湘教版高中數(shù)學(xué)必修四知識(shí)點(diǎn)總結(jié)

解三角形知識(shí)點(diǎn)歸納1、三角形三角關(guān)系：A+B+C=180°；C=180°—(A+B)；2、三角形三邊關(guān)系：a+b>c;a-b<c3ABsinC,cos(AB)cosC,tan(ABtanC,sin

A

Ccos

A

Csin ,

A

Ccot2 2 2 2 2 24Ca、b、c、、CRC的外a b c接圓的半徑，則有 2R．sin sin sinC5、正弦定理的變形公式：a2Rsinb2Rsinc2RsinC；a b csin

，sin ，sinC ；2R 2R 2R③a:b:csin:sin:sinC；abc④

a b c ．sinsinsinC sin sin sinC6、兩類正弦定理解三角形的問題：①已知兩角和任意一邊，求其他的兩邊及一角.②已知兩角和其中一邊的對(duì)角，求其他邊角.(對(duì)于已知兩邊和其中一邊所對(duì)的角的題型要注意解的情況（一解、兩解、三解）)7S

1bcsin1absinC1acsin．C

2 2 28、余弦定理：在C中，有a2

b2c22bccos，b2

a2c22accos，c2a2b22abcosC．9

b2c2a22bc

，cos

a2c2b22ac

，cosC

a2b2c22ab ．10、如何判斷三角形的形狀：判定三角形形狀時(shí)，可利用正余弦定理實(shí)現(xiàn)邊角轉(zhuǎn)化，統(tǒng)一成邊的形式或角的形式設(shè)a、b、c是C、、C的對(duì)邊，則：a2b2

c2，則C90oa2b2

c2，則C90o；a2b2c2，則C90o．題型之一：求解斜三角形中的基本元素指已知兩邊一角(或二角一邊或三邊)，求其它三個(gè)元素問題，進(jìn)而求出三角形的三線(高線、角平分線、中線)及周長等基本問題．在ABC中，AB=3，AC=2，BC=

10，則ABAC( )101/13A．3 B．2 C．2 D．32 3 3 2【答案】D4(2005年全國高考江蘇) ABC中，A3

，BC＝3，則ABC的周長為（）4 3sinB

4 3sinB3 3

66sinB3 6sinB3C． D． 3 6分析：由正弦定理，求出bb＋c3＋b＋c(D)．5（2005)在ΔABCAB

,cosB ，AC邊上的中4 663 64 665線BD= ，求sinA的值．5分析：本題關(guān)鍵是利用余弦定理，求出AC及BC，再由正弦定理，即得sinA．EBCDEDE//ABDE

AB

26，設(shè)BE＝x62 3在ΔBDEBD

BE

ED

2BEEDcosBED，65x28226

xx1x7（舍去）63 3 6 36213028 22130故B=，從而A2A2B2ABcoB3

，即AC 又sinB ，3 62 212故sinA2 212

33070，sinA330701462在△ABC中，已知a＝2，b＝22

，C＝15°，求A。答案：∴BA，且00A1800，∴A300題型之二：判斷三角形的形狀：給出三角形中的三角關(guān)系式，判斷此三角形的形狀．(2005年北京春季高考題)在ABC2sinAcosBsinC，那么ABC一定是（）直角三角形 B．等腰三角形C．等腰直角三角形 D．正三角解法1：由2sinAcosBsinC＝sin(A＋B)＝sinAcosB＋cosAsinB，即sinAcosB－cosAsinB＝0，得sin(A－B)＝0，得A＝B．故選(B)．2/13解法2：由題意，得cosB＝

sin

c a2c2b2 ，再由余弦定理，得cosB＝ ．2sinA 2a 2aca2c2b2 c∴

＝2aa2＝b2a＝b，故選(B)．評(píng)注：判斷三角形形狀，通常用兩種典型方法：⑴統(tǒng)一化為角，再判斷(如解法1)，⑵統(tǒng)一化為邊，再判斷(如解法2)．在△ABC中，若2cosBsinA＝sinC，則△ABC的形狀一定是（ ）等腰直角三角形 B.直角三角形C.等腰三角形 D.等邊三角形答案：C解析：2sinAcosB＝sin（A＋B）＋sin（A－B）又∵2sinAcosB＝sinC，∴sin（A－B）＝0，∴A＝Ba在△ABC中，若b2

tanA ，試判斷△ABC的形狀。tanB答案：故△ABC為等腰三角形或直角三角形。在△ABCcosAbcos，判斷△ABC答案：△ABC為等腰三角形或直角三角形。題型之三：解決與面積有關(guān)問題主要是利用正、余弦定理，并結(jié)合三角形的面積公式來解題．(2005年全國高考上海)在ABC中，若A120o，AB5，BC7，則ABC的面積S＝ 在ABCsinAcosA

AC2AB3，求tanA的值和ABC的面222積。S

1ACABsinA123 3(2 62 6)22 62 6)2

2 2 4 42（0718）已知△ABC的周長為2AB的長；

1，且sinAsinB

sinC．若△ABC1sinC，求角C62）由題意及正弦定理，得ABBCAC2兩式相減，得AB1．

1，BCAC 2AB，（II）由△ABC的面積1BCgACgsinC1sinC，得BCgAC1，2 6 33/13由余弦定理，得cosC

AC2BC2AB2(ACBC)22AB2 ，12221所以C60o．題型之四：三角形中求值問題1.(2005)在ABCC所對(duì)的邊長分別為a、b、c，c 1ab、c滿足條件b

c

bca2

3，求A和tanB2分析：本題給出一些條件式的求值問題，關(guān)鍵還是運(yùn)用正、余弦定理．解：由余弦定理cosA

b2c2a

1，因此，A602bc 2在3△ 13由已知條件，應(yīng)用正弦定理

c sin

sin(120B)2 b sinB sinBsin120cosBcos120sinB 3 1 1 cotB ,解得cotB2,從而tanB .中 sinB 2 2 22．，2．∠

的三個(gè)內(nèi)角為

A

cosA

B2

取得最大值，并求出這個(gè)最大值。= B+Cπ A B+C A1 解析：由A+B+C=π，得2 =2 －2，所以有cos 2 =sin2。－B+C A A A A 1 3∠cosA+2cos 2 =cosA+2sin2=1－2sin22+2sin2=－2(sin2－2)2+2；A－ A 1 π

B+C 3∠當(dāng)sin2=2，即A=3

時(shí),cosA+2cos 2 取得最大值2。B 2 3．在銳角△ABC中，角C所對(duì)的邊分別為c，已知sinA

（1）求1－.

3C Atan2 sin2 （2）若a2，S

2，求b的值。2 2 △ABC1）ABCABC＝，sinA

2 123 ，所以cosA＝3，2則A

sin2

B＋C2 Atan2

＋sin22

＝

B＋C＋sin222＝－

B＋C）1 1＋cosA 1 7＋＋＝1＋cos（B＋C）2 1－cosA 3 34/13（2）因?yàn)镾 ＝又

＝1bcsinA＝1bc

2，則bc＝3。2VABC1 3

VABC 2 2 3

，c＝代入余弦定理：a2＝b2＋c2－2bccosA中，b3得解得b＝ 。3點(diǎn)評(píng)：知道三角形邊外的元素如中線長、面積、周長等時(shí)，靈活逆用公式求得結(jié)果即可。4．在△ABC對(duì)邊的邊長分別是，已知c2C．33（Ⅰ）若△ABC的面積等于3

，求a，b；（Ⅱ）若sinCsin(B2sin2A，求△ABC的面積．12分．3（Ⅰ）由余弦定理及已知條件得，a2b2ab4，3又因?yàn)椤鰽BC的面積等于

1absinC323

，得ab4． 4分a2b2ab4，

a2

b2聯(lián)立方程組ab4，

解得 ，

． 6分（Ⅱ）由題意得sin(Bsin(B4sinAcosA，即sinBcosA2sinAcosA， 8分當(dāng)cosA0A

，B，a ，b ，4 32 32 6 3 34 32 3當(dāng)cosA0時(shí)，得sinB2sinA，由正弦定理得b2a，2 34 3a2b2aba b2 34 3聯(lián)立方程組b2a，

解得 ， ．3 3所以△ABCS1absinC

23． 1232 3題型之五：正余弦定理解三角形的實(shí)際應(yīng)用利用正余弦定理解斜三角形，在實(shí)際應(yīng)用中有著廣泛的應(yīng)用，如測量、航海、幾何等方面都要用到解三角形的知識(shí)，例析如下：（一.）測量問題1所示，為了測河的寬度，在一岸邊選定AB兩點(diǎn)，望對(duì)岸標(biāo)記物C，測得 C∠CAB=30°，∠CBA=75°，AB=120cm，求河的寬度。5/13A D B圖1在AB邊上的高，而在河的一邊，已測出AB長、∠CAB、∠CBA，這個(gè)三角形可確定。解析：由正弦定理得AC ABsinCBA sin

，∴AC=AB=120m，又∵S

ABACsinCAB

ABCD，解得CD=60m。VABC 2 2點(diǎn)評(píng)：雖然此題計(jì)算簡單，但是意義重大，屬于“不過河求河寬問題”。（二.）遇險(xiǎn)問題2 15°30海里/30°10行有無觸礁的危險(xiǎn)？北西A南15°B30°東C2A北西A南15°B30°東C2△ABC中，可知AB=30×0.5=15，∠ABS=150°，∠ASB=15°，由正弦定理得SSC⊥直線C，則SC=15sin30°=7.5。7.510礁的危險(xiǎn)。點(diǎn)評(píng)：有關(guān)斜三角形的實(shí)際問題，其解題的一般步驟是（1）與所求，尤其要理解應(yīng)用題中的有關(guān)名詞和術(shù)語）數(shù)列復(fù)習(xí)基本知識(shí)點(diǎn)及經(jīng)典結(jié)論總結(jié)1、數(shù)列的概念：這個(gè)數(shù)列的項(xiàng)。數(shù)列是一個(gè)定義域?yàn)檎麛?shù)集N（或它的有限子集1,3，…，n）的特殊函數(shù)，如果數(shù)列n項(xiàng)ann之間的關(guān)系可以用一個(gè)公式來表示，則這個(gè)公式通項(xiàng)公式。遞推關(guān)系：已知數(shù)列a的第一項(xiàng)（或前幾項(xiàng)，且任何一項(xiàng)a與它的前一項(xiàng)a （前nn n1項(xiàng)）間的關(guān)系可以用一個(gè)式子來表示，則這個(gè)式子就叫數(shù)列的遞推關(guān)系式。nn：snaaa...a.n1 2 3sn

的方法（只有一種

s ,(n=1

注意：an an s n

s ,(n2)n1等差數(shù)列的有關(guān)概念

n取值的討論！最后，還應(yīng)檢驗(yàn)當(dāng)n=1況是否符合當(dāng)n2的關(guān)系式，從而決定能否將其合并。1等差數(shù)列的定義an從第二項(xiàng)起每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的差等于同一個(gè)常數(shù)，6/13nanan1d(nN*n2.(an1and(nN).n定義法

n

d常數(shù))a

為等差數(shù)列。n n n2 1 n②中項(xiàng)法：2a aa a為等差數(shù)列。③n n n2 1 n為常數(shù)）

a前n項(xiàng)和公式法n

An2為常數(shù)n

an為等差數(shù)列。等差數(shù)列的通項(xiàng)na=d,b=a1

an1)d或a1

a nm)daanb.nmnn(aa) n(n1)等差數(shù)列的前n和：S n

1 n ，S2 d

na1

d。公式變形為：2nsAn2BnnB=a1

d.注意n,d,a1an,2sn中的三者可以求另兩者，即所謂的“知三求二”。1 3 15如（1）數(shù)列{an

an

a n1

(n2,nN*)，a2

，前nS2

，2a1

3n10（已知數(shù)列an

的前nSn

12nn2，求數(shù)列

{|an

|}的前

項(xiàng)和Tn

（答：Tn

12nn2(n6,nN*) ）.n212n72(n6,nN*)等差中項(xiàng)：若ab成等差數(shù)列，則Aa與bAab。2提醒（1前n5個(gè)元素：a1

、d、n、a及nS，其中an 1

、d53個(gè)，便可求出其余2個(gè)，即知3求2（2）為減少運(yùn)算量，要注意設(shè)元的技巧，如奇數(shù)個(gè)數(shù)成等差，可設(shè)為…，a2dadaada2d（da3d,ad,ad,a3d,…（公差為2d）等差數(shù)列的性質(zhì)：當(dāng)公差d0時(shí)，等差數(shù)列的通項(xiàng)公式an

a(n1)ddna1

d是關(guān)于n的一7/13n(n1) d dd前n

na

d n2

)n是關(guān)于n的二次0.

n 1 2 2 1 2d0d0，則為遞減等差數(shù)列，若公差d0，則為常數(shù)列。對(duì)稱性：若

是有窮數(shù)列，則與首末兩項(xiàng)等距離的兩項(xiàng)之和都等于首末兩項(xiàng)之n和.當(dāng)mnpq時(shí),則有a am n

a ap

，特別地，當(dāng)mn2p時(shí)，則有a a 2a .如等差數(shù)列}中，S 18,a a a 3,S 1，則n＝ n p n n n n1 n2 3（27；單調(diào)性：設(shè)d為等差數(shù)列

的公差，則nd>0

是遞增數(shù)列；d<0n

是遞減數(shù)列；d=0n

是常數(shù)數(shù)列n(5)n

}n

nAn

、B ，n

nf(n)，則ABAna (2n1)abbn (2n1)bbn

2n1ABA2n1

f(2n1).如設(shè)

}與bn

}是兩個(gè)等差數(shù)列，它們的前n項(xiàng)和分S 3n1 a 6n2

和T，若n ，那么n （答： ）n n Tn

4n3 bn

8n7(8)、已知

sn

的最值問題：n法一：利用鄰項(xiàng)變號(hào)法n

0,d<0且滿足an

,

最大；1

n10②若a

0,d>0且滿足an,,則s 最.n1 n

n10法二：因等差數(shù)列前n項(xiàng)是關(guān)于n的二次函數(shù)，故可轉(zhuǎn)化為求二次函數(shù)的最值，但要注意數(shù)列的特殊性nN*。上述兩種方法是運(yùn)用了哪種數(shù)學(xué)思想？（函數(shù)思想求一般數(shù)列中的最大或最小項(xiàng)嗎？如（1）等差數(shù)列{an

a1

25，S9

S ，問此數(shù)列17前多少項(xiàng)和最大？并求此最大值（答：前13項(xiàng)和最大，最大值為162）若an

}是等差數(shù)列，首項(xiàng)a1

0,

2003

a2004

0，a a 0，則使前n項(xiàng)和S 0成立的最大正整數(shù)n是 （答：4006）2003 2004 n8/13等比數(shù)列的有關(guān)概念如果數(shù)列an從第二項(xiàng)起每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的比等于同一個(gè)a

n q(nN*n2)（或an1q(nN*)ann定義法ana

n1q(qq0,an

0anan

1anan n n1(n2)如a}共有2n1項(xiàng)，奇數(shù)項(xiàng)之積為100，偶數(shù)項(xiàng)之積為120，n5則an1

為 （答：（數(shù)列a6

}中，Sn

=4

n

+1n2)a1

=1，若bn

an1

2a ，n求證：數(shù)列｛bn

｝是等比數(shù)列。n

aqn1或a1

aqnm如設(shè)等比數(shù)列m

}中，aa1 1

66，aa2n1

128，前n項(xiàng)和Sn

＝126，求n和公比q.（n6q

或2）2aqn) aaq等比數(shù)列的前n當(dāng)q1

na；當(dāng)q1時(shí)，S 1

1 n 。n 1

1

1q如（1）等比數(shù)列中，q＝2，S =77，求a a a （答：44）3 6 99特別提醒：等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式有兩種形式，為此在求等比數(shù)列前n項(xiàng)和時(shí)，首先要判斷公比q是否為1，再由q的情況選擇求和公式的形式，當(dāng)不能判斷公比q是否為1時(shí)，要對(duì)qq1和q1兩種情形討論求解。ab等比中項(xiàng)如果aGb三個(gè)數(shù)成等比數(shù)列那么G叫做a與b的等比中項(xiàng)即G= .abab提醒：不是任何兩數(shù)都有等比中項(xiàng)，只有同號(hào)兩數(shù)才存在等比中項(xiàng)，且有兩個(gè)ab

。如已知兩個(gè)正數(shù)a,b(ab)的等差中項(xiàng)為A等比中項(xiàng)為B則A與B的大小關(guān)系 （答：A＞B）提醒（1前n項(xiàng)5個(gè)元素：a1

、q、n、anS，其中an 1

q532個(gè)，即知3求2；等比數(shù)列的性質(zhì)：

是有窮數(shù)列，則與首末兩項(xiàng)等距離的兩項(xiàng)之積都等于首末兩項(xiàng)之積.n9/13即當(dāng)mnpq時(shí)則有a m n

a.ap

特別地當(dāng)mn2p時(shí)則有a m n

a2.p如（1）在等比數(shù)列{an

}中，aa3

124,aa47

512，公比q是整數(shù)，則a10

= （答：51；各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列n

}中，若aa5 6

9，則loga3 1

loga3

Lloga 3 10（10。數(shù)列的通項(xiàng)的求法：⑴公式法：①等差數(shù)列通項(xiàng)公式；②等比數(shù)列通項(xiàng)公式。S a

La

f(n) a

a S

,(n1)⑵已知 （即n 1 2

）求 ，用作差法：n n

S1Sn

n

,(n2)。如①已知{a

的前n項(xiàng)和滿足log(S

1)n1a（

3,n

②數(shù)列a}n 2 n

n n 2n,n2 n1 1 1

14,n1滿足a2 1

aL a2 2n

2n5，求an

（答：a n

2n1,n2）若

an1

f(n)求an

用累加法：an

(an

an1

)

n1

an2

)L(a2

a)1a (n2)已知數(shù)列1

}滿足a1

1，an

a 1n1n1 n

(n2)，則a= （an a

n1

21）2

a a a

n1

f(n求

，用累乘法：a

n n1L 2

(n2)。如已知a n n

an

a a 1n2 14數(shù)列{an

a1

2，前nSn

，若Sn

n2an

，求an

（答：an

n(n1)）已知遞推關(guān)系求a用構(gòu)造（構(gòu)造等比數(shù)列特別地1形如a ka b、n n n1（kb為常數(shù)）ka。n如①已知a1

1,an

n1

2，求an

（答：an

23n11；注意（1用a S S 求數(shù)列的通項(xiàng)公式時(shí)，你注意到此等式成立的條件了嗎？n n n1（n2，當(dāng)n1a1

S（2一般地當(dāng)已知條件中含有a1

S的混合關(guān)系時(shí)，常n需運(yùn)用關(guān)系式a S S ，先將已知條件轉(zhuǎn)化為只含a或S的關(guān)系式，然后再求解。n n n1 n n10/13如數(shù)列{a

滿足

4,S S

5

，求a

（

4,n1）n 1

n1

3 n1

n ,n2數(shù)列求和的常用方法：（1）公式法：直接利用或可通過轉(zhuǎn)化為等差、等比數(shù)列的求和公式求解。特別聲明：運(yùn)用等比數(shù)列求和公式，務(wù)必檢查其公比與1的關(guān)系，必要時(shí)需分類討論.；③常用公式：123Ln1n(n1)2n(n1)

， 22Ln21n(n1)(2n1)，6，23Ln3[

]2.如（1）等比數(shù)列}的前n項(xiàng)和S ＝2ｎ－１，則2n ｎ24n1a2a2

a

a2＝ （答： （計(jì)算機(jī)是將信息轉(zhuǎn)換成二進(jìn)制數(shù)進(jìn)行1 2 3 n 3處理的。二進(jìn)制即“逢2進(jìn)1110)表示二進(jìn)制數(shù)，將它轉(zhuǎn)換成十進(jìn)制形式是22320101，那么將二進(jìn)制1) 轉(zhuǎn)換成十進(jìn)制數(shù) （答：22005個(gè)1220051）分組求和法列的項(xiàng)重新組合，使其轉(zhuǎn)化成等差或等比數(shù)列，然后利用公式求和。求：S 1357L1)n(2n1)（(1)nn）n（3）倒序相加法：倒序相加法：數(shù)列特點(diǎn)：與首末等距離的兩項(xiàng)之和等于首末兩項(xiàng)之和，則采用此法（n項(xiàng)和推導(dǎo)過程以及高斯小時(shí)后巧解算術(shù)題.如x2 1 1 1 7已知f(x) 則f(1)f(2)f(3)f(4)f( )f()f( )＝ 答：）1x2 2 3 4 2（4）錯(cuò)位相減法：如果數(shù)列的通項(xiàng)是由一個(gè)等差數(shù)列的通項(xiàng)與一個(gè)等比數(shù)列的通項(xiàng)相乘構(gòu)成，即數(shù)列是一個(gè)“差·比”數(shù)列，那么常選用錯(cuò)位相減法（這也是等比數(shù)列前n和公式的推導(dǎo)方法如設(shè)n

n

na1

(n1)a2

L2a

an1

，已知T1

12

4，的首項(xiàng)和公比；②求數(shù)列.（答：①

1，q2；②n n 1T 2n1n2；n裂項(xiàng)相消法從而前n① 1 1 1 ；②

1(1 1 )；n(n1) n n1 n(nk) k n nk11/13③1

1(

1 ) 1 1

1

1 1；k2 k

1 2k1 k1 k k1 (kk

(kk1 k，④ 1 1( ，

1 )⑤ 1

1[ 1

1 ]；(2n1)(2n1) 2 2n1 2n1 n(n1)(n2) 2n(n1) (n1)(n2)⑥ 1

1( nk n)⑦

1 1 ；nk

k (n1)! n! (n1)!1如（1）