數(shù)學(xué)高中排列組合知識(shí)和典例

數(shù)學(xué)高中排列組合知識(shí)和典例數(shù)學(xué)高中排列組合知識(shí)和典例數(shù)學(xué)高中排列組合知識(shí)和典例資料僅供參考文件編號(hào)：2022年4月數(shù)學(xué)高中排列組合知識(shí)和典例版本號(hào)：A修改號(hào)：1頁(yè)次：1.0審核：批準(zhǔn):發(fā)布日期：1．排列與排列數(shù)(1)排列：從n個(gè)不同元素中取出m(m≤n)個(gè)元素，按照一定的順序排成一列，叫做從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的一個(gè)排列．(2)排列數(shù)：從n個(gè)不同元素中取出m(m≤n)個(gè)元素的所有不同排列的個(gè)數(shù)叫做從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的排列數(shù)，記作Aeq\o\al(m,n).2．組合與組合數(shù)(1)組合：從n個(gè)不同元素中取出m(m≤n)個(gè)元素合成一組，叫做從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的一個(gè)組合．(2)組合數(shù)：從n個(gè)不同元素中取出m(m≤n)個(gè)元素的所有不同組合的個(gè)數(shù)，叫做從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的組合數(shù)，記作Ceq\o\al(m,n).排列數(shù)、組合數(shù)的公式及性質(zhì)排列數(shù)組合數(shù)公式Aeq\o\al(m,n)＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)＝eq\f(n！,n－m！)Ceq\o\al(m,n)＝eq\f(A\o\al(m,n),A\o\al(m,m))＝eq\f(nn－1…n－m＋1,m！)＝eq\f(n！,m！n－m！)性質(zhì)Aeq\o\al(n,n)＝n??；0?。?Ceq\o\al(0,n)＝1；Ceq\o\al(m,n)＝Ceq\o\al(n－m,n)_；Ceq\o\al(m,n)＋Ceq\o\al(m－1,n)＝Ceq\o\al(m,n＋1)注意：易混淆排列與組合問(wèn)題，區(qū)分的關(guān)鍵是看選出的元素是否與順序有關(guān)，排列問(wèn)題與順序有關(guān)，組合問(wèn)題與順序無(wú)關(guān)．一、排列問(wèn)題直接法把符合條件的排列數(shù)直接列式計(jì)算優(yōu)先法優(yōu)先安排特殊元素或特殊位置捆綁法把相鄰元素看作一個(gè)整體與其他元素一起排列，同時(shí)注意捆綁元素的內(nèi)部排列插空法對(duì)不相鄰問(wèn)題，先考慮不受限制的元素的排列，再將不相鄰的元素插在前面元素排列的空當(dāng)中定序問(wèn)題除法處理對(duì)于定序問(wèn)題，可先不考慮順序限制，排列后，再除以定序元素的全排列間接法正難則反、等價(jià)轉(zhuǎn)化的方法排列典型例題：有3名男生、4名女生，在下列不同條件下，求不同的排列方法總數(shù)．(1)選5人排成一排；(2)排成前后兩排，前排3人，后排4人；(3)全體排成一排，甲不站排頭也不站排尾；(4)全體排成一排，女生必須站在一起；(5)全體排成一排，男生互不相鄰．解：(1)從7人中選5人排列，有Aeq\o\al(5,7)＝7×6×5×4×3＝2520(種)．(2)分兩步完成，先選3人站前排，有Aeq\o\al(3,7)種方法，余下4人站后排，有Aeq\o\al(4,4)種方法，共有Aeq\o\al(3,7)·Aeq\o\al(4,4)＝5040(種)．(3)法一：(特殊元素優(yōu)先法)先排甲，有5種方法，其余6人有Aeq\o\al(6,6)種排列方法，共有5×Aeq\o\al(6,6)＝3600(種)．法二：(特殊位置優(yōu)先法)首尾位置可安排另6人中的兩人，有Aeq\o\al(2,6)種排法，其他有Aeq\o\al(5,5)種排法，共有Aeq\o\al(2,6)Aeq\o\al(5,5)＝3600(種)．(4)(捆綁法)將女生看作一個(gè)整體與3名男生一起全排列，有Aeq\o\al(4,4)種方法，再將女生全排列，有Aeq\o\al(4,4)種方法，共有Aeq\o\al(4,4)·Aeq\o\al(4,4)＝576(種)．(5)(插空法)先排女生，有Aeq\o\al(4,4)種方法，再在女生之間及首尾5個(gè)空位中任選3個(gè)空位安排男生，有Aeq\o\al(3,5)種方法，共有Aeq\o\al(4,4)·Aeq\o\al(3,5)＝1440(種)．1.用0到9這10個(gè)數(shù)字，可以組成沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的三位偶數(shù)的個(gè)數(shù)為()A．324 B．648C．328 D．3602.用1,2,3,4這四個(gè)數(shù)字組成無(wú)重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)，其中恰有一個(gè)偶數(shù)夾在兩個(gè)奇數(shù)之間的四位數(shù)的個(gè)數(shù)為_(kāi)_______．3.甲、乙兩人要在一排8個(gè)空座上就坐，若要求甲、乙兩人每人的兩旁都有空座，則不同的坐法有()A．10種 B．16種C．20種 D．24種組合問(wèn)題組合典型例題：某運(yùn)動(dòng)隊(duì)有男運(yùn)動(dòng)員6名，女運(yùn)動(dòng)員4名，若選派5人外出比賽，在下列情形中各有多少種選派方法？(1)男運(yùn)動(dòng)員3名，女運(yùn)動(dòng)員2名；(2)至少有1名女運(yùn)動(dòng)員．解：(1)任選3名男運(yùn)動(dòng)員，方法數(shù)為Ceq\o\al(3,6)，再選2名女運(yùn)動(dòng)員，方法數(shù)為Ceq\o\al(2,4)，共有Ceq\o\al(3,6)·Ceq\o\al(2,4)＝120(種)方法．(2)法一：(直接法)至少1名女運(yùn)動(dòng)員包括以下幾種情況：1女4男，2女3男，3女2男，4女1男，由分類(lèi)加法計(jì)數(shù)原理可得總選法數(shù)為Ceq\o\al(1,4)Ceq\o\al(4,6)＋Ceq\o\al(2,4)Ceq\o\al(3,6)＋Ceq\o\al(3,4)Ceq\o\al(2,6)＋Ceq\o\al(4,4)Ceq\o\al(1,6)＝246(種)．法二：(間接法)“至少有1名女運(yùn)動(dòng)員”的反面是“全是男運(yùn)動(dòng)員”，因此用間接法求解，不同選法有Ceq\o\al(5,10)－Ceq\o\al(5,6)＝246(種)．1.甲、乙兩人從4門(mén)課程中各選修2門(mén)，則甲、乙所選的課程中至少有1門(mén)不相同的選法共有()A．30種 B．36種C．60種 D．72種2.若從1,2,3，…，9這9個(gè)整數(shù)中同時(shí)取4個(gè)不同的數(shù)，其和為偶數(shù)，則不同的取法共有()A．60種 B．63種C．65種 D．66種排列組合綜合問(wèn)題(1)簡(jiǎn)單的排列與組合的綜合問(wèn)題；(2)分組、分配問(wèn)題．1.將標(biāo)號(hào)為1,2,3,4的四個(gè)籃球分給三位小朋友，每位小朋友至少分到一個(gè)籃球，且標(biāo)號(hào)1,2的兩個(gè)籃球不能分給同一個(gè)小朋友，則不同的分法種數(shù)為()A．15 B．20C．30 D．422.將5位同學(xué)分別保送到北京大學(xué)、上海交通大學(xué)、中山大學(xué)這3所大學(xué)就讀，每所大學(xué)至少保送1人，則不同的保送方法共有()A．150種 B．180種C．240種 D．540種此題是高考出現(xiàn)頻率最高的題型，我把他稱為均分問(wèn)題：對(duì)于部分均分，解題時(shí)注意重復(fù)的次數(shù)是均勻分組的階乘數(shù)，即若有m組元素個(gè)數(shù)相等，則分組時(shí)應(yīng)除以m！，分組過(guò)程中有幾個(gè)這樣的均勻分組，就要除以幾個(gè)這樣的全排列數(shù)．(3)涂色問(wèn)題：涂色的規(guī)則是“相鄰區(qū)域涂不同的顏色”，在處理涂色問(wèn)題時(shí)，可按照選擇顏色的總數(shù)進(jìn)行分類(lèi)討論，每減少一種顏色的使用，便意味著多出一對(duì)不相鄰的區(qū)域涂相同的顏色（還要注意兩兩不相鄰的情況），先列舉出所有不相鄰區(qū)域搭配的可能，再進(jìn)行涂色即可。例如：最多使用四種顏色涂圖中四個(gè)區(qū)域，不同的涂色方案有多少種？

解：可根據(jù)使用顏色的種數(shù)進(jìn)行分類(lèi)討論（1）使用4種顏色，則每個(gè)區(qū)域涂一種顏色即可：（2）使用3種顏色，則有一對(duì)不相鄰的區(qū)域涂同一種顏色，首先要選擇不相鄰的區(qū)域：用列舉法可得：不相鄰所以涂色方案有：（3）使用2種顏色，則無(wú)法找到符合條件的情況，所以討論終止總計(jì)種常見(jiàn)題型1．將2名女教師，4名男教師分成2個(gè)小組，分別安排到甲、乙兩所學(xué)校輪崗支教，每個(gè)小組由1名女教師和2名男教師組成，則不同的安排方案共有()A．24種 B．12種C．10種 D．9種解析：選B第一步，為甲校選1名女老師，有Ceq\o\al(1,2)＝2(種)選法；第二步，為甲校選2名男教師，有Ceq\o\al(2,4)＝6(種)選法；第三步，為乙校選1名女教師和2名男教師，有1種選法，故不同的安排方案共有2×6×1＝12(種)，選B.2．從0,1,2,3,4中取出3個(gè)數(shù)字，組成沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)的個(gè)數(shù)為()A．24 B．36C．48 D．60解析：選C法一：百位數(shù)字只能從1,2,3,4中任取一個(gè)，有Aeq\o\al(1,4)種方法．十位與個(gè)位可從剩下的4個(gè)數(shù)中取2個(gè)，有Aeq\o\al(2,4)種方法，則三位數(shù)的個(gè)數(shù)有Aeq\o\al(1,4)Aeq\o\al(2,4)＝4×4×3＝48.故選C.法二：從0,1,2,3,4中取出3個(gè)數(shù)字排在百位、十位與個(gè)位的方法總數(shù)有Aeq\o\al(3,5)，其中0作為百位的三位數(shù)有Aeq\o\al(2,4)，則三位數(shù)的個(gè)數(shù)有Aeq\o\al(3,5)－Aeq\o\al(2,4)＝5×4×3－4×3＝48.故選C.3．如圖，∠MON的邊OM上有四點(diǎn)A1，A2，A3，A4，ON上有三點(diǎn)B1，B2，B3，則以O(shè)，A1，A2，A3，A4，B1，B2，B3為頂點(diǎn)的三角形個(gè)數(shù)為()A．30 B．42C．54 D．56解析：選B用間接法．先從這8個(gè)點(diǎn)中任取3個(gè)點(diǎn)，最多構(gòu)成三角形Ceq\o\al(3,8)個(gè)，再減去三點(diǎn)共線的情形即可．共有Ceq\o\al(3,8)－Ceq\o\al(3,5)－Ceq\o\al(3,4)＝42(個(gè))．4．有5本不同的教科書(shū)，其中語(yǔ)文書(shū)2本，數(shù)學(xué)書(shū)2本，物理書(shū)1本．若將其并排擺放在書(shū)架的同一層上，則同一科目書(shū)都不相鄰的放法種數(shù)是()A．24 B．48C．72 D．96解析：選B據(jù)題意可先擺放2本語(yǔ)文書(shū)，當(dāng)1本物理書(shū)在2本語(yǔ)文書(shū)之間時(shí)，只需將2本數(shù)學(xué)書(shū)插在前3本書(shū)形成的4個(gè)空中即可，此時(shí)共有Aeq\o\al(2,2)Aeq\o\al(2,4)種擺放方法；當(dāng)1本物理書(shū)放在2本語(yǔ)文書(shū)一側(cè)時(shí)，共有Aeq\o\al(2,2)Aeq\o\al(1,2)Ceq\o\al(1,2)Ceq\o\al(1,3)種不同的擺放方法，由分類(lèi)加法計(jì)數(shù)原理可得共有Aeq\o\al(2,2)Aeq\o\al(2,4)＋Aeq\o\al(2,2)Aeq\o\al(1,2)Ceq\o\al(1,2)Ceq\o\al(1,3)＝48(種)擺放方法．5．(2016·福建三明調(diào)研)將A，B，C，D，E排成一列，要求A，B，C在排列中順序?yàn)椤癆，B，C”或“C，B，A”(可以不相鄰)，這樣的排列數(shù)有()A．12種 B．20種C．40種 D．60種解析：選C(排序一定用除法)五個(gè)元素沒(méi)有限制全排列數(shù)為Aeq\o\al(5,5)，由于要求A，B，C的次序一定(按A，B，C或C，B，A)，故除以這三個(gè)元素的全排列Aeq\o\al(3,3)，可得這樣的排列數(shù)有eq\f(A\o\al(5,5),A\o\al(3,3))×2＝40(種)．6．現(xiàn)有2個(gè)紅球、3個(gè)黃球、4個(gè)白球，同色球不加區(qū)分，將這9個(gè)球排成一列，有________種不同的方法．(用數(shù)字作答)．解析：第一步，從9個(gè)位置中選出2個(gè)位置，分給相同的紅球，有Ceq\o\al(2,9)種選法；第二步，從剩余的7個(gè)位置中選出3個(gè)位置，分給相同的黃球，有Ceq\o\al(3,7)種選法；第三步，剩下的4個(gè)位置全部分給4個(gè)白球，有1種選法．根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理可得，排列方法共有Ceq\o\al(2,9)Ceq\o\al(3,7)＝1260(種)．答案：12607．從6名同學(xué)中選派4人分別參加數(shù)學(xué)、物理、化學(xué)、生物四科知識(shí)競(jìng)賽，若其中甲、乙兩名同學(xué)不能參加生物競(jìng)賽，則選派方案共有________種．解析：特殊位置優(yōu)先考慮，既然甲、乙都不能參加生物競(jìng)賽，則從另外4個(gè)人中選擇一個(gè)參加，有Ceq\o\al(1,4)種方案，然后從剩下的5個(gè)人中選擇3個(gè)人參加剩下3科，有Aeq\o\al(3,5)種方案，故共有Ceq\o\al(1,4)Aeq\o\al(3,5)＝4×60＝240(種)方案．答案：2408．(2017·黃岡質(zhì)檢)在高三某班進(jìn)行的演講比賽中，共有5位選手參加，其中3位女生，2位男生，如果2位男生不能連續(xù)出場(chǎng)，且女生甲不能排第一個(gè)，那么出場(chǎng)的順序的排法種數(shù)為_(kāi)_______．解析：不相鄰問(wèn)題插空法.2位男生不能連續(xù)出場(chǎng)的排法共有N1＝Aeq\o\al(3,3)×Aeq\o\al(2,4)＝72(種)，女生甲排第一個(gè)且2位男生不連續(xù)出場(chǎng)的排法共有N2＝Aeq\o\al(2,2)×Aeq\o\al(2,3)＝12(種)，所以出場(chǎng)順序的排法種數(shù)為N＝N1－N2＝60.答案：609．把