記錄方式（如利用Matlab的圖形功能），分析三種迭代法的收斂性與初值選取的關(guān)系。（2）對(duì)三個(gè)迭代法中的某個(gè)，取不同的初始值進(jìn)行迭代，結(jié)果如何？試分析迭代法對(duì)不同的初值是否有差異？（3）線性方程組迭代法的收斂性是不依賴初始值選取的。比較線性與非線性問題迭代的差異，有何結(jié)論和問題。實(shí)驗(yàn)過程：程序：clearclcs=input('請(qǐng)輸入要運(yùn)行的方程，運(yùn)行第幾個(gè)輸入幾s=');clfifs==1%決定坐標(biāo)軸的范圍和初始值a=-1.5;b=2.5;y00=0;x00=input('請(qǐng)輸入第一個(gè)函數(shù)的初值：x00=');elseifs==2a=0.1;b=6.5;y00=0;x00=input('請(qǐng)輸入第二個(gè)函數(shù)的初值：x00=');整理為word格式整理為word格式整理為word格式elseifs==3a=0;b=2;y00=0;x00=input('請(qǐng)輸入第三個(gè)函數(shù)的初值：x00=');endx=linspace(a,b,80);y0=x;%計(jì)算直線y=xy1=zxy7f(x,s);%計(jì)算迭代函數(shù)y=f(x)cleary;y=[y0;y1];ifs==1%畫圖plot(x,y,'linewidth',1)legend('y=x','y=f1')title('x(n+1)=[x(n)]^2-1')%輸出標(biāo)題elseifs==2plot(x,y,'linewidth',2)legend('y=x','y=f2')title('x(n+1)=1+1/x(n)')elseifs==3plot(x,y,'linewidth',3)legend('y=x','y=f3')title('x(n+1)=sqrt[x(n)+1]')endholdonplot([a