九年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)圓專題 輔助線

九年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)圓專題輔助線九年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)圓專題輔助線九年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)圓專題輔助線資料僅供參考文件編號(hào)：2022年4月九年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)圓專題輔助線版本號(hào)：A修改號(hào)：1頁(yè)次：1.0審核：批準(zhǔn):發(fā)布日期：圓專題一輔助線1．

遇到弦時(shí)（解決有關(guān)弦的問(wèn)題時(shí)）常常添加弦心距，或者作垂直于弦的半徑（或直徑）或再連結(jié)過(guò)弦的端點(diǎn)的半徑。或者連結(jié)圓心和弦的兩個(gè)端點(diǎn)，構(gòu)成等腰三角形，還可連結(jié)圓周上一點(diǎn)和弦的兩個(gè)端點(diǎn)。作用：1、利用垂徑定理；2、利用圓心角及其所對(duì)的弧、弦和弦心距之間的關(guān)系；3、利用弦的一半、弦心距和半徑組成直角三角形，根據(jù)勾股定理求有關(guān)量。4、可得等腰三角形；5、據(jù)圓周角的性質(zhì)可得相等的圓周角。例：如圖，ＡＢ是⊙O的直徑,PO⊥AB交⊙O于P點(diǎn)，弦PN與AB相交于點(diǎn)M，求證：PM?PN=2PO2.分析：要證明PM?PN=2PO2，即證明PM?PC=PO2，過(guò)O點(diǎn)作OC⊥PN于C，根據(jù)垂經(jīng)定理NC=PC，只需證明PM?PC=PO2，要證明PM?PC=PO2只需證明Rt△POC∽R(shí)t△PMO.證明:過(guò)圓心O作OC⊥PN于C，∴PC=PN∵PO⊥AB,OC⊥PN，∴∠MOP=∠OCP=90°.又∵∠OPC=∠MPO，∴Rt△POC∽R(shí)t△PMO.∴即∴PO2=PM?PC.∴PO2=PM?PN，∴PM?PN=2PO2.【例1】如圖，已知△ABC內(nèi)接于⊙O，∠A=45°，BC=2，求⊙O的面積?！纠?】如圖，⊙O的直徑為10，弦AB＝8，P是弦AB上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，那么OP的長(zhǎng)的取值范圍是_________．【例3】如圖，弦AB的長(zhǎng)等于⊙O的半徑，點(diǎn)C在弧AMB上，則∠C的度數(shù)是________.2．

遇到有直徑時(shí)常常添加（畫）直徑所對(duì)的圓周角。作用：利用圓周角的性質(zhì)，得到直角或直角三角形。例如圖，在△ABC中，∠C=90°，以BC上一點(diǎn)O為圓心，以O(shè)B為半徑的圓交AB于點(diǎn)M，交BC于點(diǎn)N．求證：BA·BM=BC·BN；如果CM是⊙O的切線，N為OC的中點(diǎn)，當(dāng)AC=3時(shí)，求AB的值．分析：要證BA·BM=BC·BN，需證△ACB∽△NMB，而∠C=90°，所以需要△NMB中有個(gè)直角，而BN是圓O的直徑，所以連結(jié)MN可得∠BMN=90°。MNOCA證明：連結(jié)MN，則∠BMN=90MNOCA∴△ACB∽△NMB∴∴AB·BM=BC·BN解：連結(jié)OM，則∠OMC=90°∵N為OC中點(diǎn)B∴MN=ON=OM，∴∠MON=60°B∵OM=OB，∴∠B=∠MON=30°∵∠ACB=90°，∴AB=2AC=2×3=6【例4】如圖，AB是⊙O的直徑，AB=4，弦BC=2,∠B=3．

遇到90°的圓周角時(shí)常常連結(jié)兩條弦沒有公共點(diǎn)的另一端點(diǎn)。作用：利用圓周角的性質(zhì)，可得到直徑?！纠?】如圖，AB、AC是⊙O的的兩條弦，∠BAC=90°，AB=6，AC=8，⊙O的半徑是5．

遇到有切線時(shí)（1）常常添加過(guò)切點(diǎn)的半徑（連結(jié)圓心和切點(diǎn)）（2）常常添加連結(jié)圓上一點(diǎn)和切點(diǎn)作用：1、可構(gòu)成弦切角，從而利用弦切角定理。2、利用切線的性質(zhì)定理可得OA⊥AB，得到直角或直角三角形。【例6】如圖，AB是⊙O的直徑，弦AC與AB成30°角，CD與⊙O切于C，交AB的延長(zhǎng)線于D，求證：AC=CD．

6．

遇到證明某一直線是圓的切線時(shí)切線判定分兩種：公共點(diǎn)未知作垂線、公共點(diǎn)已知作半徑切線的判定定理是：“經(jīng)過(guò)半徑的外端,并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線.”，就是說(shuō)，要判定一條直線是否是切線，應(yīng)同時(shí)滿足這樣的兩條：（1）直線經(jīng)過(guò)半徑的外端，（2）直線垂直于這條半徑，所以,在證明直線是切線時(shí),往往需要通過(guò)作恰當(dāng)?shù)妮o助線,才能順利地解決問(wèn)題.下面是添輔助線的小規(guī)律.1．無(wú)點(diǎn)作垂線需證明的切線，條件中未告之與圓有交點(diǎn)，則聯(lián)想切線的定義，過(guò)圓心作該直線的垂線，證明垂足到圓心的距離等于半徑.例7．已知：如圖，AB是⊙O的直徑，AD⊥AB于A，BC⊥AB于B，若∠DOC=90°.求證：DC是⊙O的切線.分析：DC與⊙O沒有交點(diǎn)，“無(wú)點(diǎn)作垂線”，過(guò)圓心O作OE⊥DC，只需證OE等于圓的半徑.因?yàn)锳O為半徑，若能證OE=OA即可.而OE、OA在△DEO、△DAO中，需證明△DEO≌△DAO證明：作OE⊥DC于E點(diǎn)，取DC的中點(diǎn)F，連結(jié)OF.又∵∠DOC=90°.∴FO=FD∴∠1=∠3.∵AD⊥AB，BC⊥AB,∴BC∥AD,∴OF為梯形的中位線.∴OF∥AD.∴∠2=∠3.∴∠1=∠2.∴DO是∠ADE的角平分線.∵OA⊥DA，OE⊥DC，∴OA=OE=圓的半徑.∴DC是⊙O的切線.2．有點(diǎn)連圓心.當(dāng)直線和圓的公共點(diǎn)已知時(shí)，聯(lián)想切線的判定定理，只要將該點(diǎn)與圓心連結(jié)，再證明該半徑與直線垂直.例8．已知：如圖，AB為⊙O的直徑，BC為⊙O的切線，切點(diǎn)為B，OC平行于弦AD，求證：CD是⊙O的切線.分析：D在⊙O上，有點(diǎn)連圓心，連結(jié)DO，證明DO⊥DC即可.證明：連結(jié)DO，∵OC∥AD∴∠DAO=∠COB，∠ADO=∠DOC而∠DAO=∠ADO∴∠DOC=∠COB，又OC=OC，DO=BO∴△DOC≌△BOC∴∠ODC=∠OBC，∵BC為⊙O的切線，切點(diǎn)為B∴∠OBC=90°，∴∠ODC=90°，又D在⊙O上，∴CD是⊙O的切線.【例7】如圖所示，已知AB是⊙O的直徑，AC⊥L于C，BD⊥L于D，且AC+BD=AB。求證：直線L與⊙O相切。 【例8】如圖，△ABO中，OA=OB，以O(shè)為圓心的圓經(jīng)過(guò)AB中點(diǎn)C，且分別交OA、OB于點(diǎn)E、F．求證：AB是⊙O切線；

7．

遇到兩相交切線時(shí)（切線長(zhǎng)）常常連結(jié)切點(diǎn)和圓心、連結(jié)圓心和圓外的一點(diǎn)、連結(jié)兩切點(diǎn)。作用：據(jù)切線長(zhǎng)及其它性質(zhì)，可得到：①角、線段的等量關(guān)系；②垂直關(guān)系；③全等、相似三角形。【例9】如圖，P是⊙O外一點(diǎn)，PA、PB分別和⊙O切于A、B，C是弧AB上任意一點(diǎn)，過(guò)C作⊙O的切線分別交PA、PB于D、E，若△PDE的周長(zhǎng)為12，則PA長(zhǎng)為______________8．

遇到三角形的內(nèi)切圓時(shí)連結(jié)內(nèi)心到各三角形頂點(diǎn)，或過(guò)內(nèi)心作三角形各邊的垂線段。作用：利用內(nèi)心的性質(zhì)，可得：①內(nèi)心到三角形三個(gè)頂點(diǎn)的連線是三角形的角平分線；②內(nèi)心到三角形三條邊的距離相等。【例10】如圖，△ABC中，∠A=45°，I是內(nèi)心，則∠BIC=【例11】如圖，Rt△ABC中，AC=8，BC=6，∠C=90°，⊙I分別切AC，BC，AB于D，E，F(xiàn)，求Rt△ABC的內(nèi)心I與外心O之間的距離．9．

遇到三角形的外接圓時(shí)，連結(jié)外心和各頂點(diǎn)作用：外心到三角形各頂點(diǎn)的距離相等。[課后沖浪]1．已知：P是⊙O外一點(diǎn)，PB，PD分別交⊙O于A、B和C、D，且AB=CD.求證：PO平分∠BPD．....2．如圖，ΔABC中，∠C=90°，圓O分別與AC、BC相切于M、N，點(diǎn)O在AB上，如果AO=15㎝，BO=10㎝，求圓O的半徑..3．已知：□ABCD的對(duì)角線AC、BD交于O點(diǎn)，BC切⊙O于E點(diǎn).求證：AD也和⊙O相切..4．如圖，學(xué)校A附近有一公路MN，一拖拉機(jī)從P點(diǎn)出發(fā)向PN方向行駛，已知∠NPA=30°，AP=160米，假使拖拉機(jī)行使時(shí)，A周圍100米以內(nèi)受到噪音影響，問(wèn)：當(dāng)拖拉機(jī)向PN方向行駛時(shí)，學(xué)校是否會(huì)受到噪音影響？請(qǐng)說(shuō)明理由.如果拖拉機(jī)速度為18千米∕小時(shí)，則受噪音影響的時(shí)間是多少秒？