高數(shù)課件2-10 -1曲線積分

第十章積分學定積分二重積分三重積分積分域區(qū)間域平面域空間域曲線積分曲線域曲面域曲線積分曲面積分對弧長的曲線積分對坐標的曲線積分對面積的曲面積分對坐標的曲面積分曲面積分曲線積分與曲面積分第一節(jié)一、對弧長的曲線積分的概念與性質二、對弧長的曲線積分的計算法對弧長的曲線積分

第十章

前一章我們已經把積分概念從積分范圍的角度從數(shù)軸上的一個區(qū)間推廣到平面或空間內的一個區(qū)域，在應用領域，有時常常會遇到計算密度不均勻的曲線的質量、變力對質點所作的功、通過某曲面的流體的流量等，為解決這些問題，需要對積分概念作進一步的推廣，引進曲線積分和曲面積分的概念，給出計算方法，這就是本章的中心內容，此外還要介紹Green公式、Gauss公式和Stokes公式，這些公式揭示了存在于各種積分之間的某種聯(lián)系。重點第二型曲線積分與曲面積分的概念和計算方法Green公式、Gauss公式曲線積分與路徑無關的條件難點第二型曲面積分的計算基本要求①正確理解曲線積分和曲面積分概念②熟練掌握曲線積分與曲面積分的計算方法③掌握幾種積分間的聯(lián)系，明確它們在概念、性質、計算方法上的異同④掌握第二型曲線積分與路徑無關的條件⑤牢固掌握Green公式及其成立條件⑥牢固掌握Gauss公式及其成立條件一、問題的提出實例:曲線形構件的質量勻質之質量分割求和近似值取極限精確值二、對弧長的曲線積分的概念1.定義積分弧段被積函數(shù)積分和式曲線形構件的質量2.存在條件：3.推廣注意：思考:(1)若在

L

上f(x,y)≡1,(2)定積分是否可看作對弧長曲線積分的特例?否!

對弧長的曲線積分要求ds0,但定積分中dx

可能為負.4.性質5、幾何與物理意義三、對弧長曲線積分的計算基本思路:計算定積分轉化求曲線積分3.注意到

因此上述計算公式相當于“換元法”.（證明略）注意:不同特殊情形：如果方程為直角坐標形式:（3）如果方程為極坐標形式:則（4）設空間曲線弧的參數(shù)方程為：則代：將積分曲線的參數(shù)方程代入被積函數(shù)，換：換弧微元定限：定積分限，下限—小參數(shù)，上限—大參數(shù)一代、二換、三定限例1.

計算其中L是拋物線與點

B(1,1)之間的一段弧.解:上點O(0,0)例2解怎么計算方便？例3.計算其中L為在第二象限的部分（a＞0）解一將L表示為解二將L表示為解三將L表示為參數(shù)方程例4解練習解(1)L：(2)L：例5.計算其中L為雙紐線解:

在極坐標系下它在第一象限部分為利用對稱性,得例6.計算曲線積分

其中為螺旋的一段弧.解:

線例7.計算其中為球面解:化為參數(shù)方程則注關于對弧長的曲線積分的對稱性①若L關于

y

軸對稱其中L1是L的關于

y

軸對稱的部分弧段②若L關于x

軸對稱其中L2是L的關于x

軸對稱的部分弧段③若L關于原點對稱其中L3是L的對稱的部分弧段④若L關于直線

y=x

對稱與重積分的對稱性十分類似例.計算其中L為:解由對稱性,知例解由對稱性,知注：常規(guī)方法是消去z，化為參數(shù)方程求解。繁??！五、小結1、對弧長曲線積分的概念2、對弧長曲線積分的計算3、對弧長曲線積分的應用思考與練習1.已知橢圓周長為a,求2.

設

C

是由極坐標系下曲線及所圍區(qū)域的邊界,求解答與提示1.已知橢圓周長為a,求提示:原式=利用對稱性分析:2.

設

C

是由極坐標系下曲線及所圍