湘教版高中數學必修四知識點總結

解三角形知識點歸納1、三角形三角關系：A+B+C=180°；C=180°—(A+B)；2、三角形三邊關系：a+b>c;a-b<c3ABsinC,cos(AB)cosC,tan(ABtanC,sin

A

Ccos

A

Csin ,

A

Ccot2 2 2 2 2 24Ca、b、c、、CRC的外a b c接圓的半徑，則有 2R．sin sin sinC5、正弦定理的變形公式：a2Rsinb2Rsinc2RsinC；a b csin

，sin ，sinC ；2R 2R 2R③a:b:csin:sin:sinC；abc④

a b c ．sinsinsinC sin sin sinC6、兩類正弦定理解三角形的問題：①已知兩角和任意一邊，求其他的兩邊及一角.②已知兩角和其中一邊的對角，求其他邊角.(對于已知兩邊和其中一邊所對的角的題型要注意解的情況（一解、兩解、三解）)7S

1bcsin1absinC1acsin．C

2 2 28、余弦定理：在C中，有a2

b2c22bccos，b2

a2c22accos，c2a2b22abcosC．9

b2c2a22bc

，cos

a2c2b22ac

，cosC

a2b2c22ab ．10、如何判斷三角形的形狀：判定三角形形狀時，可利用正余弦定理實現(xiàn)邊角轉化，統(tǒng)一成邊的形式或角的形式設a、b、c是C、、C的對邊，則：a2b2

c2，則C90oa2b2

c2，則C90o；a2b2c2，則C90o．題型之一：求解斜三角形中的基本元素指已知兩邊一角(或二角一邊或三邊)，求其它三個元素問題，進而求出三角形的三線(高線、角平分線、中線)及周長等基本問題．在ABC中，AB=3，AC=2，BC=

10，則ABAC( )101/13A．3 B．2 C．2 D．32 3 3 2【答案】D4(2005年全國高考江蘇) ABC中，A3

，BC＝3，則ABC的周長為（）4 3sinB

4 3sinB3 3

66sinB3 6sinB3C． D． 3 6分析：由正弦定理，求出bb＋c3＋b＋c(D)．5（2005)在ΔABCAB

,cosB ，AC邊上的中4 663 64 665線BD= ，求sinA的值．5分析：本題關鍵是利用余弦定理，求出AC及BC，再由正弦定理，即得sinA．EBCDEDE//ABDE

AB

26，設BE＝x62 3在ΔBDEBD

BE

ED

2BEEDcosBED，65x28226

xx1x7（舍去）63 3 6 36213028 22130故B=，從而A2A2B2ABcoB3

，即AC 又sinB ，3 62 212故sinA2 212

33070，sinA330701462在△ABC中，已知a＝2，b＝22

，C＝15°，求A。答案：∴BA，且00A1800，∴A300題型之二：判斷三角形的形狀：給出三角形中的三角關系式，判斷此三角形的形狀．(2005年北京春季高考題)在ABC2sinAcosBsinC，那么ABC一定是（）直角三角形 B．等腰三角形C．等腰直角三角形 D．正三角解法1：由2sinAcosBsinC＝sin(A＋B)＝sinAcosB＋cosAsinB，即sinAcosB－cosAsinB＝0，得sin(A－B)＝0，得A＝B．故選(B)．2/13解法2：由題意，得cosB＝

sin

c a2c2b2 ，再由余弦定理，得cosB＝ ．2sinA 2a 2aca2c2b2 c∴

＝2aa2＝b2a＝b，故選(B)．評注：判斷三角形形狀，通常用兩種典型方法：⑴統(tǒng)一化為角，再判斷(如解法1)，⑵統(tǒng)一化為邊，再判斷(如解法2)．在△ABC中，若2cosBsinA＝sinC，則△ABC的形狀一定是（ ）等腰直角三角形 B.直角三角形C.等腰三角形 D.等邊三角形答案：C解析：2sinAcosB＝sin（A＋B）＋sin（A－B）又∵2sinAcosB＝sinC，∴sin（A－B）＝0，∴A＝Ba在△ABC中，若b2

tanA ，試判斷△ABC的形狀。tanB答案：故△ABC為等腰三角形或直角三角形。在△ABCcosAbcos，判斷△ABC答案：△ABC為等腰三角形或直角三角形。題型之三：解決與面積有關問題主要是利用正、余弦定理，并結合三角形的面積公式來解題．(2005年全國高考上海)在ABC中，若A120o，AB5，BC7，則ABC的面積S＝ 在ABCsinAcosA

AC2AB3，求tanA的值和ABC的面222積。S

1ACABsinA123 3(2 62 6)22 62 6)2

2 2 4 42（0718）已知△ABC的周長為2AB的長；

1，且sinAsinB

sinC．若△ABC1sinC，求角C62）由題意及正弦定理，得ABBCAC2兩式相減，得AB1．

1，BCAC 2AB，（II）由△ABC的面積1BCgACgsinC1sinC，得BCgAC1，2 6 33/13由余弦定理，得cosC

AC2BC2AB2(ACBC)22AB2 ，12221所以C60o．題型之四：三角形中求值問題1.(2005)在ABCC所對的邊長分別為a、b、c，c 1ab、c滿足條件b

c

bca2

3，求A和tanB2分析：本題給出一些條件式的求值問題，關鍵還是運用正、余弦定理．解：由余弦定理cosA

b2c2a

1，因此，A602bc 2在3△ 13由已知條件，應用正弦定理

c sin

sin(120B)2 b sinB sinBsin120cosBcos120sinB 3 1 1 cotB ,解得cotB2,從而tanB .中 sinB 2 2 22．，2．∠

的三個內角為

A

cosA

B2

取得最大值，并求出這個最大值。= B+Cπ A B+C A1 解析：由A+B+C=π，得2 =2 －2，所以有cos 2 =sin2。－B+C A A A A 1 3∠cosA+2cos 2 =cosA+2sin2=1－2sin22+2sin2=－2(sin2－2)2+2；A－ A 1 π

B+C 3∠當sin2=2，即A=3

時,cosA+2cos 2 取得最大值2。B 2 3．在銳角△ABC中，角C所對的邊分別為c，已知sinA

（1）求1－.

3C Atan2 sin2 （2）若a2，S

2，求b的值。2 2 △ABC1）ABCABC＝，sinA

2 123 ，所以cosA＝3，2則A

sin2

B＋C2 Atan2

＋sin22

＝

B＋C＋sin222＝－

B＋C）1 1＋cosA 1 7＋＋＝1＋cos（B＋C）2 1－cosA 3 34/13（2）因為S ＝又

＝1bcsinA＝1bc

2，則bc＝3。2VABC1 3

VABC 2 2 3

，c＝代入余弦定理：a2＝b2＋c2－2bccosA中，b3得解得b＝ 。3點評：知道三角形邊外的元素如中線長、面積、周長等時，靈活逆用公式求得結果即可。4．在△ABC對邊的邊長分別是，已知c2C．33（Ⅰ）若△ABC的面積等于3

，求a，b；（Ⅱ）若sinCsin(B2sin2A，求△ABC的面積．12分．3（Ⅰ）由余弦定理及已知條件得，a2b2ab4，3又因為△ABC的面積等于

1absinC323

，得ab4． 4分a2b2ab4，

a2

b2聯(lián)立方程組ab4，

解得 ，

． 6分（Ⅱ）由題意得sin(Bsin(B4sinAcosA，即sinBcosA2sinAcosA， 8分當cosA0A

，B，a ，b ，4 32 32 6 3 34 32 3當cosA0時，得sinB2sinA，由正弦定理得b2a，2 34 3a2b2aba b2 34 3聯(lián)立方程組b2a，

解得 ， ．3 3所以△ABCS1absinC

23． 1232 3題型之五：正余弦定理解三角形的實際應用利用正余弦定理解斜三角形，在實際應用中有著廣泛的應用，如測量、航海、幾何等方面都要用到解三角形的知識，例析如下：（一.）測量問題1所示，為了測河的寬度，在一岸邊選定AB兩點，望對岸標記物C，測得 C∠CAB=30°，∠CBA=75°，AB=120cm，求河的寬度。5/13A D B圖1在AB邊上的高，而在河的一邊，已測出AB長、∠CAB、∠CBA，這個三角形可確定。解析：由正弦定理得AC ABsinCBA sin

，∴AC=AB=120m，又∵S

ABACsinCAB

ABCD，解得CD=60m。VABC 2 2點評：雖然此題計算簡單，但是意義重大，屬于“不過河求河寬問題”。（二.）遇險問題2 15°30海里/30°10行有無觸礁的危險？北西A南15°B30°東C2A北西A南15°B30°東C2△ABC中，可知AB=30×0.5=15，∠ABS=150°，∠ASB=15°，由正弦定理得SSC⊥直線C，則SC=15sin30°=7.5。7.510礁的危險。點評：有關斜三角形的實際問題，其解題的一般步驟是（1）與所求，尤其要理解應用題中的有關名詞和術語）數列復習基本知識點及經典結論總結1、數列的概念：這個數列的項。數列是一個定義域為正整數集N（或它的有限子集1,3，…，n）的特殊函數，如果數列n項ann之間的關系可以用一個公式來表示，則這個公式通項公式。遞推關系：已知數列a的第一項（或前幾項，且任何一項a與它的前一項a （前nn n1項）間的關系可以用一個式子來表示，則這個式子就叫數列的遞推關系式。nn：snaaa...a.n1 2 3sn

的方法（只有一種

s ,(n=1

注意：an an s n

s ,(n2)n1等差數列的有關概念

n取值的討論！最后，還應檢驗當n=1況是否符合當n2的關系式，從而決定能否將其合并。1等差數列的定義an從第二項起每一項與它的前一項的差等于同一個常數，6/13nanan1d(nN*n2.(an1and(nN).n定義法

n

d常數)a

為等差數列。n n n2 1 n②中項法：2a aa a為等差數列。③n n n2 1 n為常數）

a前n項和公式法n

An2為常數n

an為等差數列。等差數列的通項na=d,b=a1

an1)d或a1

a nm)daanb.nmnn(aa) n(n1)等差數列的前n和：S n

1 n ，S2 d

na1

d。公式變形為：2nsAn2BnnB=a1

d.注意n,d,a1an,2sn中的三者可以求另兩者，即所謂的“知三求二”。1 3 15如（1）數列{an

an

a n1

(n2,nN*)，a2

，前nS2

，2a1

3n10（已知數列an

的前nSn

12nn2，求數列

{|an

|}的前

項和Tn

（答：Tn

12nn2(n6,nN*) ）.n212n72(n6,nN*)等差中項：若ab成等差數列，則Aa與bAab。2提醒（1前n5個元素：a1

、d、n、a及nS，其中an 1

、d53個，便可求出其余2個，即知3求2（2）為減少運算量，要注意設元的技巧，如奇數個數成等差，可設為…，a2dadaada2d（da3d,ad,ad,a3d,…（公差為2d）等差數列的性質：當公差d0時，等差數列的通項公式an

a(n1)ddna1

d是關于n的一7/13n(n1) d dd前n

na

d n2

)n是關于n的二次0.

n 1 2 2 1 2d0d0，則為遞減等差數列，若公差d0，則為常數列。對稱性：若

是有窮數列，則與首末兩項等距離的兩項之和都等于首末兩項之n和.當mnpq時,則有a am n

a ap

，特別地，當mn2p時，則有a a 2a .如等差數列}中，S 18,a a a 3,S 1，則n＝ n p n n n n1 n2 3（27；單調性：設d為等差數列

的公差，則nd>0

是遞增數列；d<0n

是遞減數列；d=0n

是常數數列n(5)n

}n

nAn

、B ，n

nf(n)，則ABAna (2n1)abbn (2n1)bbn

2n1ABA2n1

f(2n1).如設

}與bn

}是兩個等差數列，它們的前n項和分S 3n1 a 6n2

和T，若n ，那么n （答： ）n n Tn

4n3 bn

8n7(8)、已知

sn

的最值問題：n法一：利用鄰項變號法n

0,d<0且滿足an

,

最大；1

n10②若a

0,d>0且滿足an,,則s 最.n1 n

n10法二：因等差數列前n項是關于n的二次函數，故可轉化為求二次函數的最值，但要注意數列的特殊性nN*。上述兩種方法是運用了哪種數學思想？（函數思想求一般數列中的最大或最小項嗎？如（1）等差數列{an

a1

25，S9

S ，問此數列17前多少項和最大？并求此最大值（答：前13項和最大，最大值為162）若an

}是等差數列，首項a1

0,

2003

a2004

0，a a 0，則使前n項和S 0成立的最大正整數n是 （答：4006）2003 2004 n8/13等比數列的有關概念如果數列an從第二項起每一項與它的前一項的比等于同一個a

n q(nN*n2)（或an1q(nN*)ann定義法ana

n1q(qq0,an

0anan

1anan n n1(n2)如a}共有2n1項，奇數項之積為100，偶數項之積為120，n5則an1

為 （答：（數列a6

}中，Sn

=4

n

+1n2)a1

=1，若bn

an1

2a ，n求證：數列｛bn

｝是等比數列。n

aqn1或a1

aqnm如設等比數列m

}中，aa1 1

66，aa2n1

128，前n項和Sn

＝126，求n和公比q.（n6q

或2）2aqn) aaq等比數列的前n當q1

na；當q1時，S 1

1 n 。n 1

1

1q如（1）等比數列中，q＝2，S =77，求a a a （答：44）3 6 99特別提醒：等比數列前n項和公式有兩種形式，為此在求等比數列前n項和時，首先要判斷公比q是否為1，再由q的情況選擇求和公式的形式，當不能判斷公比q是否為1時，要對qq1和q1兩種情形討論求解。ab等比中項如果aGb三個數成等比數列那么G叫做a與b的等比中項即G= .abab提醒：不是任何兩數都有等比中項，只有同號兩數才存在等比中項，且有兩個ab

。如已知兩個正數a,b(ab)的等差中項為A等比中項為B則A與B的大小關系 （答：A＞B）提醒（1前n項5個元素：a1

、q、n、anS，其中an 1

q532個，即知3求2；等比數列的性質：

是有窮數列，則與首末兩項等距離的兩項之積都等于首末兩項之積.n9/13即當mnpq時則有a m n

a.ap

特別地當mn2p時則有a m n

a2.p如（1）在等比數列{an

}中，aa3

124,aa47

512，公比q是整數，則a10

= （答：51；各項均為正數的等比數列n

}中，若aa5 6

9，則loga3 1

loga3

Lloga 3 10（10。數列的通項的求法：⑴公式法：①等差數列通項公式；②等比數列通項公式。S a

La

f(n) a

a S

,(n1)⑵已知 （即n 1 2

）求 ，用作差法：n n

S1Sn

n

,(n2)。如①已知{a

的前n項和滿足log(S

1)n1a（

3,n

②數列a}n 2 n

n n 2n,n2 n1 1 1

14,n1滿足a2 1

aL a2 2n

2n5，求an

（答：a n

2n1,n2）若

an1

f(n)求an

用累加法：an

(an

an1

)

n1

an2

)L(a2

a)1a (n2)已知數列1

}滿足a1

1，an

a 1n1n1 n

(n2)，則a= （an a

n1

21）2

a a a

n1

f(n求

，用累乘法：a

n n1L 2

(n2)。如已知a n n

an

a a 1n2 14數列{an

a1

2，前nSn

，若Sn

n2an

，求an

（答：an

n(n1)）已知遞推關系求a用構造（構造等比數列特別地1形如a ka b、n n n1（kb為常數）ka。n如①已知a1

1,an

n1

2，求an

（答：an

23n11；注意（1用a S S 求數列的通項公式時，你注意到此等式成立的條件了嗎？n n n1（n2，當n1a1

S（2一般地當已知條件中含有a1

S的混合關系時，常n需運用關系式a S S ，先將已知條件轉化為只含a或S的關系式，然后再求解。n n n1 n n10/13如數列{a

滿足

4,S S

5

，求a

（

4,n1）n 1

n1

3 n1

n ,n2數列求和的常用方法：（1）公式法：直接利用或可通過轉化為等差、等比數列的求和公式求解。特別聲明：運用等比數列求和公式，務必檢查其公比與1的關系，必要時需分類討論.；③常用公式：123Ln1n(n1)2n(n1)

， 22Ln21n(n1)(2n1)，6，23Ln3[

]2.如（1）等比數列}的前n項和S ＝2ｎ－１，則2n ｎ24n1a2a2

a

a2＝ （答： （計算機是將信息轉換成二進制數進行1 2 3 n 3處理的。二進制即“逢2進1110)表示二進制數，將它轉換成十進制形式是22320101，那么將二進制1) 轉換成十進制數 （答：22005個1220051）分組求和法列的項重新組合，使其轉化成等差或等比數列，然后利用公式求和。求：S 1357L1)n(2n1)（(1)nn）n（3）倒序相加法：倒序相加法：數列特點：與首末等距離的兩項之和等于首末兩項之和，則采用此法（n項和推導過程以及高斯小時后巧解算術題.如x2 1 1 1 7已知f(x) 則f(1)f(2)f(3)f(4)f( )f()f( )＝ 答：）1x2 2 3 4 2（4）錯位相減法：如果數列的通項是由一個等差數列的通項與一個等比數列的通項相乘構成，即數列是一個“差·比”數列，那么常選用錯位相減法（這也是等比數列前n和公式的推導方法如設n

n

na1

(n1)a2

L2a

an1

，已知T1

12

4，的首項和公比；②求數列.（答：①

1，q2；②n n 1T 2n1n2；n裂項相消法從而前n① 1 1 1 ；②

1(1 1 )；n(n1) n n1 n(nk) k n nk11/13③1

1(

1 ) 1 1

1

1 1；k2 k

1 2k1 k1 k k1 (kk

(kk1 k，④ 1 1( ，

1 )⑤ 1

1[ 1

1 ]；(2n1)(2n1) 2 2n1 2n1 n(n1)(n2) 2n(n1) (n1)(n2)⑥ 1

1( nk n)⑦

1 1 ；nk

k (n1)! n! (n1)!1如（1）