數(shù)學(xué)問題中的文化課件

數(shù)學(xué)問題中的文化斐波那契數(shù)列數(shù)學(xué)問題中的文化斐波那契數(shù)列1一斐波那契與兔子問題斐波那契（L.Fibonacci,1170-1250）,歐洲黑暗時(shí)期過后，第一位有影響的數(shù)學(xué)家。其著作《算盤書》（1202），第一次系統(tǒng)介紹了印度——阿拉伯?dāng)?shù)碼，對改變歐洲數(shù)學(xué)的面貌產(chǎn)生了很大影響。1228年修訂后的《算盤書》中載有“兔子問題”一斐波那契與兔子問題2

某人在一處有圍墻的地方養(yǎng)了一對兔子，假定每對兔子每月生一對小兔，而小兔出生后兩個(gè)月就能生育。問從這對兔子開始，一年內(nèi)能繁殖成多少對兔子？11235813某人在一處有圍墻的地方養(yǎng)了一對兔子，假定每對兔子每月生一3數(shù)學(xué)問題中的文化課件4二斐波那契數(shù)列1.通項(xiàng)公式1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，233，……二斐波那契數(shù)列52.神奇的斐波那契數(shù)列1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144……上面數(shù)列平方得到1，1，4，9，25，64，169，441，……連續(xù)兩項(xiàng)相加得2，5，13，34，89，233，……2.神奇的斐波那契數(shù)列61，1，2，3，5，8，13，21，34，1，1，4，9，25，64，169，441，……1=11+1=1×21+1+4=2×31+1+4+9=3×51+1+4+9+25=5

×81，1，2，3，5，8，13，21，34，7數(shù)學(xué)問題中的文化課件8奇數(shù)項(xiàng)求和得1，3，8，21，……偶數(shù)項(xiàng)求和奇數(shù)項(xiàng)求和得偶數(shù)項(xiàng)求和9每連續(xù)10個(gè)斐波那契數(shù)的和有什么特點(diǎn)呢？1+1+2+3+5+8+13+21+34+55=1431+2+3+5+8+13+21+34+55+89=2312+3+5+8+13+21+34+55+89+144=3+5+8+13+21+34+55+89+144+233=每連續(xù)10個(gè)斐波那契數(shù)的和有什么特點(diǎn)呢？1011

3．斐波那契數(shù)列與連分?jǐn)?shù)

這不是一個(gè)普通的分?jǐn)?shù)，而是一個(gè)分母上有無窮多個(gè)“1”的繁分?jǐn)?shù)，我們通常稱這樣的分?jǐn)?shù)為“連分?jǐn)?shù)”。113．斐波那契數(shù)列與連分?jǐn)?shù)1112

上述這一全部由1構(gòu)成的連分?jǐn)?shù)，

是最簡單的一個(gè)連分?jǐn)?shù)。12上述這一全部由1構(gòu)成的連分?jǐn)?shù)，

是最簡單的1213

通常，求連分?jǐn)?shù)的值，如同求無理數(shù)的值一樣，我們常常需要求它的近似值。如果把該連分?jǐn)?shù)從第條分?jǐn)?shù)線截住，即把第條分?jǐn)?shù)線上、下的部分都刪去，就得到該連分?jǐn)?shù)的第次近似值，記作

13通常，求連分?jǐn)?shù)的值，如同求無理數(shù)的值一樣1314

對照可算得

141415

順序排起來，這個(gè)連分?jǐn)?shù)的近似值逐次為

其分子、分母恰是菲波那契數(shù)；有無極限，若有，極限值即為連分?jǐn)?shù)的值。

15154斐波那契數(shù)列與黃金分割數(shù)學(xué)問題中的文化課件1617

上述連分?jǐn)?shù)可以看作是中，把的表達(dá)式反復(fù)代入等號右端得到的；例如，第一次代入得到的是

反復(fù)迭代，就得到上述連分?jǐn)?shù)。17上述連分?jǐn)?shù)可以看作是1718

1818美妙的結(jié)論

斐波那契數(shù)列相鄰兩項(xiàng)比的數(shù)列的極限是最簡連分?jǐn)?shù)的值，此值為黃金分割數(shù)。美妙的結(jié)論19數(shù)學(xué)問題中的文化課件2021

黃金分割

定義：把任一線段分割成兩段，使，這樣的分割叫黃金分割，這樣的比值叫黃金比。（可以有兩個(gè)分割點(diǎn)）

1小段大段21黃金分割

定義：把任一線段分2122故有

小段大段22故有小段大段2223

黃金分割的尺規(guī)作圖

設(shè)線段為。作，且，連。作交于，再作交于，則，即為的黃金分割點(diǎn)。23黃金分割的尺規(guī)作圖2324

證：不妨令，則，，，

證完。24證：不妨令，則2425

黃金分割的美黃金分割之所以稱為“黃金”分割，是比喻這一“分割”如黃金一樣珍貴。黃金比，是工藝美術(shù)、建筑、攝影等許多藝術(shù)門類中審美的因素之一。認(rèn)為它表現(xiàn)了恰到好處的“和諧”。例如:25黃金分割的美25261）人體各部分的比肚臍：（頭—腳）印堂穴：（口—頭頂）肘關(guān)節(jié)：（肩—中指尖）膝蓋：（髖關(guān)節(jié)—足尖）261）人體各部分的比26272）著名建筑物中各部分的比

如埃及的金字塔，高（137米）與底邊長（227米）之比為0.629古希臘的巴特農(nóng)神殿，塔高與工作廳高之比為340∶553≈0.615（外形的高與寬之比？大理石廊柱高與神殿高之比？）272）著名建筑物中各部分的比

如埃及的2728

3）美觀矩形的寬長比如國旗和其它用到矩形的地方（建筑、家具）

283）美觀矩形的28294）正五角星中的比

294）正五角星中的比

29305）舞臺報(bào)幕者的最佳站位在整個(gè)舞臺寬度的0.618處較美305）舞臺報(bào)幕者3031

四．推廣的斐波那契數(shù)列—盧卡斯數(shù)列

1）盧卡斯數(shù)列盧卡斯（Lucas，F(xiàn).E.A.1824-1891）構(gòu)造了一類更值得研究的數(shù)列，現(xiàn)被稱為“推廣的斐波那契數(shù)列”。31四．推廣的斐波那契數(shù)列—盧卡斯數(shù)列3132

即從任何兩個(gè)正整數(shù)開始，往后的每一個(gè)數(shù)是其前兩個(gè)數(shù)之和，由此構(gòu)成無窮數(shù)列。此即，二階遞推公式中，遞推式與前面一樣，而起始整數(shù)可任取。32即從任何兩個(gè)正整數(shù)開始，往后的每3233

斐波那契數(shù)列1，1，2，3，5，8，…是這類數(shù)列中最簡單的一個(gè)，起始整數(shù)分別取為1、1。次簡單的為1，3，4，7，11，18，…現(xiàn)稱之為盧卡斯數(shù)列。盧卡斯數(shù)列的通項(xiàng)公式是

33斐波那契數(shù)列1，1，2，3，5，8，…3334

推廣的斐波那契數(shù)列與斐波那契數(shù)列一樣，與黃金分割有密切的聯(lián)系：該數(shù)列相鄰兩數(shù)之比，交替地大于或小于黃金比；并且，兩數(shù)之比的差隨項(xiàng)數(shù)的增加而越來越小，趨近于0，從而這個(gè)比存在極限；而且這個(gè)比的極限也是黃金比。

34推廣的斐波那契數(shù)列與斐波那契數(shù)列3435類似于前面提到的數(shù)列

對于推廣的斐波那契數(shù)列，相鄰兩項(xiàng)之比的極限也是35類似于前面提到的數(shù)列35五自然界中的斐波那契數(shù)五自然界中的斐波那契數(shù)3637菜花表面排列的螺線數(shù)（5-8）37菜花表面排列的螺線數(shù)（5-8）3738

向日葵花盤內(nèi)，種子是按對數(shù)螺線排列的，有順時(shí)針轉(zhuǎn)和逆時(shí)針轉(zhuǎn)的兩組對數(shù)螺線。兩組螺線的條數(shù)往往成相繼的兩個(gè)斐波那契數(shù)，一般是34和55，大向日葵是89和144，還曾發(fā)現(xiàn)過一個(gè)更大的向日葵有144和233條螺線，它們都是相繼的兩個(gè)斐波那契數(shù)。38向日葵花盤內(nèi)，種子是按對數(shù)螺線排38數(shù)學(xué)問題中的文化課件39數(shù)學(xué)問題中的文化課件401 c1 c41421．跳格游戲

421．跳格游戲4243

如圖，一個(gè)人站在“梯子格”的起點(diǎn)處向上跳，從格外只能進(jìn)入第1格，從格中，每次可向上跳一格或兩格，問：可以用多少種方法，跳到第n格？

43如圖，一個(gè)人站在“梯子格”的起點(diǎn)處向上43442．蜜蜂進(jìn)蜂房問題：

一次蜜蜂從蜂房A出發(fā)，想爬到、、……、n號蜂房，只允許它自左向右（不許反方向倒走）。則它爬到各號蜂房的路線多少？空空空

空空空

1357246nn-2n-1…………442．蜜蜂進(jìn)蜂房問題：一次蜜蜂從蜂房A出發(fā)4445第三講韓信點(diǎn)兵與中國剩余定理

454546韓信是中國古代一位有名的大元帥。他少年時(shí)就父母雙亡，生活困難，曾靠乞討為生，還經(jīng)常受到某些潑皮的欺凌，胯下之辱講的就是韓信少年時(shí)被潑皮強(qiáng)迫從胯下鉆過的事。后來他投奔劉邦，展現(xiàn)了他杰出的軍事才能，為劉邦打敗了楚霸王項(xiàng)羽立下汗馬功勞，開創(chuàng)了劉漢皇朝四百年的基業(yè)。民間流傳著一些以韓信為主角的有關(guān)聰明人的故事，韓信點(diǎn)兵的故事就是其中的一個(gè)。一、“韓信點(diǎn)兵”的故事與《孫子算經(jīng)》中的題目46韓信是中國古代一位有名的大元帥。他少年時(shí)就父母雙亡，生活4647

相傳有一次，韓信將1500名將士與楚王大將李鋒交戰(zhàn)。雙方大戰(zhàn)一場，楚軍不敵，敗退回營。而漢軍也有傷亡，只是一時(shí)還不知傷亡多少。于是，韓信整頓兵馬也返回大本營，準(zhǔn)備清點(diǎn)人數(shù)。當(dāng)行至一山坡時(shí)，忽有后軍來報(bào)，說有楚軍騎兵追來。韓信馳上高坡觀看，只見遠(yuǎn)方塵土飛揚(yáng)，殺聲震天。漢軍本來已經(jīng)十分疲憊了，這時(shí)不由得人心大亂。韓信仔細(xì)地觀看敵方，發(fā)現(xiàn)來敵不足五百騎，便急速點(diǎn)兵迎敵。不一會兒，值日副官報(bào)告，共有1035人。他還不放心，決定自己親自算一下。

1.“韓信點(diǎn)兵”的故事47相傳有一次，韓信將1500名將士與楚王大將李鋒交4748

韓信閱兵時(shí)，讓一隊(duì)士兵5人一行排隊(duì)從他面前走過，他記下最后一行士兵的人數(shù)（1人）；再讓這隊(duì)士兵6人一行排隊(duì)從他面前走過，他記下最后一行士兵的人數(shù)（5人）；再讓這隊(duì)士兵7人一行排隊(duì)從他面前走過，他記下最后一行士兵的人數(shù)（4人），再讓這隊(duì)士兵11人一行排隊(duì)從他面前走過，他記下最后一行士兵的人數(shù)（10人）。然后韓信就憑這些數(shù)，可以求得這隊(duì)士兵的總?cè)藬?shù)。48韓信閱兵時(shí)，讓一隊(duì)士兵5人一行排隊(duì)從他面前走過4849

約成書于四、五世紀(jì)，作者生平和編寫年代都不清楚?，F(xiàn)在傳本的《孫子算經(jīng)》共三卷。卷上敘述算籌記數(shù)的縱橫相間制度和籌算乘除法則，卷中舉例說明籌算分?jǐn)?shù)算法和籌算開平方法。卷下第31題，可謂是后世“雞兔同籠”題的始祖，后來傳到日本，變成“鶴龜算”。2.《孫子算經(jīng)》

書中是這樣敘述的：“今有雞兔同籠，上有三十五頭，下有九十四足，問雞兔各幾何？這四句話的意思是：有若干只雞兔同在一個(gè)籠子里，從上面數(shù)，有35個(gè)頭；從下面數(shù)，有94只腳。求籠中各有幾只雞和兔？《孫子算經(jīng)》49約成書于四、五世紀(jì)，作者生平和編寫年代都不清楚。4950

我國古代數(shù)學(xué)名著《孫子算經(jīng)》中有“物不知數(shù)”的題目：

今有物不知其數(shù)，三三數(shù)之剩2，五五數(shù)之剩3，七七數(shù)之剩2，問物幾何？《孫子算經(jīng)》中的題目

50我國古代數(shù)學(xué)名著《孫子算經(jīng)》中有“物不知數(shù)”的5051

二．問題的解答

1.篩法

先給出被3除余2的數(shù)2，5，8，11，……，3k+2,…

上列數(shù)種被5除余3的數(shù)8，23，38，……，8+15k

第二列中被7除余2的數(shù)23，128，233，……，23+105k

51二．問題的解答512．從另一個(gè)問題入手(公倍數(shù)方法)

問題：今有物不知其數(shù)，二二數(shù)之剩1，三三數(shù)之剩2，四四數(shù)之剩3，五五數(shù)之剩4，六六數(shù)之剩5，七七數(shù)之剩6，八八數(shù)之剩7，九九數(shù)之剩8，問物幾何？2．從另一個(gè)問題入手(公倍數(shù)方法)5253

再從中挑“用5除余4”的數(shù)，…

一直篩選下去，舍得下功夫，就一定可得結(jié)果。并且看起來，解，還不是唯一的；可能有無窮多個(gè)解。535354

設(shè)問題中，需要求的數(shù)是，則被2，3，4，5，6，7，8，9去除，所得的余數(shù)都是比除數(shù)少1，于是我們把被除數(shù)再加1，則就可被2，3，4，5，6，7，8，9均整除。也就是說，是2,3,4,5,6,7,8,9的公倍數(shù)，從而是其最小公倍數(shù)[2,3,4,5,6,7,8,9]的倍數(shù)。545455

即

這就是原問題的全部解，有無窮多個(gè)解，其中第一個(gè)解是2519；我們只取正數(shù)解，因?yàn)椤拔矬w的個(gè)數(shù)”總是正整數(shù)。

55即5556

[思]：求“用2，3，4，5，6，7，8，9除都余1”的數(shù)。

求“用5，7，9，11除都余2”的數(shù)。56[思]：5657

現(xiàn)在仿照上邊用過的“公倍數(shù)法”來看物不知數(shù)問題，設(shè)要求的數(shù)為，則依題意，得聯(lián)立方程組575758

按上一問題中“公倍數(shù)法”解決問題的思路：把方程兩邊同時(shí)加上或減去一個(gè)什么樣的數(shù)，就能使三個(gè)等式的右邊分別是3，5，7的倍數(shù)，從而等式左邊就是3，5，7的公倍數(shù)了。這要通過反復(fù)的試算去完成。58按上一問題中“公倍數(shù)法”解決問題的思路：把方程兩5859一種試算的方法

59一種試算的方法

5960

從第三個(gè)等式入手，兩邊加5（或減2）則得

60從第三個(gè)等式入手，兩邊加5（或減2）則6061

則右邊是7的倍數(shù)了，但兩邊加5（或減2）并不能使前兩式的右邊分別是3的倍數(shù)和5的倍數(shù)，所以兩邊加5（或減2）并不能使右邊成為3，5，7的公倍數(shù)。再繼續(xù)從第三個(gè)等式入手，為使第三個(gè)等式右邊仍然保持是7的倍數(shù)，可再加（或再減），則

（或）將代入試算、分析，61則右邊是7的倍數(shù)了，但兩邊加5（或減2）并6162

最后發(fā)現(xiàn)，為達(dá)到目的（三個(gè)等式的右邊分別是3，5，7的倍數(shù)），最小的加數(shù)是82（時(shí)）（或最小的減數(shù)是23，即時(shí)）。62最后發(fā)現(xiàn)，為達(dá)到目的6263

用等式兩邊加82來求解，有

用等式兩邊減23來求解，有

多了一個(gè)“”，因這時(shí)也是正數(shù)，合要求。63用等式兩邊加82來求解，有6364

這兩組解是一樣的，都是“23，23+105，23+2×105，……”。原因是82+23=105，故令第一組解就成為便轉(zhuǎn)化成第二組解。64這兩組解是一樣的，都是“23，23+1056465

3單因子構(gòu)件湊成法

我們先對前幾頁（*）式作兩個(gè)方面的簡化：一方面是每次只考慮“一個(gè)除式”有余數(shù)的情況（即另兩個(gè)除式都是整除的情況）；另一方面是把余數(shù)都簡化為最簡單的1。這樣得到三組方程。653單因子構(gòu)件湊成法6566

（1）式意味著，在5和7的公倍數(shù)中（35，70，105，…）尋找被3除余1的數(shù)；（2）式意味著，在3和7的公倍數(shù)中（21，42，63，…）尋找被5除余1的數(shù)；（3）式意味著，在3和5的公倍數(shù)中（15，30，45，…）尋找被7除余1的數(shù)。666667

對（1）式而言，這個(gè)數(shù)可以取70，對（2）式而言，這個(gè)數(shù)可以取21，對（3）式而言，這個(gè)數(shù)可以取15。

67對（1）式而言，這個(gè)數(shù)可以取706768

現(xiàn)在重復(fù)一下：所得的x是被3除余1，被5和7除余0的數(shù)；y是被5除余1，被3和7除余0的數(shù)；z是被7除余1，被3和5除余0的數(shù)。68現(xiàn)在重復(fù)一下：所得的x是被3除余1，被6869

那么，湊出，

s不就是我們需要求的數(shù)嗎？

69那么，湊出6970

于是我們要求的數(shù)是這就是《孫子算經(jīng)》中“物不知其數(shù)”一題的解，有無窮多解，最小的正整數(shù)解是23（時(shí)）。70于是我們要求的數(shù)是7071

這里，（1），（2），（3）三式分別叫三個(gè)“單子因構(gòu)件”，分別解得每個(gè)單因子構(gòu)件，都是用某一個(gè)數(shù)去除余1，用另兩個(gè)數(shù)去除均余0的情況。再據(jù)題目要求余數(shù)分別是2，3，2的情況，湊成71這里，（1），（2），（3）三式分別叫三個(gè)71724歌訣

推廣了的“物不知其數(shù)”問題的解為

明朝數(shù)學(xué)家程大位在《算法統(tǒng)宗》中把上式總結(jié)為一首通俗易懂的歌決：

三人同行七十稀，五樹梅花廿一枝，七子團(tuán)圓正半月，除百零五便得知。其中正半月是指15，這個(gè)口訣把3，5，7；70，21，15及105這幾個(gè)關(guān)鍵的數(shù)都總結(jié)在內(nèi)了。詳細(xì)說，歌訣的含義是：用3除的余數(shù)乘70，5除的余數(shù)乘21，7除的余數(shù)乘15，相加后再減去（“除”當(dāng)“減”講）105的適當(dāng)倍數(shù)，就是需要求的（最?。┙饬?。724歌訣7273

當(dāng)然，解，不是唯一的，每差105，都是另一個(gè)解答，但如果結(jié)合實(shí)際問題，答案往往就是唯一的了。例如一隊(duì)士兵的大約人數(shù)，韓信應(yīng)是知道的。73當(dāng)然，解，不是唯一的，每差105，7374

三、中國剩余定理

1247年南宋的數(shù)學(xué)家秦九韶把《孫子算經(jīng)》中“物不知其數(shù)”一題的方法推廣到一般的情況，得到稱之為“大衍求一術(shù)”的方法，在《數(shù)書九章》中發(fā)表。這個(gè)結(jié)論在歐洲要到十八世紀(jì)才由數(shù)學(xué)家高斯和歐拉發(fā)現(xiàn)。所以世界公認(rèn)這個(gè)定理是中國人最早發(fā)現(xiàn)的，特別稱之為“中國剩余定理”（Chineseremaindertheorem）。74三、中國剩余定理7475

四、有趣的應(yīng)用

某單位有100把鎖，分別編號為1，2，3，…，100?，F(xiàn)在要對鑰匙編號，使外單位的人看不懂，而本單位的人一看見鎖的號碼就知道該用哪一把鑰匙。

75四、有趣的應(yīng)用7576

能采用的方法很多，其中一種就是利用中國剩余定理，把鎖的號碼被3，5，7去除所得的三個(gè)余數(shù)來作鑰匙的號碼（首位余數(shù)是0時(shí)，也不能省略）。這樣每把鑰匙都有一個(gè)三位數(shù)編號。例如23號鎖的鑰匙編號是232號，52號鎖的鑰匙編號是123號。76能采用的方法很多，其中一種就是利7677

8號鎖——23119號鎖——14545號鎖——00352號鎖——123

因?yàn)橹挥?00把鎖，不超過105，所以鎖的號與鑰匙的號是一一對應(yīng)的。如果希望保密性再強(qiáng)一點(diǎn)兒，則可以把剛才所說的鑰匙編號加上一個(gè)固定的常數(shù)作為新的鑰匙編號系統(tǒng)。甚至可以每過一個(gè)月更換一次這個(gè)常數(shù)。這樣，仍不破壞鎖的號與鑰匙的號之間的一一對應(yīng)，而外人則更難知道了。778號鎖——2317778趣題——找次品：

1）有5個(gè)外形相同的乒乓球，其中只有

1個(gè)重量不標(biāo)準(zhǔn)的次品乒乓球?，F(xiàn)再給你一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)球；請用一架不帶砝碼的天平，最多兩次使用該天平，找出上述次品乒乓球。78趣題——找次品：1）有5個(gè)外形相同的乒乓球，其中只有7879最優(yōu)化思想最少次數(shù)完成預(yù)定任務(wù)最大限度發(fā)揮該天平的作用79最優(yōu)化思想最少次數(shù)完成預(yù)定任務(wù)7980趣題——找次品：

2）有12個(gè)外形相同的乒乓球，其中只有

1個(gè)重量不標(biāo)準(zhǔn)的次品乒乓球。請用一架不帶砝碼的天平，最多三次使用該天平，找出上述次品乒乓球，并判斷它是重于標(biāo)準(zhǔn)球，還是輕于標(biāo)準(zhǔn)球。80趣題——找次品：2）有12個(gè)外形相同的乒乓球，其中只80數(shù)學(xué)問題中的文化斐波那契數(shù)列數(shù)學(xué)問題中的文化斐波那契數(shù)列81一斐波那契與兔子問題斐波那契（L.Fibonacci,1170-1250）,歐洲黑暗時(shí)期過后，第一位有影響的數(shù)學(xué)家。其著作《算盤書》（1202），第一次系統(tǒng)介紹了印度——阿拉伯?dāng)?shù)碼，對改變歐洲數(shù)學(xué)的面貌產(chǎn)生了很大影響。1228年修訂后的《算盤書》中載有“兔子問題”一斐波那契與兔子問題82

某人在一處有圍墻的地方養(yǎng)了一對兔子，假定每對兔子每月生一對小兔，而小兔出生后兩個(gè)月就能生育。問從這對兔子開始，一年內(nèi)能繁殖成多少對兔子？11235813某人在一處有圍墻的地方養(yǎng)了一對兔子，假定每對兔子每月生一83數(shù)學(xué)問題中的文化課件84二斐波那契數(shù)列1.通項(xiàng)公式1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，233，……二斐波那契數(shù)列852.神奇的斐波那契數(shù)列1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144……上面數(shù)列平方得到1，1，4，9，25，64，169，441，……連續(xù)兩項(xiàng)相加得2，5，13，34，89，233，……2.神奇的斐波那契數(shù)列861，1，2，3，5，8，13，21，34，1，1，4，9，25，64，169，441，……1=11+1=1×21+1+4=2×31+1+4+9=3×51+1+4+9+25=5

×81，1，2，3，5，8，13，21，34，87數(shù)學(xué)問題中的文化課件88奇數(shù)項(xiàng)求和得1，3，8，21，……偶數(shù)項(xiàng)求和奇數(shù)項(xiàng)求和得偶數(shù)項(xiàng)求和89每連續(xù)10個(gè)斐波那契數(shù)的和有什么特點(diǎn)呢？1+1+2+3+5+8+13+21+34+55=1431+2+3+5+8+13+21+34+55+89=2312+3+5+8+13+21+34+55+89+144=3+5+8+13+21+34+55+89+144+233=每連續(xù)10個(gè)斐波那契數(shù)的和有什么特點(diǎn)呢？9091

3．斐波那契數(shù)列與連分?jǐn)?shù)

這不是一個(gè)普通的分?jǐn)?shù)，而是一個(gè)分母上有無窮多個(gè)“1”的繁分?jǐn)?shù)，我們通常稱這樣的分?jǐn)?shù)為“連分?jǐn)?shù)”。113．斐波那契數(shù)列與連分?jǐn)?shù)9192

上述這一全部由1構(gòu)成的連分?jǐn)?shù)，

是最簡單的一個(gè)連分?jǐn)?shù)。12上述這一全部由1構(gòu)成的連分?jǐn)?shù)，

是最簡單的9293

通常，求連分?jǐn)?shù)的值，如同求無理數(shù)的值一樣，我們常常需要求它的近似值。如果把該連分?jǐn)?shù)從第條分?jǐn)?shù)線截住，即把第條分?jǐn)?shù)線上、下的部分都刪去，就得到該連分?jǐn)?shù)的第次近似值，記作

13通常，求連分?jǐn)?shù)的值，如同求無理數(shù)的值一樣9394

對照可算得

149495

順序排起來，這個(gè)連分?jǐn)?shù)的近似值逐次為

其分子、分母恰是菲波那契數(shù)；有無極限，若有，極限值即為連分?jǐn)?shù)的值。

15954斐波那契數(shù)列與黃金分割數(shù)學(xué)問題中的文化課件9697

上述連分?jǐn)?shù)可以看作是中，把的表達(dá)式反復(fù)代入等號右端得到的；例如，第一次代入得到的是

反復(fù)迭代，就得到上述連分?jǐn)?shù)。17上述連分?jǐn)?shù)可以看作是9798

1898美妙的結(jié)論

斐波那契數(shù)列相鄰兩項(xiàng)比的數(shù)列的極限是最簡連分?jǐn)?shù)的值，此值為黃金分割數(shù)。美妙的結(jié)論99數(shù)學(xué)問題中的文化課件100101

黃金分割

定義：把任一線段分割成兩段，使，這樣的分割叫黃金分割，這樣的比值叫黃金比。（可以有兩個(gè)分割點(diǎn)）

1小段大段21黃金分割

定義：把任一線段分101102故有

小段大段22故有小段大段102103

黃金分割的尺規(guī)作圖

設(shè)線段為。作，且，連。作交于，再作交于，則，即為的黃金分割點(diǎn)。23黃金分割的尺規(guī)作圖103104

證：不妨令，則，，，

證完。24證：不妨令，則104105

黃金分割的美黃金分割之所以稱為“黃金”分割，是比喻這一“分割”如黃金一樣珍貴。黃金比，是工藝美術(shù)、建筑、攝影等許多藝術(shù)門類中審美的因素之一。認(rèn)為它表現(xiàn)了恰到好處的“和諧”。例如:25黃金分割的美1051061）人體各部分的比肚臍：（頭—腳）印堂穴：（口—頭頂）肘關(guān)節(jié)：（肩—中指尖）膝蓋：（髖關(guān)節(jié)—足尖）261）人體各部分的比1061072）著名建筑物中各部分的比

如埃及的金字塔，高（137米）與底邊長（227米）之比為0.629古希臘的巴特農(nóng)神殿，塔高與工作廳高之比為340∶553≈0.615（外形的高與寬之比？大理石廊柱高與神殿高之比？）272）著名建筑物中各部分的比

如埃及的107108

3）美觀矩形的寬長比如國旗和其它用到矩形的地方（建筑、家具）

283）美觀矩形的1081094）正五角星中的比

294）正五角星中的比

1091105）舞臺報(bào)幕者的最佳站位在整個(gè)舞臺寬度的0.618處較美305）舞臺報(bào)幕者110111

四．推廣的斐波那契數(shù)列—盧卡斯數(shù)列

1）盧卡斯數(shù)列盧卡斯（Lucas，F(xiàn).E.A.1824-1891）構(gòu)造了一類更值得研究的數(shù)列，現(xiàn)被稱為“推廣的斐波那契數(shù)列”。31四．推廣的斐波那契數(shù)列—盧卡斯數(shù)列111112

即從任何兩個(gè)正整數(shù)開始，往后的每一個(gè)數(shù)是其前兩個(gè)數(shù)之和，由此構(gòu)成無窮數(shù)列。此即，二階遞推公式中，遞推式與前面一樣，而起始整數(shù)可任取。32即從任何兩個(gè)正整數(shù)開始，往后的每112113

斐波那契數(shù)列1，1，2，3，5，8，…是這類數(shù)列中最簡單的一個(gè)，起始整數(shù)分別取為1、1。次簡單的為1，3，4，7，11，18，…現(xiàn)稱之為盧卡斯數(shù)列。盧卡斯數(shù)列的通項(xiàng)公式是

33斐波那契數(shù)列1，1，2，3，5，8，…113114

推廣的斐波那契數(shù)列與斐波那契數(shù)列一樣，與黃金分割有密切的聯(lián)系：該數(shù)列相鄰兩數(shù)之比，交替地大于或小于黃金比；并且，兩數(shù)之比的差隨項(xiàng)數(shù)的增加而越來越小，趨近于0，從而這個(gè)比存在極限；而且這個(gè)比的極限也是黃金比。

34推廣的斐波那契數(shù)列與斐波那契數(shù)列114115類似于前面提到的數(shù)列

對于推廣的斐波那契數(shù)列，相鄰兩項(xiàng)之比的極限也是35類似于前面提到的數(shù)列115五自然界中的斐波那契數(shù)五自然界中的斐波那契數(shù)116117菜花表面排列的螺線數(shù)（5-8）37菜花表面排列的螺線數(shù)（5-8）117118

向日葵花盤內(nèi)，種子是按對數(shù)螺線排列的，有順時(shí)針轉(zhuǎn)和逆時(shí)針轉(zhuǎn)的兩組對數(shù)螺線。兩組螺線的條數(shù)往往成相繼的兩個(gè)斐波那契數(shù)，一般是34和55，大向日葵是89和144，還曾發(fā)現(xiàn)過一個(gè)更大的向日葵有144和233條螺線，它們都是相繼的兩個(gè)斐波那契數(shù)。38向日葵花盤內(nèi)，種子是按對數(shù)螺線排118數(shù)學(xué)問題中的文化課件119數(shù)學(xué)問題中的文化課件1201 c1 c1211221．跳格游戲

421．跳格游戲122123

如圖，一個(gè)人站在“梯子格”的起點(diǎn)處向上跳，從格外只能進(jìn)入第1格，從格中，每次可向上跳一格或兩格，問：可以用多少種方法，跳到第n格？

43如圖，一個(gè)人站在“梯子格”的起點(diǎn)處向上1231242．蜜蜂進(jìn)蜂房問題：

一次蜜蜂從蜂房A出發(fā)，想爬到、、……、n號蜂房，只允許它自左向右（不許反方向倒走）。則它爬到各號蜂房的路線多少？空空空

空空空

1357246nn-2n-1…………442．蜜蜂進(jìn)蜂房問題：一次蜜蜂從蜂房A出發(fā)124125第三講韓信點(diǎn)兵與中國剩余定理

45125126韓信是中國古代一位有名的大元帥。他少年時(shí)就父母雙亡，生活困難，曾靠乞討為生，還經(jīng)常受到某些潑皮的欺凌，胯下之辱講的就是韓信少年時(shí)被潑皮強(qiáng)迫從胯下鉆過的事。后來他投奔劉邦，展現(xiàn)了他杰出的軍事才能，為劉邦打敗了楚霸王項(xiàng)羽立下汗馬功勞，開創(chuàng)了劉漢皇朝四百年的基業(yè)。民間流傳著一些以韓信為主角的有關(guān)聰明人的故事，韓信點(diǎn)兵的故事就是其中的一個(gè)。一、“韓信點(diǎn)兵”的故事與《孫子算經(jīng)》中的題目46韓信是中國古代一位有名的大元帥。他少年時(shí)就父母雙亡，生活126127

相傳有一次，韓信將1500名將士與楚王大將李鋒交戰(zhàn)。雙方大戰(zhàn)一場，楚軍不敵，敗退回營。而漢軍也有傷亡，只是一時(shí)還不知傷亡多少。于是，韓信整頓兵馬也返回大本營，準(zhǔn)備清點(diǎn)人數(shù)。當(dāng)行至一山坡時(shí)，忽有后軍來報(bào)，說有楚軍騎兵追來。韓信馳上高坡觀看，只見遠(yuǎn)方塵土飛揚(yáng)，殺聲震天。漢軍本來已經(jīng)十分疲憊了，這時(shí)不由得人心大亂。韓信仔細(xì)地觀看敵方，發(fā)現(xiàn)來敵不足五百騎，便急速點(diǎn)兵迎敵。不一會兒，值日副官報(bào)告，共有1035人。他還不放心，決定自己親自算一下。

1.“韓信點(diǎn)兵”的故事47相傳有一次，韓信將1500名將士與楚王大將李鋒交127128

韓信閱兵時(shí)，讓一隊(duì)士兵5人一行排隊(duì)從他面前走過，他記下最后一行士兵的人數(shù)（1人）；再讓這隊(duì)士兵6人一行排隊(duì)從他面前走過，他記下最后一行士兵的人數(shù)（5人）；再讓這隊(duì)士兵7人一行排隊(duì)從他面前走過，他記下最后一行士兵的人數(shù)（4人），再讓這隊(duì)士兵11人一行排隊(duì)從他面前走過，他記下最后一行士兵的人數(shù)（10人）。然后韓信就憑這些數(shù)，可以求得這隊(duì)士兵的總?cè)藬?shù)。48韓信閱兵時(shí)，讓一隊(duì)士兵5人一行排隊(duì)從他面前走過128129

約成書于四、五世紀(jì)，作者生平和編寫年代都不清楚。現(xiàn)在傳本的《孫子算經(jīng)》共三卷。卷上敘述算籌記數(shù)的縱橫相間制度和籌算乘除法則，卷中舉例說明籌算分?jǐn)?shù)算法和籌算開平方法。卷下第31題，可謂是后世“雞兔同籠”題的始祖，后來傳到日本，變成“鶴龜算”。2.《孫子算經(jīng)》

書中是這樣敘述的：“今有雞兔同籠，上有三十五頭，下有九十四足，問雞兔各幾何？這四句話的意思是：有若干只雞兔同在一個(gè)籠子里，從上面數(shù)，有35個(gè)頭；從下面數(shù)，有94只腳。求籠中各有幾只雞和兔？《孫子算經(jīng)》49約成書于四、五世紀(jì)，作者生平和編寫年代都不清楚。129130

我國古代數(shù)學(xué)名著《孫子算經(jīng)》中有“物不知數(shù)”的題目：

今有物不知其數(shù)，三三數(shù)之剩2，五五數(shù)之剩3，七七數(shù)之剩2，問物幾何？《孫子算經(jīng)》中的題目

50我國古代數(shù)學(xué)名著《孫子算經(jīng)》中有“物不知數(shù)”的130131

二．問題的解答

1.篩法

先給出被3除余2的數(shù)2，5，8，11，……，3k+2,…

上列數(shù)種被5除余3的數(shù)8，23，38，……，8+15k

第二列中被7除余2的數(shù)23，128，233，……，23+105k

51二．問題的解答1312．從另一個(gè)問題入手(公倍數(shù)方法)

問題：今有物不知其數(shù)，二二數(shù)之剩1，三三數(shù)之剩2，四四數(shù)之剩3，五五數(shù)之剩4，六六數(shù)之剩5，七七數(shù)之剩6，八八數(shù)之剩7，九九數(shù)之剩8，問物幾何？2．從另一個(gè)問題入手(公倍數(shù)方法)132133

再從中挑“用5除余4”的數(shù)，…

一直篩選下去，舍得下功夫，就一定可得結(jié)果。并且看起來，解，還不是唯一的；可能有無窮多個(gè)解。53133134

設(shè)問題中，需要求的數(shù)是，則被2，3，4，5，6，7，8，9去除，所得的余數(shù)都是比除數(shù)少1，于是我們把被除數(shù)再加1，則就可被2，3，4，5，6，7，8，9均整除。也就是說，是2,3,4,5,6,7,8,9的公倍數(shù)，從而是其最小公倍數(shù)[2,3,4,5,6,7,8,9]的倍數(shù)。54134135

即

這就是原問題的全部解，有無窮多個(gè)解，其中第一個(gè)解是2519；我們只取正數(shù)解，因?yàn)椤拔矬w的個(gè)數(shù)”總是正整數(shù)。

55即135136

[思]：求“用2，3，4，5，6，7，8，9除都余1”的數(shù)。

求“用5，7，9，11除都余2”的數(shù)。56[思]：136137

現(xiàn)在仿照上邊用過的“公倍數(shù)法”來看物不知數(shù)問題，設(shè)要求的數(shù)為，則依題意，得聯(lián)立方程組57137138

按上一問題中“公倍數(shù)法”解決問題的思路：把方程兩邊同時(shí)加上或減去一個(gè)什么樣的數(shù)，就能使三個(gè)等式的右邊分別是3，5，7的倍數(shù)，從而等式左邊就是3，5，7的公倍數(shù)了。這要通過反復(fù)的試算去完成。58按上一問題中“公倍數(shù)法”解決問題的思路：把方程兩138139一種試算的方法

59一種試算的方法

139140

從第三個(gè)等式入手，兩邊加5（或減2）則得

60從第三個(gè)等式入手，兩邊加5（或減2）則140141

則右邊是7的倍數(shù)了，但兩邊加5（或減2）并不能使前兩式的右邊分別是3的倍數(shù)和5的倍數(shù)，所以兩邊加5（或減2）并不能使右邊成為3，5，7的公倍數(shù)。再繼續(xù)從第三個(gè)等式入手，為使第三個(gè)等式右邊仍然保持是7的倍數(shù)，可再加（或再減），則

（或）將代入試算、分析，61則右邊是7的倍數(shù)了，但兩邊加5（或減2）并141142

最后發(fā)現(xiàn)，為達(dá)到目的（三個(gè)等式的右邊分別是3，5，7的倍數(shù)），最小的加數(shù)是82（時(shí)）（或最小的減數(shù)是23，即時(shí)）。62最后發(fā)現(xiàn)，為達(dá)到目的142143

用等式兩邊加82來求解，有

用等式兩邊減23來求解，有

多了一個(gè)“”，因這時(shí)也是正數(shù)，合要求。63用等式兩邊加82來求解，有143144

這兩組解是一樣的，都是“23，23+105，23+2×105，……”。原因是82+23=105，故令第一組解就成為便轉(zhuǎn)化成第二組解。64這兩組解是一樣的，都是“23，23+105144145

3單因子構(gòu)件湊成法

我們先對前幾頁（*）式作兩個(gè)方面的簡化：一方面是每次只考慮“一個(gè)除式”有余數(shù)的情況（即另兩個(gè)除式都是整除的情況）；另一方面是把余數(shù)都簡化為最簡單的1。這樣得到三組方程。653單因子構(gòu)件湊成法145146

（1）式意味著，在5和7的公倍數(shù)中（35，70，105，…）尋找被3除余1的數(shù)；（2）式意味著，在3和7的公倍數(shù)中（21，42，63，…）尋找被5除余1的數(shù)；（3）式意味著，在3和5的公倍數(shù)中（15，30，45，…）尋找被7除余1的數(shù)。66146147

對（1）式而言，這個(gè)數(shù)可以取70，對（2）式而言，這個(gè)數(shù)可以取21，對（3）式而言，這個(gè)數(shù)可以取15。

67對（1）式而言，這個(gè)數(shù)可以取70147148

現(xiàn)在重復(fù)一下：所得的x是被3除余1，被5和7