六年級(jí)奧數(shù)100題

六年級(jí)奧數(shù)100題六年級(jí)奧數(shù)100題六年級(jí)奧數(shù)100題xxx公司六年級(jí)奧數(shù)100題文件編號(hào)：文件日期：修訂次數(shù)：第1.0次更改批準(zhǔn)審核制定方案設(shè)計(jì)，管理制度六年級(jí)奧數(shù)100題1.很多科學(xué)家都喜歡用一些有趣的數(shù)學(xué)問題來考察別人的機(jī)敏和邏輯推理能力。這里有一道著名物理學(xué)家愛因斯坦編的問題：在你面前有一條長(zhǎng)長(zhǎng)的階梯。如果你每步跨2階，那么最后剩下1階；如果你每步跨3階，那么最后剩2階；如果你每步跨5階，那么最后剩4階；如果你每步跨6階，那么最后剩5階；只有當(dāng)你每步跨7階時(shí)，最后才正好走完，一階也不剩。請(qǐng)你算一算，這條階梯到底有多少階？分析與解：分析能力較強(qiáng)的同學(xué)可以看出，所求的階梯數(shù)應(yīng)比2、3、5、6的公倍數(shù)（即30的倍數(shù)）小1，并且是7的倍數(shù)。因此只需從29、59、89、119、……中找7的倍數(shù)就可以了。很快可以得到答案為119階。2.明明和華華各有鉛筆若干支，兩個(gè)人的鉛筆合起來共72支?，F(xiàn)在華華從自己所有的鉛筆中，取出明明所有的支數(shù)送給明明，然后明明又從自己現(xiàn)在所有的鉛筆中，取出華華現(xiàn)有的支數(shù)送給華華，接著華華又從自己現(xiàn)在所有的鉛筆中，取出明明現(xiàn)在所有的支數(shù)送給明明。這時(shí)，明明手中的鉛筆支數(shù)正好是華華手中鉛筆支數(shù)的8倍，那么明明和華華最初各有鉛筆多少支？分析與解：有些數(shù)學(xué)題，如果順著思考不易找到答案，往往從后往前想比較方便，即從已知條件倒推回去，找出答案來。

根據(jù)這道題的已知條件可知，無論明明取多少支鉛筆給華華，還是華華取多少支鉛筆給明明，兩人所有的鉛筆總支數(shù)（72支）是不變的；又知道最后明明手中鉛筆的支數(shù)是華華手中鉛筆支數(shù)的8倍。這樣我們可以求出最后兩人手中鉛筆的支數(shù)。

華華最后手中鉛筆的支數(shù)是：72÷（8＋1）=8（支）

明明最后手中鉛筆的支數(shù)是：8×8=64（支）

接著倒推回去，就可以求出兩人最初各有鉛筆多少支了。答案是：明明最初有鉛筆26支，華華最初有鉛筆46支。3.六年級(jí)舉行中國(guó)象棋比賽，共有12人報(bào)名參加比賽。根據(jù)比賽規(guī)則，每個(gè)人都要與其他人各賽一盤，那么這次象棋比賽一共要賽多少盤？分析與解：一共要賽66盤。

要想得出正確答案，我們可以從簡(jiǎn)單的想起，看看有什么規(guī)律。

假如2個(gè)人（A、B）參賽，那只賽1盤就可以了；假如3個(gè)人（A、B、C）

參賽，那么A—B、A—C、B—C要賽3盤；假如4個(gè)人參賽，要賽6盤，……

于是我們可以發(fā)現(xiàn)：2人參賽，要賽1盤，即1；3人參賽，要賽3盤，即1+2；4個(gè)參賽，要賽6盤，即1+2+3；5人參賽，要賽10盤，即1+2+3+4；……

那么，12人參賽就要賽1+2+3+……+11=66盤。

我們還可以這樣想：這12個(gè)人，每個(gè)人都要與另外11個(gè)人各賽1盤，共11×12=132（盤），但計(jì)算這總盤數(shù)時(shí)把每人的參賽盤數(shù)都重復(fù)算了一次，（如A—B賽一盤，B—A又算了一盤），所以實(shí)際一共要賽132÷2=66（盤）。4.請(qǐng)你把1～8這八個(gè)數(shù)分別填入下圖所示正方體頂點(diǎn)的圓圈里，使每個(gè)面的4個(gè)角上的數(shù)之和都相等。分析與解：做這種填數(shù)游戲，有兩種方法，一種是“笨”方法，即湊數(shù)的方法。分別用這8個(gè)數(shù)去試，這種方法可行，但很費(fèi)事。另一種方法是用分析、計(jì)算的方法。這道題可以分析、計(jì)算如下：在計(jì)算各個(gè)面上4個(gè)數(shù)的和時(shí)，頂點(diǎn)上的數(shù)總是分屬3個(gè)不同的面，這樣，每個(gè)頂點(diǎn)上的數(shù)都被重復(fù)計(jì)算了3次。因此，各個(gè)面上4個(gè)數(shù)的和為1～8這8個(gè)數(shù)的和的3倍，即（1＋2+3+.+8）×3=108.又因?yàn)檎襟w有6個(gè)面，也就是每個(gè)面上的四個(gè)數(shù)的和應(yīng)是108÷6=18.18應(yīng)是我們填數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)。

如果在前面上填入1、7、2、8（如圖31），那么右側(cè)面上已有2、8，其余兩頂點(diǎn)只能填3、5.以此類推，答案如圖31所示。5.晚飯后，爸爸、媽媽和小紅三個(gè)人決定下一盤跳棋。打開裝棋子的盒子前，爸爸忽然用大手捂著盒子對(duì)小紅說：“小紅，爸爸給你出一道跳棋子的題，看你會(huì)不會(huì)做”小紅毫不猶豫地說：“行，您出吧”“好，你聽著：這盒跳棋有紅、綠、藍(lán)色棋子各15個(gè)，你閉著眼睛往外拿，每次只能拿1個(gè)棋子，問你至少拿幾次才能保證拿出的棋子中有3個(gè)是同一顏色的”

聽完題后，小紅陷入了沉思。同學(xué)們，你們會(huì)做這道題嗎？分析與解：至少拿7次，才能保證其中有3個(gè)棋子同一顏色。

我們可以這樣想：按最壞的情況，小紅每次拿出的棋子顏色都不一樣，但從第4次開始，將有2個(gè)棋子是同一顏色。到第6次，三種顏色的棋子各有2個(gè)。當(dāng)?shù)?次取出棋子時(shí)，不管是什么顏色，先取出的6個(gè)棋子中必有2個(gè)與它同色，即出現(xiàn)3個(gè)棋子同一顏色的現(xiàn)象。

同學(xué)們，你們能從這道題中發(fā)現(xiàn)這類問題的規(guī)律嗎如果要求有4個(gè)棋子同一顏色，至少要拿幾次如果要求5個(gè)棋子的顏色相同呢6.

5猴摘了一堆桃子。決定睡后再分。過了一段時(shí)間，來了一只猴，把桃平均分5份，結(jié)果多出了1個(gè)，就把多出的1個(gè)吃了，拿走其中的一份；又過了一會(huì)，來了第二只猴，將桃子重新堆起，平均分成5份，發(fā)現(xiàn)也多一個(gè)，同樣吃了1個(gè)，拿走其中的1份，第3，4，5只都是這樣，問5只猴至少摘了多少桃子第5只猴子走后還剩多少個(gè)桃子【解答】：設(shè)桃子共有X個(gè)，借4個(gè)桃成為X+4個(gè)。多一個(gè)桃就相當(dāng)于少4個(gè)桃。

5個(gè)猴子分別拿了A,B,C,D,E個(gè)桃子。因此有：

A=(X+4)/5

B=4(X+4)/25

C=16(X+4)/125

D=64(X+4)/625

E=256(X+4)/3125

E為整數(shù)，所以X+4=3125K

當(dāng)K=1時(shí)，X=3121

因此最少摘了3121個(gè)桃子。

然后容易算出最后至少剩余1020個(gè)桃子。7.唐老鴨與米老鼠進(jìn)行一萬米賽跑，米老鼠的速度是每分鐘125米，唐老鴨的速度是每分鐘100米。唐老鴨手中掌握一種迫使米老鼠倒退的電子遙控器，通過這種遙控器發(fā)出第n次指令，米老鼠就以原來速度的n×10%倒退一分鐘，然后再按原來的速度繼續(xù)前進(jìn)。如果唐老鴨想在比賽中獲勝，那么它通過遙控器發(fā)出指令的次數(shù)至少是_____次。解答8.從1至25這25個(gè)自然數(shù)中，每次取出兩個(gè)不同的數(shù)，使他們的和是4的倍數(shù)，共有多少種不同的取法解答：按除以4的余數(shù)分類：（4，8，12，16，20，24）中任取2個(gè)：共15（2，6，10，14，18，22）中任取2個(gè)：共15（1，5，9，13，17，21，25）和（3，7，11，15，19，23）中各取1個(gè)：7×6=42共有15+15+42=72種。9.是否存在自然數(shù)n，使得n2＋n＋2能被3整除？解答：枚舉法通常是對(duì)有限種情況進(jìn)行枚舉，但是本題討論的對(duì)象是所有自然數(shù)，自然數(shù)有無限多個(gè)，那么能否用枚舉法呢？我們將自然數(shù)按照除以3的余數(shù)分類，有整除、余1和余2三類，這樣只要按類一一枚舉就可以了。

當(dāng)n能被3整除時(shí)，因?yàn)閚2，n都能被3整除，所以

（n2＋n＋2）÷3余2；

當(dāng)n除以3余1時(shí)，因?yàn)閚2，n除以3都余1，所以

（n2＋n＋2）÷3余1；

當(dāng)n除以3余2時(shí)，因?yàn)閚2÷3余1，n÷3余2，所以

（n2＋n＋2）÷3余2.

因?yàn)樗械淖匀粩?shù)都在這三類之中，所以對(duì)所有的自然數(shù)n，（n2＋n＋2）都不能被3整除。10.如下圖，在圓柱形的桶外，有一只螞蟻要從桶外的A點(diǎn)爬到桶內(nèi)的B點(diǎn)去尋找食物，已知A點(diǎn)沿母線到桶口C點(diǎn)的距離是12厘米，B點(diǎn)沿母線到桶口D點(diǎn)的距離是8厘米，而C、D兩點(diǎn)之間的（桶口）弧長(zhǎng)是15厘米．如果螞蟻爬行的是最短路線，應(yīng)該怎么走路程總長(zhǎng)是多少解答：我們首先想到將桶的圓柱面展開成矩形平面圖（下圖），由于B點(diǎn)在里面，不便于作圖，設(shè)想將BD延長(zhǎng)到F，使DF＝BD，即以直線CD為對(duì)稱軸，作出點(diǎn)B的對(duì)稱點(diǎn)F，用F代替B，即可找出最短路線了．將圓柱面展成平面圖形（上圖），延長(zhǎng)BD到F，使DF=BD，即作點(diǎn)B關(guān)于直線CD的對(duì)稱點(diǎn)F，連結(jié)AF，交桶口沿線CD于O．因?yàn)橥翱谘鼐€CD是B、F的對(duì)稱軸，所以O(shè)B＝OF，而A、F之間的最短線路是直線段AF，又AF=AO＋OF，那么A、B之間的最短距離就是AO＋OB，故螞蟻應(yīng)該在桶外爬到O點(diǎn)后，轉(zhuǎn)向桶內(nèi)B點(diǎn)爬去．

延長(zhǎng)AC到E，使CE=DF，易知△AEF是直角三角形，AF是斜邊，EF=CD，根據(jù)勾股定理，AF2=（AC+CE）2+EF2

＝（12＋8）2＋152＝625=252，解得AF=25．

即螞蟻爬行的最短路程是25厘米．11.甲倉有糧80噸，乙倉有糧120噸，如果把乙倉的一部分糧調(diào)入甲倉，使乙倉存糧是甲倉的60％，需要從乙倉調(diào)入甲倉多少噸糧食？

答案與解析：①甲倉有糧：（80＋120）÷（1＋60％）=125（噸）.②從乙倉調(diào)入甲倉糧食：125-80=45（噸）.

出三個(gè)正方形的邊長(zhǎng)是成比例縮小的，即為一個(gè)等比數(shù)列，而這個(gè)比就要用到相似三角形的知識(shí)點(diǎn)。這在以前講沙漏原理或者三角形等積變形等專題的時(shí)候提到過?？梢哉f是一道難度比較大的題。當(dāng)然對(duì)于這種有特點(diǎn)12.如圖，ABCG是的長(zhǎng)方形，DEFG是的長(zhǎng)方形。那么，三角形BCM的面積與三角形DCM面積之差是多少？

答案與解析：長(zhǎng)方形ABCG的面積是28，長(zhǎng)方形DEFG的面積是20，梯形ABEF的面積是51，從圖中可以看出，三角形BCM的面積與三角形DCM面積之差就等于梯形ABEF的面積減去長(zhǎng)方形ABCG的面積再減去長(zhǎng)方形DEFG的面積，得到結(jié)果13.自然數(shù)1用了1個(gè)數(shù)字，自然數(shù)20用了2和02個(gè)數(shù)字，從自然數(shù)1到510共用了多少個(gè)數(shù)字

答案與解析：

一位數(shù)1-9一共用了9個(gè)數(shù)字

二位數(shù)10-99中，有11-99共9個(gè)特殊的數(shù)，這樣的數(shù)只用了1個(gè)數(shù)字，而其他的兩位數(shù)每個(gè)都用了2個(gè)數(shù)字。于是一共用了2x(90-9)+9=171

三位數(shù)中，先考慮100-199的情況。其中，111用了1個(gè)數(shù)字；100,122…199一共有9個(gè)數(shù)，每一個(gè)都用到了2個(gè)數(shù)字；101,121,131…191一共9個(gè)數(shù)，每一個(gè)都用到了2個(gè)數(shù)字；其他的每一個(gè)都用到了3個(gè)數(shù)字。所以一共用了3x(100-9-9-1)+2x9+2x9+1=280.

同理，200-299中也用了280個(gè)，300-399用了280個(gè)，400-499用了280個(gè)。

這時(shí)候，就已經(jīng)用了280x4+171+9=1300。從500-510中還能用到3x9+2+2=31所以一共1300+31=1331個(gè)14.已知甲車速度為每小時(shí)90千米，乙車速度為每小時(shí)60千米，甲乙兩車分別從A,B兩地同時(shí)出發(fā)相向而行，在途徑C地時(shí)乙車比甲車早到10分鐘；第二天甲乙分別從B,A兩地出發(fā)同時(shí)返回原來出發(fā)地，在途徑C地時(shí)甲車比乙車早到1個(gè)半小時(shí)，那么AB距離是多少?答案與解析：畫圖可知某一個(gè)人到C點(diǎn)時(shí)間內(nèi)，第一次甲走的和第二次甲走的路程和為一個(gè)全程還差90×10/60=15千米，第一次乙走的和第二次乙走的路程和為一個(gè)全程還差60×1.5=90千米。而速度比為3：2；這樣我們可以知道甲走的路程就是：（90-15）÷（3-2）×3=215,所以全程就是215+15=230千米。15.甲班與乙班學(xué)生同時(shí)從學(xué)校出發(fā)去某公園，甲班和乙班步行的速度都是每小時(shí)4千米。學(xué)校有一輛汽車，它的速度是每小時(shí)68千米，這輛汽車恰好能坐一個(gè)班的學(xué)生，為了使兩個(gè)班同時(shí)到達(dá)公園，已知公園相距學(xué)校100千米，求汽車行駛的總路程。答案與解析：為了使兩個(gè)班同時(shí)到達(dá)公園，那么必須汽車來回接送一次，這是一個(gè)接送問題，接送問題關(guān)鍵就是畫好路線圖，

車先載著甲從A到C，然后放下甲，回去接乙，在D碰到乙，然后乙坐上車，跟甲同時(shí)到B，因?yàn)榧装嗪鸵野嗟牟叫兴俣纫粯?，又是同時(shí)到達(dá)，所以甲班和乙班的步行路程也一樣，所以AD等于BC，根據(jù)時(shí)間一樣，步行和汽車的速度比等于步行和汽車的路程比，如果設(shè)乙走的AD為1份，那么車走的AC加上CD為17份，1+17=2AC，所以AC為9份，又BC也為1份，所以總路程AB被我們分成了10份，全長(zhǎng)為100千米，一份即為10千米，我們?cè)倏雌囎叩囊还灿?+8+9=26份，所以汽車行駛的總路車為260千米。16.甲乙兩人在A、B兩地間往返散步，甲從A、乙從B同時(shí)出發(fā)；第一次相遇點(diǎn)距B處60米。當(dāng)乙從A處返回時(shí)走了lO米第二次與甲相遇。A、B相距多少米?答案與解析：“第一次相遇點(diǎn)距B處60米”意味著乙走了60米和甲相遇，根據(jù)總結(jié)，兩次相遇兩人總共走了3個(gè)全程，一個(gè)全程里乙走了60，則三個(gè)全程里乙走了3×60=180米，第二次相遇是距A地10米。畫圖我們可以發(fā)現(xiàn)乙走的路程是一個(gè)全程多了10米，所以A、B相距=180-10=170米。17.甲，乙兩人在一條長(zhǎng)100米的直路上來回跑步，甲的速度3米/秒，乙的速度2米/秒。如果他們同時(shí)分別從直路的兩端出發(fā)，當(dāng)他們跑了10分鐘后，共相遇多少次？

答案與解析：10分鐘兩人共跑了（3＋2）×60×10=3000米3000÷100=30個(gè)全程。我們知道兩人同時(shí)從兩地相向而行，他們總是在奇數(shù)個(gè)全程時(shí)相遇（不包括追上）1、3、5、7。。。29共15次。18.王強(qiáng)騎自行車上班，以均勻速度行駛.他觀察來往的公共汽車，發(fā)現(xiàn)每隔12分鐘有一輛汽車從后面超過他，每隔4分鐘迎面開來一輛，如果所有汽車都以相同的勻速行駛，發(fā)車間隔時(shí)間也相同，那么調(diào)度員每隔幾分鐘發(fā)一輛車？答案與解析：汽車間隔距離是相等的，列出等式為：（汽車速度-自行車速度）×12=（汽車速度+自行車速度）×4

得出：汽車速度=自行車速度的2倍.汽車間隔發(fā)車的時(shí)間=汽車間隔距離÷汽車速度=（2倍自行車速度-自行車速度）×12÷2倍自行車速度=6（分鐘）.19.一千個(gè)體積為1立方厘米的小正方體合在一起成為一個(gè)邊長(zhǎng)為10厘米的大正方體，大正方體表面涂油漆后再分開為原來的小正方體，這些小正方體至少有一面被油漆涂過的數(shù)目是多少個(gè)?答案與解析：共有10×10×10=1000個(gè)小正方體，其中沒有涂色的為(10-2)×(10-2)×(10-2)=512個(gè)，所以至少有一面被油漆漆過的小正方體為1000-512=488個(gè)。20.從一個(gè)長(zhǎng)為8厘米，寬為7厘米，高為6厘米的長(zhǎng)方體中截下一個(gè)最大的正方體，剩下的幾何體的表面積是多少平方厘米?答案與解析：最大正方體的邊長(zhǎng)為6，這樣剩下表面積就是少了兩個(gè)面積為6×6的，所以現(xiàn)在的面積為(8×7+8×6+7×6)×2-6×6×2=220.21.大貨車和小轎車從同一地點(diǎn)出發(fā)沿同一公路行駛，大貨車先走1.5小時(shí)，小轎車出發(fā)后4小時(shí)后追上了大貨車.如果小轎車每小時(shí)多行5千米，那么出發(fā)后3小時(shí)就追上了大貨車.問：小轎車實(shí)際上每小時(shí)行多少千米?答案與解析：根據(jù)追及問題的總結(jié)可知：4速度差=1.5大貨車;3(速度差+5)=1.5大貨車，所以速度差=15，所以大貨車的速度為60千米每小時(shí)，所以小轎車速度=75千米每小時(shí)22.將14，33，35，30，39，75，143，169這八個(gè)數(shù)平均分成兩組，使他們的成績(jī)相等．______×______×______×______=______×______×______×______．答案與解析：

14=2×7

35=5×7

33=3×11

39=3×13

143=11×13

169=13×13

75=3×5×5

30=2×3×5

再根據(jù)質(zhì)因數(shù)的情況，把含有相同質(zhì)因數(shù)的數(shù)歸為一組．其中質(zhì)因數(shù)3、5、13各有四個(gè)，質(zhì)因數(shù)2、7、11各有二個(gè)，因其中二個(gè)5及二個(gè)13在同一個(gè)數(shù)中，故分?jǐn)倳r(shí)應(yīng)先考慮，于是可得如下兩個(gè)小組，每小組中兩個(gè)數(shù)的積分別相等：

然后把兩個(gè)小組中左右的數(shù)按上下或?qū)蔷€分別結(jié)合，就得如下兩種分組結(jié)果：

第一種：一組是：75、14、69、33，

另一組是：35、30、143、39；

第二種：一組是：75、14、143、39

另一組是：35、30、169、33．

故答案為：第一種75、14、69、33和35、30、143、39；

第二種75、14、143、39和35、30、169、33．32.要把30%的糖水與15%的糖水混合，配成25%的糖水600克，需要30%和15%的糖水各多少克?答案與解析：假設(shè)全用30%的糖水溶液，那么含糖量就會(huì)多出600×(30%-25%)=30(克)這是因?yàn)?0%的糖水多用了。于是，我們?cè)O(shè)想在保證總重量600克不變的情況下，用15%的溶液來“換掉”一部分30%的溶液。這樣，每“換掉”100克，就會(huì)減少糖100×(30%-15%)=15(克)所以需要“換掉”30%的溶液(即“換上”15%的溶液)100×(30÷15)=200(克)由此可知，需要15%的溶液200克。需要30%的溶液600-200=400(克)答：需要15%的糖水溶液200克，需要30%的糖水400克。24.學(xué)校把植樹560棵的任務(wù)按人數(shù)分配給五年級(jí)三個(gè)班，已知一班有47人，二班有48人，三班有45人，三個(gè)班各植樹多少棵?答案與解析：總份數(shù)為47+48+45=140一班植樹560×47/140=188(棵)二班植樹560×48/140=192(棵)三班植樹560×45/140=180(棵)答：一、二、三班分別植樹188棵、192棵、180棵。25.觀察1+3=4;4+5=9;9+7=16;16+9=25;25+11=36這五道算式，找出規(guī)律，然后填寫2001+()=2002答案與解析:上面的規(guī)律是：右邊的數(shù)和左邊第一個(gè)數(shù)的差正好是奇數(shù)數(shù)列3、5、7、9、11……，所以下面括號(hào)中填的數(shù)字為奇數(shù)列中的第2001個(gè)，即4003。26.好馬每天走120千米，劣馬每天走75千米，劣馬先走12天，好馬幾天能追上劣馬?答案與解析：(1)劣馬先走12天能走多少千米75×12=900(千米)

(2)好馬幾天追上劣馬900÷(120-75)=20(天)列成綜合算式75×12÷(120-75)=900÷45=20(天)答：好馬20天能追上劣馬。27.一堆蘋果共有8個(gè)，如果規(guī)定每次取1～3個(gè)，那么取完這堆蘋果共有多少種不同取法?答案與解析：取1個(gè)蘋果有1種方法，取2個(gè)蘋果有2種方法，取3個(gè)蘋果有4種取法，以后取任意個(gè)蘋果的種數(shù)等于取到前三個(gè)蘋果所有情況之和，以此類推，參照上題列表如下：取完這堆蘋果一共有81種方法.28.小明和小亮在200米環(huán)形跑道上跑步，小明跑一圈用40秒，他們從同一地點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，同向而跑。小明第一次追上小亮?xí)r跑了500米，求小亮的速度是每秒多少米?答案與解析：小明第一次追上小亮?xí)r比小亮多跑一圈，即200米，此時(shí)小亮跑了(500-200)米，要知小亮的速度，須知追及時(shí)間，即小明跑500米所用的時(shí)間。又知小明跑200米用40秒，則跑500米用[40×(500÷200)]秒，所以小亮的速度是(500-200)÷[40×(500÷200)]=300÷100=3(米)答：小亮的速度是每秒3米。29.用60厘米長(zhǎng)的鐵絲圍成一個(gè)三角形，三角形三條邊的比是3∶4∶5。三條邊的長(zhǎng)各是多少厘米?答案與解析：3+4+5=1260×3/12=15(厘米)60×4/12=20(厘米)60×5/12=25(厘米)答：三角形三條邊的長(zhǎng)分別是15厘米、20厘米、25厘米。30.書架的第一層放有4本不同的計(jì)算機(jī)書，第2層放有3本不同的文藝書，第3層放有2本不同的體育書。(1)從書架上任取1本書，有多少種不同的取法(2)從書架的第1、2、3層各取1本書，有多少種不同的取法

答案與解析：(1)從書架上任取一本書，有3類辦法：第一類辦法是從第一層取一本計(jì)算機(jī)書，有4種方法;第二類是從第二層取1本文藝書，有3種方法;第3類辦法是從第3層取1本體育書，有兩種方法。根據(jù)分類計(jì)數(shù)原理，不同取法的種數(shù)是4+3+2=9(種)，所以，從書架上任取1本書，有9種不同的取法。(2)從書架上的第1、2、3層各取1本書，可以分成3個(gè)步驟完成：第1步從第1層1本計(jì)算機(jī)書，有4種方法;第2類是從第2層取1本文藝書，有3種方法;第3類辦法是從第3層取1本體育書，有2種方法。根據(jù)分布計(jì)數(shù)原理，從書架的第1、2、3層各取1本書，不同取法的種數(shù)是24種，所以，從書架的第1、2、3層各取1本書，有24種不同的取法。31.一張硬紙板長(zhǎng)60厘米，寬56厘米，現(xiàn)在需要把它剪成若干個(gè)大小相同的最大的正方形，不許有剩余。問正方形的邊長(zhǎng)是多少?答案與解析：硬紙板的長(zhǎng)和寬的最大公約數(shù)就是所求的邊長(zhǎng)。60和56的最大公約數(shù)是4。答：正方形的邊長(zhǎng)是4厘米。32.一個(gè)袋子里有一些球，這些球僅只有顏色不同。其中紅球10個(gè)，白球9個(gè)，黃球8個(gè)，藍(lán)球2個(gè)。某人閉著眼睛從中取出若干個(gè)，試問他至少要取多少個(gè)球，才能保證至少有4個(gè)球顏色相同?答案與解析：把四種顏色的球的總數(shù)(3+3+3+2)=11看作11個(gè)“抽屜”，那么，至少要取(11+1)個(gè)球才能保證至少有4個(gè)球的顏色相同。答：他至少要取12個(gè)球才能保證至少有4個(gè)球的顏色相同。33.甲、乙兩位老板分別以同樣的價(jià)格購(gòu)進(jìn)一種時(shí)裝，乙購(gòu)進(jìn)的套數(shù)比甲多1/5，然后甲、乙分別按獲得80%和50%的利潤(rùn)定價(jià)出售.兩人都全部售完后，甲仍比乙多獲得一部分利潤(rùn)，這部分利潤(rùn)又恰好夠他再購(gòu)進(jìn)這種時(shí)裝10套，甲原來購(gòu)進(jìn)這種時(shí)裝多少套?答案與解析：

把甲的套數(shù)看作5份，乙的套數(shù)就是6份。

甲獲得的利潤(rùn)是80%×5=4份，乙獲得的利潤(rùn)是50%×6=3份

甲比乙多4-3=1份，這1份就是10套。

所以，甲原來購(gòu)進(jìn)了10×5=50套。

34.甲、乙兩種商品，成本共2200元，甲商品按20%的利潤(rùn)定價(jià)，乙商品按15%的利潤(rùn)定價(jià)，后來都按定價(jià)的90%打折出售，結(jié)果仍獲利131元，甲商品的成本是多少元?答案與解析：設(shè)方程：設(shè)甲成本為X元，則乙為2200-X元。根據(jù)條件我們可以求出列出方程：90%×[(1+20%)X+(1+15%)(2200-X)]-2200=131。解得X=1200。35.有兩支粗細(xì)不同的蠟燭,細(xì)蠟燭之長(zhǎng)是粗蠟燭之長(zhǎng)的2倍,細(xì)蠟燭點(diǎn)完需一小時(shí),粗蠟燭點(diǎn)完需兩小時(shí).有一次停電,將這兩支蠟燭同時(shí)點(diǎn)燃,來電時(shí),發(fā)現(xiàn)兩支蠟燭所剩下的長(zhǎng)度一樣,問停電多少時(shí)間?答案與解析：

設(shè)：停電X小時(shí)，細(xì)蠟燭的長(zhǎng)度為單位長(zhǎng)度2，粗的為1，則細(xì)的每小時(shí)燒的長(zhǎng)度是2，粗的是1/2，依題意列方程：

2-X*2=1-X*1/2

-2X+X/2=1-2

-3/2X=-1

X=2/336.如圖，已知邊長(zhǎng)為5的額正方形ABCD和邊長(zhǎng)為的正方形CEFG共頂點(diǎn)C，正方形CEFG繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)60°，連接BE、DG，則ΔBCE的面積與ΔCDG的面積比是多少?

答案與解析：將ΔCDG繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)900，得到ΔCBH,這樣點(diǎn)E、C、H在同一直線上，且CE=CG=CH，所以ΔBCE的面積=ΔBCH的面積=ΔCDG的面積，所求面積比為1：1。37.(燕尾定理)如圖，長(zhǎng)方形ABCD的面積是2平方厘米，EC=2DE，F(xiàn)是DG的中點(diǎn)，陰影部分的面積是多少平方厘米答案與解析：連接F、C兩點(diǎn)，因?yàn)镕是DG的中點(diǎn)，那么△CFG與△CFD的面積相等，并且等于△CDG面積的一半，即長(zhǎng)方形ABCD面積的四分之一，又因?yàn)镋C=2DE，那么△CFE的面積等于△EDF的兩倍，所以陰影部分的面積即是：

2÷4×(5÷6)=5/12

答：陰影部分的面積是十二分之五平方厘米。38.在算式2×□□□=□□□的6個(gè)空格中，分別填入2、3、4、5、6、7這六個(gè)數(shù)字，使算式成立，并且乘積能被13除盡。那么這個(gè)乘積是多少?答案與解析：546我們把算式寫為2×ABC=DEF。由于DEF是偶數(shù)，所以F只能是2、4、6。

若F是2，則C只能是6。并且由于C不能取比3大的數(shù)(否則D至少是8)，A只能是3。由于C是6，所以D只能是7。這樣算式成為2×3□6=7□2。容易看出，無論4和5怎么填算式都不會(huì)成立。

若F是4，則C只能是2或7。若C是2，則同上面一樣可以知道A只能是3，容易看出無論D是6還是7，算式都不可能成立。所以C是7。這樣當(dāng)A是2或3時(shí)，我們分別可以得到兩個(gè)結(jié)果：2×267=534，2×327=654。

若F是6，則C只能是3，并且A只能是2，容易實(shí)驗(yàn)出此時(shí)算是為2×273=546。

最后由乘積能被13除盡得乘積只能是546。39.車間里有5臺(tái)車床同時(shí)出現(xiàn)故障。已知第一臺(tái)至第五臺(tái)修復(fù)的時(shí)間依次為15分鐘、8分鐘、29分鐘、3分鐘、9分鐘，每臺(tái)車床停產(chǎn)一分鐘造成經(jīng)濟(jì)損失10元。(1)如果只有一名修理工，按照最佳的修理順序，至少會(huì)造成多少元的經(jīng)濟(jì)損失(2)如果有兩名修理工，按照最佳修理順序，至少會(huì)造成多少元的經(jīng)濟(jì)損失

答案與解析：(1)最佳修理順序?yàn)橄忍幚硇迯?fù)時(shí)間最短的車床，依次為3分鐘、8分鐘、9分鐘、15分鐘、29分鐘，按此順序，停產(chǎn)時(shí)間最少：3*5+8*4+9*3+15*2+29*1=133(分鐘)最低經(jīng)濟(jì)損失：133*10=1330(元)

(2)如果有兩名修理工，一名修理工按3分鐘，9分鐘，29分鐘，修理順序，另一名修理工按8分鐘，15分鐘，順序修理。

最少停產(chǎn)時(shí)間3*3+(8+9)*2+(15+29)*1=87(分鐘)

最低經(jīng)濟(jì)損失：10*87=870(元)

40.比賽用的足球是由黑、白兩色皮子縫制的，其中黑色皮子為正五邊形，白色皮子為正六邊形，并且黑色正五邊形與白色正六邊形的邊長(zhǎng)相等?？p制的方法是：每塊黑色皮子的5條邊分別與5塊白色皮子的邊縫在一起;每塊白色皮子的6條邊中，有3條邊與黑色皮子的邊縫在一起，另3條邊則與其他白色皮子的邊縫在一起。如果一個(gè)足球表面上共有12塊黑色正五邊形皮子，那么，這個(gè)足球應(yīng)有白色正六邊形皮子多少塊?答案與解析：①黑色皮子的總邊數(shù)是多少?5×12=60(條)

②白色皮子的總邊數(shù)是多少：60×2=120(條)

③白色皮子的塊數(shù)有多少：120÷6=20(塊)

答案：20塊41.有1996個(gè)棋子，兩人輪流取子，每次允許取其中的2個(gè)、4個(gè)或8個(gè)，誰最后取完棋子，就算獲勝。那么先取的人為保證獲勝，第一次應(yīng)取幾個(gè)棋子?答案：4個(gè)。分析：本題我們需要去找“必勝數(shù)”。因?yàn)槠遄拥目倲?shù)是偶數(shù)，并且每次取的個(gè)數(shù)也是偶數(shù)，所以每次剩下的棋子的個(gè)數(shù)也一定是偶數(shù)。如果先取的人取到某一次后，還剩下2個(gè)、4個(gè)或者8個(gè)棋子的話，無疑是別人獲勝了。那如果恰好只剩下6個(gè)呢?無論別人怎么取，都可以保證自己獲勝?？磥?是一個(gè)必勝數(shù)。我們繼續(xù)往上找，不難發(fā)現(xiàn)，凡是6的倍數(shù)就一定是必勝數(shù)。1996÷6=332……4所以想保證獲勝，先取的人應(yīng)該先取4個(gè)棋子。詳解先取的人先取4個(gè)棋子。如果后取的人取2個(gè)或者8個(gè)棋子的話，他就取4個(gè)棋子;如果后取的人取4個(gè)棋子的話，他就取2個(gè)或者8個(gè)棋子。這樣就能保證在自己取完后，棋子的個(gè)數(shù)是6的倍數(shù)，確保了自己的獲勝。42.某個(gè)自然數(shù)的個(gè)位數(shù)字是4，將這個(gè)4移到左邊首位數(shù)字的前面，所構(gòu)成的新數(shù)恰好是原數(shù)的4倍。問原數(shù)最小是多少?答案與解析：

設(shè)原來的十位數(shù)字為a，百位數(shù)字為b，千位數(shù)字為c……

那么a是新數(shù)的個(gè)位數(shù)字，由4×4=16，知a=6。

又有6×4+1=25，推出b=5。

依次類推，可以得到c=2，d=0，e=1，

這時(shí)豎式變?yōu)?02564×4=410256，

因此原數(shù)最小是：102564.

43.小木、小林、小森三人去看電影。如果用小木帶的錢去買三張電影票，還差5角5分;如果用小林帶的錢去買3張電影票，還差6角9分;如果用三個(gè)人帶去的錢去買三張電影票，就多3角。已知小森帶了3角7分，那么買一張電影票要用多少元?答案：0.39元。詳解：①小木、小林兩人帶的錢買3張電影票還差多少錢?3角7分-3角=7分。②小林帶了多少錢?5角5分-7分=4角8分。③買3張電影票需要多少錢?4角8分+6角9分=1元1角7分。④買1張電影票需要多少錢?1元1角7分÷3=0.39元。44.標(biāo)有A、B、C、D、E、F、G記號(hào)的七盞燈順次排成一行，每盞燈安裝著一個(gè)開關(guān)，現(xiàn)在A、C、D、G四盞燈亮著，其余三盞燈是滅的。小方先拉一下A的開關(guān)，然后拉B、C……直到G的開關(guān)各一次，接下去再按A到G的順序拉動(dòng)開關(guān)，并依此循環(huán)下去。他拉動(dòng)了1990次后，亮著的燈是哪幾盞?答案：B、C、D、G解析：小方循環(huán)地從A到G拉動(dòng)開關(guān)，一共拉了1990次。由于每一個(gè)循環(huán)拉動(dòng)了7次開關(guān)，1990÷7=284……2，故一共循環(huán)284次。然后又拉了A和B的開關(guān)一次。每次循環(huán)中A到G的開關(guān)各被拉動(dòng)一次，因此A和B的開關(guān)被拉動(dòng)248+1=285次，C到G的開關(guān)被拉動(dòng)284次。A和B的狀態(tài)會(huì)改變，而C到G的狀態(tài)不變，開始時(shí)亮著的燈為A、C、D、G，故最后A變滅而B變亮，C到G的狀態(tài)不變，亮著的燈為B、C、D、G。45.如下圖，O為三角形A1A6A12的邊A1A12上的一點(diǎn)，分別連結(jié)OA2，OA3，…OA11，這樣圖中共有_____個(gè)三角形。答案：37。解析：將△A1A6A12分解成以O(shè)A6為公共邊的兩個(gè)三角形?！鱋A1A6中共有5+4+3+2+1=15(個(gè))三角形，△OA6A12中共有6+5+4+3+2+1=21(個(gè))三角形，這樣，圖中共有15+21+1=37(個(gè))三角形。46.有一個(gè)藍(lán)精靈，住在大森林里。他每天從住地出發(fā)，到河邊提水回來。他提空桶行走的速度是每秒5米，提滿桶行走的速度是每秒3米。提一趟水，來回共需8分鐘。藍(lán)精靈的住地離河邊有多遠(yuǎn)?答案與解析：提空桶行走的速度∶提滿桶行走的速度=5∶3。從反比關(guān)系得到提空桶行走的時(shí)間∶提滿桶行走的時(shí)間=3∶5。來回一趟共計(jì)用8分鐘，剛好8=3+5，所以提空桶行走的時(shí)間=3分鐘=180秒。5×180=900(米)。藍(lán)精靈的住地到河邊的距離是走同樣長(zhǎng)的路程，所用的時(shí)間和速度成反比。47.某公司有一項(xiàng)運(yùn)動(dòng)——爬樓上班，該公司正好在xx大廈18樓辦公。一天編輯簫菲爬樓上班，她數(shù)了一下樓梯，每段有14級(jí)臺(tái)階，每層有2段。她想我每一步走一級(jí)或二級(jí)。那么我到公司走樓梯共有多少種走法呢親愛的小朋友你能幫蕭菲解決這個(gè)難題嗎

解析：如果用n表示臺(tái)階的級(jí)數(shù)，an表示某人走到第n級(jí)臺(tái)階時(shí)，所有可能不同的走法，容易得到：①當(dāng)n=1時(shí)，顯然只要1種走法，即a1=1。②當(dāng)n=2時(shí)，可以一步一級(jí)走，也可以一步走二級(jí)上樓，因此，共有2種不同的走法，即a2=2。③當(dāng)n=3時(shí)，如果第一步走一級(jí)臺(tái)階，那么還剩下二級(jí)臺(tái)階，由②可知有a2=2(種)走法。如果第一步走二級(jí)臺(tái)階，那么還剩下一級(jí)臺(tái)階，由①可知有a1=1(種)走法。根據(jù)加法原理，有a3=a1+a2=1+2=3(種)類推，有：a4=a2+a3=2+3=5(種)a5=a3+a4=3+5=8(種)a6=a4+a5=5+8=13(種)a7=a5+a6=8+13=21(種)a8=a6+a7=13+21=34(種)a9=a7+a8=21+34=55(種)a10=a8+a9=34+55=89(種)a11=a9+a10=55+89=144(種)a12=a10+a11=89+144=233(種)a13=a11+a12=144+233=377(種)a14=a12+a13=233+377=610(種)一般地，有an=an-1+an-2走一段共有610種走法。共有(18-1)×2=34(段)。共有走法：34*610=2074048.乒乓球比賽場(chǎng)地上，共有10張球桌同時(shí)進(jìn)行比賽，有單打，也有雙打，共有32名球員出場(chǎng)比賽。其中有幾桌是單打，幾桌是雙打呢?答案與解析：?jiǎn)未蛎繌埱蜃?人，雙打每張球桌4人。如果10桌全是單打，出場(chǎng)的球員將只有20人。但是現(xiàn)在有32人出場(chǎng)，多12人。每拿一桌單打換成雙打，參賽的球員多出2人。要能多出12人，應(yīng)該有6桌換成雙打。答案是：6桌雙打，4桌單打。這個(gè)單打雙打問題，按照題型來看，屬于傳統(tǒng)的雞兔同籠問題。上面所用的解法，也是雞兔同籠問題的常規(guī)解法，先假定都是同一種，然后替換。也可利用中國(guó)古代解答雞兔同籠問題時(shí)的“折半”法，算法更簡(jiǎn)單。每張球桌沿著中間的球網(wǎng)分成左右兩半，只考慮左半邊。單打的球桌左半邊站1個(gè)人，雙打的球桌左半邊站2個(gè)人。10張球桌兩邊共站32個(gè)人，左半邊共站16個(gè)人。49.一個(gè)長(zhǎng)方形，如果寬不變，長(zhǎng)增加6米，那么它的面積增加54平方米，如果長(zhǎng)不變，寬減少3米，那么它的面積減少36平方米，這個(gè)長(zhǎng)方形原來的面積是多少平方米?答案與解析：由：“寬不變，長(zhǎng)增加6米，那么它的面積增加54平方米”可知它的寬是54÷6=9(米);又由“長(zhǎng)不變，寬減少3米，那么它的面積減少了36平方米”，可知它的長(zhǎng)為：36÷3=12(米)，所以，這個(gè)長(zhǎng)方形的面積是12×9=108(平方米)。(36÷3)×(54÷9)=108(平方米50.已知兩列數(shù)：2、5、8、11、……、2+(200-1)×3;5、9、13、17、……、5+(200-1)×4。它們都是200項(xiàng)，問這兩列數(shù)中相同的項(xiàng)數(shù)共有多少對(duì)?答案與解析：易知第一個(gè)這樣的數(shù)為5，注意在第一個(gè)數(shù)列中，公差為3，第二個(gè)數(shù)列中公差為4，也就是說，第二對(duì)數(shù)減5即是3的倍數(shù)又是4的倍數(shù)，這樣所求轉(zhuǎn)換為求以5為首項(xiàng)，公差為12的等差數(shù)的項(xiàng)數(shù)，5、17、29、……，由于第一個(gè)數(shù)列最大為2+(200-1)×3=599;第二數(shù)列最大為5+(200-1)×4=801。新數(shù)列最大不能超過599，又因?yàn)?+12×49=593，5+12×50=605，所以共有50對(duì)。51有兩根同樣長(zhǎng)的繩子，第一根平均剪成5段，第二根平均剪成7段，第一根剪成的每段比第二根剪成的每段長(zhǎng)2米。問原來每根繩子長(zhǎng)多少米?

答案：35米。解析：若在第一根繩子分成的5段上每段剪掉2米，只剪去了5×2=10(米)。這時(shí)兩根繩子所分的每段長(zhǎng)都相等，段數(shù)相差為7-5=2(段)，因此第二根繩分成7段每段長(zhǎng)恰好為10÷2=5(米)。每根繩子長(zhǎng)5×7=35(米)。52.小明讀一本英語書，第一次讀時(shí)，第一天讀35頁，以后每天都比前一天多讀5頁，結(jié)果最后一天只讀了35頁便讀完了;第二次讀時(shí)，第一天讀45頁，以后每天都比前一天多讀5頁，結(jié)果最后一天只需讀40頁就可以讀完，問這本書有多少頁?解答：第一方案：35、40、45、50、55、……35第二方案：45、50、55、60、65、……40二次方案調(diào)整如下：第一方案：40、45、50、55、……35+35(第一天放到最后惶熘腥ィ/P>第二方案：40、45、50、55、……(最后一天放到第一天)這樣第二方案一定是40、45、50、55、60、65、70，共385頁。53.一個(gè)長(zhǎng)方形把平面分成兩部分，那么3個(gè)長(zhǎng)方形最多把平面分成多少部分?答案與解析：一個(gè)長(zhǎng)方形把平面分成兩部分.第二個(gè)長(zhǎng)方形的每一條邊至多把第一個(gè)長(zhǎng)方形的內(nèi)部分成2部分，這樣第一個(gè)長(zhǎng)方形的內(nèi)部至多被第二個(gè)長(zhǎng)方形分成五部分.同理，第二個(gè)長(zhǎng)方形的內(nèi)部至少被第一個(gè)長(zhǎng)方形分成五部分.這兩個(gè)長(zhǎng)方形有公共部分(如下圖，標(biāo)有數(shù)字9的部分).還有一個(gè)區(qū)域位于兩個(gè)長(zhǎng)方形外面，所以兩個(gè)長(zhǎng)方形至多把平面分成10部分.第三個(gè)長(zhǎng)方形的每一條邊至多與前兩個(gè)長(zhǎng)方形中的每一個(gè)的兩條邊相交，故第一條邊被隔成五條小線段，其中間的三條小線段中的每一條線段都把前兩個(gè)長(zhǎng)方形內(nèi)部的某一部分一分為二，所以至多增加3×4=12個(gè)部分.而第三個(gè)長(zhǎng)方形的4個(gè)頂點(diǎn)都在前兩個(gè)長(zhǎng)方形的外面，至多能增加4個(gè)部分.所以三個(gè)長(zhǎng)方形最多能將平面分成10+12+4=26.54.一個(gè)圓上有12個(gè)點(diǎn)A1，A2，A3，…，A11，A12.以它們?yōu)轫旤c(diǎn)連三角形，使每個(gè)點(diǎn)恰好是一個(gè)三角形的頂點(diǎn)，且各個(gè)三角形的邊都不相交.問共有多少種不同的連法?55.在甲、乙、丙三缸酒精溶液中，純酒精的含量分別占48%、62.5%和，已知三缸酒精溶液總量是100千克，其中甲缸酒精溶液的量等于乙、丙兩缸酒精溶液的總量.三缸溶液混合后，所含純酒精的百分?jǐn)?shù)將達(dá)56%.那么，丙缸中純酒精的量是多少千克?

設(shè)甲缸酒精的溶液量為x,

乙缸酒精的溶液量為y,

丙缸酒精的溶液量為z;根據(jù)題意：

x=y+z

又有y+z=100-x

所以x=100-x

x=50

可得方程組：

y+z=50

(50*48%+y*62.5%+2z/3)/100=56%

解方程組：y=32

z=18

丙缸中含酒精：2/3*18=12（克）56.十個(gè)盒子一共裝了45個(gè)乒乓球，每個(gè)盒子里的乒乓球數(shù)都不相同.現(xiàn)在要取出若干盒子，使剩下的乒乓球數(shù)是取出的球數(shù)的8倍，那么共有幾種不同的取法.答案與解析：十個(gè)盒子一共裝了45個(gè)乒乓球，每個(gè)盒子里的乒乓球數(shù)都不相同，那么這十個(gè)盒子只能是分別裝了0、1、2、3、4、5、6、7、8、9個(gè)乒乓球.又剩下的乒乓球數(shù)是取出的球數(shù)的8倍，那么取出了個(gè)乒乓球.5=0+5=1+4=0+1+4=0+2+3，共6種取法.57.一件衣服，第一天按原價(jià)出售，沒人來買，第二天降價(jià)20%出售，仍無人問津，第三天再降價(jià)24元，終于售出。已知售出價(jià)格恰是原價(jià)的56%，這件衣服還盈利20元，那么衣服的成本價(jià)多少錢?答案與解析：我們知道從第二天起開始降價(jià)，先降價(jià)20%然后又降價(jià)24元，最終是按原價(jià)的56%出售的，所以一共降價(jià)44%，因而第三天降價(jià)24%。24÷24%=100元。原價(jià)為100元。因?yàn)榘丛瓋r(jià)的56%出售后，還盈利20元，所以100×56%-20=36元。所以成本價(jià)為：36元。58.小明在1點(diǎn)多鐘時(shí)開始做奧數(shù)題，當(dāng)他做完題時(shí)，已經(jīng)2點(diǎn)多鐘，此時(shí)的時(shí)針和分針與開始做題時(shí)正好交換了位置，你知道小明做題時(shí)用了多長(zhǎng)時(shí)間?

答案與解析：59.一個(gè)運(yùn)輸隊(duì)運(yùn)送一批貨，第一天，運(yùn)了全部的30%，第一天和第二天運(yùn)量的比是3：2，還剩520噸沒運(yùn)走，這批貨原有多少噸?答案與解析：第一天運(yùn)送30%，第一天與第二天運(yùn)量比例是3:2，則第二天運(yùn)了20%，共計(jì)50%，剩余50%，為520噸，故總共有520*2=1040噸60.環(huán)形跑道周長(zhǎng)是500米，甲、乙兩人從起點(diǎn)按順時(shí)針方向同時(shí)出發(fā).甲每分跑120米，乙每分跑100米，兩人都是每跑200米停下休息1分.甲第一次追上乙需多少分?答案與解析：甲比乙多跑500米，應(yīng)比乙多休息2次，即2分.在甲多休息的2分內(nèi)，乙又跑了200米，所以在與甲跑步的相同時(shí)間里，甲比乙多跑500+200=700(米)，甲跑步的時(shí)間為700÷(120-100)=35(分).共跑了120×35=4200(米)，中間休息了4200÷200-1=20(次)，即20分.所以甲第一次追上乙需35+20=55(分).61.小明媽媽的商店進(jìn)了兩批水果，售出價(jià)都是96元，第一批水果熱銷，比成本價(jià)高20%賣出，第二批水果滯銷，在成本價(jià)基礎(chǔ)上降價(jià)1/5賣出，總的來說這兩批水果(填賺或賠)了多少元?答案與解析：兩批水果的進(jìn)價(jià)的和是96÷(1+20%)+96÷(1-20%)=200元，而售出價(jià)為96×2=192元。那么賠了8元錢。62.用1元，2元，5元，10元四種面值的紙幣若干張(不一定要求每種都有)，組成99元有P種方法，組成101元有種O方法，則O-P=首先把99組合分成2類：設(shè)有2元的有X種,沒2元的有Y種,顯然X+Y=P

那么101組合就有4類：X種（對(duì)應(yīng)99的X+2所以此類中101至少有2個(gè)2元）Y種（對(duì)應(yīng)99的Y+2此類中101組合只有一個(gè)2元）

Y種（對(duì)應(yīng)99的Y+1+1此類101組合不含2元其實(shí)此種至少有6個(gè)1元）

11種（只有1個(gè)1由5.10構(gòu)成100不含2元只有1個(gè)1元）

另外Y就是用1.5.10構(gòu)成99的方法,很好算,分類討論：

第一類,沒有10,5可以取0~19張,有20種；

第二類,有1個(gè)10,5可以取0~17張,有18種；

.

第十類,有9個(gè)10,5可以取0~1張,有2種.

所以Y=20+18+16+.+2=22X10÷2=110

答案就是Y+11=12163.某列車通過250米長(zhǎng)的隧道用25秒，通過210米長(zhǎng)的隧道用23秒，若該列車與另一列長(zhǎng)150米.時(shí)速為72千米的列車相遇，錯(cuò)車而過需要幾秒鐘?答案與解析：根據(jù)另一個(gè)列車每小時(shí)走72千米，所以，它的速度為：72000÷3600=20(米/秒)某列車的速度為：(250-210)÷(25-23)=40÷2=20(米/秒)某列車的車長(zhǎng)為：20×25-250=500-250=250(米)兩列車的錯(cuò)車時(shí)間為：(250+150)÷(20+20)=400÷40=10(秒)64.輪船從A城到B城需行3天，而從B城到A城需行4天.從A城放一個(gè)無動(dòng)力的木筏，它漂到B城需多少天?答案與解析：輪船順流用3天，逆流用4天，說明輪船在靜水中行4-3=1(天)，等于水流3+4=7(天)，即船速是流速的7倍.所以輪船順流行3天的路程等于水流3+3×7=24(天)的路程，即木筏從A城漂到B城需24天.65.游樂園的門票1元1張，每人限購(gòu)1張.現(xiàn)在有10個(gè)小朋友排隊(duì)購(gòu)票，其中5個(gè)小朋友只有1元的鈔票，另外5個(gè)小朋友只有2元的鈔票，售票員沒有準(zhǔn)備零錢.問有多少種排隊(duì)方法，使售票員總能找得開零錢?答案與解析：與類似題目找對(duì)應(yīng)關(guān)系.要保證售票員總能找得開零錢，必須保證每一位拿2元錢的小朋友前面的若干小朋友中，拿1元的要比拿2元的人數(shù)多，先將拿1元錢的小朋友看成是相同的，將拿2元錢的小朋友看成是相同的，可以利用斜直角三角模型.在下圖中，每條小橫線段代表1元錢的小朋友，每條小豎線段代表2元錢的小朋友，因?yàn)閺腁點(diǎn)沿格線走到B點(diǎn)，每次只能向右或向上走，無論到途中哪一點(diǎn)，只要不超過斜線，那么經(jīng)過的小橫線段都不少于小豎線段，所以本題相當(dāng)于求下圖中從A到B有多少種不同走法.使用標(biāo)數(shù)法，可求出從A到B有42種走法66.120名少先隊(duì)員選舉大隊(duì)長(zhǎng)。有甲、乙、丙三個(gè)候選人，每個(gè)少先隊(duì)員只能選他們之中一個(gè)人，不能棄權(quán)。若前100票中，甲得了45票，乙得了35票，甲要當(dāng)選至少還需要___________張選票。答案與解析：尚剩120—100=20張，甲已比乙多45-35=10張。如果20張中，甲得5張，那么乙得15張，與甲的票數(shù)持平。如果20張中甲得6張，那么乙至多得14張，甲比乙多10+6-14=2張，所以甲再得6張即可當(dāng)選。67.兔媽媽摘了15個(gè)磨菇，分裝在3個(gè)筐子里，如果不允許有空筐，共有多少種不同的裝法如果允許有空筐，共有多少種不同的裝法

答案與解析：15個(gè)蘑菇分裝在3個(gè)筐子里，要求每筐至少有一個(gè)蘑菇，也就是說把這15個(gè)蘑菇分成3堆，我們可以采用"插板法"即在這15個(gè)蘑菇之間插入2塊木板將它們隔開，而15個(gè)蘑菇之間共有14個(gè)間隔，所以只要在這14個(gè)間隔中選出2個(gè)放入板子即可。共有種放法。當(dāng)要求允許有空筐時(shí)，為了轉(zhuǎn)化為上面的情形，我們可以先"借"3個(gè)蘑菇放入這3個(gè)筐子中，這樣問題就轉(zhuǎn)化為將18個(gè)蘑菇放入3個(gè)筐子中，要求每個(gè)筐子里至少有1個(gè)蘑菇的情形。所以共有種放法。68.一個(gè)自然數(shù)被7，8，9除的余數(shù)分別是1，2，3，并且三個(gè)商數(shù)的和是570，求這個(gè)自然數(shù).答案與解析：這個(gè)數(shù)被7，8，9除的余數(shù)分別是1，2，3，所以這個(gè)數(shù)加上6后能被7，8，9整除，而[7,8,9]=504，所以這個(gè)數(shù)加上6后是504的倍數(shù).由于這個(gè)數(shù)被7，8，9除的三個(gè)商數(shù)的和是570，那么這個(gè)數(shù)加上6后被被7，8，9除的三個(gè)商數(shù)的和是570+1+1+1=573，而,所以這個(gè)數(shù)加上6等于504的3倍，這個(gè)數(shù)是504×3-6=1506.69.某數(shù)除以11余3，除以13余3，除以17余12，那么這個(gè)數(shù)的最小可能值是，最小的五位數(shù)是答案與解析：設(shè)原數(shù)為M，從M中減去3，則是11和13的公倍數(shù)，即M-3=[11,13]m，則M=143m+3，M除以17余12，即143m+312(mod17)，那么143m9(mod17)，那么7m9(mod17)，從m=1開始檢驗(yàn)，發(fā)現(xiàn)當(dāng)m=11時(shí)，M=1576滿足條件，是最小值。其他滿足條件的數(shù)肯定是在1576的基礎(chǔ)上加上11，13和17的公倍數(shù)。[11，13，17]=2431。1576+2431×3=8869<10000，1576+2431×4=11300>10000，那么11300是最小的滿足條件的五位數(shù)。70.在523后面寫出三個(gè)數(shù)字，使所得的六位數(shù)被7、8、9整除.那么這三個(gè)數(shù)字的和是多少?答案與解析：7、8、9的最小公倍數(shù)是504，所得六位數(shù)應(yīng)被504整除524000\504=1039……344，所以所得六位數(shù)是524000-344=523656，或523656-504=523152.因此三個(gè)數(shù)字的和是17或8.71.如果把1、2、3、4、5、6、7、8這八個(gè)數(shù)字分別填入下面的□中(每個(gè)數(shù)字恰用一次)，那么得出最小的差的那個(gè)算式是。答案與解析：被減數(shù)的首位應(yīng)比減數(shù)多1。減數(shù)的后三位應(yīng)盡量大，被減數(shù)的后三位應(yīng)盡量小。所以最小的算式是5123-4876。72.在1～3998這3998個(gè)自然數(shù)中，有多少個(gè)4的倍數(shù)有多少個(gè)數(shù)字和是4的倍數(shù)

答案與解析：999解析：為了方便，將0到3999這4000個(gè)整數(shù)都看成四位數(shù)abcd(不足四位數(shù)則在前面補(bǔ)零，如18=0018)，由于b,c,d各有10種數(shù)字可任意選擇，而且當(dāng)b,c,d選定后，為滿足a+b+c+d能被4整除，千位數(shù)字a必是唯一確定。(因?yàn)閍的取值范圍是0～3)事實(shí)上，若b+c+d=4k時(shí)，則a=0;若b+c+d=4k+1時(shí)，則a=3;若b+c+d=4k+2時(shí)，則a=2;若b+c+d=4k+3時(shí)，則a=1(k為整數(shù))。綜上所述，在0到3999這4000個(gè)整數(shù)中有：10×10×10=1000個(gè)數(shù)的各位數(shù)字之和能被4整除。因此，從1到3998這3998個(gè)自然數(shù)中有1000-1=999(個(gè))數(shù)的各位數(shù)字之和能被4整除。73.甲、乙兩人分別以每小時(shí)6千米和每小時(shí)4千米的速度從相距30千米的兩地向?qū)Ψ降某霭l(fā)地前進(jìn).當(dāng)兩人之間的距離是10千米時(shí)，他們走了________小時(shí).答案與解析：本題有兩種情況，一種是甲、乙兩人還未相遇過，此時(shí)兩人一共走了30-10=20(千米)，另一種是甲、乙兩人相遇過后繼續(xù)向前走到相距10千米，一共走了30+10=40(千米)，所以有兩種答案：(30-10)\(6+4)=2(小時(shí));或(30+10)\(6+4)=4(小時(shí)).74.兩地相距900米，甲、乙二人同時(shí)、同地向同一方向行走，甲每分鐘走80米，乙每分鐘走100米，當(dāng)乙到達(dá)目標(biāo)后，立即返回，與甲相遇，從出發(fā)到相遇共經(jīng)過多少分鐘?答案與解析：甲、乙二人開始是同向行走，乙走得快，先到達(dá)目標(biāo).當(dāng)乙返回時(shí)運(yùn)動(dòng)的方向變成了相向而行，把相同方向行走時(shí)乙用的時(shí)間和返回時(shí)相向而行的時(shí)間相加，就是共同經(jīng)過的時(shí)間.乙到達(dá)目標(biāo)時(shí)所用時(shí)間：900100=9(分鐘)，甲9分鐘走的路程：80*9=720(米)，甲距目標(biāo)還有900-720=180(米)，相遇時(shí)間：180(100+80)=1(分鐘)，共用時(shí)間：9+1=10(分鐘).另解：觀察整個(gè)行程，相當(dāng)于乙走了一個(gè)全程，又與甲合走了一個(gè)全程，所以兩個(gè)人共走了兩個(gè)全程，所以從出發(fā)到相遇用的時(shí)間為：900*2(100+80)=10分鐘.75.用一批紙裝訂一種練習(xí)本.如果已裝訂120本，剩下的紙是這批紙的40%;如果裝訂了185本，則還剩下1350張紙.這批紙一共有多少?gòu)?答案與解析：方法一：120本對(duì)應(yīng)(1-40%=)60%的總量，那么總量為120÷60%=200本.當(dāng)裝訂了185本時(shí)，還剩下200-185：15本未裝訂，對(duì)應(yīng)為1350張，所以每本需紙張：1350÷15=90張，那么200本需200×90=18000張.即這批紙共有18000張.方法二：裝訂120本，剩下40%的紙，即用了60%的紙.那么裝訂185本，需用185×(60%÷120)=92.5%的紙，即剩下1-92.5%=7.5%的紙，為1350張.所以這批紙共有1350÷7.5%=18000張.76.把123，124，125三個(gè)數(shù)分別寫在下圖所示的A，B，C三個(gè)小圓圈中，然后按下面的規(guī)則修改這三個(gè)數(shù)。第一步，把B中的數(shù)改成A中的數(shù)與B中的數(shù)之和;第二步，把C中的數(shù)改成B中(已改過)的數(shù)與C中的數(shù)之和;第三步，把A中的數(shù)改成C中(已改過)的數(shù)與A中的數(shù)之和;再回到第一步，循環(huán)做下去。如果在某一步做完之后，A，B，C中的數(shù)都變成了奇數(shù)，則停止運(yùn)算。為了盡可能多運(yùn)算幾步，那么124應(yīng)填在哪個(gè)圓圈中?答案與解析：當(dāng)124在A中時(shí)，每次運(yùn)算后的狀態(tài)分別為：偶奇奇—偶奇奇—偶奇偶—偶奇偶—偶奇偶—偶奇奇—偶奇奇，需6步完成操作。當(dāng)124在B中時(shí)，第一次后，B中的數(shù)字為偶數(shù)+奇數(shù)=奇數(shù)，而A、C也是奇數(shù)，運(yùn)算完畢。當(dāng)124在C中，開始狀態(tài)為奇奇偶，然后變?yōu)槠媾寂肌媾寂肌媾寂肌嫫媾肌嫫嫫?，?步操作。所以124在A中時(shí)，運(yùn)算的次數(shù)最多。77.1995的數(shù)字和是1+9+9+5=24，問：小于2000的四位數(shù)中數(shù)字和等于26的數(shù)共有多少個(gè)?答案與解析：小于2000的四位數(shù)千位數(shù)字是1，要它數(shù)字和為26，只需其余三位數(shù)字和是25.因?yàn)槭?、個(gè)位數(shù)字和最多為9+9=18，因此，百位數(shù)字至少是7.于是百位為7時(shí)，只有1799，一個(gè);百位為8時(shí)，只有1889，1898，二個(gè);百位為9時(shí)，只有1979，1997，1988，三個(gè);總計(jì)共1+2+3=6個(gè).78.有20堆石子，每堆都有2006粒石子.從任意19堆中各取一粒放入另一堆，稱為一次操作.經(jīng)過不足20次操作后，某一堆中有石子1990粒，另一堆石子數(shù)在2080到2100之間.這一堆石子有()粒。答案與解析：根據(jù)題意可以得出，某一堆石子，如果被取一次，則數(shù)量減少1，如果被放入一次，則數(shù)量增加19。考慮有1990粒石子的那一堆，如果至少一次被放，則最多19次被取，最后石子數(shù)肯定不少于原來的2006粒。則該石子一次也沒被放入過，則總共操作了16次。由于另一堆石子數(shù)在2008與2100之間，則只被放入過5次，被取11次，剩下石子19×5-11+2006=2090粒。79.乒乓球從高空落下，到達(dá)地面后彈起的高度是落下高度的一半，如果乒乓球從米的高度落下，彈起后再落下，則彈起第次時(shí)它的彈起高度不足1米。答案與解析：第一次4米，第二次2米，第三次4米，第四次0.5米。四次時(shí)不足4米。80.有一類自然數(shù)，從第三個(gè)數(shù)字開始，每個(gè)數(shù)字都恰好是它前面兩個(gè)數(shù)字之和，如257、1459等等，這類數(shù)中最大的自然數(shù)是答案與解析：要想使自然數(shù)盡量大，數(shù)位就要盡量多，所以數(shù)位高的數(shù)值應(yīng)盡量小，故10112358滿足條件81.在300米長(zhǎng)的環(huán)形跑道上，甲乙兩個(gè)人同時(shí)同向并排起跑，甲平均速度是每秒5米，乙平均速度是每秒4.4米，兩人起跑后的第一次相遇在起跑線前幾米?答案與解析：答案為100米300÷(5-4.4)=500秒，表示追及時(shí)間5×500=2500米，表示甲追到乙時(shí)所行的路程2500÷300=8圈……100米，表示甲追及總路程為8圈還多100米，就是在原來起跑線的前方100米處相遇。82.圖書館內(nèi)有兩人桌、三人桌和四人桌共五十多張，其中兩人桌的數(shù)量為四人桌數(shù)量的2倍.這天除了某張桌子坐滿外，其它兩人桌每桌都只坐1人，三人桌每桌都只坐2人，四人桌每桌都只坐3人，且恰好平均每11人占用17個(gè)座位.請(qǐng)問：圖書館兩人桌、三人桌、四人桌分別有多少?gòu)?答案與解析：83.號(hào)樓住著四個(gè)女孩和兩個(gè)男孩，他們的年齡各不相同，最大的10歲，最小的4歲，最大的女孩比最小的男孩大4歲，最大的男孩比最小的女孩也大4歲，求最大的男孩的歲數(shù).答案與解析：假設(shè)最小的男孩4歲，那么最大的女孩有4+4=8(歲)，四個(gè)女孩年齡都不同，最小的女孩應(yīng)是5歲，那么最大的男孩為5+4=9(歲)，與題目說最大的孩子10歲矛盾.所以假設(shè)不成立.再假設(shè)最小的女孩4歲，那么最大的男孩為4+4=8歲，最大的女孩10歲，最小的男孩10-4=6歲，符合題意.所以最大男孩是8歲。84.在射箭運(yùn)動(dòng)中，每射一箭得到的環(huán)數(shù)都是不超過10的自然數(shù).甲、乙兩名運(yùn)動(dòng)員各射了5箭，每人5箭得到的環(huán)數(shù)的積都是1764，但是甲的總環(huán)數(shù)比乙少4環(huán).求甲、乙各自的總環(huán)數(shù).答案與解析：1764=22×33×72因?yàn)榄h(huán)數(shù)≤10，所以比有2箭分別是7環(huán)其他三環(huán)的積為：22×32=4×3×3=6×3×2=6×6×1=9×2×2=9×4×1這三環(huán)數(shù)和分別為10，11，13，13，14環(huán)因?yàn)榧椎目偔h(huán)數(shù)比乙少4環(huán)所以三環(huán)數(shù)和只能甲為14，乙為10所以甲的總環(huán)數(shù)為14+14=28(即7、7、9、4、1)乙的總環(huán)數(shù)為10+14=24(即7、7、4、3、3)85.975×935×972×□，要使這個(gè)連乘積的最后4個(gè)數(shù)字都是0，方框內(nèi)最小應(yīng)填什么數(shù)?975=5×5×39，935=5×187，972=2×2×243，

前三個(gè)數(shù)中共有3個(gè)“5”和2個(gè)“2”，要使這個(gè)連乘積的最后四個(gè)數(shù)字都是“0”，

還缺少一個(gè)5和兩個(gè)2，

所以括號(hào)中應(yīng)填的數(shù)是：2×2×5=20．

故答案為：20．86.甲乙兩班共90人，甲班比乙班人數(shù)的2倍少30人，求兩班各有多少人?設(shè)甲班X人,乙班Y人

1）X+Y=90;即X=90-Y;

2）X=2*Y-30;

所以90-Y=2*Y-30;3Y=120;Y=40;X=50;

甲班50人,乙班40人.87.星期天，一家三口人上街走走，在路上忽然想起要買點(diǎn)東西。爸爸拿出票夾，媽媽取出錢包，各人查看自己帶了多少錢。結(jié)果，兩人隨身帶的錢數(shù)加起來，共有172元。在百貨商店里，爸爸買了一雙皮涼鞋，用去他票夾里錢數(shù)的九分之四。媽媽買了一件衣服，付出了32元。跟在身后的兒子，伸出左手拉住爸爸，伸出右手拉住媽媽，說：“現(xiàn)在爸爸的錢和媽媽的錢一樣多了！”剛出家門時(shí)，爸爸和媽媽身邊各有多少錢呢？解：設(shè)在剛出家門時(shí)，爸爸身邊有x元，那么媽媽有(172-x)元。依題意得方程

變形，得到所以，x=90(元)，172-x=82(元)。由此可見，從家里出來，爸爸身邊有90元，媽媽有82元。買鞋時(shí)，爸爸付出40元；買衣服時(shí)，媽媽付出32元。結(jié)果兩人身邊都剩下50元，恰好相等。88.一千克商品隨季節(jié)變化降價(jià)出售，如果按現(xiàn)價(jià)降價(jià)10%，仍可獲利180元，如果降價(jià)20%就要虧損240元，這種商品的進(jìn)價(jià)是多少元?把現(xiàn)價(jià)看作單位“1”.

設(shè)：這件商品的現(xiàn)價(jià)是x元.

（1-10%）x-180=(1-20%)x+240

0.9x-180=0.8x+240

0.1x=420

x=4200

這件商品的進(jìn)價(jià)是:4200×（1-10%）-180=3600（元）89.學(xué)校組織軍訓(xùn)，甲、乙、丙三人步行從學(xué)校到軍訓(xùn)駐地.甲、乙兩人早晨7點(diǎn)一起從學(xué)校出發(fā)，甲每小時(shí)走6千米，乙每小時(shí)走5千米，丙上午9點(diǎn)才從學(xué)校出發(fā)，下午5點(diǎn)甲、丙同時(shí)到達(dá)軍訓(xùn)駐地.問：丙在何時(shí)追上乙?先看丙和甲的追及問題，追及路程為甲走9-7=2(小時(shí))的路程，為：6*2=12(千米)，追及時(shí)間為上午9點(diǎn)到下午5點(diǎn)，共17-9=8(小時(shí))，所以丙的速度