第3章 平均數(shù)標(biāo)準(zhǔn)差與變異系數(shù)課件

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第三章資料的統(tǒng)計(jì)描述1.正確理解各種平均數(shù)、方差、標(biāo)準(zhǔn)差、變異系數(shù)等統(tǒng)計(jì)量的概念和性質(zhì)；2.掌握上述各統(tǒng)計(jì)量的計(jì)算方法。教學(xué)目標(biāo)：下一張主頁退出上一張第三章1第一節(jié)平均數(shù)平均數(shù)是統(tǒng)計(jì)學(xué)中最常用的統(tǒng)計(jì)量，用來表明資料中各觀測(cè)值相對(duì)集中較多的中心位置。平均數(shù)主要包括有：算術(shù)平均數(shù)（arithmeticmean）中位數(shù)（median）眾數(shù)（mode）幾何平均數(shù)（geometricmean）調(diào)和平均數(shù)（harmonicmean）1.資料的代表數(shù)2.表示各種技術(shù)措施的效果3.表示畜禽的生產(chǎn)性能4.進(jìn)行變量間的相互比較其作用主要體現(xiàn)在：第一節(jié)平均數(shù)平均數(shù)是統(tǒng)計(jì)學(xué)中最常用的統(tǒng)計(jì)2下一張

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一、算術(shù)平均數(shù)算術(shù)平均數(shù)是指資料中各觀測(cè)值的總和除以觀測(cè)值個(gè)數(shù)所得的商，簡稱平均數(shù)或均數(shù)，記為、等。算術(shù)平均數(shù)可根據(jù)樣本大小及分組情況而采用直接法或加權(quán)法計(jì)算。(一)直接法主要用于樣本含量n≤30、未經(jīng)分組資料平均數(shù)的計(jì)算。下一張主頁退出上一張一、算術(shù)平均數(shù)3下一張

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設(shè)某一資料包含n個(gè)觀測(cè)值：x1、x2、…、xn，則樣本平均數(shù)可通過下式計(jì)算：（3-1）其中，Σ為總和符號(hào)；表示從第一個(gè)觀測(cè)值x1累加到第n個(gè)觀測(cè)值xn。當(dāng)其在意義上已明確時(shí)，可簡寫為，（3-1）式可改寫為：下一張主頁退出上一張?jiān)O(shè)某一資料包含4下一張

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【例3.1】某種公牛站測(cè)得10頭成年公牛的體重分別為500、520、535、560、585、600、480、510、505、490（kg），求其平均數(shù)。由于Σx=500+520+535+560+58+600+480+510+505+49=5285，

n=10得：即10頭種公牛平均體重為528.5kg。下一張主頁退出上一張【例3.1】5

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（二）加權(quán)法對(duì)于樣本含量n≥30以上且已分組的資料，可以在次數(shù)分布表的基礎(chǔ)上采用加權(quán)法計(jì)算平均數(shù)，計(jì)算公式為：

（3-2）下一張主頁退出上一張（二）加6下一張

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式中：—第i組的組中值；—第i組的次數(shù)；—分組數(shù)。第i組的次數(shù)fi是權(quán)衡第i組組中值xi在資料中所占比重大小的數(shù)量，因此將fi

稱為是xi的“權(quán)”，加權(quán)法也由此而得名。

【例3.2】將100頭長白母豬的仔豬一月窩重（單位：kg）資料整理成次數(shù)分布表如下，求其加權(quán)數(shù)平均數(shù)。下一張主頁退出上一張式中：7組別組中值（x）次數(shù)（f）fx10—1534520—25615030—352691040—4530135050—5524132060—65852070—753225合計(jì)1004520表3-1100頭長白母豬仔豬一月窩重次數(shù)分布表組別組中值（x）次數(shù)（f）fx10—1534520—2568

利用（3-2）式得：即這100頭長白母豬仔豬一月齡平均窩重為45.2kg。計(jì)算若干個(gè)來自同一總體的樣本平均數(shù)的平均數(shù)時(shí)，如果樣本含量不等，也應(yīng)采用加權(quán)法計(jì)算(以各樣本的含量為權(quán))。下一張

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利用（3-2）式得：下一張主頁退9

【例3.3】某牛群有黑白花奶牛1500頭，其平均體重為750

kg

，而另一牛群有黑白花奶牛1200頭，平均體重為725

kg，如果將這兩個(gè)牛群混合在一起，其混合后平均體重為多少？此例兩個(gè)牛群所包含的牛的頭數(shù)不等，要計(jì)算兩個(gè)牛群混合后的平均體重，應(yīng)以兩個(gè)牛群牛的頭數(shù)為權(quán)，求兩個(gè)牛群平均體重的加權(quán)平均數(shù)，即下一張

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即兩個(gè)牛群混合后平均體重為738.89

kg?！纠?.3】某牛群有黑白花奶牛15010下一張

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（三）平均數(shù)的基本性質(zhì)1、樣本各觀測(cè)值與平均數(shù)之差的和為零，即離均差之和等于零。

可簡寫成：或下一張主頁退出上一張（三）平均數(shù)的基本性質(zhì)112、樣本各觀測(cè)值與平均數(shù)之差的平方和為最小，即離均差平方和為最小。對(duì)于總體而言，通常用μ表示總體平均數(shù)，有限總體的平均數(shù)為：（3-3）式中，N表示總體所包含的個(gè)體數(shù)。2、樣本各觀測(cè)值與平均數(shù)之差的平方和為最小，即離均差12

當(dāng)一個(gè)統(tǒng)計(jì)量的數(shù)學(xué)期望等于所估計(jì)的總體參數(shù)時(shí)，則稱此統(tǒng)計(jì)量為該總體參數(shù)的無偏估計(jì)量。統(tǒng)計(jì)學(xué)中常用樣本平均數(shù)（）作為總體平均數(shù)（μ）的估計(jì)量，并已證明樣本平均數(shù)是總體平均數(shù)μ的無偏估計(jì)量。下一張

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當(dāng)一個(gè)統(tǒng)計(jì)量的數(shù)學(xué)期望等于所估計(jì)的總體參數(shù)時(shí)，則稱此統(tǒng)計(jì)量為該總體參數(shù)的無偏估計(jì)量。統(tǒng)計(jì)學(xué)中常用樣本平均數(shù)（）作為總體平均數(shù)（μ）的估計(jì)量，并已證明樣本平均數(shù)是總體平均數(shù)μ的無偏估計(jì)量。下一張主頁退出上一張13下一張

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二、中位數(shù)

將資料內(nèi)所有觀測(cè)值從小到大依次排列，位于中間的那個(gè)觀測(cè)值稱為中位數(shù)（median），記為Md。

當(dāng)觀測(cè)值的個(gè)數(shù)是偶數(shù)時(shí)，則以中間兩個(gè)觀測(cè)值的平均數(shù)作為中位數(shù)。當(dāng)所獲得的數(shù)據(jù)資料呈偏態(tài)分布時(shí)，中位數(shù)的代表性優(yōu)于算術(shù)平均數(shù)。中位數(shù)的計(jì)算方法因資料是否分組而有所不同。下一張主頁退出上一張二、中位數(shù)將141、當(dāng)觀測(cè)值個(gè)數(shù)n為奇數(shù)時(shí)，(n+1)/2位置的觀測(cè)值，即x(n+1)/2為中位數(shù)：

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（一）未分組資料中位數(shù)的計(jì)算方法

對(duì)于未分組資料，先將各觀測(cè)值由小到大依次排列。2、當(dāng)觀測(cè)值個(gè)數(shù)為偶數(shù)時(shí)，n/2和（n/2+1）位置的兩個(gè)觀測(cè)值之和的1/2為中位數(shù)，即：

（3-4）1、當(dāng)觀測(cè)值個(gè)數(shù)n為奇數(shù)時(shí)，(n+1)/2位置的觀15【例3.4】觀察得9只西農(nóng)莎能奶山羊的妊娠天數(shù)為：144、145、147、149、150、151、153、156、157，求其中位數(shù)。此例n=9，為奇數(shù)，則：即西農(nóng)莎能奶山羊妊娠天數(shù)的中位數(shù)為150天。

(d)【例3.4】觀察得9只西農(nóng)莎能奶山羊的妊娠天數(shù)為16下一張

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【例3.5】某犬場發(fā)生犬瘟熱，觀察得10只仔犬發(fā)現(xiàn)癥狀到死亡分別為7、8、8、9、11、12、12、13、14、14天，求其中位數(shù)。此例n=10，為偶數(shù)，則：（d）即10只仔犬從發(fā)現(xiàn)癥狀到死亡天數(shù)的中位數(shù)為11.5天。下一張主頁退出上一張【例3.5】17下一張

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（二）已分組資料中位數(shù)的計(jì)算方法若資料已分組，編制成次數(shù)分布表，則可利用次數(shù)分布表來計(jì)算中位數(shù)，其計(jì)算公式為：（3-5）式中：L

—中位數(shù)所在組的下限；

i—組距；

f

—中位數(shù)所在組的次數(shù)；

n

—總次數(shù)；

c

—小于中數(shù)所在組的累加次數(shù)。下一張主頁退出上一張（二）已分組資料中位數(shù)18下一張

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【例3.6】某奶牛場68頭健康母牛從分娩到第一次發(fā)情間隔時(shí)間整理成次數(shù)分布表如表3—2所示，求中位數(shù)。

表3-268頭母牛從分娩到第一次發(fā)情間隔時(shí)間次數(shù)分布表間隔時(shí)間（d）頭數(shù)（f）累加頭數(shù)12—261127—412342—56131657—71203672—86165287—1011264102—116266≥117268下一張主頁退出上一張【例3.6】某奶19下一張

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由表3-2可見：i=15，n=68，因而中位數(shù)只能在累加頭數(shù)為36所對(duì)應(yīng)的“57—71”這一組，于是可確定L=57，f=20，c=16，代入公式（3-5）得：

（d）即奶牛頭胎分娩到第一次發(fā)情間隔時(shí)間的中位數(shù)為70.5天。下一張主頁退出上一張由表3-2可見20又如，由表3-1可算得其中位數(shù)為：又如，由表3-1可算得其中位數(shù)為：21下一張

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三、幾何平均數(shù)n個(gè)觀測(cè)值相乘之積開n

次方所得的方根，稱為幾何平均數(shù)(geometricmean)，記為G。它主要應(yīng)用于畜牧業(yè)、水產(chǎn)業(yè)的生產(chǎn)動(dòng)態(tài)分析，畜禽疾病及藥物效價(jià)的統(tǒng)計(jì)分析。如畜禽、水產(chǎn)養(yǎng)殖的增長率，抗體的滴度，藥物的效價(jià)，畜禽疾病的潛伏期等，用幾何平均數(shù)比用算術(shù)平均數(shù)更能代表其平均水平。其計(jì)算公式如下：(3-6)n下一張主頁退出上一張三、幾何平均數(shù)22為了計(jì)算方便，可將各觀測(cè)值取對(duì)數(shù)后相加除以n，得lgG，再求lgG的反對(duì)數(shù)，即得G值，即(3-7)【例3.7】某波爾山羊群1997—2000年各年度的存欄數(shù)見表3-3，試求其年平均增長率。年度存欄數(shù)（只）增長率（x）Lgx1997140——19982000.429-0.36819992800.400-0.39820003500.250-0.602Σlgx=-1.368表3—3某波爾山羊群各年度存欄數(shù)與增長率為了計(jì)算方便，可將各觀測(cè)值取對(duì)數(shù)后相加除以n，得lgG23

利用（3-7）式求年平均增長率

=lg-1[（-0.368-0.398–0.602)/3]=lg-1[-1.368/3]=lg-1（-0.456）=0.3501

即年平均增長率為0.3501或35.01%。下一張

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當(dāng)一組數(shù)據(jù)資料中的各觀測(cè)值呈倍數(shù)關(guān)系（等比關(guān)系，幾何級(jí)數(shù)）變化趨勢(shì)時(shí)，用幾何平均數(shù)表示其一般水平是較為合適的。利用（3-7）式求年平均增長率下一張主24下一張

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四、眾數(shù)資料中出現(xiàn)次數(shù)最多的那個(gè)觀測(cè)值或次數(shù)最多一組的組中值，稱為眾數(shù)（mode），記為Mo。間斷性資料由于樣本中的各觀測(cè)值容易集中于某一個(gè)數(shù)值，所以眾數(shù)易于確定。連續(xù)性資料由于在兩個(gè)相鄰的觀測(cè)值之間，可有各種數(shù)值存在，樣本中的觀測(cè)值不易集中于某一個(gè)數(shù)值，眾數(shù)不易確定。在連續(xù)性資料的次數(shù)分布表中，分布次數(shù)最多一組的組中值即為該樣本的概約眾數(shù)。但在實(shí)際統(tǒng)計(jì)分析過程中，由于分組不同，概約眾數(shù)亦不同?？捎醚a(bǔ)差法計(jì)算眾數(shù)，其準(zhǔn)確性高于眾數(shù)。公式如下：下一張主頁退出上一張四、眾數(shù)資25（3-8）為次數(shù)最多組的下限,為組距，L為次數(shù)最多組上一組的累計(jì)次數(shù)，為次數(shù)最多組下一組的累計(jì)次數(shù)。（3-8）為次數(shù)最多組的下限,為組距，L為次數(shù)最多組上一組的26

如表2-3所列的50枚受精種蛋出雛天數(shù)次數(shù)分布中，以22出現(xiàn)的次數(shù)最多，則該資料的眾數(shù)為22天。又如【例3.6】所列出的次數(shù)分布表中，57—71這一組次數(shù)最多，其組中值為64天，則該資料的眾數(shù)為64天。再如，由表3-1可算得其概約眾數(shù)為：如表2-3所列的50枚受精種蛋27五、調(diào)和平均數(shù)資料中各觀測(cè)值倒數(shù)的算術(shù)平均數(shù)的倒數(shù)，稱為調(diào)和平均數(shù)（harmonicmean），記為H。即（3-9）

調(diào)和平均數(shù)主要用于反映畜群不同階段的平均增長率或畜群不同規(guī)模的平均規(guī)模。五、調(diào)和平均數(shù)資料中各觀測(cè)值倒數(shù)的算術(shù)平均數(shù)的倒數(shù)，28

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【例3.8】某保種牛群不同世代牛群保種的規(guī)模分別為：0世代200頭，1世代220頭，2世代210頭；3世代190頭，4世代210頭，試求其平均規(guī)模。利用（3-9）式求平均規(guī)模：(頭)即保種群平均規(guī)模為208.33頭。下一張主頁退出上一張29

一般，對(duì)于同一資料：算術(shù)平均數(shù)≥幾何平均數(shù)≥調(diào)和平均數(shù)。上述五種平均數(shù)，最常用的是算術(shù)平均數(shù)。555553456713579三組數(shù)據(jù)平均數(shù)均為5，但代表性強(qiáng)弱不同。一般，對(duì)于同一資料：55530第二節(jié)標(biāo)準(zhǔn)差下一張

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一、標(biāo)準(zhǔn)差的意義用平均數(shù)作為樣本的代表，其代表性的強(qiáng)弱受樣本資料中各觀測(cè)值變異程度的影響。僅用平均數(shù)對(duì)一個(gè)資料的特征作統(tǒng)計(jì)描述是不全面的，還需引入一個(gè)表示資料中觀測(cè)值變異程度大小的統(tǒng)計(jì)量。全距（極差）是表示資料中各觀測(cè)值變異程度大小最簡便的統(tǒng)計(jì)量。全距只利用了資料中的最大值和最小值，并不能準(zhǔn)確表達(dá)資料中各觀測(cè)值的變異程度，比較粗略。當(dāng)資料很多而又要迅速對(duì)資料的變異程度作出判斷時(shí)，可以利用全距這個(gè)統(tǒng)計(jì)量。

第二節(jié)標(biāo)準(zhǔn)差下一張主頁退出上一張一、標(biāo)31為了準(zhǔn)確地表示樣本內(nèi)各個(gè)觀測(cè)值的變異程度，人們首先會(huì)考慮到以平均數(shù)為標(biāo)準(zhǔn)，求出各個(gè)觀測(cè)值與平均數(shù)的離差，（），稱為離均差。雖然離均差能表示一個(gè)觀測(cè)值偏離平均數(shù)的性質(zhì)和程度，但因?yàn)殡x均差有正、有負(fù)，離均差之和為零，因而不能用離均差之和來表示資料中所有觀測(cè)值的總偏離程度。為了解決離均差有正、有負(fù)，離均差之和為零的問題，可先求離均差的絕對(duì)值并將各離均差絕對(duì)值之和除以觀測(cè)值個(gè)數(shù)n求得平均絕對(duì)離差，即。為了準(zhǔn)確地表示樣本內(nèi)各個(gè)觀測(cè)值的變異程度，人們首先32雖然平均絕對(duì)離差可以表示資料中各觀測(cè)值的變異度，但由于平均絕對(duì)離差包含絕對(duì)值符號(hào)，使用很不方便，在統(tǒng)計(jì)學(xué)中未被采用。我們還可以采用將離均差平方的辦法來解決離均差有正、有負(fù)，離均差之和為零的問題。先將各個(gè)離均差平方，即，再求離均差平方和，即，簡稱平方和，記為SS；由于離差平方和常隨樣本大小而改變，為了消除樣本大小的影響，用平方和除以樣本大小，即，求出離均差平方和的平均數(shù)。雖然平均絕對(duì)離差可以表示資料中各觀測(cè)值的變異度，但由33為了使所得的統(tǒng)計(jì)量是相應(yīng)總體參數(shù)的無偏估計(jì)（unbiasedestimate）量，統(tǒng)計(jì)學(xué)證明，在求離均差平方和的平均數(shù)時(shí)，分母不用樣本含量n，而用自由度n-1，于是，我們采用統(tǒng)計(jì)量表示資料的變異程度。統(tǒng)計(jì)量稱為均方（meansquare,縮寫為MS）,又稱樣本方差(varianceofsample)，記為，即(3-10)為了使所得的統(tǒng)計(jì)量是相應(yīng)總體參數(shù)的無偏估計(jì)（u34相應(yīng)的總體參數(shù)叫總體方差，記為。對(duì)于有限總體而言，的計(jì)算公式為：(3-11)由于樣本方差帶有原觀測(cè)單位的平方單位，在僅表示一個(gè)資料中各觀測(cè)值的變異程度而不作其它分析時(shí)，常需要與平均數(shù)配合使用，這時(shí)應(yīng)將平方單位還原，即應(yīng)求出樣本方差的平方根。統(tǒng)計(jì)學(xué)上把樣本方差的平方根叫做樣本標(biāo)準(zhǔn)(standarddeviationofsample)，記為，即：

(3-12)相應(yīng)的總體參數(shù)叫總體方差，記為。對(duì)于有限總體而35

(3-13)由于所以（3-12）式可改為：(3-13)由于所以（3-12）式可改為：36下一張

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(3-14)相應(yīng)的總體參數(shù)叫總體標(biāo)準(zhǔn)差，記為σ。對(duì)于有限總體而言，σ的計(jì)算公式為：在統(tǒng)計(jì)學(xué)中，常用樣本標(biāo)準(zhǔn)差S估計(jì)總體標(biāo)準(zhǔn)差σ，但這并非無偏估計(jì)。

下一張主頁退出上一張(3-14)37二、標(biāo)準(zhǔn)差的計(jì)算方法（一）直接法對(duì)于未分組或小樣本資料，可直接利用（3—13）或（3-14）式來計(jì)算標(biāo)準(zhǔn)差。【例3.9】計(jì)算10只遼寧絨山羊產(chǎn)絨量：450，450，500，500，500，550，550，550，600，600，650（g）的標(biāo)準(zhǔn)差。此例n=10，經(jīng)計(jì)算得：Σx=5400，Σx2=2955000，代入（3-13）式得：二、標(biāo)準(zhǔn)差的計(jì)算方法（一）直接法對(duì)于未分組或小樣本38下一張

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(g)即10只遼寧絨山羊產(chǎn)絨量的標(biāo)準(zhǔn)差為65.828g。（二）加權(quán)法對(duì)于已制成次數(shù)分布表的大樣本資料，可利用次數(shù)分布表，采用加權(quán)法計(jì)算標(biāo)準(zhǔn)差。計(jì)算公式為：

（3-15）式中，f為各組次數(shù)；x為各組的組中值；Σf=n為總次數(shù)。下一張主頁退出上一張(g)即10只遼寧絨山39【例3.10】利用某純系蛋雞200枚蛋重資料的次數(shù)分布表（見表3-4）計(jì)算標(biāo)準(zhǔn)差。組別組中值（x）次數(shù)（f）fxfx244.15—45.03135.06075.045.85—46.76280.213085.3447.55—48.416774.437480.9649.25—50.1221102.255220.2250.95—51.8301554.080497.2052.65—53.5442354.0125939.0054.35—55.2281545.085317.1256.05—56.9301707.097128.3057.75—58.612703.241207.5259.45—60.35301.518180.4561.15—62.04248.015376.00合計(jì)

Σf=200Σfx=10705.1Σfx2=575507.11表3-4某純系蛋雞200枚蛋重資料次數(shù)分布及標(biāo)準(zhǔn)差計(jì)算表【例3.10】利用某純系蛋雞200枚蛋重資料的次40下一張

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將表3-4中的Σf、Σfx、代入（3-15）式得：(g)即某純系蛋雞200枚蛋重的標(biāo)準(zhǔn)差為3.5524g。下一張主頁退出上一張將表3-4中的Σf、Σ41下一張

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三、標(biāo)準(zhǔn)差的特性（一）標(biāo)準(zhǔn)差的大小，受資料中每個(gè)觀測(cè)值的影響，如觀測(cè)值間變異大，求得的標(biāo)準(zhǔn)差也大，反之則小。（二）在計(jì)算標(biāo)準(zhǔn)差時(shí)，在各觀測(cè)值加上或減去一個(gè)常數(shù)，其數(shù)值不變。（三）當(dāng)每個(gè)觀測(cè)值乘以或除以一個(gè)常數(shù)a，則所得的標(biāo)準(zhǔn)差是原來標(biāo)準(zhǔn)差的a倍或1/a倍。下一張主頁退出上一張三、標(biāo)準(zhǔn)差的特性42

（四）在資料服從正態(tài)分布的條件下，資料中約有68.26%的觀測(cè)值在平均數(shù)左右一倍標(biāo)準(zhǔn)差（±S）范圍內(nèi)；約有95.45%的觀測(cè)值在平均數(shù)左右兩倍標(biāo)準(zhǔn)差（±2S）范圍內(nèi)；約有99.73%的觀測(cè)值在平均數(shù)左右三倍標(biāo)準(zhǔn)差（±3S）范圍內(nèi)。也就是說全距近似地等于6倍標(biāo)準(zhǔn)差，可用（全距/6）來粗略估計(jì)標(biāo)準(zhǔn)差。下一張

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（四）在資料服從正態(tài)分布的條件下，資料中約有643第三節(jié)變異系數(shù)變異系數(shù)是衡量資料中各觀測(cè)值變異程度的另一個(gè)統(tǒng)計(jì)量。當(dāng)進(jìn)行兩個(gè)或多個(gè)資料變異程度的比較時(shí)，如果度量單位與平均數(shù)相同，可以直接利用標(biāo)準(zhǔn)差來比較。如果度量單位和（或）平均數(shù)不同時(shí)，比較其變異程度就不能采用標(biāo)準(zhǔn)差，而需采用標(biāo)準(zhǔn)差與平均數(shù)的比值（相對(duì)值）來比較。標(biāo)準(zhǔn)差與平均數(shù)的比值稱為變異系數(shù)(coefficientofvariation)，記為C·V。變異系數(shù)可以消除單位和（或）平均數(shù)不同對(duì)兩個(gè)或多個(gè)資料變異程度比較的影響。第三節(jié)變異系數(shù)變異系數(shù)是衡量資料中各觀測(cè)值變異程44下一張

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變異系數(shù)的計(jì)算公式為：（3-16）【例3.11】已知某良種豬場長白成年母豬平均體重為190kg，標(biāo)準(zhǔn)差為10.5kg，而大約克成年母豬平均體重為196kg，標(biāo)準(zhǔn)差為8.5kg，試問兩個(gè)品種的成年母豬，那一個(gè)體重變異程度大。

下一張主頁退出上一張變異系數(shù)的計(jì)算公式為：45下一張

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由于，長白成年母豬體重的變異系數(shù)：大約克成年母豬體重的變異系數(shù)：所以，長白成年母豬體重的變異程度大于大約克成年母豬。注意，變異系數(shù)的大小，同時(shí)受平均數(shù)和標(biāo)準(zhǔn)差兩個(gè)統(tǒng)計(jì)量的影響，因而在利用變異系數(shù)表示資料的變異程度時(shí)，最好將平均數(shù)和標(biāo)準(zhǔn)差也列出。下一張主頁退出上一張由于，長白成年母豬體重46

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第三章資料的統(tǒng)計(jì)描述1.正確理解各種平均數(shù)、方差、標(biāo)準(zhǔn)差、變異系數(shù)等統(tǒng)計(jì)量的概念和性質(zhì)；2.掌握上述各統(tǒng)計(jì)量的計(jì)算方法。教學(xué)目標(biāo)：下一張主頁退出上一張第三章47第一節(jié)平均數(shù)平均數(shù)是統(tǒng)計(jì)學(xué)中最常用的統(tǒng)計(jì)量，用來表明資料中各觀測(cè)值相對(duì)集中較多的中心位置。平均數(shù)主要包括有：算術(shù)平均數(shù)（arithmeticmean）中位數(shù)（median）眾數(shù)（mode）幾何平均數(shù)（geometricmean）調(diào)和平均數(shù)（harmonicmean）1.資料的代表數(shù)2.表示各種技術(shù)措施的效果3.表示畜禽的生產(chǎn)性能4.進(jìn)行變量間的相互比較其作用主要體現(xiàn)在：第一節(jié)平均數(shù)平均數(shù)是統(tǒng)計(jì)學(xué)中最常用的統(tǒng)計(jì)48下一張

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一、算術(shù)平均數(shù)算術(shù)平均數(shù)是指資料中各觀測(cè)值的總和除以觀測(cè)值個(gè)數(shù)所得的商，簡稱平均數(shù)或均數(shù)，記為、等。算術(shù)平均數(shù)可根據(jù)樣本大小及分組情況而采用直接法或加權(quán)法計(jì)算。(一)直接法主要用于樣本含量n≤30、未經(jīng)分組資料平均數(shù)的計(jì)算。下一張主頁退出上一張一、算術(shù)平均數(shù)49下一張

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設(shè)某一資料包含n個(gè)觀測(cè)值：x1、x2、…、xn，則樣本平均數(shù)可通過下式計(jì)算：（3-1）其中，Σ為總和符號(hào)；表示從第一個(gè)觀測(cè)值x1累加到第n個(gè)觀測(cè)值xn。當(dāng)其在意義上已明確時(shí)，可簡寫為，（3-1）式可改寫為：下一張主頁退出上一張?jiān)O(shè)某一資料包含50下一張

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【例3.1】某種公牛站測(cè)得10頭成年公牛的體重分別為500、520、535、560、585、600、480、510、505、490（kg），求其平均數(shù)。由于Σx=500+520+535+560+58+600+480+510+505+49=5285，

n=10得：即10頭種公牛平均體重為528.5kg。下一張主頁退出上一張【例3.1】51

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（二）加權(quán)法對(duì)于樣本含量n≥30以上且已分組的資料，可以在次數(shù)分布表的基礎(chǔ)上采用加權(quán)法計(jì)算平均數(shù)，計(jì)算公式為：

（3-2）下一張主頁退出上一張（二）加52下一張

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式中：—第i組的組中值；—第i組的次數(shù)；—分組數(shù)。第i組的次數(shù)fi是權(quán)衡第i組組中值xi在資料中所占比重大小的數(shù)量，因此將fi

稱為是xi的“權(quán)”，加權(quán)法也由此而得名。

【例3.2】將100頭長白母豬的仔豬一月窩重（單位：kg）資料整理成次數(shù)分布表如下，求其加權(quán)數(shù)平均數(shù)。下一張主頁退出上一張式中：53組別組中值（x）次數(shù)（f）fx10—1534520—25615030—352691040—4530135050—5524132060—65852070—753225合計(jì)1004520表3-1100頭長白母豬仔豬一月窩重次數(shù)分布表組別組中值（x）次數(shù)（f）fx10—1534520—25654

利用（3-2）式得：即這100頭長白母豬仔豬一月齡平均窩重為45.2kg。計(jì)算若干個(gè)來自同一總體的樣本平均數(shù)的平均數(shù)時(shí)，如果樣本含量不等，也應(yīng)采用加權(quán)法計(jì)算(以各樣本的含量為權(quán))。下一張

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利用（3-2）式得：下一張主頁退55

【例3.3】某牛群有黑白花奶牛1500頭，其平均體重為750

kg

，而另一牛群有黑白花奶牛1200頭，平均體重為725

kg，如果將這兩個(gè)牛群混合在一起，其混合后平均體重為多少？此例兩個(gè)牛群所包含的牛的頭數(shù)不等，要計(jì)算兩個(gè)牛群混合后的平均體重，應(yīng)以兩個(gè)牛群牛的頭數(shù)為權(quán)，求兩個(gè)牛群平均體重的加權(quán)平均數(shù)，即下一張

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即兩個(gè)牛群混合后平均體重為738.89

kg。【例3.3】某牛群有黑白花奶牛15056下一張

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（三）平均數(shù)的基本性質(zhì)1、樣本各觀測(cè)值與平均數(shù)之差的和為零，即離均差之和等于零。

可簡寫成：或下一張主頁退出上一張（三）平均數(shù)的基本性質(zhì)572、樣本各觀測(cè)值與平均數(shù)之差的平方和為最小，即離均差平方和為最小。對(duì)于總體而言，通常用μ表示總體平均數(shù)，有限總體的平均數(shù)為：（3-3）式中，N表示總體所包含的個(gè)體數(shù)。2、樣本各觀測(cè)值與平均數(shù)之差的平方和為最小，即離均差58

當(dāng)一個(gè)統(tǒng)計(jì)量的數(shù)學(xué)期望等于所估計(jì)的總體參數(shù)時(shí)，則稱此統(tǒng)計(jì)量為該總體參數(shù)的無偏估計(jì)量。統(tǒng)計(jì)學(xué)中常用樣本平均數(shù)（）作為總體平均數(shù)（μ）的估計(jì)量，并已證明樣本平均數(shù)是總體平均數(shù)μ的無偏估計(jì)量。下一張

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當(dāng)一個(gè)統(tǒng)計(jì)量的數(shù)學(xué)期望等于所估計(jì)的總體參數(shù)時(shí)，則稱此統(tǒng)計(jì)量為該總體參數(shù)的無偏估計(jì)量。統(tǒng)計(jì)學(xué)中常用樣本平均數(shù)（）作為總體平均數(shù)（μ）的估計(jì)量，并已證明樣本平均數(shù)是總體平均數(shù)μ的無偏估計(jì)量。下一張主頁退出上一張59下一張

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二、中位數(shù)

將資料內(nèi)所有觀測(cè)值從小到大依次排列，位于中間的那個(gè)觀測(cè)值稱為中位數(shù)（median），記為Md。

當(dāng)觀測(cè)值的個(gè)數(shù)是偶數(shù)時(shí)，則以中間兩個(gè)觀測(cè)值的平均數(shù)作為中位數(shù)。當(dāng)所獲得的數(shù)據(jù)資料呈偏態(tài)分布時(shí)，中位數(shù)的代表性優(yōu)于算術(shù)平均數(shù)。中位數(shù)的計(jì)算方法因資料是否分組而有所不同。下一張主頁退出上一張二、中位數(shù)將601、當(dāng)觀測(cè)值個(gè)數(shù)n為奇數(shù)時(shí)，(n+1)/2位置的觀測(cè)值，即x(n+1)/2為中位數(shù)：

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（一）未分組資料中位數(shù)的計(jì)算方法

對(duì)于未分組資料，先將各觀測(cè)值由小到大依次排列。2、當(dāng)觀測(cè)值個(gè)數(shù)為偶數(shù)時(shí)，n/2和（n/2+1）位置的兩個(gè)觀測(cè)值之和的1/2為中位數(shù)，即：

（3-4）1、當(dāng)觀測(cè)值個(gè)數(shù)n為奇數(shù)時(shí)，(n+1)/2位置的觀61【例3.4】觀察得9只西農(nóng)莎能奶山羊的妊娠天數(shù)為：144、145、147、149、150、151、153、156、157，求其中位數(shù)。此例n=9，為奇數(shù)，則：即西農(nóng)莎能奶山羊妊娠天數(shù)的中位數(shù)為150天。

(d)【例3.4】觀察得9只西農(nóng)莎能奶山羊的妊娠天數(shù)為62下一張

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【例3.5】某犬場發(fā)生犬瘟熱，觀察得10只仔犬發(fā)現(xiàn)癥狀到死亡分別為7、8、8、9、11、12、12、13、14、14天，求其中位數(shù)。此例n=10，為偶數(shù)，則：（d）即10只仔犬從發(fā)現(xiàn)癥狀到死亡天數(shù)的中位數(shù)為11.5天。下一張主頁退出上一張【例3.5】63下一張

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（二）已分組資料中位數(shù)的計(jì)算方法若資料已分組，編制成次數(shù)分布表，則可利用次數(shù)分布表來計(jì)算中位數(shù)，其計(jì)算公式為：（3-5）式中：L

—中位數(shù)所在組的下限；

i—組距；

f

—中位數(shù)所在組的次數(shù)；

n

—總次數(shù)；

c

—小于中數(shù)所在組的累加次數(shù)。下一張主頁退出上一張（二）已分組資料中位數(shù)64下一張

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【例3.6】某奶牛場68頭健康母牛從分娩到第一次發(fā)情間隔時(shí)間整理成次數(shù)分布表如表3—2所示，求中位數(shù)。

表3-268頭母牛從分娩到第一次發(fā)情間隔時(shí)間次數(shù)分布表間隔時(shí)間（d）頭數(shù)（f）累加頭數(shù)12—261127—412342—56131657—71203672—86165287—1011264102—116266≥117268下一張主頁退出上一張【例3.6】某奶65下一張

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由表3-2可見：i=15，n=68，因而中位數(shù)只能在累加頭數(shù)為36所對(duì)應(yīng)的“57—71”這一組，于是可確定L=57，f=20，c=16，代入公式（3-5）得：

（d）即奶牛頭胎分娩到第一次發(fā)情間隔時(shí)間的中位數(shù)為70.5天。下一張主頁退出上一張由表3-2可見66又如，由表3-1可算得其中位數(shù)為：又如，由表3-1可算得其中位數(shù)為：67下一張

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三、幾何平均數(shù)n個(gè)觀測(cè)值相乘之積開n

次方所得的方根，稱為幾何平均數(shù)(geometricmean)，記為G。它主要應(yīng)用于畜牧業(yè)、水產(chǎn)業(yè)的生產(chǎn)動(dòng)態(tài)分析，畜禽疾病及藥物效價(jià)的統(tǒng)計(jì)分析。如畜禽、水產(chǎn)養(yǎng)殖的增長率，抗體的滴度，藥物的效價(jià)，畜禽疾病的潛伏期等，用幾何平均數(shù)比用算術(shù)平均數(shù)更能代表其平均水平。其計(jì)算公式如下：(3-6)n下一張主頁退出上一張三、幾何平均數(shù)68為了計(jì)算方便，可將各觀測(cè)值取對(duì)數(shù)后相加除以n，得lgG，再求lgG的反對(duì)數(shù)，即得G值，即(3-7)【例3.7】某波爾山羊群1997—2000年各年度的存欄數(shù)見表3-3，試求其年平均增長率。年度存欄數(shù)（只）增長率（x）Lgx1997140——19982000.429-0.36819992800.400-0.39820003500.250-0.602Σlgx=-1.368表3—3某波爾山羊群各年度存欄數(shù)與增長率為了計(jì)算方便，可將各觀測(cè)值取對(duì)數(shù)后相加除以n，得lgG69

利用（3-7）式求年平均增長率

=lg-1[（-0.368-0.398–0.602)/3]=lg-1[-1.368/3]=lg-1（-0.456）=0.3501

即年平均增長率為0.3501或35.01%。下一張

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當(dāng)一組數(shù)據(jù)資料中的各觀測(cè)值呈倍數(shù)關(guān)系（等比關(guān)系，幾何級(jí)數(shù)）變化趨勢(shì)時(shí)，用幾何平均數(shù)表示其一般水平是較為合適的。利用（3-7）式求年平均增長率下一張主70下一張

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四、眾數(shù)資料中出現(xiàn)次數(shù)最多的那個(gè)觀測(cè)值或次數(shù)最多一組的組中值，稱為眾數(shù)（mode），記為Mo。間斷性資料由于樣本中的各觀測(cè)值容易集中于某一個(gè)數(shù)值，所以眾數(shù)易于確定。連續(xù)性資料由于在兩個(gè)相鄰的觀測(cè)值之間，可有各種數(shù)值存在，樣本中的觀測(cè)值不易集中于某一個(gè)數(shù)值，眾數(shù)不易確定。在連續(xù)性資料的次數(shù)分布表中，分布次數(shù)最多一組的組中值即為該樣本的概約眾數(shù)。但在實(shí)際統(tǒng)計(jì)分析過程中，由于分組不同，概約眾數(shù)亦不同?？捎醚a(bǔ)差法計(jì)算眾數(shù)，其準(zhǔn)確性高于眾數(shù)。公式如下：下一張主頁退出上一張四、眾數(shù)資71（3-8）為次數(shù)最多組的下限,為組距，L為次數(shù)最多組上一組的累計(jì)次數(shù)，為次數(shù)最多組下一組的累計(jì)次數(shù)。（3-8）為次數(shù)最多組的下限,為組距，L為次數(shù)最多組上一組的72

如表2-3所列的50枚受精種蛋出雛天數(shù)次數(shù)分布中，以22出現(xiàn)的次數(shù)最多，則該資料的眾數(shù)為22天。又如【例3.6】所列出的次數(shù)分布表中，57—71這一組次數(shù)最多，其組中值為64天，則該資料的眾數(shù)為64天。再如，由表3-1可算得其概約眾數(shù)為：如表2-3所列的50枚受精種蛋73五、調(diào)和平均數(shù)資料中各觀測(cè)值倒數(shù)的算術(shù)平均數(shù)的倒數(shù)，稱為調(diào)和平均數(shù)（harmonicmean），記為H。即（3-9）

調(diào)和平均數(shù)主要用于反映畜群不同階段的平均增長率或畜群不同規(guī)模的平均規(guī)模。五、調(diào)和平均數(shù)資料中各觀測(cè)值倒數(shù)的算術(shù)平均數(shù)的倒數(shù)，74

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【例3.8】某保種牛群不同世代牛群保種的規(guī)模分別為：0世代200頭，1世代220頭，2世代210頭；3世代190頭，4世代210頭，試求其平均規(guī)模。利用（3-9）式求平均規(guī)模：(頭)即保種群平均規(guī)模為208.33頭。下一張主頁退出上一張75

一般，對(duì)于同一資料：算術(shù)平均數(shù)≥幾何平均數(shù)≥調(diào)和平均數(shù)。上述五種平均數(shù)，最常用的是算術(shù)平均數(shù)。555553456713579三組數(shù)據(jù)平均數(shù)均為5，但代表性強(qiáng)弱不同。一般，對(duì)于同一資料：55576第二節(jié)標(biāo)準(zhǔn)差下一張

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一、標(biāo)準(zhǔn)差的意義用平均數(shù)作為樣本的代表，其代表性的強(qiáng)弱受樣本資料中各觀測(cè)值變異程度的影響。僅用平均數(shù)對(duì)一個(gè)資料的特征作統(tǒng)計(jì)描述是不全面的，還需引入一個(gè)表示資料中觀測(cè)值變異程度大小的統(tǒng)計(jì)量。全距（極差）是表示資料中各觀測(cè)值變異程度大小最簡便的統(tǒng)計(jì)量。全距只利用了資料中的最大值和最小值，并不能準(zhǔn)確表達(dá)資料中各觀測(cè)值的變異程度，比較粗略。當(dāng)資料很多而又要迅速對(duì)資料的變異程度作出判斷時(shí)，可以利用全距這個(gè)統(tǒng)計(jì)量。

第二節(jié)標(biāo)準(zhǔn)差下一張主頁退出上一張一、標(biāo)77為了準(zhǔn)確地表示樣本內(nèi)各個(gè)觀測(cè)值的變異程度，人們首先會(huì)考慮到以平均數(shù)為標(biāo)準(zhǔn)，求出各個(gè)觀測(cè)值與平均數(shù)的離差，（），稱為離均差。雖然離均差能表示一個(gè)觀測(cè)值偏離平均數(shù)的性質(zhì)和程度，但因?yàn)殡x均差有正、有負(fù)，離均差之和為零，因而不能用離均差之和來表示資料中所有觀測(cè)值的總偏離程度。為了解決離均差有正、有負(fù)，離均差之和為零的問題，可先求離均差的絕對(duì)值并將各離均差絕對(duì)值之和除以觀測(cè)值個(gè)數(shù)n求得平均絕對(duì)離差，即。為了準(zhǔn)確地表示樣本內(nèi)各個(gè)觀測(cè)值的變異程度，人們首先78雖然平均絕對(duì)離差可以表示資料中各觀測(cè)值的變異度，但由于平均絕對(duì)離差包含絕對(duì)值符號(hào)，使用很不方便，在統(tǒng)計(jì)學(xué)中未被采用。我們還可以采用將離均差平方的辦法來解決離均差有正、有負(fù)，離均差之和為零的問題。先將各個(gè)離均差平方，即，再求離均差平方和，即，簡稱平方和，記為SS；由于離差平方和常隨樣本大小而改變，為了消除樣本大小的影響，用平方和除以樣本大小，即，求出離均差平方和的平均數(shù)。雖然平均絕對(duì)離差可以表示資料中各觀測(cè)值的變異度，但由79為了使所得的統(tǒng)計(jì)量是相應(yīng)總體參數(shù)的無偏估計(jì)（unbiasedestimate）量，統(tǒng)計(jì)學(xué)證明，在求離均差平方和的平均數(shù)時(shí)，分母不用樣本含量n，而用自由度n-1，于是，我們采用統(tǒng)計(jì)量表示資料的變異程度。統(tǒng)計(jì)量稱為均方（meansquare,縮寫為MS）,又稱樣本方差(varianceofsample)，記為，即(3-10)為了使所得的統(tǒng)計(jì)量是相應(yīng)總體參數(shù)的無偏估計(jì)（u80相應(yīng)的總體參數(shù)叫總體方差，記為。對(duì)于有限總體而言，的計(jì)算公式為：(3-11)由于樣本方差帶有原觀測(cè)單位的平方單位，在僅表示一個(gè)資料中各觀測(cè)值的變異程度而不作其它分析時(shí)，常需要與平均數(shù)配合使用，這時(shí)應(yīng)將平方單位還原，即應(yīng)求出樣本方差的平方根。統(tǒng)計(jì)學(xué)上把樣本方差的平方根叫做樣本標(biāo)準(zhǔn)(standarddeviationofsample)，記為，即：

(3-12)相應(yīng)的總體參數(shù)叫總體方差，記為。對(duì)于有限總體而81

(3-13)由于所以（3-12）式可改為：(3-13)由于所以（3-12）式可改為：82下一張

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(3-14)相應(yīng)的總體參數(shù)叫總體標(biāo)準(zhǔn)差，記為σ。對(duì)于有限總體而言，σ的計(jì)算公式為：在統(tǒng)計(jì)學(xué)中，常用樣本標(biāo)準(zhǔn)差S估計(jì)總體標(biāo)準(zhǔn)差σ，但這并非無偏估計(jì)。

下一張主頁退出上一張(3-14)83二、標(biāo)準(zhǔn)差的計(jì)算方法（一）直接法對(duì)于未分組或小樣本資料，可直接利用（3—13）或（3-14）式來計(jì)算標(biāo)準(zhǔn)差?！纠?.9】計(jì)算10只遼寧絨山羊產(chǎn)絨量：450，450，500，500，500，550，550，550，600，600，650（g）的標(biāo)準(zhǔn)差。此例n=10，經(jīng)計(jì)算得：Σx=5400，Σx2=2955000，代入（3-13）式得：二、標(biāo)準(zhǔn)差的計(jì)算方法（