塑性力學(xué)屈服條件學(xué)習(xí)培訓(xùn)課件

彈塑性力學(xué)

教師:王曉紅

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教師:王曉紅

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彈塑性力學(xué)

第二篇:

塑性理論2特選材料%彈塑性力學(xué)

第二篇:塑性理論2特選材料%第二章屈服條件物體受力以后產(chǎn)生變形。隨著力的增加，到一定程度時(shí)，變形由彈性的變成非彈性的，即開始產(chǎn)生永久變形。

由彈性過度到非彈性的條件是什么?也就是說將物體從自然狀態(tài)開始加載，當(dāng)應(yīng)力達(dá)到什么程度時(shí)開始產(chǎn)生塑性變形，以及，應(yīng)力如何變化才能使塑性變形繼續(xù)發(fā)展。前者是初始屈服問題，后者是后繼屈服問題。這就是本章要討論的主要內(nèi)容。本章著重介紹常用的作為判斷延性金屬開始塑性屈服的兩個(gè)條件，即Tresca條件和Mises條件。然后，再討論一下變形硬化的問題，即后續(xù)屈服的問題。3特選材料%第二章屈服條件物體受力以后產(chǎn)生變形。隨著力的增加，到一定程在分析復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)的塑性變形規(guī)律之前，我們先來觀察一下大家所熟知的簡單拉伸實(shí)驗(yàn)。1.簡單拉伸時(shí)的塑性現(xiàn)象

1.1簡單拉伸實(shí)驗(yàn)-假定所用的材料具有彈塑性現(xiàn)象，是各向同性的，對拉伸和壓縮具有相同的力學(xué)性質(zhì)，即對于初始材料，先拉或先壓，其力學(xué)性能是相同的。從實(shí)驗(yàn)結(jié)果可以繪出其σ-ε曲線4特選材料%在分析復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)的塑性變形規(guī)律之前，我們先來觀察一下大家從實(shí)驗(yàn)結(jié)果可以繪出其σ-ε曲線-如圖所示：它是忽略了一些次耍的因素而稍加理想化了的應(yīng)力-應(yīng)變曲線圖，但反映了常溫、靜載下，材料在受力過程中應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系的基本面貌，顯示了材料固有力學(xué)性能，從這里我們可以看到：（1）隨著荷載的增加，在變形的最初階段，直到A點(diǎn)以前，應(yīng)力σ和應(yīng)變成直線關(guān)系：彈性模量5特選材料%從實(shí)驗(yàn)結(jié)果可以繪出其σ-ε曲線-如圖所示：它是忽略了一（1）隨著荷載的增加，在變形的最初階段，直到A點(diǎn)以前，應(yīng)力σ和應(yīng)變成直線關(guān)系：彈性模量由于超過A點(diǎn)以后，就不再保持上述的比例關(guān)系，所以與A點(diǎn)相應(yīng)的應(yīng)力叫材料的比例極限。如果在A點(diǎn)以前將荷載逐漸消除，變形即跟著完全消失，所以在OA段內(nèi)僅有彈性變形。6特選材料%（1）隨著荷載的增加，在變形的最初階段，直到A點(diǎn)以前，應(yīng)力σ（2）當(dāng)荷載繼續(xù)增加，此時(shí)變形的增長比在A點(diǎn)之前稍大，但在未超過B點(diǎn)以前，變形仍是可以恢復(fù)的。所以將與B點(diǎn)相應(yīng)的應(yīng)力叫做材料的彈性極限。它表示材料不致產(chǎn)生殘余變形的最大應(yīng)力值。(3)繼續(xù)加載達(dá)到C點(diǎn)時(shí)，變形增長得較快。過C點(diǎn)后，在幾乎不增加荷載的情況下，變形會(huì)繼續(xù)迅速增加。這時(shí)，發(fā)生了顯著的殘余變形，材料達(dá)到屈服階段。與C點(diǎn)相應(yīng)的應(yīng)力就稱為材料的屈服極限。7特選材料%（2）當(dāng)荷載繼續(xù)增加，此時(shí)變形的增長比在A點(diǎn)之前稍大，但在未像軟鋼一類材料具有明顯的屈服階段，σ-e曲線在這時(shí)有一個(gè)明顯的平緩的部分(下左圖所示)。

但有些材料(如鋁合金）沒有明顯的屈服階段(下右圖)。在工程上往往以殘余變形達(dá)0.2%時(shí)作為塑性變形的開始，其相應(yīng)的應(yīng)力作為材料的屈服應(yīng)力.由于-般材料的比例極限、彈性極限和屈服極限相差不大，為了方便，通常不加區(qū)分。我們以后都用，并稱為屈服應(yīng)力。σ%8特選材料%像軟鋼一類材料具有明顯的屈服階段，σ-e曲線在這時(shí)有一-

由于材料是各向同性的，如果開始不做拉伸實(shí)驗(yàn)，而做壓縮實(shí)驗(yàn)，則壓縮應(yīng)力-應(yīng)變曲線將和拉伸時(shí)的曲線一樣。--初始彈性階段：這樣，我們可以認(rèn)為材料在應(yīng)力到達(dá)屈服極限，以前（）是彈性的，應(yīng)力與應(yīng)變成正比，即服從Hooke定律，這個(gè)階段稱為初始彈性階段。--初始屈服點(diǎn)：曲線上和

相應(yīng)的點(diǎn)是初始彈性階段的界限，超過此界限以后材料就進(jìn)入塑性階段了，所以把它稱為初始屈服點(diǎn)。--

材料由初始彈性階段進(jìn)入塑性的過程就稱為初始屈服。9特選材料%-由于材料是各向同性的，如果開始不做拉伸實(shí)驗(yàn)，而做壓縮實(shí)驗(yàn)（4）當(dāng)材料屈服到一定程度時(shí)，它的內(nèi)部結(jié)構(gòu)因?yàn)榫w排列的位置在改變后又重新得到調(diào)整，使它又重新或得了繼續(xù)抵抗外載的能力。--應(yīng)變硬化：在繼續(xù)加載后，曲線在屈服后繼續(xù)上升，這就說明材料在屈服以后，必須繼續(xù)增大應(yīng)力才能使它產(chǎn)生新的塑性變形。這種現(xiàn)象稱為應(yīng)變硬化或加工硬化，簡稱為硬化。這個(gè)變形階段稱為硬化階段。--應(yīng)變軟化：當(dāng)曲線到達(dá)最高點(diǎn)E時(shí)，荷載達(dá)到最大值，此時(shí)，由于頸縮現(xiàn)象的出現(xiàn)，在E點(diǎn)以后荷載開始下降，直至斷裂。這種應(yīng)力降低、應(yīng)變增加的現(xiàn)象稱為應(yīng)變軟化，簡稱為軟化。和E點(diǎn)相應(yīng)的應(yīng)力就稱為強(qiáng)度極限。10特選材料%（4）當(dāng)材料屈服到一定程度時(shí)，它的內(nèi)部結(jié)構(gòu)因?yàn)榫w排列的位置（5）如果將試件拉伸到塑性階段的某點(diǎn)，例如D點(diǎn)，以后逐漸減小應(yīng)力，即卸載，則σ-e曲線將沿著大致與OA平行的直線下降。在全部卸除荷載之后，留下殘余變形。表示全應(yīng)變e，

是可以恢復(fù)的應(yīng)變即彈性應(yīng)變是不能恢復(fù)的應(yīng)變，即塑性應(yīng)變，則：即全應(yīng)變等于彈性應(yīng)變加上塑性應(yīng)變。--若在卸載后重新加載，曲線基本上仍沿上升至D時(shí)又開始產(chǎn)生新的塑性變形，好像又進(jìn)入了新的屈服，然后順著原來的DE線上升，就像未曾卸載一樣。（2-1）11特選材料%（5）如果將試件拉伸到塑性階段的某點(diǎn)，例如D點(diǎn)，以后逐漸減小--后繼屈服：為了與初始屈服相區(qū)別，繼續(xù)發(fā)生新的塑性變形時(shí)材料的再度屈服稱為繼續(xù)屈服或后繼屈服，相應(yīng)的屈服點(diǎn)D稱為后繼屈服點(diǎn)。相應(yīng)的屈服應(yīng)力：稱為后繼屈服應(yīng)力。--由于硬化作用，使材料的后繼屈服極限比初始屈服極限提高了，即而且和

不同，不是材料常數(shù)，它的大小是和塑性變形的大小和歷史有關(guān)的。12特選材料%--后繼屈服：為了與初始屈服相區(qū)別，繼續(xù)發(fā)生新的塑性變形時(shí)材--這個(gè)效應(yīng)說明對先給出某方向的塑性變形的材料，如再加上反方向的荷載，和先前相比，抵抗變形的能力減小，

即一個(gè)方向的硬化引起相反方向的軟化。這樣，即使是初始各向同性的材料，在出現(xiàn)塑性變形以后，就帶各向異性。雖然多數(shù)情況下為了筒化而不考慮Bauschinger效應(yīng)，但對有反復(fù)加載的情況必須予以考慮。（6）Bauschinger效應(yīng)：如果在完全卸載后施加相反方向的應(yīng)力，譬如由拉改為壓力，則曲線沿

的延長線下降，即開始是成直線關(guān)系（彈性變形)，但至一定程度(點(diǎn))又開始進(jìn)入屈服，并有反方向應(yīng)力的屈服極限降低的現(xiàn)象，這種現(xiàn)象稱為：Bauschinger(包辛格）效應(yīng)。

13特選材料%--這個(gè)效應(yīng)說明對先給出某方向的塑性變形的材料，如再加上反--后繼彈性階段：卸載的過程中，從D到，雖然也是線性關(guān)系，應(yīng)服從Hooke定律，但不能寫成全量形式，而應(yīng)寫成增量關(guān)系，這是因?yàn)槿珣?yīng)變中有一部分是塑性應(yīng)變，并不服從彈性定律。這個(gè)變形階段稱為后繼彈性階段，后繼屈服點(diǎn)就是它的界限點(diǎn)，且這種界限點(diǎn)的位置是隨塑性變形的大小和歷史而改變的。14特選材料%--后繼彈性階段：卸載的過程中，從D到，雖然也是線性關(guān)--從這個(gè)簡單拉伸實(shí)驗(yàn)所觀察到的現(xiàn)象可以知道，和彈性階段不同，塑性的變形規(guī)律即本構(gòu)關(guān)系應(yīng)具有以下幾個(gè)重要的特點(diǎn)：(1)首先要有一個(gè)判斷材料是處于彈性階段還是已進(jìn)入塑性階段的判斷式，即屈服條件，對簡單拉伸或壓縮應(yīng)為狀態(tài)。這個(gè)判別式為：初始屈服條件：

后繼屈服條件：

是常數(shù)，而

的大小由塑性變形的大小和歷史所決定，它們都是取絕對值。

(2)應(yīng)力和應(yīng)變之間是非線性關(guān)系。15特選材料%--從這個(gè)簡單拉伸實(shí)驗(yàn)所觀察到的現(xiàn)象可以知道，和彈性階段不同(2)應(yīng)力和應(yīng)變之間是非線性關(guān)系。(3)應(yīng)力和應(yīng)變之間不存在彈性階段那樣的單值關(guān)系，因?yàn)榧虞d和卸載是分別服從不同的規(guī)律。這一點(diǎn)又決定了它和非線性彈性問題不同。--在單向拉伸或壓縮應(yīng)力狀態(tài)下，這些關(guān)系可表示為：彈性階段：（當(dāng)時(shí)）

彈塑性階段：（當(dāng)時(shí)）加載（），（非線性關(guān)系）卸載（），（線性關(guān)系）

16特選材料%(2)應(yīng)力和應(yīng)變之間是非線性關(guān)系。(3)應(yīng)力和應(yīng)變之間不因?yàn)榧虞d和卸載時(shí)服從不同的規(guī)律，因此，如不指明變形路徑（歷史）是不能由應(yīng)力確定應(yīng)變（右圖）或由應(yīng)變確定應(yīng)力（左圖）

加載（），（非線性關(guān)系）卸載（），（線性關(guān)系）

同一應(yīng)力對應(yīng)不同的應(yīng)變同一應(yīng)變對應(yīng)不同的應(yīng)力17特選材料%因?yàn)榧虞d和卸載時(shí)服從不同的規(guī)律，因此，如不指明變形路徑（歷史--由此可知，塑性變形的規(guī)律遠(yuǎn)比彈性變形的規(guī)律復(fù)雜得多，它是一個(gè)非線性的、加載與卸載不同的復(fù)雜關(guān)系，這就決定了塑性力學(xué)遠(yuǎn)比彈性力學(xué)復(fù)雜。--所以，在塑性為學(xué)中，為了能使復(fù)雜的問題得到解決，常常不得不引進(jìn)一些恰當(dāng)?shù)募僭O(shè)，使問題得到合理的解決。---在確定力學(xué)模型時(shí)，要特別注意使所選取的力學(xué)模型必須符合材料的實(shí)際情況，只有這樣才能使計(jì)算結(jié)果反映結(jié)構(gòu)或構(gòu)件中的真實(shí)應(yīng)力及應(yīng)力狀況。---另一方面，要注意所選取的力學(xué)模型的數(shù)學(xué)表達(dá)式應(yīng)該足夠簡單，以便在求解具體問題時(shí)，不出現(xiàn)過大的數(shù)學(xué)上的困難。18特選材料%--由此可知，塑性變形的規(guī)律遠(yuǎn)比彈性變形的規(guī)律復(fù)雜得多，它(1)理想彈性力學(xué)模型符合材料的實(shí)際情況。數(shù)學(xué)表達(dá)式足夠簡單。2.力學(xué)模型的要求：[徐;p80]σe彈性變形：應(yīng)力與應(yīng)變之間是一種線性關(guān)系,應(yīng)力和應(yīng)變關(guān)系的數(shù)學(xué)表達(dá)式:在此階段中，外載荷引起的應(yīng)力，應(yīng)變和位移，與加載次序和歷史無關(guān)。在除去外載后，物體完全恢復(fù)到初始狀態(tài)，而且在物體中沒有任何殘余應(yīng)力和殘余變形。19特選材料%(1)理想彈性力學(xué)模型符合材料的實(shí)際情況。2.力學(xué)模型的要(2)理想彈塑性力學(xué)模型σeσsεs彈性變形階段(OA):

應(yīng)力與應(yīng)變(線性關(guān)系)塑性變形階段(AB)：材料進(jìn)入塑性狀態(tài)后，如不考慮材料的強(qiáng)化性質(zhì)，則可得到如圖所示的理想彈塑性模型。(徐3-9)AB20特選材料%(2)理想彈塑性力學(xué)模型σeσsεs彈性變形階段(OA):(3)線性強(qiáng)化彈塑性力學(xué)模型σεσsEE1當(dāng)考慮材料的強(qiáng)化性質(zhì)時(shí)，可采用線性強(qiáng)化彈塑性力學(xué)模型圖中有兩條直線，OA和AB，其解析表達(dá)式為：oAB式中，E及E1分別為線段OA及AB的斜率(徐3-10)由于OA和AB是兩條直線，也稱雙線性強(qiáng)化模型。εs21特選材料%(3)線性強(qiáng)化彈塑性力學(xué)模型σεσsEE1當(dāng)考慮材料的強(qiáng)化sεε=1（4）

冪強(qiáng)化力學(xué)模型n：強(qiáng)化指數(shù)：0n1An=1n=0為了避免解析式在處的變化，有時(shí)可以采用幕強(qiáng)化力學(xué)模型上式所代表的曲線在ε=0處與σ軸相切，而且有下列公式：σ=Aε當(dāng)n

=

1，（a）σ=A當(dāng)n=0，（b）(a)式代表理想彈性模型，若將式中的A用彈性模量E代替，則為胡克定律的表達(dá)式。而式(b)的A用σs代替。則為理想塑性(或稱剛塑性)力學(xué)模型。通過求解式(a)和(b)則可得ε=

1，即這兩條線在ε=1處相交22特選材料%sεε=1（4）冪強(qiáng)化力學(xué)模型n：強(qiáng)化指數(shù)：0n（6）

線性強(qiáng)化剛塑性力學(xué)模型σsσε（剛塑性力學(xué)模型）（5）

理想塑性力學(xué)模型σεE1σs在許多實(shí)際工程問題中，彈性應(yīng)變比塑性應(yīng)變小得多，因而可以忽略彈性應(yīng)變，若不考慮強(qiáng)化效應(yīng)，則稱這種模型為剛塑性力學(xué)模型。這一模型假設(shè):在應(yīng)力到達(dá)屈服極限之前應(yīng)變?yōu)榱?。線段AB平行于ε軸，卸載線平行于σ軸。卸載線平行于σ軸。ABAB23特選材料%（6）線性強(qiáng)化剛塑性力學(xué)模型σsσε（剛塑性力學(xué)模型）（5在塑性力學(xué)中，剛塑性力學(xué)模型具有重要意義。在塑性成形理論中的許多情況下，塑性應(yīng)變一般都比彈性應(yīng)變大得多，所以忽略彈性應(yīng)變而只考慮塑性應(yīng)變是合理的，對總體的計(jì)算結(jié)果影響不大。采用剛塑性力學(xué)模型給數(shù)學(xué)計(jì)算帶來較大的簡化。使許多復(fù)雜問題能獲得完整的解析表達(dá)式。在以上所提及的幾種力學(xué)模型中，理想彈塑性、冪強(qiáng)化及理想剛塑性力學(xué)模型應(yīng)用最為廣泛。24特選材料%在塑性力學(xué)中，剛塑性力學(xué)模型具有重要意義。在塑性成形理論中的3.初始屈服條件和初始屈服

問題：當(dāng)應(yīng)力（或變形)發(fā)展到什么程度開始屈服呢?也就是要找出在物體內(nèi)一點(diǎn)開始出現(xiàn)塑性變形時(shí)其應(yīng)力狀態(tài)所應(yīng)滿足的條件，稱為初始屈服條件，有時(shí)簡稱為屈服條件，又稱為塑性條件有了這個(gè)條件就不難回答上面的問題。物體受到荷載作用以后，最初是產(chǎn)生彈性變形，隨著荷載的逐漸增加至一定程度，有可能使物體內(nèi)應(yīng)力較大的部位開始出現(xiàn)塑性變形，這種由彈性狀態(tài)進(jìn)入塑性狀態(tài)是初始屈服。（1）初始屈服條件

25特選材料%3.初始屈服條件和初始屈服

問題：當(dāng)應(yīng)力（或變形)發(fā)展到什對簡單的應(yīng)為狀態(tài)，這個(gè)問題容易回答。-

簡單拉伸：當(dāng)拉應(yīng)力σ達(dá)到材料屈服極限時(shí)開始屈服，所以這個(gè)條件可寫成或-

純剪狀態(tài)：當(dāng)剪應(yīng)力τ達(dá)到材料剪切屈服極限τ時(shí)開始屈服，即純剪的屈服條件為：或復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)：（確定材料的屈服界限就不那么簡單）例如：薄壁圓管受內(nèi)壓P、拉力F和扭矩T作用，管子平均半徑r，壁厚為t，t?r。26特選材料%對簡單的應(yīng)為狀態(tài)，這個(gè)問題容易回答。-簡單拉伸：當(dāng)拉應(yīng)力復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)：（確定材料的屈服界限就不那么簡單）例如：薄壁圓管受內(nèi)壓P、拉力F和扭矩T作用，管子平均半徑r，壁厚為t，t?r。TFFT顯然，對于不同的外力組合，所產(chǎn)生的應(yīng)力狀態(tài)不同。如何確定屈服極限？組合應(yīng)力27特選材料%復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)：（確定材料的屈服界限就不那么簡單）TFFT顯因此，在一般情況下，應(yīng)力狀態(tài)是由六個(gè)獨(dú)立的應(yīng)力分量確定的，顯然不能簡單地取某一個(gè)應(yīng)力分量作為判斷是否開始屈服的標(biāo)準(zhǔn)，何況這六個(gè)分量還和坐標(biāo)軸的選擇有關(guān)。

對應(yīng)于不同應(yīng)力狀態(tài)的屈服條件：

<ⅰ>在一定的內(nèi)力組合下，所產(chǎn)生的應(yīng)力隨著內(nèi)力的增加而進(jìn)入塑性狀態(tài)，于是就可得到這種應(yīng)力狀態(tài)的屈服條件。

<ⅱ>確定這種屈服條件，也要通過實(shí)驗(yàn)確定。由于這種內(nèi)力組合是多種多樣的，實(shí)驗(yàn)的次數(shù)也將很多，不可能一一做到。所以要以實(shí)驗(yàn)為基礎(chǔ)，從理論上尋求其規(guī)律，找出屈服條件的解析式，建立屈服條件的理論。28特選材料%因此，在一般情況下，應(yīng)力狀態(tài)是由六個(gè)獨(dú)立的應(yīng)力分量確定的，顯（2-2）有一點(diǎn)可以肯定的是屈服條件應(yīng)該和這六個(gè)應(yīng)力分量有關(guān)，還和材料的性質(zhì)有關(guān)，即屈服條件可以寫成下面的函數(shù)關(guān)系（2）初始屈服函數(shù)

或該函數(shù)就稱為初始屈服函數(shù)屈服條件是與該點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)即6個(gè)應(yīng)力分量有關(guān)的，反映了這6個(gè)應(yīng)力分量對屈服的影響：

它是初始彈性階段的界限，應(yīng)力點(diǎn)落在此曲面內(nèi)的應(yīng)力狀態(tài)為初始彈性狀態(tài)，若應(yīng)力點(diǎn)落在此曲面上，則為塑性狀態(tài)。29特選材料%（2-2）有一點(diǎn)可以肯定的是屈服條件應(yīng)該和這六個(gè)應(yīng)力分量有<i>表示在一個(gè)六維應(yīng)力空間內(nèi)的超曲面，屈服條件成立。<ii>六維應(yīng)力空間是指6個(gè)應(yīng)力分量x,y,的全體所構(gòu)成的抽象空間，空間中任一點(diǎn)代表一個(gè)確定的應(yīng)力狀態(tài)。代表這一空間內(nèi)的曲面，不同于普通空間內(nèi)的曲面，稱之為超曲面。進(jìn)一步講：

-這個(gè)曲面就是由達(dá)到初始屈服的各種應(yīng)力狀態(tài)點(diǎn)集合而成的，它相當(dāng)于簡單拉伸曲線上的初始屈服點(diǎn)。30特選材料%<i>表示在-這個(gè)曲面就是由達(dá)到初始屈服的各種應(yīng)力狀態(tài)點(diǎn)集合而成的，它相當(dāng)于簡單拉伸曲線上的初始屈服點(diǎn)。例：簡單拉伸時(shí)，屈服應(yīng)力0，用6維空間來描述，坐標(biāo)(0,0,0,0,0,0)的點(diǎn)就在屈服面上。受扭轉(zhuǎn)薄壁管的純剪切屈服應(yīng)力為0

，坐標(biāo)(0,0,0,0,0,0)的點(diǎn)也是屈服面上的一個(gè)點(diǎn)。

(以上均為屈服面上的特殊點(diǎn))31特選材料%-這個(gè)曲面就是由達(dá)到初始屈服的各種應(yīng)力狀態(tài)點(diǎn)集合而成的，它顯然，用六個(gè)應(yīng)力分量描繪屈服曲面不容易-若材料不僅是均勻的，而且是各向同性的(即對任一點(diǎn)的任何方向其力學(xué)性質(zhì)都相同)，

f

應(yīng)該和應(yīng)力的方向無關(guān)。因此，

f

應(yīng)該用和坐標(biāo)軸的選擇無關(guān)的應(yīng)為不變量來表示如用三個(gè)主應(yīng)力來表示為：或用應(yīng)力張量的三個(gè)不變量來表示為：（2-3）（2-4）（3）如何描繪屈服曲面32特選材料%顯然，用六個(gè)應(yīng)力分量描繪屈服曲面不容易-若材料不僅是均勻的實(shí)驗(yàn)結(jié)果證明，各向均勻應(yīng)力狀態(tài)，即球形應(yīng)力狀態(tài)（靜水壓力）只產(chǎn)生彈性的體積變化，而對材料的屈服幾乎沒有影響，因此，可以認(rèn)為這個(gè)屈服條件和平均應(yīng)力，亦即和

無關(guān)，所以f

又可以用應(yīng)力偏張量的不變量來表示。注意：（2-5）或用應(yīng)力偏張量的三個(gè)不變量來表示為：33特選材料%實(shí)驗(yàn)結(jié)果證明，各向均勻應(yīng)力狀態(tài)，即球形應(yīng)力狀態(tài)（靜水壓力）（2-5）討論：1°屈服條件可化為應(yīng)力偏量的函數(shù)。

2°屈服函數(shù)可在主應(yīng)力構(gòu)成的坐標(biāo)空間（主應(yīng)力空間）內(nèi)來討論。

3°主應(yīng)力空間是一個(gè)三維空間，在這一空間內(nèi)，屈服函數(shù)的幾何圖像可以直觀的繪出，有利于對屈服面的認(rèn)識。

4°由因應(yīng)力偏量第二不變量恒為正值，第三不變量I3當(dāng)應(yīng)力變號時(shí)I3也變號，故屈服函數(shù)f必為I3的偶函數(shù)。34特選材料%（2-5）討論：1°屈服條件可化為應(yīng)力偏量的函數(shù)。34特選材-屈服面：在應(yīng)力空間中，將實(shí)驗(yàn)所得各種應(yīng)力狀態(tài)下初始屈服時(shí)的應(yīng)力點(diǎn)連起來構(gòu)成一個(gè)空間曲面，即屈服面。屈服面的定義--它將應(yīng)力空間分成兩部分：應(yīng)力點(diǎn)在屈服面內(nèi)屬彈性狀態(tài)，在屈服面上屬彈性狀態(tài)的極限和塑性狀態(tài)的開始；在屈服面外則屬于塑性狀態(tài)的繼續(xù)。--回顧π平面和靜力應(yīng)力線35特選材料%-屈服面：在應(yīng)力空間中，將實(shí)驗(yàn)所得各種應(yīng)力狀態(tài)下初始屈服時(shí)的DENABS1P1P1'P1"S2P2Oπ平面法線上應(yīng)力點(diǎn)矢量特征討論：(a)

若應(yīng)力空間中一點(diǎn)P1已達(dá)到屈服狀態(tài)：其應(yīng)力矢量OP1在π平面上分矢量OS1.過P1點(diǎn)且平行于π平面法線ON的直線AB上的任一點(diǎn)P(P1’,P1’’,…)，其應(yīng)力矢量在π平面上的分矢量皆為OS1，即應(yīng)力偏量相同。即當(dāng)P1點(diǎn)達(dá)到屈服狀態(tài)（屈服面上的一點(diǎn)）時(shí)，AB線上各應(yīng)力點(diǎn)亦同時(shí)達(dá)到屈服。AB是屈服面上的一條直線。(b)同樣過P2點(diǎn)平行于ON的DE線上的各點(diǎn)也隨著P2點(diǎn)同時(shí)達(dá)到屈服。36特選材料%DENABS1P1P1'P1"S2P2Oπ平面法線上討論：π平面法線上應(yīng)力點(diǎn)矢量特征討論：(c)由此判定，屈服面的幾何圖形是柱形體，其軸線為ON，其母線垂直于π平面。屈服面是柱形體屈服曲線在π面上(d)既然是柱面，它在任意垂直于ON的平面上的情況是一樣的。所以，要研究這個(gè)柱面上各點(diǎn)的情況，只要研究柱面在與其垂直的π平面上的投影即可。該投影是一個(gè)曲線C。--初始屈服曲線:

因此屈服面的形狀可用與平面的截線C來表示。截線C稱之為“屈服軌跡”，也叫初始屈服曲線。DENABS1P1P1'P1"S2P2OS2S1P2σ3σ2σ1EDABP1Cπ面--初始屈服曲面：這個(gè)柱面就是初始屈服曲面.37特選材料%π平面法線上討論：屈服面是柱形體(d)既然是柱面，它在任意以上討論由三方面含義：①應(yīng)力空間中任一條平行于平面法線ON的直線AB上各點(diǎn)的應(yīng)力偏量分量均相等，只是靜水壓力分量不同。②一點(diǎn)的塑性屈服只取決于應(yīng)力偏量狀態(tài)，與靜水應(yīng)力無關(guān)。③屈服函數(shù)在平面上是一條封閉曲線，稱之為屈服曲線。π平面法線上應(yīng)力點(diǎn)矢量特征屈服面是柱形體屈服曲線在π面上DENABS1P1P1'P1"S2P2OS2S1P2σ3σ2σ1EDABP1Cπ面38特選材料%以上討論由三方面含義：π平面法線上屈服面是柱形體DENAB屈服曲線C具有如下性質(zhì)：（1）屈服曲線是一條封閉曲線，坐標(biāo)原點(diǎn)一定被包圍在曲線之內(nèi)。從物理概念上理解：坐標(biāo)原點(diǎn)是一個(gè)無應(yīng)力狀態(tài)，材料當(dāng)然不能在無應(yīng)力下屈服，所以屈服曲線不可能通過原點(diǎn)。又由于在初始屈服面內(nèi)是彈性狀態(tài)所以屈服曲線一定是封閉的，否則將出現(xiàn)不屈服的狀態(tài)，這是不可能的。BAEFCDσ3′σ2′σ1′OLL'NN'M'M39特選材料%屈服曲線C具有如下性質(zhì)：（1）屈服曲線是一條封閉曲線，BA-材料的初始屈服只有一次，所以由O向外作的直線與C只能相交一次，即曲線C是外凸的.如圖所示的那種情況是不可能的。(2)屈服曲線與任一坐標(biāo)原點(diǎn)出發(fā)的向徑必相交一次，且僅有一次。材料在一種應(yīng)力狀態(tài)下達(dá)到屈服，就不可能又在與此應(yīng)力狀態(tài)形態(tài)一致的另一應(yīng)力狀態(tài)達(dá)到屈服，即初始屈服只有一次。40特選材料%-材料的初始屈服只有一次，所以由O向外作的直線與C只能相交（3）如以紙面為平面，三個(gè)主應(yīng)力軸1,2,3在平面上投影為1,2,3

，考慮材料是初始各向同性的，因此坐標(biāo)變換對屈服沒有影響。所以曲線C對稱于直線LL（1），MM（2）

，NN（3）。例如應(yīng)力點(diǎn)(1,2,3)是屈服面上一點(diǎn)，則(1,3,2)也必是屈服面上一點(diǎn)。因此，1保持不變，軌跡C必然和直線LL（1）對稱。同理屈服軌跡必和MM（2）

及NN（3）對稱。BAEFCDσ3′σ2′σ1′OLL'NN'M'M屈服軌跡的特性41特選材料%（3）如以紙面為平面，三個(gè)主應(yīng)力軸1,2,3在(4)考慮到材料的拉伸與壓縮屈服極限相等，如果應(yīng)力點(diǎn)(1,2,3)在屈服面上，則應(yīng)力點(diǎn)(-1,-2,-3)亦必在屈服面上。因此通過O點(diǎn)作一直線，其兩端與曲線C的交點(diǎn)一定與點(diǎn)O對稱。聯(lián)系性質(zhì)3則屈服軌跡必和LL，MM，NN的垂直線AB，CD，EF對稱。這樣，屈服軌跡就有6個(gè)對稱軸，曲線C由12個(gè)相同的弧段組成。因此進(jìn)行屈服條件的實(shí)驗(yàn)研究中，只要確定一個(gè)弧段，即30o范圍的圖形即可。然后利用對稱性，就可確定整個(gè)屈服曲線，進(jìn)而得到三維主應(yīng)力空間中的屈服面。BAEFCDσ3′σ2′σ1′OLL'NN'M'M屈服軌跡的特性42特選材料%(4)考慮到材料的拉伸與壓縮屈服極限相等，如果應(yīng)力點(diǎn)(1棍據(jù)上面的分析可知屈服曲線C可分成形狀相同的12個(gè)部分(如圖所示)。為此，只要考慮C的1/12即可，而這C的1/12的具體形狀應(yīng)根據(jù)材料實(shí)驗(yàn)決定。這時(shí)只要采用代表應(yīng)力狀態(tài)的矢量OP位于某一選定幅角中的應(yīng)力組和就足夠了。譬如，決定應(yīng)力矢量OP的位置的應(yīng)力Lode角取為，則根據(jù)公式，此時(shí)應(yīng)力Lode參數(shù)為，實(shí)驗(yàn)時(shí)，采用這樣一個(gè)取值范圍內(nèi)的應(yīng)力組合就能夠完全確定屈服曲線的具體形狀。43特選材料%譬如，決定應(yīng)力矢量OP的位置的應(yīng)力Lode角取為4.Tresca(特雷斯卡）和Mises（米澤斯）屈服條件對屈服條件的研究已有兩個(gè)世紀(jì)。所謂屈服條件，就是材料進(jìn)入塑性狀態(tài)時(shí)應(yīng)力分量之間所必須滿足的條件。伽俐略(Galilieo)曾認(rèn)如材料進(jìn)人塑性狀態(tài)是最大主力所引起的。此后圣維南(Saint-Venant)又認(rèn)為最大主應(yīng)變能判斷材料是否進(jìn)人塑性狀態(tài)。這兩個(gè)假說都被后來的實(shí)驗(yàn)所否定，因?yàn)樵诟飨虻葔簳r(shí)，壓應(yīng)力可以遠(yuǎn)遠(yuǎn)超過材料的屈服極限σs，而材料并未進(jìn)入塑性狀態(tài)。這個(gè)實(shí)驗(yàn)結(jié)果與他們所提出的假說是矛盾的。44特選材料%4.Tresca(特雷斯卡）和Mises（米澤斯）屈服條在此之后的貝爾特拉密（Beltrami)提出，當(dāng)物體的彈性能達(dá)到某一極限值時(shí)，材料便進(jìn)入塑性狀態(tài)。但這個(gè)假說由于將形狀改變能和體積變形能混在一起考慮，因而和實(shí)驗(yàn)結(jié)果也是不符合的。

1864年法國工程師特雷斯卡（Tresca)在作了一系列金屬擠壓實(shí)驗(yàn)的基礎(chǔ)上，發(fā)現(xiàn)了在變形的金屬表面有很細(xì)的痕紋，而這些痕紋的方向很接近最大剪應(yīng)力的方向，因此他認(rèn)為金屬的塑性變形是由于剪切應(yīng)力引起金屬中晶體滑移而形成的。這就是我們要學(xué)的特雷斯卡（Tresca)屈服條件45特選材料%在此之后的貝爾特拉密（Beltrami)提出，當(dāng)物體的彈性（1）特雷斯卡（Tresca)屈服條件(i)Tresca屈服條件定義：當(dāng)最大剪應(yīng)力達(dá)到材料所固有的某一極限值τ0時(shí)，材料開始進(jìn)入塑性狀態(tài)，即開始屈服。所以這個(gè)條件就稱為最大剪應(yīng)力條件，又稱為Tresca屈服條件。因此，Tresca屈服條件可用數(shù)學(xué)式表示為：τmax=KK為材料的剪切屈服應(yīng)力，對不同材料的K值，要由實(shí)驗(yàn)確定。如果主應(yīng)力次序已知時(shí)：

則Tresca屈服條件也可寫成：或或（2-6）（2-7）46特選材料%（1）特雷斯卡（Tresca)屈服條件(i)Tresca屈單向拉伸時(shí)：σσ純剪切應(yīng)力狀態(tài)時(shí)：τ47特選材料%單向拉伸時(shí)：σσ純剪切應(yīng)力狀態(tài)時(shí)：τ47特選材料%例：1o.對簡單拉伸，1=0，2=3=0

屈服條件：0=2K

即

2o.對純剪切，1=-3=τ0

，2=0

屈服條件：τ0=K

即K=τ0于是：純剪切屈服極限是簡單拉伸屈服極限的一半，即在一般情況下，往往無法事先判明物體內(nèi)各點(diǎn)的三個(gè)主應(yīng)力大小的順序，所以通常將該條件寫成如下形式：48特選材料%例：1o.對簡單拉伸，1=0，2=3=0上式中至少有一個(gè)等式成立時(shí)，材料才開始塑性變形，否則仍處于彈性階段?；蛘呷绻麑⒃摋l件表示成完整的式子,則上式可改寫成一般形式

寫成應(yīng)力偏量不變量的表達(dá)式：這個(gè)式子太復(fù)雜了，在一般情況下都不采用。顯然，在不知道主應(yīng)力大小次序時(shí)，該條件使用起來很不方便。（2-8a）（2-8b）（2-8c）49特選材料%上式中至少有一個(gè)等式成立時(shí)，材料才開始塑性變形，否則仍處于彈-表示：和平均應(yīng)力σm

和σ1無關(guān)。所以在應(yīng)力空間中，它表示一對平行于σ1和L

直線（π平面法線）的平面。-表示：和平均應(yīng)力σm

和σ2無關(guān)。所以在應(yīng)力空間中，它表示一對平行于σ2和L

直線（π平面法線）的平面。-表示：和平均應(yīng)力σm

和σ3無關(guān)。所以在應(yīng)力空間中，它表示一對平行于σ3和L

直線（π平面法線）的平面。(ii)Tresca屈服條件在主應(yīng)力空間中的表示：S2S1P2σ3σ2σ1EDABP1Cπ面50特選材料%-表示：和平均應(yīng)力σm和σ1無--由這六個(gè)平面組成的屈服曲面是一個(gè)以L為軸線的正六棱柱體，其在π平面上的投影即屈服曲線為一個(gè)正六邊形。--故Tresca屈服條件建立了與坐標(biāo)軸成等傾斜的各邊相等的正六棱柱體，稱為Treasca六邊形.σ3σ2σ12KOσ3σ2σ1Tresca六角形Mises圓純剪切線51特選材料%--由這六個(gè)平面組成的屈服曲面是一個(gè)以L為軸線的正六棱柱體σ3σ2σ12KOσ3σ2σ1Tresca六角形Mises圓純剪切線正六棱柱體在π平面上的投影即屈服曲線為一個(gè)正六邊形，即：屈服軌跡是一個(gè)正六邊形，外接圓半徑為 （即2K

在π面上投影）。52特選材料%σ3σ2σ12KOσ3σ2σ1Tresca六角形Misσ2σ12=s1=s1-2=s2=-s1=-s1-2=-sMises橢圓Tresca斜六邊形例：在平面應(yīng)力狀態(tài)下，令3=0則1-2=2K 1=2K 2=2K屈服軌跡是斜六邊形。σ1σ2053特選材料%σ2σ12=s1=s1-2=s2=-s1σ3σ2σ12KOσ3σ2σ1Tresca六角形Mises圓純剪切線①應(yīng)力點(diǎn)處于六邊形內(nèi)部時(shí)，材料處于彈性狀態(tài)。②當(dāng)應(yīng)力點(diǎn)達(dá)到屈服六邊形上任一點(diǎn)時(shí),材料開始進(jìn)入塑性狀態(tài)。③Tresca條件的局限性：

<ⅰ>屈服軌跡不是光滑曲線，數(shù)學(xué)上應(yīng)用困難。

<ⅱ>沒有考慮中間應(yīng)力影響。(iii)Tresca屈服條件中的特點(diǎn)及局限性：54特選材料%σ3σ2σ12KOσ3σ2σ1Tresca六角形Mis（2）米澤斯（Mises)屈服條件特雷斯卡屈服條件在π平面上的投影是一個(gè)正六邊形，它的六個(gè)頂點(diǎn)是由實(shí)驗(yàn)得到的，但連接這六個(gè)點(diǎn)的直線卻是假設(shè)的，而且屈服曲線上有角點(diǎn)，給數(shù)學(xué)處理上帶來了困難。因此，在1913年，米澤斯(Mises)提出采用一個(gè)圓來連接特雷斯卡正六邊形的六個(gè)頂點(diǎn)可能更加合理，因?yàn)樗梢员苊庥捎谇€不光滑而造成的數(shù)學(xué)上的困難。(i)米澤斯（Mises)屈服曲線的定義：根據(jù)上面的設(shè)想，米澤斯（Mises)屈服曲線就是特雷斯卡六邊形的外接圓

Mises圓的方程為：55特選材料%（2）米澤斯（Mises)屈服條件特雷斯卡屈服條件在π平面上

矢量OQ作端點(diǎn)Q的坐標(biāo)為討論：應(yīng)力狀態(tài)矢OP作π平面上的投影OQ在π平面上的位置和大?。喝,y坐標(biāo)如圖所示，已知應(yīng)力偏量矢在軸上的分量：所以,應(yīng)力偏斜張量的模為56特選材料%矢量OQ作端討論：應(yīng)力狀態(tài)矢OP作π平面上的投影OQ在π代入并加以整理，得屈服函數(shù)為：

(1-2)2+(2-3)2+(3-1)2=2(2K)2（2-9）57特選材料%代入并加以整理，得屈服函數(shù)為：（2-9）57特選材料%(ii)米澤斯(Mises)屈服函數(shù)：

(1-2)2+(2-3)2+(3-1)2=2(2K)2如果上式的左側(cè)小于右側(cè)，則認(rèn)為材料仍處于彈性階段。如果上式為等式，則認(rèn)為材料已進(jìn)入塑性狀態(tài)。由上式看出：米澤斯條件和特雷斯卡條件一樣都不受靜水壓力的影響，而且也滿足應(yīng)力互換原則。雖然米澤斯在提出這一條件時(shí)，并未認(rèn)為它是準(zhǔn)確的條件，但實(shí)驗(yàn)結(jié)果證明，對于韌性金屬材料，這個(gè)條件更接近實(shí)際情況。58特選材料%(ii)米澤斯(Mises)屈服函數(shù)：如果上式的左側(cè)小于右

1924年德國力學(xué)家亨奇(H.Hencky)經(jīng)過反復(fù)研究對米澤斯條件進(jìn)行了物理解釋，亨奇認(rèn)為米澤斯條件相當(dāng)于彈性形變比能（歪形能）達(dá)到一定值時(shí)，材料進(jìn)入塑性狀態(tài)。若用W、Ws和Wv分別表示彈性總比能、彈性變形能和體積變化比能，則有：

彈性總比能體積變化比能彈性形變比能=彈性總比能-體積變化比能(iii)米澤斯(Mises)屈服函數(shù)的討論：

59特選材料%1924年德國力學(xué)家亨奇(H.Hencky)經(jīng)過反復(fù)研

彈性形變比能=彈性總比能-體積變化比能亨奇認(rèn)為米澤斯條件相當(dāng)于彈性形變比能（歪形能）達(dá)到一定值時(shí)，材料進(jìn)入塑性狀態(tài)，事實(shí)上波蘭力學(xué)家胡貝爾(M.Huber)早在1904年便曾提出過這一條件，因此這一條件有時(shí)稱為胡貝如-米澤斯-亨奇屈服條件，簡稱米澤斯屈服條件。此后納戴(A.L.Nadai)對米澤斯屈服提件進(jìn)行了另一種解釋，他認(rèn)為當(dāng)正八面體上的剪應(yīng)力達(dá)到某一定值時(shí)，材料便進(jìn)入塑性狀態(tài)。60特選材料%彈性形變比能=彈性總比能-體積變化比能亨奇認(rèn)為米

原蘇聯(lián)力學(xué)家伊柳辛提出了應(yīng)力強(qiáng)度σi

(或稱等效應(yīng)力）的概念。應(yīng)力強(qiáng)度是表征物體受力程度的一個(gè)參數(shù)。-伊柳辛認(rèn)為，當(dāng)應(yīng)力強(qiáng)度σi

等于材料單向拉伸的屈服極限σs時(shí)，材料便進(jìn)入塑性狀態(tài)。伊柳辛的這個(gè)提法不僅概念明確，而且將復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)的σi和單向拉伸的屈服極限σs聯(lián)系起來，因此在使用時(shí)是十分方便。根據(jù)伊柳辛的提法：

i=s但是亨奇和納戴(A.L.Nadai)都沒能指出這一定值是多大。由簡單拉伸實(shí)驗(yàn)s=2K有

(1-2)2+(2-3)2+(3-1)2=2s2vonMises屈服條件61特選材料%原蘇聯(lián)力學(xué)家伊柳辛提出了應(yīng)力強(qiáng)度σi(或稱等效應(yīng)

--八面體剪應(yīng)力：應(yīng)力強(qiáng)度乘上--若用第二應(yīng)力偏量不變量J2來表示，62特選材料%--八面體剪應(yīng)力：應(yīng)力強(qiáng)度乘上--若用第二應(yīng)力偏量不變

--可以看出：因?yàn)閼?yīng)力強(qiáng)度i和應(yīng)力偏量第二不變量J2及八面體剪應(yīng)力τ8

只差一個(gè)倍數(shù)關(guān)系。所以，Mises條件也可以認(rèn)為是當(dāng)應(yīng)力偏張量第二不變量達(dá)到某-定數(shù)值或八面體剪應(yīng)力達(dá)到一定數(shù)值時(shí)開始屈服則，(1-2)2+(2-3)2+(3-1)2=2s2

可表示為：--由于由于應(yīng)力強(qiáng)度可由應(yīng)力分量表示（2-10）63特選材料%--可以看出：因?yàn)閼?yīng)力強(qiáng)度i和應(yīng)力偏量第二不變(iv)Mises條件的常用形式：應(yīng)力強(qiáng)度形式：應(yīng)力張量第二不變量形式：64特選材料%(iv)Mises條件的常用形式：應(yīng)力強(qiáng)度形式：應(yīng)力應(yīng)力張量分量形式：等傾面上的剪應(yīng)力形式：（A.L.Nadai）彈性形變比能形式：（Hencky）65特選材料%應(yīng)力張量分量形式：等傾面上的剪應(yīng)力形式：（A.L.Na--平面應(yīng)力狀態(tài)下，令3=0，有:12-12+22=s2

是為橢圓方程。(為Tresca斜六邊形的外接圓）σ2σ12=s1=s1-2=s2=-s1=-s1-2=-sMises橢圓Tresca斜六邊形66特選材料%--平面應(yīng)力狀態(tài)下，令3=0，有:σ2σ12=s1（3）Tresca屈服條件與Mises屈服條件的討論：<ⅰ>幾何上：--按Tresca屈服條件，屈服面是π平面正六邊形為母線的正六角柱體，屈服曲線為一正六邊形。6個(gè)角點(diǎn)由實(shí)驗(yàn)得到，6邊形連接成直線是假設(shè)的結(jié)果。--按Mises屈服條件，在π平面內(nèi)的屈服曲線就是Tresca六邊形的外接圓，屈服面便是Tresca屈服面的外接圓柱。σ3σ2σ1Tresca六角形Mises圓純剪切線σ2σ12=s1=s1-2=s2=-s1=-s1-2=-sMises橢圓Tresca斜六邊形67特選材料%（3）Tresca屈服條件與Mises屈服條件的討論：<ⅰ<iii>Tresca條件忽略了中間主應(yīng)力對材料屈服的影響，有欠缺，而Mises條件克服了這一點(diǎn)不足。<ⅳ>實(shí)驗(yàn)證明，Mises條件比Tresca條件更接近于實(shí)驗(yàn)結(jié)果。＜ii＞Tresca最大剪應(yīng)力條件是主應(yīng)力分量的線性函數(shù)，對已知主應(yīng)力方向及主應(yīng)力間的相對值的一類問題，是比較簡便的，而Mises畸變能條件則顯然復(fù)雜的多。68特選材料%<iii>Tresca條件忽略了中間主應(yīng)力對材料屈服的影響，(4)兩種屈服條件的比較：Tresca屈服條件：Mises屈服條件：兩個(gè)屈服條件中的常數(shù)K是和材料有關(guān)的量.它可以通過簡單拉伸或純剪切等簡單試驗(yàn)來加以確定。因?yàn)檫@些屈服條件對各種應(yīng)力狀態(tài)都是適用的，當(dāng)然也適用于簡單的應(yīng)力狀態(tài)。69特選材料%(4)兩種屈服條件的比較：Tresca屈服條件：Mise（a）單向拉伸時(shí)：s1s2s30xy此時(shí)除σ1以外其余的主應(yīng)力分量為零，且時(shí)屈服，將它們代入上述的屈服條件表達(dá)式：Tresca屈服條件：Mises屈服條件：Tresca六邊形內(nèi)接于Mises圓70特選材料%（a）單向拉伸時(shí)：s1s2s30xy此時(shí)除σ1以外其余s1s2s30xy如作純剪試驗(yàn)，此時(shí)除，其它應(yīng)力分量都為零。從試驗(yàn)知道，當(dāng)達(dá)到材料剪切屈服極限時(shí)，即時(shí)開始屈服。Tresca屈服條件：Mises屈服條件：（b）純剪切時(shí)：由

1=-3=τs

，2=0

Tresca六邊形外切于Mises圓71特選材料%s1s2s30xy如作純剪試驗(yàn)，此時(shí)除，試驗(yàn)表明，對一般的工程材料，=(0.56--0.6）。因此Mises條件比Tresca條件更符合實(shí)際些。但是，在事先可判明主方向并能確定其三個(gè)主應(yīng)力數(shù)值大小次序的情況下，應(yīng)用Tresca條件更方便些。從這里可以看出，根據(jù)Tresca條件，材料的剪切屈服極限，應(yīng)該是拉伸屈服極限的0.5倍，而根據(jù)Mises條件，應(yīng)是0.577倍72特選材料%試驗(yàn)表明，對一般的工程材料，=(0.56--0.6）(5)兩種屈服條件的差別：Tresca屈服條件：可表示為：由Lode參數(shù)表示，然后代入Mises屈服條件（徐，95）現(xiàn)在，簡單地說明一下兩個(gè)條件的差別。設(shè)取，則由Lode參數(shù)公式：

（2-11)（2-12a)73特選材料%(5)兩種屈服條件的差別：Tresca屈服條件：Tresca屈服條件：Mises屈服條件:令

（2-11)（2-12a)因?yàn)?，所以?-12b)純剪狀態(tài)：，比較式（2-11)和(2-12b)可知，此時(shí)兩個(gè)條件相差為15%。單向拉伸或壓縮狀態(tài)：，此時(shí)兩個(gè)條件是一致的事實(shí)上Tresca條件和Mises條件的差別并不大，如果取處于外接圓和內(nèi)切圓中間的圓作為屈服曲線，則差別將更減小。74特選材料%Tresca屈服條件：Mises屈服條件:令

Trresca條件和Mises條件主要是適用于延性金屬材料。-雖然在工程上也有將Tresca條件用于一些只具有粘聚強(qiáng)度的土壤和巖石，以及將Mises條件用于某些巖石和水飽和粘土的情況。-但一般來說，這兩個(gè)條件用于土壤、混凝土和某些巖石這類非金屬材料是不理想的。因?yàn)檫@兩個(gè)條件都是忽略了平均應(yīng)力即靜水應(yīng)力對屈服的影響，而實(shí)驗(yàn)證實(shí)，平均應(yīng)力對這類非金屬時(shí)料的屈服起著重要的作用。-為了考慮這種影響，可以修改Trresca條件和Mises條件，在本書第12章討論。75特選材料%Trresca條件和Mises條件主要是適用于延性金例1寫出平面應(yīng)力狀態(tài)的兩種屈服條件[解]因?yàn)閷ζ矫鎽?yīng)力狀態(tài)，σ3=0（1）Tresca屈服條件：此時(shí)屈服條件公式則1-2=2K 1=2K 2=2K屈服軌跡是斜六邊形。σ1σ2076特選材料%例1寫出平面應(yīng)力狀態(tài)的兩種屈服條件[解]因?yàn)閷ζ矫鎽?yīng)力狀[解]因?yàn)閷ζ矫鎽?yīng)力狀態(tài)，

3=0（2）Mises屈服條件：此時(shí)屈服條件公式(1-2)2+(2-3)2+(3-1)2=2s2令3=0，有:12-12+22=s2

是為橢圓方程。(為Tresca斜六邊形的外接圓）σ1σ2077特選材料%[解]因?yàn)閷ζ矫鎽?yīng)力狀態(tài)，3=0(1-2)2+(例2：試寫出圓桿在拉伸和扭轉(zhuǎn)聯(lián)合作用下的屈服條件[解]桿內(nèi)各點(diǎn)的應(yīng)力為(圖b)（1）Mises屈服條件：將上述各應(yīng)力分量值代入由應(yīng)力分量表達(dá)的Mises屈服條件：得Mises屈服條件：78特選材料%例2：試寫出圓桿在拉伸和扭轉(zhuǎn)聯(lián)合作用下[解]桿內(nèi)各點(diǎn)的應(yīng)[解]桿內(nèi)各點(diǎn)的應(yīng)力為(圖b)（2）Tresca

屈服條件：將上述各應(yīng)力分量值代入求解主應(yīng)力的三次方程：得三個(gè)主應(yīng)力為：79特選材料%[解]桿內(nèi)各點(diǎn)的應(yīng)力為(圖b)（2）Tresca屈服條（2）Tresca

屈服條件：將上述各應(yīng)力分量值代入求解主應(yīng)力的三次方程：得三個(gè)主應(yīng)力為這里已按σ1>σ2>σ3的次序排列，則最大剪應(yīng)力為：Tresca

屈服條件：s=2K得Tresca

屈服條件：80特選材料%（2）Tresca屈服條件：將上述各應(yīng)力分量值代入求解主在假設(shè)的基礎(chǔ)上提出的屈服條件是否正確，需要用實(shí)驗(yàn)來驗(yàn)證。為了研究屈服條件，已經(jīng)做了各種各樣的實(shí)驗(yàn)。（5）Tresca屈服條件與Mises屈服條件的實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證：由于三向應(yīng)力狀態(tài)在實(shí)驗(yàn)中較難實(shí)現(xiàn)，所以一般以二向應(yīng)力狀態(tài)進(jìn)行實(shí)驗(yàn)。-通常采用薄壁圓簡試件，所受荷載為軸向拉伸和內(nèi)壓或扭轉(zhuǎn)相組合。下面就介紹早期的兩個(gè)有名的實(shí)驗(yàn)。81特選材料%在假設(shè)的基礎(chǔ)上提出的屈服條件是否正確，需要用實(shí)驗(yàn)來驗(yàn)證。為了（i）Lode實(shí)驗(yàn)pPPσ2σ11926年W.Lode做了使薄壁圓管在不同的軸向拉力和內(nèi)壓力的聯(lián)合作用下獲得不同的應(yīng)力狀態(tài)的實(shí)驗(yàn)，檢驗(yàn)了中間主應(yīng)力對屈服的影響。Tresca條件和Misas條件可表示為：Tresca條件Misas條件如以μσ為水平坐標(biāo)軸，為垂直坐標(biāo)軸，則這些式子所表示的屈服條件的理論曲線分別為一水平直線和一拋物線。（2-11)（2-12a)82特選材料%（i）Lode實(shí)驗(yàn)pPPσ2σ11926年W.LodTresca條件Misas條件如以μσ為水平坐標(biāo)軸，為垂直坐標(biāo)軸，則這些式于所表示的屈服條件的理論曲線分別為一水平直線和一拋物線。1.101.0511.15M10-1T83特選材料%Tresca條件Misas條件如以μσ為水平坐標(biāo)軸，pPPσ2σ1薄壁管受軸向拉力P和內(nèi)壓力p聯(lián)合作用時(shí)，設(shè)管的平均半徑r,壁厚為t，因?yàn)閠/r<<1，則管內(nèi)近似地處于均勻應(yīng)力狀態(tài)，且忽略次耍的應(yīng)力分量σr，則管內(nèi)應(yīng)力：則84特選材料%pPPσ2σ1薄壁管受軸向拉力P和內(nèi)壓力p聯(lián)合作用時(shí)，設(shè)對這樣的應(yīng)力狀態(tài)，實(shí)驗(yàn)過程中應(yīng)力主方向是保持不變的。實(shí)驗(yàn)時(shí)，采用不同的軸向拉力P和內(nèi)壓力p的組合，可得到不同應(yīng)力狀態(tài)的μσ和屈服應(yīng)力值并將它們在圖上標(biāo)出，如圖所示1.101.0511.15M10-1TpPPσ2σ1實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，Mises條件比較符合實(shí)驗(yàn)結(jié)果，由于Tresca條件不計(jì)中間主應(yīng)力的影響，而Mises條件考慮了中間主應(yīng)力對屈服的影響，實(shí)驗(yàn)表明中間主應(yīng)力對屈服是有影響的。Tresca條件Mises條件85特選材料%對這樣的應(yīng)力狀態(tài)，實(shí)驗(yàn)過程中應(yīng)力主方向是保持不變的。實(shí)驗(yàn)1.G.I.Tylor和H.Quinney在1931年也用薄壁管，但在軸向拉伸和扭轉(zhuǎn)的聯(lián)合作用下進(jìn)行實(shí)驗(yàn)。在這個(gè)情況下，沿管壁產(chǎn)生平面的應(yīng)力狀態(tài)。PPTTτσ（ii）Taylor和Quinney實(shí)驗(yàn)若取x軸與管軸平行，而y軸沿管的切線方向，則在xy平面內(nèi)的應(yīng)力分量為:σx

--由軸向拉力產(chǎn)生的正應(yīng)力：σy=0

τxy

--由扭轉(zhuǎn)產(chǎn)生的剪應(yīng)力：86特選材料%G.I.Tylor和H.Quinney在1931年也由例2的結(jié)果：PPTTτσ得Tresca

屈服條件：得Mises屈服條件：（2-13)（2-14)87特選材料%由例2的結(jié)果：PPTTτσ得Tresca屈服條件：得Mis1010.60.4MTMises屈服條件：Tresca

屈服條件：如圖所示，

給出由上式方程所確定的兩個(gè)橢圓（理論曲線)，以及用不同的軸向拉力P和扭矩T的組合而獲得的實(shí)驗(yàn)結(jié)果的點(diǎn)。可以看出，實(shí)驗(yàn)結(jié)果也是和Mises條件更為接近。雖然多數(shù)金屬材料符合Mises條件，但由于Tresca條件可表示成主應(yīng)力的線性函數(shù)，在主應(yīng)力大小次序可以事先判別的情況下，使用是很方便的，何況兩者的差別并不很大。所以，究竟采用哪一個(gè)條件，應(yīng)視情況而定。88特選材料%1010.60.4MTMises屈服條件：Tresca屈前面已經(jīng)指出，在單向拉伸的情況下，當(dāng)材料進(jìn)入塑性狀態(tài)后卸載，此后再重新加載時(shí)，拉伸應(yīng)力和應(yīng)變的變化仍服從彈性關(guān)系，直至應(yīng)力到達(dá)卸載前曾經(jīng)達(dá)到的最高應(yīng)力點(diǎn)時(shí)，材料才再次進(jìn)入塑性狀態(tài)，產(chǎn)生新的塑性變形。5.后繼屈服條件及加、卸載準(zhǔn)則（i)后繼屈服點(diǎn)或硬化點(diǎn)：這個(gè)應(yīng)力點(diǎn)就是材料在經(jīng)歷了塑性變形后的新的屈服點(diǎn)。由于材料的硬化特性，它比初始屈服點(diǎn)為高。為了和初始屈服點(diǎn)相區(qū)別，將它稱為后繼屈服點(diǎn)或硬化點(diǎn)。（1）后繼屈服條件89特選材料%前面已經(jīng)指出，在單向拉伸的情況下，當(dāng)材料進(jìn)入塑性狀態(tài)后卸載，和初始屈服點(diǎn)不同，它在應(yīng)力-應(yīng)變曲線上的位置不是固定的，而是依賴于塑性變形的過程即塑性變形的大小和歷史的。這后繼屈服點(diǎn)是材料在經(jīng)歷一定塑性變形后再次加載時(shí)，變形規(guī)律是按彈性還是按塑性規(guī)律變化的區(qū)分點(diǎn)，亦即后繼彈性狀態(tài)的界限點(diǎn)(如圖所示)和單向應(yīng)力狀態(tài)相似，材料在復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)也有初始屈服和后繼屈服的問題。關(guān)于初始屈服的問題前面已經(jīng)討論過了，這里進(jìn)一步討論后繼屈服的問題。90特選材料%和初始屈服點(diǎn)不同，它在應(yīng)力-應(yīng)變曲線上的位置不是固定的，而(ii)初始屈服面和后繼屈服面：在復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)下，由于會(huì)有各種應(yīng)力狀態(tài)的組合能達(dá)到初始屈服或后繼屈服，在應(yīng)力空間中這些應(yīng)力點(diǎn)的集合而成的面就稱為初始屈服面和后繼屈服面，--它們分別相當(dāng)于單向應(yīng)力狀態(tài)應(yīng)力-應(yīng)變曲線上的初始屈服點(diǎn)和后繼屈服點(diǎn)。--當(dāng)代表應(yīng)力狀態(tài)的應(yīng)力點(diǎn)由原點(diǎn)O移至初始屈服面Σ0

上一點(diǎn)A

時(shí)，材料開始屈服，當(dāng)荷載的變化使應(yīng)力點(diǎn)突破初始屈服面而到達(dá)鄰近的后繼屈服面Σ1，的B點(diǎn)，由于加載，材料產(chǎn)生新的塑性變形。91特選材料%(ii)初始屈服面和后繼屈服面：在復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)下，由于會(huì)有各--如果由B點(diǎn)卸載，應(yīng)力點(diǎn)退回到后繼屈服面內(nèi)而進(jìn)入后繼彈性狀態(tài)。--如果再重新加載，當(dāng)應(yīng)力點(diǎn)重新達(dá)到卸載開始時(shí)曾經(jīng)達(dá)到過的后繼屈服面Σ1

上的某點(diǎn)C(C不一定和B重合)時(shí)，重新進(jìn)入塑性狀態(tài)。--繼續(xù)加載，應(yīng)力點(diǎn)又會(huì)突破原來的后繼屈服面Σ1

而到達(dá)另一個(gè)相鄰近的后繼屈服面Σ2（如圖所示）。92特選材料%--如果由B點(diǎn)卸載，應(yīng)力點(diǎn)退回到后繼屈服面內(nèi)而進(jìn)入后繼彈性狀--如果是理想塑性材料，后繼屈服面是和初始屈服面重合的，但對于硬化材料，由于硬化效應(yīng)，兩者是不重合的。σsσε(iii)硬化面或加載面：隨著塑性變形的不斷發(fā)展，后繼屈服面是不斷變化的，所以又將后繼屈服面稱為硬化面或加載面，它是后繼彈性階段的界限面。93特選材料%--如果是理想塑性材料，后繼屈服面是和初始屈服面重合的，但后繼屈服條件或稱為硬化條件：確定材料是處于后繼彈性狀態(tài)還是塑性狀態(tài)的準(zhǔn)則就是后繼屈服條件或稱為硬化條件。表示這個(gè)條件的函數(shù)關(guān)系亦即后繼屈服面的方程就稱為后繼屈服函數(shù)或硬化函數(shù)，或加載函數(shù)。94特選材料%后繼屈服條件或稱為硬化條件：確定材料是處于后繼彈性狀態(tài)還是--由于后繼屈服不僅和該瞬時(shí)的應(yīng)力狀態(tài)有關(guān)，而且和塑性變形的大小及其歷史(即加載路徑)有關(guān)，因此后繼屈服條件即硬化條件，表示為：其中K就是反映塑性變形大小及其歷史的參數(shù)，稱為硬化參數(shù)。因此，后繼屈服面就是以K為參數(shù)的一族曲面我們的任務(wù)就是要確定后繼屈服面的形狀以及它隨塑性變形的發(fā)展的變化規(guī)律（2-15)95特選材料%--由于后繼屈服不僅和該瞬時(shí)的應(yīng)力狀態(tài)有關(guān)，而且和塑性變形在單向應(yīng)力狀態(tài)，雖然屈服以后，加載和卸載時(shí)變形規(guī)律是不同的，但由于只有一個(gè)應(yīng)力分量不等于零，由這個(gè)分量的大小的增減就可以判斷是加載還是卸載。對于復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)，六個(gè)獨(dú)立的應(yīng)力分量都可增可減，如何判斷是加載還是卸載，有必要提出一個(gè)準(zhǔn)則。（2）加、卸載準(zhǔn)則96特選材料%在單向應(yīng)力狀態(tài)，雖然屈服以后，加載和卸載時(shí)變形規(guī)律是不同的σsσε由于理想塑性材料是無硬化的，它的后繼屈服條件和初始屈服條件是一致的，后繼屈服畫和初始屈服面重合。由于屈服面是唯一的，則它與加載歷史無關(guān)，以下列屈服函數(shù)表示：①

理想塑性材料的加卸載準(zhǔn)則在荷載改變的過程中，應(yīng)力點(diǎn)如保持在屈服面上，則此時(shí)塑性變形可以任意增長，就稱為加載。當(dāng)應(yīng)力點(diǎn)從屈服面移動(dòng)到屈服面內(nèi),則:表示狀態(tài)從塑性退回到彈性，此時(shí)不產(chǎn)生新的塑性變形，稱為卸載.（2-16)97特選材料%σsσε由于理想塑性材料是無硬化的，它的后繼屈服條件和初始理想塑性材料加載和卸載準(zhǔn)則，用數(shù)學(xué)形式表示為：彈性狀態(tài)：加載：卸載：為了使加載和卸載的概念更為直觀，可以用幾何關(guān)系來說明-在應(yīng)力空間以矢量

表示即的各個(gè)分量是：以為分量的矢量就是函數(shù)的梯度。（2-17)（2-18)98特選材料%理想塑性材料加載和卸載準(zhǔn)則，用數(shù)學(xué)形式表示為：彈性狀態(tài)：加為了使加載和卸載的概念更為直觀，可以用幾何關(guān)系來說明-在應(yīng)力空間以矢量

表示即的各個(gè)分量是：以為分量的矢量就是函數(shù)的梯度，且的方向和屈服面的外法線方向一致的。設(shè)n為屈服而外法向單位矢量，則上述加、卸載準(zhǔn)則可用矢量乘積表示為：99特選材料%為了使加載和卸載的概念更為直觀，可以用幾何關(guān)系來說明-在加載：卸載：表示兩矢量正交，亦即沿屈服面切向變化表示兩矢量的夾角大于900，亦即分處于屈服面的兩側(cè)，即指向屈服面內(nèi)。由于屈服面不能擴(kuò)大，所以不可能指向屈服面外。以上討論是假定屈服曲面是正則的，即處處是光滑的。如果屈服面是非正則的，但是由分段光滑面構(gòu)成的，如像Tresca條件的屈服面，也只要應(yīng)力點(diǎn)保持在屈服面上就是加載，返回到屈服面內(nèi)即為卸載。（2-19a)（2-19b)100特選材料%加載：卸載：表示兩矢量正交，亦即沿屈服面切向變化表示兩對于硬化材料，后繼屈服面和初始屈服面不同，它是隨塑性變形的大小和歷史的發(fā)展而不斷變化的。②硬化材料的加卸載準(zhǔn)則-后繼屈服函數(shù)：-如果后繼屈服面是正則的，則：如圖所示：--如果應(yīng)力變化使應(yīng)力點(diǎn)從此瞬時(shí)狀態(tài)所處的后繼屈服面向內(nèi)移，則變化的結(jié)果使材料從一個(gè)塑性狀態(tài)退回到一個(gè)彈性狀態(tài)，即為卸載過程，不會(huì)產(chǎn)生新的塑性變形，所以參數(shù)K不變，即dK=0，由此得卸載準(zhǔn)則為：101特選材料%對于硬化材料，后繼屈服面和初始屈服面不同，它是隨塑性變形的如圖所示：--如果應(yīng)力變化使應(yīng)力點(diǎn)從此瞬時(shí)狀態(tài)所處的后繼屈服面向內(nèi)移，則變化的結(jié)果使材料從一個(gè)塑性狀態(tài)退回到一個(gè)彈性狀態(tài)，即為卸載過程，不會(huì)產(chǎn)生新的塑性變形，所以參數(shù)K不變，即dK=0，由此得卸載準(zhǔn)則為：且即：這里矢量關(guān)系說明：dσ和n

分處屈服面兩側(cè)，即dσ指向屈服面內(nèi)。（2-20a)102特選材料%如圖所示：且即：這里矢量關(guān)系說明：dσ和n分處屈服面兩側(cè)如圖所示：--如果應(yīng)力變化使應(yīng)力點(diǎn)沿后繼屈服面變化，實(shí)驗(yàn)證明此過程也不產(chǎn)生新的塑性變形，所以參數(shù)K也不變，dK=0.比過程稱為中性變載，則且即：這里矢量關(guān)系說明：矢量dσ和n正交，表示中性變載時(shí)應(yīng)力點(diǎn)沿屈服面切向變化。（2-20b)103特選材料%如圖所示：且即：這里矢量關(guān)系說明：矢量dσ和n正交，表示如圖所示：--如果應(yīng)力和參數(shù)K都變化，使材料從一個(gè)塑性狀態(tài)過渡到另一個(gè)塑性狀態(tài)，應(yīng)力點(diǎn)從原來的后繼屈服面外移到相鄰的另一個(gè)后繼屈服面時(shí)即為加載，此時(shí)加載準(zhǔn)則表示為：且即：兩矢量的點(diǎn)積大于零，表示兩者的夾角小于900，即dσ也是指向屈服面外側(cè)的。如果屈服面不是正則的，而是由幾個(gè)正則面構(gòu)成的，則上述加載和卸載準(zhǔn)則的幾何意義也同樣成立。（2-20c)104特選材料%如圖所示：且即：兩矢量的點(diǎn)積大于零，表示兩者的夾角小于900由于后繼屈服的問題是一個(gè)很復(fù)雜的問題，不易用實(shí)驗(yàn)的方法來完全確定后繼屈服函數(shù)的具體形式，特別是隨著塑性變形的增長，材料的各向異性效應(yīng)愈益顯著，問題變得更加復(fù)雜了。所以，這是一個(gè)有待于進(jìn)一步研究的問提。為了便于應(yīng)用，通常從一些實(shí)驗(yàn)資料出發(fā)作一些假定來建立一些簡化的硬化模型，并由此給出硬化條件，即后繼屈服條件，下面介紹幾種常用的模型及其相應(yīng)的硬化條件。6.幾種硬化模型105特選材料%由于后繼屈服的問題是一個(gè)很復(fù)雜的問題，不易用實(shí)驗(yàn)的方法來完全單一曲線假設(shè)認(rèn)為，對于塑性變形中保持各向同性的材料，在各應(yīng)力分量成比例增加的所謂簡單加載的情況下，其硬化特性可用應(yīng)力強(qiáng)度和應(yīng)變強(qiáng)度的確定的函數(shù)關(guān)系來表示，即（1）單一曲線假設(shè)并且認(rèn)為這個(gè)函數(shù)的形式和應(yīng)力狀態(tài)的形式無關(guān)，而只和材料特性有關(guān)，所以可以根據(jù)在簡單應(yīng)力狀態(tài)下的材料實(shí)驗(yàn)，如簡單拉伸實(shí)驗(yàn)來確定。在簡單拉伸的狀態(tài)下，正好就是拉伸應(yīng)力σ，就是拉伸正應(yīng)變ε，所以上式所代表的曲線就是和拉伸應(yīng)力-應(yīng)變曲線一致的。（2-21)106特選材料%單一曲線假設(shè)認(rèn)為，對于塑性變形中保持各向同性的材料，在（1）此時(shí)，材料的硬化條件為-曲線的切線模量為正，即另外，要求：式中：E

為彈性模量，為割線模量，為切線模量對體積不可壓縮材料，泊松比υ=0.5，則彈性模量E和剪切彈性模量G滿足下列關(guān)系：（2-22)（2-23)（2-24)107特選材料%此時(shí)，材料的硬化條件為-曲線的切線模量為正，即另公式所示的條件稱為單一曲線假設(shè)，它可以用于全量理論。（2）等向硬化模型對于復(fù)雜加載(非簡單加載)，尋找一個(gè)合適的描述硬化特性的數(shù)學(xué)式即硬化條件的問題就相當(dāng)復(fù)雜?？梢哉f，到目前為止，這個(gè)問題并沒有得到很好的解決。但是已經(jīng)提出了幾種硬化模型，并在實(shí)際中得到了應(yīng)用。這些硬化模型中最簡單的一種稱為等向硬化模型或各向同性硬化模型。108特選材料%公式所示的條件稱為單一曲線假設(shè)，它可以用等向硬化模型假定既不考慮靜水應(yīng)力的影響，也不考慮Bauschinger效應(yīng)即由于塑性變形而引起的各向異性。這樣，該模型假定后繼屈服面在應(yīng)力空間中的形狀和中心位置O保持不變，但隨著塑性變形的增加，而逐漸等向地?cái)U(kuò)大（只脹不縮）。如采用Mises條件，在π平面上就是一系列的同心圓。如采用Tresca條件，在π平面上就是一連串的同心正六邊形。如圖所示。109特選材料%等向硬化模型假定既不考慮靜水應(yīng)力的影響，也不考慮這樣，該如果初始屈服條件為：，則等向硬化的后繼屈服條件即硬化條件可表示為：這里函數(shù)是決定屈服面形狀的，在π平面，它們是以K(k）為參數(shù)的一組同心圓，而圓的半徑是由函數(shù)K(k）決定的。對初始屈服，，則上式就成為Mises條件的表達(dá)式：其中參數(shù)K是標(biāo)量內(nèi)變量k的函數(shù)，如果初始屈服條件取Mises條件，則相應(yīng)的等向硬化條件表示為：隨著塑性變形的發(fā)展和硬化程度的增加，K(k)從初始值按一定的函數(shù)關(guān)系遞增。（2-25)（2-26)110特選材料%如果初始屈服條件為：，則等向硬化的后繼屈服條該模型忽略了由于塑性變形引起的各向異性的影響，因此，只有在變形不太大，以及應(yīng)力偏量之間的相互比例改變不大時(shí)，利用它求得的結(jié)果才比較符合實(shí)際。111特選材料%111特選材料%當(dāng)塑性變形較大，特別是應(yīng)力有反復(fù)變化時(shí)，等向硬化模型與實(shí)驗(yàn)結(jié)果相差較大。（3）隨動(dòng)硬化模型隨動(dòng)硬化模型:是考慮Bauschinger效應(yīng)的簡化模型。該模型假定材料將在塑性變形的方向OP+(如圖所示)上被硬化(即屈服值增大)，而在其相反方向OP-上被同等地軟化了(即屈服值減小)。這樣，在加載過程中，隨著塑性變形的發(fā)展，屈服面的大小和形狀都不變，只是整體地在應(yīng)力空間中作平移，如圖所示。所以，這個(gè)模型可在一定程度上反映Bauschinger效應(yīng)。112特選材料%當(dāng)塑性變形較大，特別是應(yīng)力有反復(fù)變化時(shí)，等向硬化模型與實(shí)驗(yàn)結(jié)如初始屈服條件為：則對隨動(dòng)硬化模型，后繼屈服條件即硬化條件可表示為：式中:C為常數(shù)，為初始屈服面在應(yīng)力空間內(nèi)的位移。如選用中心點(diǎn)O為參考點(diǎn)，則它就是中心點(diǎn)的位移，它的大小反映了硬化程度，就是表示硬化程度的參數(shù)，是的函數(shù)。若令這里α為材料常數(shù)，由實(shí)驗(yàn)確定。這就是線性隨動(dòng)硬化模型。（2-27)（2-28)113特選材料%如初始屈服條件為：則對隨動(dòng)硬化模型，后繼屈服條件即硬化條件可為了更好地反映材料的Bauschinger效應(yīng)，可以將隨動(dòng)硬化模型和等向硬化模型結(jié)合起來，即認(rèn)為后繼屈服面的形狀、大小和位置一起隨塑性變形的發(fā)展而變化，如圖所示（4）組合硬化模型這種模型稱為組合硬化模型。雖然這種模型可以更好地去符合實(shí)驗(yàn)結(jié)果，由于十分復(fù)雜，不便于應(yīng)用。114特選材料%為了更好地反映材料的Bauschinger效應(yīng)，可以將隨動(dòng)介紹了材料在塑性變形過程中的硬化條件，以及加載、卸載和中性變載的準(zhǔn)則。這里將