測(cè)量誤差與數(shù)據(jù)處理正規(guī)版資料

測(cè)量誤差與數(shù)據(jù)處理第一頁(yè)，共36頁(yè)。2.測(cè)量(cèliáng)的誤差誤差:測(cè)量值(x)與真值(X)之差,用表示

又稱絕對(duì)誤差相對(duì)誤差：絕對(duì)誤差與真值的比，用表示，即測(cè)量的誤差按產(chǎn)生的原因(yuányīn)和性質(zhì)分為兩類：系統(tǒng)誤差，隨機(jī)〔偶然(ǒurán)〕誤差等精度測(cè)量—在同一條件下，對(duì)同一物理量的屢次測(cè)量稱為等精度測(cè)量.假設(shè)測(cè)量條件發(fā)生變化那么為不等精度測(cè)量。我們所討論的測(cè)量均為等精度測(cè)量.第二頁(yè)，共36頁(yè)。合成(héchéng)不確定度與相對(duì)不確定度最后的測(cè)量結(jié)果只能保存一位可疑數(shù)字(shùzì)，不確定度只保存一位有效數(shù)字(shùzì)。系統(tǒng)誤差：公式與定律(dìnglǜ)不嚴(yán)格；第二十八頁(yè)，共36頁(yè)。將等間距測(cè)量的n(為偶數(shù))個(gè)數(shù)據(jù)分表2-2常用(chánɡyònɡ)函數(shù)的不確定度傳遞公式假設(shè)未注明儀器誤差限或儀器誤差限不清楚，那么按如表示在[]范圍內(nèi)包含真如1：為和差關(guān)系到或時(shí)，取四位有效數(shù)字；例2-2（P14）用螺旋測(cè)微計(jì)測(cè)圓柱體的體積，其直徑的算術(shù)平均值，的合成不確定度為第三十五頁(yè)，共36頁(yè)。當(dāng)自變量等間距變化(biànhuà)時(shí)，常采用逐差法處理數(shù)據(jù)。偏差是在有限次測(cè)量的情況下，用算術(shù)平均值代替真值計(jì)算出現(xiàn)的誤差。表2-2常用(chánɡyònɡ)函數(shù)的不確定度傳遞公式系統(tǒng)誤差：公式與定律(dìnglǜ)不嚴(yán)格；系統(tǒng)誤差：公式與定律(dìnglǜ)不嚴(yán)格；儀器本身的缺陷；實(shí)驗(yàn)者自身的不良習(xí)慣等原因而產(chǎn)生的誤差。隨機(jī)〔偶然〕誤差(wùchā)：由許多不穩(wěn)定的偶然因素產(chǎn)生的誤差(wùchā)。在測(cè)量次數(shù)足夠多的情況下，隨機(jī)誤差服從一定的統(tǒng)計(jì)規(guī)律(guīlǜ),測(cè)量結(jié)果總是在真值附近。二.誤差的處理1.系統(tǒng)誤差的處理可以通過(guò)修訂公式或定律，改進(jìn)儀器，糾正不良習(xí)慣等來(lái)消除或減小系統(tǒng)誤差

例如，測(cè)量環(huán)境溫度、氣壓的偶然變化，電流或電壓的起伏波動(dòng)等因素。

有測(cè)量就會(huì)有誤差存在，要測(cè)量的準(zhǔn)確，就需要減少或消除測(cè)量誤差。第三頁(yè)，共36頁(yè)。1〕隨機(jī)誤差的統(tǒng)計(jì)(tǒngjì)規(guī)律理論與實(shí)踐均說(shuō)明一組等精度測(cè)量數(shù)據(jù)的隨機(jī)誤差服從一定的統(tǒng)計(jì)規(guī)律，最常見(jiàn)(chánɡjiàn)的統(tǒng)計(jì)規(guī)律是正態(tài)〔高斯〕分布。如下圖：橫坐標(biāo)為，縱坐標(biāo)為誤差出現(xiàn)的概率密度。為測(cè)量列的標(biāo)準(zhǔn)誤差。圖中陰影部分的面積是測(cè)量列中的任意測(cè)量值落在區(qū)間中的概率，其值的大小為68.3%。2.隨機(jī)誤差的處理(chǔlǐ)第四頁(yè)，共36頁(yè)。上面的是測(cè)量次數(shù)為無(wú)限次時(shí)的標(biāo)準(zhǔn)誤差公式。由于實(shí)際測(cè)量中，測(cè)量次數(shù)只能是有限次，而且被測(cè)量的真值也不可能準(zhǔn)確知道，因此這一標(biāo)準(zhǔn)誤差公式只具有理論意義。2〕隨機(jī)誤差的實(shí)際(shíjì)估算設(shè)在一組測(cè)量中，n次測(cè)量的測(cè)量值分別為，其真值的最佳估計(jì)值是它們的算術(shù)平均值，即從統(tǒng)計(jì)意義來(lái)說(shuō)，算術(shù)(suànshù)平均值最接近真值。各次測(cè)量值xi與算術(shù)平均值之差稱為該次測(cè)量的偏差（或殘差），即第五頁(yè)，共36頁(yè)。尾數(shù)(wěishù)小于5那么舍，大于5那么入，等于5時(shí)那么加將尾數(shù)(wěishù)湊用單擺測(cè)量重力加速度，可應(yīng)用式測(cè)出g，有效數(shù)字的運(yùn)算法那么規(guī)定如下：量稱為等精度測(cè)量.有效數(shù)字尾數(shù)的取舍(qǔshě)法那么彈簧受力伸長(zhǎng)(shēnchánɡ)的測(cè)量數(shù)據(jù)已知，注意(zhùyì)：a.第二十五頁(yè)，共36頁(yè)。02mm,其；電壓的起伏波動(dòng)等因素。單次測(cè)量(cèliáng)的不確定度A類分量uA彈簧受力伸長(zhǎng)(shēnchánɡ)的測(cè)量數(shù)據(jù)解：小球的直徑算術(shù)平均值為時(shí)，那么積的有效數(shù)字多保存一位〔例2-6〕；偏差是在有限次測(cè)量的情況下，用算術(shù)平均值代替真值計(jì)算出現(xiàn)的誤差。誤差與偏差不同，標(biāo)準(zhǔn)誤差多用于理論(lǐlùn)分析，而實(shí)際的誤差估算那么使用偏差。由于可知，而（）不可知，因此只能用偏差代替誤差計(jì)算，測(cè)量列標(biāo)準(zhǔn)誤差的估計(jì)值稱為標(biāo)準(zhǔn)偏差，用S表示，即—稱為(chēnɡwéi)貝塞爾公式S表示測(cè)量(cèliáng)列中各測(cè)量(cèliáng)值所對(duì)應(yīng)的標(biāo)準(zhǔn)偏差。注:可以證明，測(cè)量次數(shù)時(shí)，有第六頁(yè)，共36頁(yè)。3）算術(shù)平均值的標(biāo)準(zhǔn)偏差從統(tǒng)計(jì)意義來(lái)說(shuō)，算術(shù)平均值比每一測(cè)量值更接近真值，可以證明的標(biāo)準(zhǔn)偏差為

表示在[]范圍內(nèi)包含真值X的概率為68.3%。將作為測(cè)量結(jié)果隨機(jī)誤差的估算式。第七頁(yè)，共36頁(yè)?！?-2測(cè)量不確定(quèdìng)度簡(jiǎn)介測(cè)量不但(bùdàn)要得到被測(cè)量的最正確估計(jì)值，而且要對(duì)其可靠性作出評(píng)價(jià)。不確定度是與測(cè)量結(jié)果聯(lián)系在一起的一種參數(shù)，用來(lái)表示因測(cè)量誤差的存在而對(duì)測(cè)量結(jié)果不能肯定的程度。任何測(cè)量結(jié)果都存在著不確定度，因此對(duì)一個(gè)測(cè)量結(jié)果來(lái)說(shuō)，不僅要指出其測(cè)量值的大小，還要指出其測(cè)量結(jié)果的不確定度，以表示測(cè)量結(jié)果的可信賴程度。不確定度小，測(cè)量結(jié)果可信賴程度高；不確定度大，測(cè)量結(jié)果可信賴程度低。不確定(quèdìng)度——是指被測(cè)量的真值以一定的概率落在某一量值范圍的綜合誤差指標(biāo)。測(cè)量不確定度的意思為測(cè)量結(jié)果的可疑程度,反映測(cè)量平均值附近的一個(gè)范圍，真值以一定的概率落在其中。第八頁(yè)，共36頁(yè)。誤差與不確定度的區(qū)別：誤差定義為測(cè)量值與真值之差，真值不可知，那么誤差也就無(wú)法知道。雖然通過(guò)估算，可以得到標(biāo)準(zhǔn)偏差等量，但它們并不能表示測(cè)量結(jié)果(jiēguǒ)誤差數(shù)值的大小，只是表示測(cè)量結(jié)果(jiēguǒ)的不確定性，與誤差的定義不同。不確定度是可觀測(cè)量，誤差是不可觀測(cè)量。一.測(cè)量(cèliáng)不確定度的分類測(cè)量(cèliáng)不確定度按評(píng)定方法的不同分為兩大類1.不確定度A類分量uA但凡可以通過(guò)統(tǒng)計(jì)方法計(jì)算的不確定度稱為A類不確定度，用uA表示。第九頁(yè)，共36頁(yè)。在物理(wùlǐ)實(shí)驗(yàn)中約定A類不確定度取平均值的實(shí)驗(yàn)標(biāo)準(zhǔn)偏差，即2.不確定(quèdìng)度B類分量uB但凡不能通過(guò)統(tǒng)計(jì)方法計(jì)算，只能通過(guò)其他方法估算的的不確定(quèdìng)度稱為B類不確定(quèdìng)度，用uB表示。在物理實(shí)驗(yàn)中約定B類不確定度是將測(cè)量?jī)x器的誤差限折合成等價(jià)的標(biāo)準(zhǔn)偏差。儀器的誤差限一般在儀器的說(shuō)明書(shū)中注明（見(jiàn)P12.表2-1），并約定儀器誤差均勻分布，則儀器的B類不確定度uB為第十頁(yè)，共36頁(yè)。儀器的誤差限在儀器出廠時(shí)會(huì)在檢定書(shū)或儀器中通過(guò)兩種方式注明：（1）在儀器上直接標(biāo)出或用準(zhǔn)確度表示。如50分度的游標(biāo)卡尺的分度值為0.02mm,其；（2）給出儀器的準(zhǔn)確度級(jí)別，然后算出。如常用電學(xué)指針式儀表所用量程為A,準(zhǔn)確度等級(jí)為K，則例如，0.5級(jí)mA表的量程為10mA時(shí)，儀器的誤差限為假設(shè)未注明儀器誤差限或儀器誤差限不清楚，那么按如下規(guī)定：能連續(xù)讀數(shù)(dúshù)〔可對(duì)最小分度下一位進(jìn)行估計(jì)〕，取最小分度的一半作為儀器的誤差限，如米尺、讀數(shù)(dúshù)顯微鏡等；不能連續(xù)讀數(shù)(dúshù)或指針跳躍式移動(dòng)的儀器，其最小分度為儀器誤差限，如機(jī)械秒表、數(shù)字儀表等。第十一頁(yè)，共36頁(yè)。儀器備注米尺（最小刻度1mm）0.5mm游標(biāo)卡尺（20，50分度）最小分度值（0.05mm，0.02mm）螺旋測(cè)微計(jì)（0-50mm）0.004mm物理天平（0.1g）0.05g各類數(shù)字儀表儀器最小讀數(shù)分光計(jì)最小分度值（）電磁儀表（指針式）（AK）%A-量程，K-等級(jí)表2-1儀器誤差限（正確使用儀器）第十二頁(yè)，共36頁(yè)。二.合成(héchéng)不確定度與相對(duì)不確定度為了正確反映測(cè)量的不確定度，不能簡(jiǎn)單的將uA和uB代數(shù)相加，最合理的合成誤差(wùchā)的方法是“方和根〞合成法。若兩類不確定度各分量uA1，uA2，uAi，…uB1

，uB2

，uBi…彼此獨(dú)立，則測(cè)量結(jié)果的合成不確定度uC為相對(duì)(xiāngduì)不確定度為即相對(duì)不確定度=合成不確定度/被測(cè)量的算術(shù)平均值第十三頁(yè)，共36頁(yè)。三.直接(zhíjiē)測(cè)量的不確定度1.單次測(cè)量(cèliáng)的不確定度A類分量uA單次測(cè)量時(shí)，不存在不確定度A類分量。所以單次測(cè)量的合成不確定度就是不確定度B類分量uB2.屢次(lǚcì)測(cè)量的不確定度在多次等精度測(cè)量的條件下，合成不確定度由不確定度A類分量uA和不確定度B類分量uB的方和根給出，即式中第十四頁(yè)，共36頁(yè)。例2-1用螺旋測(cè)微計(jì)測(cè)小球的直徑(zhíjìng)，5次測(cè)量值分別為5.499mm，5.500mm，5.499mm，5.498mm，5.498mm，求其合成不確定度。解：小球的直徑算術(shù)平均值為第十五頁(yè)，共36頁(yè)。三.間接測(cè)量的不確定(quèdìng)度間接測(cè)量(cèliáng)的算術(shù)平均值與合成不確定度由直接測(cè)量(cèliáng)結(jié)果通過(guò)函數(shù)式計(jì)算得出。設(shè)間接測(cè)量量的函數(shù)式為其中則間接測(cè)量量N的算術(shù)平均值為間接測(cè)量量N的合成不確定度為第十六頁(yè)，共36頁(yè)。若間接測(cè)量量的函數(shù)式以和差運(yùn)算為主，則先計(jì)算方便；若以乘除運(yùn)算為主，則先計(jì)算Er方便.間接測(cè)量量的相對(duì)不確定度為如1：為和差關(guān)系解：第十七頁(yè)，共36頁(yè)。如2：為乘除關(guān)系解：對(duì)兩邊取對(duì)數(shù)，得第十八頁(yè)，共36頁(yè)。例2-2（P14）用螺旋測(cè)微計(jì)測(cè)圓柱體的體積，其直徑的算術(shù)平均值，的合成不確定度為，高度的算術(shù)平均值為的不確定度，求體積的合成不確定度。解：函數(shù)關(guān)系為，則有第十九頁(yè)，共36頁(yè)。函數(shù)式不確定度傳遞公式表2-2常用(chánɡyònɡ)函數(shù)的不確定度傳遞公式第二十頁(yè)，共36頁(yè)?！?-3有效數(shù)字(yǒuxiàoshùzì)運(yùn)算及其運(yùn)算法那么任何物理量的測(cè)量都存在誤差，所以表示測(cè)量值數(shù)值的位數(shù)不能任意取位，應(yīng)該能正確的反映測(cè)量精度。而數(shù)值計(jì)算都有一定的近似性，這就要求(yāoqiú)計(jì)算的準(zhǔn)確性既不需要超過(guò)測(cè)量的準(zhǔn)確性，但也不能使測(cè)量的準(zhǔn)確性受到損害。計(jì)算的準(zhǔn)確性與測(cè)量的準(zhǔn)確性必須相適應(yīng)。一.有效數(shù)字的根本(gēnběn)概念有效數(shù)字定義：能正確有效的表示測(cè)量和實(shí)驗(yàn)結(jié)果的數(shù)字，稱為有效數(shù)字。有效數(shù)字由可靠的幾位數(shù)字加上一位可疑數(shù)字組成，即由儀器最小分度以上的假設(shè)干位的準(zhǔn)確數(shù)值〔可靠數(shù)字〕與最小分度的下一位估讀數(shù)值〔可疑數(shù)字〕構(gòu)成。有效數(shù)字的最后一位雖然是可疑的有誤差的，但在一定程度上反映了客觀實(shí)際，因此是有效的。第二十一頁(yè)，共36頁(yè)。例如用毫米尺測(cè)量物體長(zhǎng)度。如圖讀出的數(shù)值為3.59cm,其中前兩位3.5cm是由尺上準(zhǔn)確讀出的，是可靠數(shù)字(shùzì)，最后一位0.09cm是在最小分度間估計(jì)出的，因此存在有誤差，是可疑數(shù)字(shùzì)。注意(zhùyì)：有效數(shù)字(shùzì)當(dāng)中和數(shù)字(shùzì)后面的“0〞都是有效數(shù)字(shùzì)，但數(shù)字(shùzì)前面的“0〞不記為有效數(shù)字(shùzì)。如，0.026010位5位有效數(shù)字(shùzì)；20.0401為6位有效數(shù)字(shùzì)1〕數(shù)字當(dāng)中和數(shù)字后面的“0〞都是有效數(shù)字2）有效數(shù)字的位數(shù)與小數(shù)點(diǎn)及單位換算無(wú)關(guān)第二十二頁(yè)，共36頁(yè)。二.有效數(shù)字尾數(shù)的取舍(qǔshě)法那么有效數(shù)字尾數(shù)(wěishù)的取舍法那么為“四舍六入五湊偶〞，即尾數(shù)(wěishù)小于5那么舍，大于5那么入，等于5時(shí)那么加將尾數(shù)(wěishù)湊成偶數(shù)如4.8554取4位有效數(shù)字(yǒuxiàoshùzì)為4.855；取3位有效數(shù)字為4.86；取2位有效數(shù)字(yǒuxiàoshùzì)為4.8。作為最后測(cè)量結(jié)果的不確定度一般只保存一位有效數(shù)字，“只進(jìn)不舍〞〔非零即進(jìn)〕。如uC=0.41cm,應(yīng)保存為uC=0.5cm。45.4，45.36，45.365，45.365445.365354在取3位、4位、5位和6位有效數(shù)字時(shí)的結(jié)果分別為第二十三頁(yè)，共36頁(yè)。三.有效數(shù)字(yǒuxiàoshùzì)的運(yùn)算法那么物理實(shí)驗(yàn)中的測(cè)量(cèliáng)大多是間接測(cè)量(cèliáng)，因此需要經(jīng)過(guò)一系列有效數(shù)字的運(yùn)算才能得到測(cè)量(cèliáng)結(jié)果。有效數(shù)字的運(yùn)算法那么規(guī)定如下：1.加減法諸數(shù)相加減時(shí)，所得結(jié)果的有效數(shù)字按最高可疑位保留。[即最少位數(shù)]例2-3例2-42.乘除法兩數(shù)相乘除時(shí)，所得結(jié)果有效數(shù)字的位數(shù)按最少的保留。例2-5例2-6第二十四頁(yè)，共36頁(yè)。例2-7例2-83.乘方與開(kāi)方所得結(jié)果有效數(shù)字的位數(shù)與底數(shù)相同。如：4.函數(shù)(hánshù)運(yùn)算1〕對(duì)數(shù)所得結(jié)果中尾數(shù)有效數(shù)字(yǒuxiàoshùzì)[即小數(shù)點(diǎn)后面的數(shù)]的位數(shù)與真數(shù)的位數(shù)相同。如：注意(zhùyì)：a.兩數(shù)相乘，假設(shè)兩數(shù)最高位的積大于或等于10時(shí)，那么積的有效數(shù)字多保存一位〔例2-6〕；b.兩數(shù)相除時(shí)，假設(shè)被除數(shù)有效數(shù)字的位數(shù)小于或等于除數(shù)有效數(shù)字的位數(shù)，且其最高位的數(shù)小于除數(shù)最高位的數(shù)，那么商的有效數(shù)字應(yīng)比被除數(shù)少一位〔例2-8〕。第二十五頁(yè)，共36頁(yè)。5.常數(shù)有效數(shù)字的位數(shù)為無(wú)限位等常數(shù)的有效數(shù)字的位數(shù)根據(jù)具體問(wèn)題適當(dāng)選取，一般比測(cè)量值多保留一位。如：2〕指數(shù)(zhǐshù)所得結(jié)果有效數(shù)字的位數(shù)與指數(shù)(zhǐshù)小數(shù)點(diǎn)后的位數(shù)相同。如：3）三角函數(shù)所得結(jié)果有效數(shù)字的位數(shù)由角度決定。當(dāng)角度精確到或時(shí)，取四位有效數(shù)字；當(dāng)角度精確到時(shí)，取五位有效數(shù)字。第二十六頁(yè)，共36頁(yè)?！?-4實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)處理的根本(gēnběn)方法常用的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)處理方法主要(zhǔyào)有列表法、圖示法、圖解法、逐差法等。一.列表(lièbiǎo)法二.圖示法和圖解法1.圖示法2.圖解法由直線方程，有斜率為截距為第二十七頁(yè)，共36頁(yè)。三.逐差法當(dāng)自變量等間距變化(biànhuà)時(shí)，常采用逐差法處理數(shù)據(jù)。根本思想是將實(shí)驗(yàn)測(cè)得的等間距變化(biànhuà)的數(shù)據(jù)分為兩組，相對(duì)應(yīng)項(xiàng)逐項(xiàng)相減后，再求所有逐差量的算術(shù)平均值。1.應(yīng)用(yìngyòng)逐差法的條件：1）自變量x等間距變化；2）被測(cè)量y的函數(shù)形式為x的多項(xiàng)式，即2.應(yīng)用方法將等間距測(cè)量的n(為偶數(shù))個(gè)數(shù)據(jù)分成前后兩組，即和第二十八頁(yè)，共36頁(yè)。然后對(duì)應(yīng)項(xiàng)相減得出逐差量，即則逐差量的算術(shù)平均值為例.用受力拉伸法測(cè)彈簧的勁度系數(shù)k.已知彈性限度內(nèi)伸長(zhǎng)量x與拉力F滿足F=kx關(guān)系。現(xiàn)等間距的改變拉力（），測(cè)得一組數(shù)據(jù)如下第二十九頁(yè)，共36頁(yè)。表2-5.彈簧受力伸長(zhǎng)(shēnchánɡ)的測(cè)量數(shù)據(jù)次數(shù)拉力F(10-3N)伸長(zhǎng)x(10-2m)100.0021.5033.0244.5056.0167.5079.00810.50第三十頁(yè)，共36頁(yè)。1)驗(yàn)證與的線性關(guān)系，即驗(yàn)證條件（1）按逐項(xiàng)相減分別得出1.50，1.52，1.48，1.51，1.49，1.50，1.50（10-2m）?？膳袛喑龌鞠嗟?，與為線性關(guān)系。2〕用逐差法求彈簧(tánhuáng)的勁度系數(shù)k將實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)分成前組（x4,x3,x2,x1）和后組（x8,x7,x6,x5）,對(duì)應(yīng)項(xiàng)相減后求平均值