平面向量共線的坐標(biāo)表示

平面向量共線的坐標(biāo)表示平面向量共線的坐標(biāo)表示平面向量共線的坐標(biāo)表示平面向量共線的坐標(biāo)表示編制僅供參考審核批準(zhǔn)生效日期地址：電話：傳真:郵編:平面向量共線的坐標(biāo)表示教學(xué)目標(biāo)1．用坐標(biāo)表示兩向量共線．(重點)2．根據(jù)平面向量的坐標(biāo)判斷向量共線．(難點)3．兩直線平行與兩向量共線的判定．(易混點)[基礎(chǔ)·初探]教材整理平面向量共線的坐標(biāo)表示閱讀教材P98“思考”以下至“例6”以上內(nèi)容，完成下列問題．1．設(shè)a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠0，a、b共線，當(dāng)且僅當(dāng)存在實數(shù)λ，使a＝λb．2．如果用坐標(biāo)表示，可寫為(x1，y1)＝λ(x2，y2)，當(dāng)且僅當(dāng)x1y2－x2y1＝0時，向量a、b(b≠0)共線．注意：對于2的形式極易寫錯，如寫成x1y1－x2y2＝0或x1x2－y1y2＝0都是不對的，因此要理解并記熟這一公式，可簡記為：縱橫交錯積相減．判斷(正確的打“√”，錯誤的打“×”)(1)向量(1，2)與向量(4，8)共線．()(2)向量(2，3)與向量(－4，－6)反向．()解：(1)正確．因為(4，8)＝4(1，2)，所以向量(1，2)與向量(4，8)共線．(2)正確．因為(－4，－6)＝－2(2，3)，所以向量(2，3)與向量(－4，－6)反向．【答案】(1)√(2)√[小組合作型]判定直線平行、三點共線(1)已知A(1，－3)，Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(8，\f(1,2)))，且A，B，C三點共線，則C的坐標(biāo)可以是()A．(－9，1) B．(9，－1)C．(9，1) D．(－9，－1)(2)已知四點坐標(biāo)A(－1，1)、B(1，5)、C(－2，－1)、D(4，11)，請判斷直線AB與CD是否平行(3)已知A(－1，－1)，B(1，3)，C(1，5)，D(2，7)，向量eq\o(AB,\s\up6(→))與eq\o(CD,\s\up6(→))平行嗎直線AB平行于直線CD嗎(1)利用向量的平行條件x1y2－x2y1＝0，可證明有公共點的兩個平行向量共線，從而可證明三點共線．(2)判定兩直線平行，先判定兩向量平行，再說明兩向量上的相關(guān)點不共線．解：(1)設(shè)點C的坐標(biāo)是(x，y)，因為A，B，C三點共線，所以eq\o(AB,\s\up6(→))∥eq\o(AC,\s\up6(→)).因為eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(8，\f(1,2)))－(1，－3)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(7，\f(7,2)))，eq\o(AC,\s\up6(→))＝(x，y)－(1，－3)＝(x－1，y＋3)，所以7(y＋3)－eq\f(7,2)(x－1)＝0，整理得x－2y＝7，經(jīng)檢驗可知點(9，1)符合要求，故選C．【答案】C(2)因為eq\o(AB,\s\up6(→))＝(1，5)－(－1，1)＝(2，4)，eq\o(AD,\s\up6(→))＝(4，11)－(－1，1)＝(5，10)，eq\o(AC,\s\up6(→))＝(－2，－1)－(－1，1)＝(－1，－2)，所以eq\o(AB,\s\up6(→))＝－2eq\o(AC,\s\up6(→))，eq\o(AD,\s\up6(→))＝－5eq\o(AC,\s\up6(→)).所以eq\o(AB,\s\up6(→))∥eq\o(AC,\s\up6(→))∥eq\o(AD,\s\up6(→)).由于eq\o(AB,\s\up6(→))與eq\o(AC,\s\up6(→))、eq\o(AD,\s\up6(→))有共同的起點A，所以A、B、C、D四點共線，因此直線AB與CD重合．(3)因為eq\o(AB,\s\up6(→))＝(1－(－1)，3－(－1))＝(2，4)，eq\o(CD,\s\up6(→))＝(2－1，7－5)＝(1，2)．又因為2×2－4×1＝0，所以eq\o(AB,\s\up6(→))∥eq\o(CD,\s\up6(→)).又因為eq\o(AC,\s\up6(→))＝(1－(－1)，5－(－1))＝(2，6)，eq\o(AB,\s\up6(→))＝(2，4)，所以2×4－2×6≠0，所以A，B，C不共線，所以AB與CD不重合，所以AB∥CD．三點共線的條件以及判斷方法：若已知三點的坐標(biāo)，判斷其是否共線可采用以下兩種方法：(1)直接利用上述條件，計算(x2－x1)(y3－y1)－(x3－x1)(y2－y1)是否為0；(2)任取兩點構(gòu)成向量，計算出兩向量如eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(AC,\s\up6(→))，再通過兩向量共線的條件進(jìn)行判斷．[再練一題]1．設(shè)O是坐標(biāo)原點，eq\o(OA,\s\up6(→))＝(k，12)，eq\o(OB,\s\up6(→))＝(4，5)，eq\o(OC,\s\up6(→))＝(10，k)，當(dāng)k為何值時，A，B，C三點共線解：∵eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(OB,\s\up6(→))－eq\o(OA,\s\up6(→))＝(4－k，－7)，eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\o(OC,\s\up6(→))－eq\o(OA,\s\up6(→))＝(10－k，k－12)，又A，B，C三點共線，∴由兩向量平行的充要條件，得(4－k)(k－12)＋7(10－k)＝0，解得k＝－2或k＝11.∴當(dāng)k＝－2或k＝11時，A，B，C三點共線．已知平面向量共線求參數(shù)(1)已知向量a＝(x，3)，b＝(－3，x)，則①存在實數(shù)x，使a∥b；②存在實數(shù)x，使(a＋b)∥a；③存在實數(shù)x，m，使(ma＋b)∥a；④存在實數(shù)x，m，使(ma＋b)∥b.其中，所有敘述正確的序號為________．(2)已知a＝(1，2)，b＝(－3，2)，當(dāng)k為何值時，ka＋b與a－3b平行平行時它們是同向還是反向(1)可利用向量共線定理列方程判斷方程解的情況來解決．(2)方法一：可利用b與非零向量a共線等價于b＝λa(λ>0，b與a同向；λ<0，b與a反向)求解；方法二：可先利用坐標(biāo)形式的等價條件求k，再利用b＝λa判定同向還是反向．解：(1)由a∥b?x2＝－9無實數(shù)解，故①不對；又a＋b＝(x－3，3＋x)，由(a＋b)∥a得3(x－3)－x(3＋x)＝0，即x2＝－9無實數(shù)解，故②不對；因為ma＋b＝(mx－3，3m＋x)，由(ma＋b)∥a得(3m＋x)x－3(mx－3)＝0.即x2＝－9無實數(shù)解，故③不對；由(ma＋b)∥b得－3(3m＋x)－x(mx－3)＝0，即m(x2＋9)＝0，所以m＝0，x∈R，故④正確．【答案】④(2)法一：ka＋b＝k(1，2)＋(－3，2)＝(k－3，2k＋2)，a－3b＝(1，2)－3(－3，2)＝(10，－4)，當(dāng)ka＋b與a－3b平行時，存在唯一實數(shù)λ，使ka＋b＝λ(a－3b)．由(k－3，2k＋2)＝λ(10，－4)，所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(k－3＝10λ，,2k＋2＝－4λ，))解得k＝λ＝－eq\f(1,3).當(dāng)k＝－eq\f(1,3)時，ka＋b與a－3b平行，這時ka＋b＝－eq\f(1,3)a＋b＝－eq\f(1,3)(a－3b)，因為λ＝－eq\f(1,3)<0，所以ka＋b與a－3b反向．法二：由題知ka＋b＝(k－3，2k＋2)，a－3b＝(10，－4)，因為ka＋b與a－3b平行，所以(k－3)×(－4)－10×(2k＋2)＝0，解得k＝－eq\f(1,3).這時ka＋b＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,3)－3，－\f(2,3)＋2))＝－eq\f(1,3)(a－3b)．所以當(dāng)k＝－eq\f(1,3)時，ka＋b與a－3b平行，并且反向．利用向量平行的條件處理求值問題的思路：(1)利用共線向量定理a＝λb(b≠0)列方程組求解．(2)利用向量平行的坐標(biāo)表達(dá)式x1y2－x2y1＝0直接求解．[再練一題]2．(1)已知向量a＝(1，2)，b＝(2，3)，若向量λa＋b與向量c＝(－4，－7)共線，則λ＝________．(2)已知向量a＝(1，－2)，b＝(3，4)，若(3a－b)∥(a＋kb)，求實數(shù)k的值．解：(1)∵a＝(1，2)，b＝(2，3)，∴λa＋b＝(λ，2λ)＋(2，3)＝(λ＋2，2λ＋3)．∵向量λa＋b與向量c＝(－4，－7)共線，∴－7(λ＋2)＋4(2λ＋3)＝0，∴λ＝2.【答案】2(2)3a－b＝(0，－10)，a＋kb＝(1＋3k，－2＋4k)，因為(3a－b)∥(a＋kb)，所以0－(－10－30k)＝0，所以k＝－eq\f(1,3).向量共線的綜合應(yīng)用如圖2－3－19所示，已知點A(4，0)，B(4，4)，C(2，6)，求AC與OB的交點P的坐標(biāo)．圖2－3－19要求點P的坐標(biāo)，只需求出向量eq\o(OP,\s\up6(→))的坐標(biāo)，由eq\o(OP,\s\up6(→))與eq\o(OB,\s\up6(→))共線得到eq\o(OP,\s\up6(→))＝λeq\o(OB,\s\up6(→))，利用eq\o(AP,\s\up6(→))與eq\o(AC,\s\up6(→))共線的坐標(biāo)表示求出λ即可；也可設(shè)P(x，y)，由eq\o(OP,\s\up6(→))∥eq\o(OB,\s\up6(→))及eq\o(AP,\s\up6(→))∥eq\o(AC,\s\up6(→))，列出關(guān)于x，y的方程組求解．解：法一：由O，P，B三點共線，可設(shè)eq\o(OP,\s\up6(→))＝λeq\o(OB,\s\up6(→))＝(4λ，4λ)，則eq\o(AP,\s\up6(→))＝eq\o(OP,\s\up6(→))－eq\o(OA,\s\up6(→))＝(4λ－4，4λ)，eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\o(OC,\s\up6(→))－eq\o(OA,\s\up6(→))＝(－2，6)．由eq\o(AP,\s\up6(→))與eq\o(AC,\s\up6(→))共線得(4λ－4)×6－4λ×(－2)＝0，解得λ＝eq\f(3,4)，所以eq\o(OP,\s\up6(→))＝eq\f(3,4)eq\o(OB,\s\up6(→))＝(3，3)，所以P點的坐標(biāo)為(3，3)．法二：設(shè)P(x，y)，則eq\o(OP,\s\up6(→))＝(x，y)，因為eq\o(OB,\s\up6(→))＝(4，4)，且eq\o(OP,\s\up6(→))與eq\o(OB,\s\up6(→))共線，所以eq\f(x,4)＝eq\f(y,4)，即x＝y(tǒng).又eq\o(AP,\s\up6(→))＝(x－4，y)，eq\o(AC,\s\up6(→))＝(－2，6)，且eq\o(AP,\s\up6(→))與eq\o(AC,\s\up6(→))共線，則得(x－4)×6－y×(－2)＝0，解得x＝y(tǒng)＝3，所以P點的坐標(biāo)為(3，3)．1．關(guān)于解決兩線段的交點問題可以用解析幾何的知識聯(lián)立兩直線方程求交點的坐標(biāo)；也可以使用對應(yīng)向量共線列等式，再解方程組求解．2．本例利用了向量共線定理，已知四邊形四個頂點坐標(biāo)求對角線交點坐標(biāo)的向量解法，為我們展示了向量的坐標(biāo)運(yùn)算在解決平面幾何、平面解析幾何問題中的應(yīng)用，在以后學(xué)習(xí)中應(yīng)加以體會運(yùn)用．[再練一題]3．如圖2－3－20，已知A(4，5)，B(1，2)，C(12，1)，D(11，6)，求AC與BD的交點P的坐標(biāo)．圖2－3－20解：設(shè)eq\o(BP,\s\up6(→))＝λeq\o(BD,\s\up6(→))＝λ(11－1，6－2)＝(10λ，4λ)．易得eq\o(CB,\s\up6(→))＝(－11，1)，∴eq\o(CP,\s\up6(→))＝eq\o(CB,\s\up6(→))＋eq\o(BP,\s\up6(→))＝(10λ－11，4λ＋1)．又eq\o(CA,\s\up6(→))＝(－8，4)，而eq\o(CP,\s\up6(→))與eq\o(CA,\s\up6(→))共線，∴4×(10λ－11)＋8×(4λ＋1)＝0，解得λ＝eq\f(1,2).設(shè)點P的坐標(biāo)為(xp，yp)，∴eq\o(BP,\s\up6(→))＝(5，2)＝(xp－1，yp－2)，∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(xp－1＝5，,yp－2＝2，))即eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(xp＝6，,yp＝4，))故點P的坐標(biāo)為(6，4)．[探究共研型]共線向量與中點坐標(biāo)公式探究1設(shè)P1、P2的坐標(biāo)分別是(x1，y1)、(x2，y2)，如何求線段P1P2的中點P的坐標(biāo)【提示】如圖所示，∵P為P1P2的中點，∴eq\o(P1P,\s\up6(→))＝eq\o(PP2,\s\up6(→))，∴eq\o(OP,\s\up6(→))－eq\o(OP1,\s\up6(→))＝eq\o(OP2,\s\up6(→))－eq\o(OP,\s\up6(→))，∴eq\o(OP,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(OP1,\s\up6(→))＋eq\o(OP2,\s\up6(→)))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x1＋x2,2)，\f(y1＋y2,2)))，∴線段P1P2的中點坐標(biāo)是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x1＋x2,2)，\f(y1＋y2,2))).探究2設(shè)P1，P2的坐標(biāo)分別是(x1，y1)、(x2，y2)，點P是線段P1P2的一個三等分點，則P點坐標(biāo)是什么【提示】點P是線段P1P2的一個三等分點，分兩種情況：①當(dāng)eq\o(P1P,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\o(P1P2,\s\up6(→))時，eq\o(OP,\s\up6(→))＝eq\o(OP1,\s\up6(→))＋eq\o(P1P,\s\up6(→))＝eq\o(OP1,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(P1P2,\s\up6(→))＝eq\o(OP1,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)(eq\o(OP2,\s\up6(→))－eq\o(OP1,\s\up6(→)))＝eq\f(2,3)eq\o(OP1,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(OP2,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2x1＋x2,3)，\f(2y1＋y2,3)))；②當(dāng)eq\o(P1P,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)eq\o(P1P2,\s\up6(→))時，eq\o(OP,\s\up6(→))＝eq\o(OP1,\s\up6(→))＋eq\o(P1P,\s\up6(→))＝eq\o(OP1,\s\up6(→))＋eq\f(2,3)eq\o(P1P2,\s\up6(→))＝eq\o(OP1,\s\up6(→))＋eq\f(2,3)(eq\o(OP2,\s\up6(→))－eq\o(OP1,\s\up6(→)))＝eq\f(1,3)eq\o(OP1,\s\up6(→))＋eq\f(2,3)eq\o(OP2,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x1＋2x2,3)，\f(y1＋2y2,3))).探究3當(dāng)eq\o(P1P,\s\up6(→))＝λeq\o(PP2,\s\up6(→))時，點P的坐標(biāo)是什么【提示】∵eq\o(OP,\s\up6(→))＝eq\o(OP1,\s\up6(→))＋eq\o(P1P,\s\up6(→))＝eq\o(OP1,\s\up6(→))＋λeq\o(PP2,\s\up6(→))＝eq\o(OP1,\s\up6(→))＋λ(eq\o(OP2,\s\up6(→))－eq\o(OP,\s\up6(→)))＝eq\o(OP1,\s\up6(→))＋λeq\o(OP2,\s\up6(→))－λeq\o(OP,\s\up6(→))，∴eq\o(OP,\s\up6(→))＝eq\f(\o(OP1,\s\up6(→))＋λ\o(OP2,\s\up6(→)),1＋λ)＝eq\f(1,1＋λ)(x1，y1)＋eq\f(λ,1＋λ)(x2，y2)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,1＋λ)x1，\f(1,1＋λ)y1))＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(λ,1＋λ)x2，\f(λ,1＋λ)y2))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x1＋λx2,1＋λ)，\f(y1＋λy2,1＋λ)))，∴Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x1＋λx2,1＋λ)，\f(y1＋λy2,1＋λ))).已知點A(3，－4)與點B(－1，2)，點P在直線AB上，且|eq\o(AP,\s\up6(→))|＝2|eq\o(PB,\s\up6(→))|，求點P的坐標(biāo)．點P在直線AB上，包括點P在線段AB內(nèi)和在線段AB的延長線上，因此應(yīng)分類討論．解：設(shè)P點坐標(biāo)為(x，y)，|eq\o(AP,\s\up6(→))|＝2|eq\o(PB,\s\up6(→))|.當(dāng)P在線段AB上時，eq\o(AP,\s\up6(→))＝2eq\o(PB,\s\up6(→))，∴(x－3，y＋4)＝2(－1－x，2－y)，∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x－3＝－2－2x，,y＋4＝4－2y，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝\f(1,3)，,y＝0，))∴P點坐標(biāo)為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)，0)).當(dāng)P在線段AB延長線上時，eq\o(AP,\s\up6(→))＝－2eq\o(PB,\s\up6(→))，∴(x－3，y＋4)＝－2(－1－x，2－y)，∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x－3＝2＋2x，,y＋4＝－4＋2y，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝－5，,y＝8，))∴P點坐標(biāo)為(－5，8)．綜上所述，點P的坐標(biāo)為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)，0))或(－5，8)．在求有向線段分點坐標(biāo)時，不必過分強(qiáng)調(diào)公式記憶，可以轉(zhuǎn)化為向量問題后解方程組求解，同時應(yīng)注意分類討論．[再練一題]4．已知△ABC的三個頂點坐標(biāo)依次為A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，求△ABC的重心G的坐標(biāo)．解：延長AG交BC于點D，∵G為△ABC的重心，∴D為BC的中點，∴eq\o(AG,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)\o(AB,\s\up6(→))＋\f(1,2)\o(AC,\s\up6(→))))＝eq\f(1,3)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(AC,\s\up6(→))，∴eq\o(OG,\s\up6(→))＝eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(AG,\s\up6(→))＝eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)(eq\o(OB,\s\up6(→))－eq\o(OA,\s\up6(→)))＋eq\f(1,3)(eq\o(OC,\s\up6(→))－eq\o(OA,\s\up6(→)))＝eq\f(1,3)(eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→)))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x1＋x2＋x3,3)，\f(y1＋y2＋y3,3))).綜上所述，G的坐標(biāo)為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x1＋x2＋x3,3)，\f(y1＋y2＋y3,3))).[構(gòu)建·體系]1．下列滿足平行的一組向量是()A．a(chǎn)＝(1，－4)，b＝(504，－2016)B．a(chǎn)＝(2，3)，b＝(4，－6)C．a(chǎn)＝(1，2)，b＝(－1008，2016)D．a(chǎn)＝(－1，4)，b＝(3，12)解：A中，因為x1y2－x2y1＝1×(－2016)－504×(－4)＝0，∴a∥b；B中，因為x1y2－x2y1＝2×(－6)－4×3＝－24≠0，∴a與b不平行；C中，因為x1y2－x2y1＝1×2016－(－1008)×2＝4032≠0，∴a與b不平行；D中，因為x1y2－x2y1＝－1×12－3×4＝－24≠0，∴a與b不平行．【答案】A2．設(shè)k∈R，下列向量中，與向量a＝(1，－1)一定不平行的向量是()【導(dǎo)學(xué)號：00680052】A．b＝(k，k) B．c＝(－k，－k)C．d＝(k2＋1，k2＋1) D．e＝(k2－1，k2－1)解：由向量共線的判定條件，當(dāng)k＝0時，向量b，c分別與a平行；當(dāng)k＝±1時，向量e與a平行．對任意k∈R，1·(k2＋1)＋1·(k2＋1)≠0，∴a與d不平行．【答案】C3．已知a＝(－6，2)，b＝(m，－3)，且a∥b，則m＝()A．－9 B．9C．3 D．－3解：因為a＝(－6，2)，b＝(m，－3)，若a∥b則－6×(－3)－2m＝0，解得m＝9.【答案】B4．與向量a＝(1，2)平行，且模等于eq\r(5)的向量為________．解：因為所求向量與向量a＝(1，2)平行，所以可設(shè)所求向量為x(1，2)，又因為其模為eq\r(5)，所以x2＋(2x)2＝5，解得x＝±1.因此所求向量為(1，2)或(－1，－2)．【答案】(1，2)或(－1，－2)5．已知向量a＝(1，2)，b＝(x，1)，u＝a＋2b，v＝2a－b，且u∥v，求實數(shù)x的值．解：因為a＝(1，2)，b＝(x，1)，u＝a＋2b＝(1，2)＋2(x，1)＝(2x＋1，4)，v＝2a－b＝2(1，2)－(x，1)＝(2－x，3)．又因為u∥v，所以3(2x＋1)－4(2－x)＝0，解得x＝eq\f(1,2).學(xué)業(yè)分層測評[學(xué)業(yè)達(dá)標(biāo)]一、選擇題1．已知向量a＝(2，3)，b＝(－1，2)，若ma＋4b與a－2b共線，則m的值為()A．eq\f(1,2) B．2C．－eq\f(1,2) D．－2解：ma＋4b＝(2m－4，3m＋8)，a－2b＝(4，－1)，由ma＋4b與a－2b共線，有－(2m－4)＝4(3m＋8)，解得m＝－2，故選D．【答案】D2．已知A，B，C三點共線，且A(3，－6)，B(－5，2)，若C點的橫坐標(biāo)為6，則C點的縱坐標(biāo)為()A．－13 B．9C．－9 D．13解：設(shè)C(6，y)，∵eq\o(AB,\s\up6(→))∥eq\o(AC,\s\up6(→))，又eq\o(AB,\s\up6(→))＝(－8，8)，eq\o(AC,\s\up6(→))＝(3，y＋6)，∴－8×(y＋6)－3×8＝0，∴y＝－9.【答案】C3．已知向量a＝(1－sinθ，1)，b＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，1＋sinθ))，且a∥b，則銳角θ等于()A．30° B．45°C．60° D．75°解：由a∥b，可得(1－sinθ)(1＋sinθ)－eq\f(1,2)＝0，即cosθ＝±eq\f(\r(2),2)，而θ是銳角，故θ＝45°.【答案】B4．(2016·馬鞍山期末)已知向量a＝(1，－2)，b＝(m，4)，且a∥b，那么2a－b＝()A．(4，0) B．(0，4)C．(4，－8) D．(－4，8)解：由a∥b知4＋2m＝0，∴m＝－2，2a－b＝(2，－4)－(－2，4)＝(4，－8)．故選C．【答案】C5．如果向量a＝(k，1)，b＝(4，k)共線且方向相反，則k等于()A．±2 B．2C．－2 D．0解：由a，b共線得k2＝4，又兩個向量的方向相反，故k＝－2.故選C．【答案】C二、填空題6．已知向量a＝(－2，3)，b∥a，向量b的起點為A(1，2)，終點B在坐標(biāo)軸上，則點B的坐標(biāo)為________．解：由b∥a，可設(shè)b＝λa＝(－2λ，3λ)．設(shè)B(x，y)，則eq\o(AB,\s\up6(→))＝(x－1，y－2)＝b.由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－2λ＝x－1，,3λ＝y(tǒng)－2，))?eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝1－2λ，,y＝3λ＋2，))又B點在坐標(biāo)軸上，則1－2λ＝0或3λ＋2＝0，所以Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(7,2)))或eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(7,3)，0)).【答案】eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(7,2)))或eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(7,3)，0))7．向量a＝(1，－2)，向量b與a共線，且|b|＝4|a|，則b＝________．解：因為b∥a，令b＝λa＝(λ，－2λ)，又|b|＝4|a|，所以(λ)2＋(－2λ)2＝16(1＋4)，故有λ2＝16，解得λ＝±4，∴b＝(4，－8)或(－4，8)．【答案】(4，－8)或(－4，8)三、解答題8．已知點A(－1，2)，B(2，8)及eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(DA,\s\up6(→))＝－eq\f(1,3)eq\o(BA,\s\up6(→))，求點C，D和eq\o(CD,\s\up6(→))的坐標(biāo)．解：設(shè)點C(x1，y1)，D(x2，y2)，由題意可得eq\o(AC,\s\up6(→))＝(x1＋1，y1－2)，eq\o(AB,\s\up6(→))＝(3，6)，eq\o(DA,\s\up6(→))＝(－1－x2，2－y2)，eq\o(BA,\s\up6(→))＝(－3，－6)，因為eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(DA,\s\up6(→))＝－eq\f(1,3)eq\o(BA,\s\up6(→))，所以(x1＋1，y1－2)＝eq\f(1,3)(3，6)＝(1，2)，(－1－x2，2－y2)＝－eq\f(1,3)(－3，－6)＝(1，2)，則有eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x1＋1＝1，,y1－2＝2，))和eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－1－x2＝1，,2－y2＝2，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x1＝0，,y1＝4，))和eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x2＝－2，,y2＝0.))所以點C，D的坐標(biāo)分別為(0，4)和(－2，0)，所以eq\o(CD,\s\up6(→))＝(－2，－4)．9．如圖2－3－21，在△OCB中，A是CB的中點，D是OB的靠近B點的一個三等分點，DC與OA交于點E，若eq\o(OE,\s\up6(→))＝λeq\o(OA,\s\up6(→))，求實數(shù)λ的值．圖2－3－21解：∵C、E、D三點共線，∴存在實數(shù)x，有eq\o(CE,\s\up6(→))＝xeq\o(CD,\s\up6(→))，∴eq\o(OE,\s\up6(→))－eq\o(OC,\s\up6(→))＝x(eq\o(OD,\