2023屆江蘇省徐州市高三上學期期中數(shù)學試題（解析版）

試卷第=page22頁，共=sectionpages44頁2023屆江蘇省徐州市高三上學期期中數(shù)學試題一、單選題1．已知集合，，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】分別化簡兩個集合，求出交集即可.求解集合A時，注意限制條件.【詳解】所以，故選：C.2．在復平面內(nèi)，復數(shù)（i是虛數(shù)單位）對應的點位于（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】A【分析】先將原式化簡，再看實部和虛部的正負判斷所在復平面的象限即可.【詳解】，在復平面內(nèi)對應的點在第一象限.故選：A.3．的展開式中的常數(shù)項為（

）A．15 B．60 C．80 D．160【答案】B【分析】利用二項式定理的通項公式進行求解.【詳解】由題知，的展開式的通項為，當時，，此時，故的展開式中的常數(shù)項為60，故A，C，D錯誤.故選：B.4．在氣象觀測中，用降水量表示下雨天氣中雨量的大小.降水量的測量方法是從天空降落到地面上的雨水，在未蒸發(fā)、滲透、流失的情況下，在水平面上積聚的雨水深度.降水量以mm為單位，一般取一位小數(shù).現(xiàn)某地10分鐘的降雨量為13.1mm，小王在此地此時間段內(nèi)用底面半徑為5cm的圓柱型量筒收集的雨水體積約為（其中）（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】直接代入圓柱的體積公式計算即可.【詳解】故選：D.5．從正方體的8個頂點中任取3個構成三角形，則所得三角形是正三角形的概率是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)題意，列舉出滿足正三角形的頂點的組合，然后再利用古典概型概率計算公式計算出所求概率即可.【詳解】如圖示，從正方體的8個頂點中任取3個構成三角形，基本事件有種，在正方體中，滿足任取3個頂點構成正三角形的有8種，頂點的集合分別是，，，，，，，，所以所求概率為.故選：B6．若平面向量，，兩兩的夾角相等，且，，則（

）A．3 B．或 C．3或6 D．或6【答案】C【分析】三個平面向量的夾角兩兩相等，則說明夾角為或，分兩種情況討論即可.【詳解】由已知得，平面向量，，兩兩的夾角為或，當夾角為為時，即，，同向，則；當夾角為為時，的方向與的方向相反，且所以，.綜上所述，或.故選：C.7．已知圓和兩點，，若圓上存在點，使得，則實數(shù)的取值范圍為（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】設，利用可得，再由在圓上可得，令，利用圓和直線總有公共點可得的取值范圍，從而求出答案.【詳解】圓的圓心為，半徑為，設，因為，可得，即①，而②，若，則，即，不合題意，所以，由①②可得，令，所以圓和直線總有公共點，可得即，解得，即，解得.故選：D.8．，，，則（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】先構造函數(shù)，通過求導判斷單調(diào)性，比較出b和c的大??；再找中間值和，通過構造函數(shù)，證明，判斷，構造函數(shù)，通過單調(diào)性判斷，于是證明，即可求得a、b、c的大小關系.【詳解】令則，顯然即單調(diào)遞減，所以，即，.令則，即在上單調(diào)遞增所以，即，所以令則當時，，即在上單調(diào)遞增又，所以當時，所以，即即，又，所以，即.綜上：.故選：C.二、多選題9．已知為坐標原點，拋物線的焦點為，過的直線與交，兩點，則（

）A．的最小值為2B．以為直徑的圓與直線相切C．D．【答案】BC【分析】分直線的斜率存在與不存在兩種情況，寫出直線方程，將直線與拋物線聯(lián)立，得到，選項A，轉(zhuǎn)化，結(jié)合韋達定理分析即可；選項B，結(jié)合拋物線定義以及梯形中線性質(zhì)，分析圓心到直線的距離即可判斷；選項C，，結(jié)合韋達定理計算，即可判斷；選項D，，結(jié)合韋達定理即可判斷.【詳解】由題意，拋物線焦點為，即，故拋物線，若直線的斜率不存在，則直線方程為：，此時，若直線斜率存在，不妨設直線方程為：，聯(lián)立，可得，恒成立，故,選項A，，若直線斜率不存在，若直線斜率存在，，故的最小值為4，錯誤；選項B，不妨設以為直徑的圓圓心為，作于，于，于，由拋物線定義，，故，又為中點，故，故以為直徑的圓與直線相切，正確；選項C，，正確；選項D，，錯誤.故選：BC10．已知函數(shù)的最小正周期為，則（

）A．B．的最大值為3C．在區(qū)間上單調(diào)增D．將的圖象向左平移個單位長度后所得函數(shù)的圖象關于軸對稱【答案】ACD【分析】根據(jù)已知，利用和角公式、輔助角公式以及三角形函數(shù)的圖象與性質(zhì)進行求解.【詳解】因為的最小正周期為，所以，又，所以，故A正確；所以，其最大值為，故B錯誤；當時，，由正弦曲線有，在單調(diào)遞增，所以在上單調(diào)遞增，故C正確；將的圖象向左平移個單位長度后所得函數(shù)為，其圖象關于軸對稱，故D正確；故選：ACD.11．已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，當時，，則下列說法正確的是（

）A．曲線在點處的切線方程為B．不等式的解集為C．若關于的方程有6個實根，則D．，，都有【答案】AC【分析】利用函數(shù)為奇函數(shù)求出時的解析式并求導，根據(jù)導數(shù)的幾何意義，得出切線方程，即可判斷A；結(jié)合的解析式，求出不等式的解集即可判斷B；根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)作出的大致圖象，可知當時，，由此即可判斷D；根據(jù)的圖象，結(jié)合函數(shù)圖象的變換規(guī)律，作出的大致圖象，根據(jù)直線與交點個數(shù)的情況，即可判斷C．【詳解】函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，，∵當時，，∴當時，，則，∴，，又∴曲線在點處的切線方程為，故A正確；∵∴令，則當時，，解得；當時，，解得；當時，，符合題意，故的解集為，故B錯誤；當時，，∴，當時，，單調(diào)遞增；當時，，單調(diào)遞減，∴當時，取極小值，在時，，函數(shù)是上的奇函數(shù)，圖象關于原點對稱，根據(jù)以上信息，作出的大致圖象如圖，由圖可知，當時，，，，都有，故D錯誤．根據(jù)函數(shù)圖象的變換規(guī)律，作出的大致圖象如圖，由圖可知，當時，直線與的圖象有6個交點，則關于的方程有6個實根，故C正確；故選：AC．12．截角四面體是一種半正八面體，可由四面體經(jīng)過適當?shù)慕亟?，即截去四面體的四個頂點處的小棱錐所得的多面體.如圖，將棱長為3的正四面體沿棱的三等分點作平行于底面的截面得到所有棱長均為1的截角四面體，則（

）A．平面B．直線與所成的角為60°C．該截角四面體的表面積為D．該截角四面體的外接球半徑為【答案】BCD【分析】確定截角四面體是由4個邊長為1的正三角形，4個邊長為1的正六邊形構成，還原正四面體可判定AB，根據(jù)各個面的形狀求得截角四面體的表面積判斷C，取上下底面的中心分別為，外接球的球心為，連接，可得，求解可判斷D.【詳解】選項A，由題意，截去四面體還原為正四面體，如下圖所示，因為，所以，又因為為等邊三角形，所以，即直線與所成角為，即不與直線垂直，故平面不成立，所以A錯誤；選項B，由題意，故，又因為為等邊三角形，所以，即直線與所成角為，正確；選項C，由題意，截角四面體由4個邊長為的正三角形，4個邊長為的正六邊形構成，所以其表面積為，所以C正確；選項D，如下圖所示，取上下底面的中心分別為，外接球的球心為，連接，因為截角四面體上下底面距離為，設球的半徑為，所以，即，化簡得的，正確.故選：BCD三、填空題13．已知隨機變量服從正態(tài)分布，若，則________．【答案】0.3【分析】由已知求得正態(tài)分布曲線的對稱軸，再由已知結(jié)合對稱性可得，即可求得.【詳解】因為隨機變量服從正態(tài)分布，所以正態(tài)分布曲線的對稱軸為x=1，由得：，所以.故答案為：0.314．已知橢圓的左、右焦點分別為，，點在橢圓上且滿足，，則的離心率的值為______.【答案】【分析】由題意分析為直角三角形，得到關于a、c的齊次式，即可求出離心率.【詳解】設，則.由橢圓的定義可知：，所以.所以因為，所以為直角三角形，由勾股定理得：，即，即，所以離心率.故答案為：15．已知，，則的值為______.【答案】##2.24【分析】利用同角三角函數(shù)的關系解得的值，配角解出即可.【詳解】∵，，又，則∴，∴又∴.故答案為：.16．剪紙是一種鏤空藝術，是中國漢族最古老的民間藝術之一.如圖，一圓形紙片，直徑，需要剪去菱形，可以經(jīng)過兩次對折、沿裁剪、展開后得到.若，要使鏤空的菱形面積最大，則菱形的邊長______cm.【答案】##【分析】設圓心為，結(jié)合已知條件，求出與的關系式，然后利用導函數(shù)即可求解菱形面積最大值，進而可得到答案.【詳解】設圓心為，由圓的性質(zhì)可知，，，，，共線，，，，，共線，由菱形性質(zhì)可知，，不妨令，，且半徑為10，則，即，，故，不妨令，，則，從而；，故在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以當時，在上取最大值，從而要使鏤空的菱形面積最大，則，由可知，，則此時.故答案為：.四、解答題17．在中，角，，所對的邊分別為，，，且滿足.(1)求角；(2)若，為邊的中點，且，求的面積.【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)條件，利用余弦定理求解即可；（2）利用余弦定理，結(jié)合三角形的面積公式求解即可.【詳解】（1）由余弦定理得，，即，所以，又因為，所以.（2），為邊的中點，，又，故在中，由余弦定理得，，同理，在中，，因為，所以，可得，又在中，由余弦定理得：，所以，所以由三角形面積公式得，.18．已知等差數(shù)列的前項和滿足是等差數(shù)列，且.(1)求數(shù)列的通項公式；(2)若數(shù)列滿足，求數(shù)列的前20項和.【答案】(1).(2).【分析】（1）根據(jù)已知，利用等差數(shù)列的性質(zhì)、通項公式、求和公式進行求解.（2）根據(jù)已知，利用裂項相消法求解.【詳解】（1）因為是等差數(shù)列，所以，所以，又是等差數(shù)列，所以，即，整理得，，所以，所以的公差為，此時，，則有，符合題意，故數(shù)列的通項公式為.（2）由（1）知，，所以，因為，所以，所以.19．為了慶祝中國共產(chǎn)黨第二十次全國代表大會勝利召開，某校組織了一次黨史知識競賽.已知知識競賽中有甲、乙、丙三個問題，規(guī)則如下：（1）學生可以自主選擇這三個問題的答題順序，三個問題是否答對相互獨立；（2）每答對一個問題可以獲取本題所對應的榮譽積分，并繼續(xù)回答下一個問題，答錯則不可獲取本題所對應的榮譽積分，且停止答題.已知學生A答對甲、乙、丙三個問題的概率及答對時獲得的相應榮譽積分如下表.問題甲乙丙答對的概率0.80.5答對獲取的榮譽積分100200300(1)若，求學生A按“甲、乙、丙”的順序答題并最終恰好獲得300榮譽積分的概率；(2)針對以下兩種答題順序：①丙、乙、甲；②乙、丙、甲，當滿足什么條件時，學生A按順序①答題最后所得榮譽積分的期望較高?【答案】(1)0.28(2)當時，學生A按順序①答題最后所得榮譽積分的期望較高.【分析】（1）根據(jù)相互獨立事件的概率乘法公式進行求解.（2）根據(jù)相互獨立事件的概率乘法公式，利用離散型隨機變量的分布列、期望計算公式進行求解.【詳解】（1）設“學生A按“甲、乙、丙”的順序答題并最終恰好獲得300榮譽積分”為事件，則.所以，學生A按“甲、乙、丙”的順序答題并最終恰好獲得300榮譽積分的概率為0.28.（2）設順序①答題最后所得的榮譽積分為，按順序②答題最后所得的榮譽積分為，則的所有可能取值為0，300，500，600，的所有可能取值為0，200，500，600.，，，，所以.，，，，所以.由得.故當時，學生A按順序①答題最后所得榮譽積分的期望較高.20．如圖，在四面體中，，.(1)證明：平面平面；(2)若為的中點，求二面角的余弦值.【答案】(1)見解析(2)【分析】（1）取中點，連接，證明，，則是二面角的平面角，再利用勾股定理證明即可得證；（2）以為正交基底建立空間直角坐標系，利用向量法求解即可.【詳解】（1）證明：取中點，連接，由可知，，在中，由可知，，所以是二面角的平面角，在中，，所以是直角三角形，因此，在中，，，，所以，所以，故平面平面；（2）解：由（1）可知，，，兩兩互相垂直，以為正交基底建立空間直角坐標系，則，，，，，所以，，設平面的法向量為，則取，則，，所以平面的一個法向量為，又平面的一個法向量為，所以，由圖形可知，二面角的余弦值為.21．已知為坐標原點，點在雙曲線上，直線交于，兩點.(1)若直線過的右焦點，且斜率為，求的面積；(2)若直線，與軸分別相交于，兩點，且，證明：直線過定點.【答案】(1)(2)證明見解析【分析】（1）根據(jù)條件，先求出C的方程，寫出直線l的方程，與雙曲線方程聯(lián)立求出P，Q點的坐標，運用兩點距離公式和點到直線的距離公式即可計算出的面積；（2）根據(jù)M，N關于原點的對稱性，設立坐標，求出直線AM和直線AN的方程，與雙曲線方程聯(lián)立，運用韋達定理求出P，Q的坐標，再利用兩點式直線方程化簡即可.【詳解】（1）將點代入的方程，得，解得，所以的方程為.直線的方程為，聯(lián)立方程整理得，，解得，不妨設，，則，點到直線的距離為，所以的面積為；（2）依題意作上圖，設，則，，，直線AP的方程為：，直線AQ的方程為：；聯(lián)立方程：，解得：，顯然，即；，，聯(lián)立方程：，解得：，顯然，即，，即當時，直線PQ的方程為：，將上面求得的解析式代入得：，整理得：，所以直線PQ過定點；綜上，.【點睛】本題第二問計算量很大，需要反復計算確認，但思路比較容易，只要根據(jù)對稱性設立M，N點坐標，其他的只要順勢而為即可.22．已知函數(shù)，，.，分別為函數(shù)，的導函數(shù).(1)討論函數(shù)的單調(diào)性；