不動(dòng)點(diǎn)原理及其應(yīng)用

題目：摘要本文主要討論了壓縮映射原理，Schauder不動(dòng)點(diǎn)定理以及不動(dòng)點(diǎn)的應(yīng)用三個(gè)方面。在解決微分方程，積分方程，以及其他方程的解的存在唯一性時(shí)，將問(wèn)題轉(zhuǎn)換為求某一映射的不動(dòng)點(diǎn)，利用不動(dòng)點(diǎn)原理進(jìn)行解決。關(guān)鍵詞：壓縮映射原理；Schauder不動(dòng)點(diǎn)定理；不動(dòng)點(diǎn)原理應(yīng)用AbstractInthispaper,wetalkedaboutcontractionmappingprinciple,Schauder’sfixedpointtheoremandtheapplicationofthefixedpointtheorem.Aswedealwiththesolutionsaboutdifferentialequation,integralequationandotherkindsofequations,itisausefulwaytotransformtheproblemintofixedpointtheorem.Wecanuseittosolveplentyofpracticeproblemstoo.Keywords:contractionmappingprinciple;Schauder’sfixedpointtheorem;theapplicationoffixedpointtheorem.目錄弓|言11.壓縮映射原理1TOC\o"1-5"\h\z1.1壓縮映射原理（距離空間）11.2壓縮映射原理（巴拿赫空間）7\o"CurrentDocument"2.Schauder不動(dòng)點(diǎn)定理9\o"CurrentDocument"3不動(dòng)點(diǎn)定理的應(yīng)用11\o"CurrentDocument"總結(jié)12\o"CurrentDocument"參考文獻(xiàn)14頁(yè)腳引言在微分方程，積分方程以及其他各類方程的理論中，解的存在性，唯一性以及近似解的收斂性都是至關(guān)重要的課題，而不動(dòng)點(diǎn)理論是研究這一問(wèn)題的有力工具，在本文中我們將著重討論壓縮映射原理，Schauder不動(dòng)點(diǎn)定理以及不動(dòng)點(diǎn)的應(yīng)用三個(gè)方面，對(duì)每一塊內(nèi)容，我們將給出定理，定理的證明以及具體的實(shí)例，通過(guò)對(duì)具體實(shí)例的分析來(lái)說(shuō)明問(wèn)題。1壓縮映射原理1.1壓縮映射原理(距離空間)定義1.1.1:設(shè)X是度量空間，T是X到X中的映射，若存在數(shù)0京<1，使得對(duì)所有0<9<1，有P(Tx,Ty)<Op(x,y)，則稱T是壓縮映射?！?】定理1.1.1:設(shè)X是完備的距離空間，距離為p，T是由X到其自身的映射，且對(duì)任意的x,yeX，不等式P(Tx,Ty)<Op(x,y)，(1.1.1)成立，其中O是滿足不等式0<O<1的常數(shù)，那么T在X中存在唯一的不動(dòng)點(diǎn)，既存在唯一的xeX使得Tx=x，x可用迭代法求得.證明：在X中任意取定一點(diǎn)x0，并令TOC\o"1-5"\h\zx=Txx=Tx，x=Tx，由10,21n+1n,p(x,x)=p(Tx,Tx)<Op(x,x)=Op(x,Tx);12010100p(x,x)=p(Tx,Tx)<Op(x,x)=O2p(x,Tx);23121200可證明)+...+pn+On+1+...+On+p-1)p(x,Tx)(n=1,2,3.....),x)n+p-1n+pp(x,x)<Onp(x,Tx)p(x,x)<p(x,x)+p()+...+pn+On+1+...+On+p-1)p(x,Tx)(n=1,2,3.....),x)n+p-1n+p1-0001—00,0由于0<0<1,所以0n—0,則"}是X中的基本點(diǎn)列，由X的完備性可知"}收斂于X中某一點(diǎn)x,由(1.1.1)式可知,T是連續(xù)映射，在X"1=件中，令nF,可得Tx=x,因此x是T的一個(gè)不動(dòng)點(diǎn)。下證唯一性：設(shè)另有項(xiàng)使得y=Ty，則(-/__、」__

px,y=pTx，Ty<0Px，yk7k7k.一r\因?yàn)?<0<1，所以Px,y=0，即x=y，唯一性成立。k7定理1.1.2:設(shè)T:XtX是X上的映射，若對(duì)于某個(gè)自然數(shù)k，Tk有唯不動(dòng)點(diǎn)，則T以同一點(diǎn)作為唯一不動(dòng)點(diǎn)?！?】證明：設(shè)xeX是Tk的唯一不動(dòng)點(diǎn)，Tkx=x，則Tx=T(Tkx)=Tk(Tx)，000000因此Tx0是Tk的不動(dòng)點(diǎn)，由唯一性可知Tx0=x0，又因?yàn)門的每一個(gè)不動(dòng)點(diǎn)肯定是Tk的不動(dòng)點(diǎn)，因此T的不動(dòng)點(diǎn)是唯一的。例1.1.1設(shè)K(s,t)是矩形a<s,t<b上的連續(xù)函數(shù)，suP\K(s,t)=MV8，對(duì)于每個(gè)a<s,t<bR2有x(t)=pjtK(t,t》t+甲(t)x(t)=pjtK(t,t》t+甲(t),a中(t)eC[a,b],求證這個(gè)方程在C[a,b]中存在唯一解。證明：考慮映射T:C[a,b]rC[a,b]，(Tx)(t)=pjKt,tbt+甲(t),VxGC[a,b]，a則有|(Tx)(t)-Ty(t)|=|叫|』”K(t具)(xG)-yG)M(t)-y(t)||t-a|=叫M(t-a)p(x,y)(1.1.3)對(duì)此進(jìn)行歸納,<1葉MnG.)np(x,y)|(Tn+ix)(t)—(Tn+iy)(t)jtK(t具)(Tnx)(t)-Gny)G以a<m|n+1Mn+1—jt(T-aTdcpG,y)!a=m|n+1Mn+1(；a,p(x,y)(n+1)!(TnX)(t)-(Tny)(t)(1.1.4)因此對(duì)任意的自然數(shù)n,(Tnx,Tny)=supa<t<b(Tnx)(t)-(Tny(t))<p（x,y）（1.1.5）n!當(dāng)n足夠大時(shí)，使”「M"b-"'v1，則Tn是C[a,b]上的壓縮映射，由于C[a,b]n!完備，因此Tn有唯一的不動(dòng)點(diǎn)，根據(jù)定理1.1.2,T有同一不動(dòng)點(diǎn)，是方程的解。例1.1.2設(shè)T是壓縮映射，求證Tn也是壓縮映射，并說(shuō)明逆命題不一定成立.證明：（1）因?yàn)門是壓縮映射，因此存在存在yG（0,1），使得頁(yè)腳p(TXTy)<yp(x,y),貝Up(T2x,T2y)<yp(Tx,Ty)<y2,并且假設(shè)pG心,Tny)<Ynp(x,y)成立，那么有：由于3（0,1），則YY（0,1）,所p(Tn+1X,Tn+1y)<yp(Tnx,Tny)<y叫np(x,y)=Yn+ip(x,y)，由數(shù)學(xué)歸納法可知p(Tnx,Tny)<Ynp(x由于3（0,1），則YY（0,1）,所（2）該命題的逆命題不一定成立，如：f（x）=\；x:【0,1］t［0,1］；f2（x）=x:［0,1］t【0,1］是壓縮映射,f（x）=：x:［。,1］頊0,1］；不是壓縮映射。若f（x）=\三：［0，1］t［°，1］；是壓縮映射，則有，存在Y6（0,1）使得f(x-xl<Y(x-x),有一xsV<Y,則差商是有界的。但若取21I21x-x1)克J12七f(x)-f(x)T8，與差商有界矛盾，故證。x1=n'x2=n■有(x-x)1)克JT8，與差商有界矛盾，故證。例1.1.3設(shè)D=[a,b]x(-8,8),f:D—R滿足：①f在D上連續(xù)；(2)fy(x,y)在D上存在，0<m<fy(x,y)<M,對(duì)于任意的(x,y)eD,方

程f(x,J)=0存在唯一的解"中(x).證明：C[a,b]是完備的距離空間，T是C[a,b]到C[a,b]上的連續(xù)映射,d(d(x,y)==maxx(t)—y(t)T不是壓縮映射，添加一個(gè)參數(shù)M進(jìn)行修正,(鄧)(x)*(x)-—f(x,中(x))

M，咒甲2GC[a,b],xe[a,b]根據(jù)條件，結(jié)合中值定理可得:偵甲)(x)—Cr甲)(x)|=|甲(x)-—f(x,甲(x))一112111M1平(x)一甲(x)]—M[f(x,甲(x))一f(x,甲(x))平(x)一甲(x)]一2f(x,甲(x))+。(甲(x))一平(x).(甲(x))一平(x)12-My21212珈](x)珈](x)-甲2(x)〔m\1一——<max"M)問(wèn)(x)—甲2(x)=ad(甲(x)一甲(x))因此，T是壓縮映射，存在唯一中(x)e[a,b]中(x)e[a,b]T甲(x)*(x),即f(x,甲(x))=0例1.1.4微分方程解的存在性和唯一性半=f(x,y)dxyi=y半=f(x,y)dxyi=yx00(1.1.6)f(x,y)-f(x,y)v鄧-(1.1.7)其中K>0為常數(shù)，過(guò)定點(diǎn)(x0,yo)的積分曲線只有一條與方程(1.1.6)等價(jià)的積分方程為：y(x)=y+fxf(/,y(t)》t，(1.1.8)0xo取5>0滿足K5v1.在C[x-5,xo+5]中定義映射T：(Ty)(x)=y+jxf(t,y(t)lzt(xe[x-5,x+5])oxoPGyTy)=max<maxjlx-x°<5<K5maxt-x^<5則有,xxoxxo[f(t,yi(t))-f(t,y2(t)“dtK|yi(t)-y2(t》t(1.1.9)|y(t)-y(t】=K5p(PGyTy)=max<maxjlx-x°<5<K5maxt-x^<5xxoxxo(1.1.9)y(x)=y+jxf(t,y(t))it，

ooxoo00由此，y=yo(x)就是微分方程過(guò)(x,y)的積分曲線。00例1.1.5設(shè)T是度量空間下的壓縮映射，求證T是連續(xù)的。證明：只需證當(dāng)x證明：只需證當(dāng)xn-xo時(shí),有件-Txo，根據(jù)假設(shè)，存在ye[o,1]使得p(Tx,Ty)<yp(x,y)成立，因此當(dāng)x—x0,P(x,%)T0p(Tx,Tx)<yp(x,x)T0成立因，此p(Tx,Tx)T0,TxrTx.n0n0n0n01.2壓縮映射原理（巴拿赫空間）下面討論壓縮映射原理在巴拿赫空間下的情形。定理1.2.1:設(shè)X是巴拿赫空間，設(shè)A:XrX非線性映射，并且有||Ah]-A[v]||<Yu-v||，u,veX，（1.2.1）其中Y滿足不等式0<Y<1，那么A在X中有唯一的不動(dòng)點(diǎn)，且由（1.2.1）式可知A是連續(xù)映射?！?】證明：在X中任意取定一點(diǎn)u0，并令u-A[u]，k=0,1,2…IIA[u]-A[u]||<Yllu一uII=yIA[uk+1kk+1k11因此，||A[u1]-A[u』<Yk||A[u0]-uj|，k=0,1，…「u[-A「u]Lj+1」Lj」<||A[u0]<||A[u0]-u°||蕓yjj='-iluk-u』=|A[uk-1]-Ak-1]<蕓||Aj里-i因此，｛uj”是X中的柯西列，那么存在一點(diǎn)ueX，在X中點(diǎn)列ukru，有k=1A[u]=u，因此u是A的不動(dòng)點(diǎn)，公式（1.2.1）保證了唯一性。由于巴拿赫空間是特殊的度量空間，其應(yīng)用與定理1.1.1類似，在此不再詳述,對(duì)于該部分的詳細(xì)內(nèi)容可參考張恭慶，林源渠，泛函分析講義一書(shū)。頁(yè)腳例1.2.1'u-Au=f(u)在U上<'u=0在QUx[0,T]上(1.2.2)u=g在Ux{t=0}上這里u=(u1...um),g=(g1...gm),UT=Ux[0,T],U是開(kāi)的有界集，邊界光滑，時(shí)間T>0是固定的，我們假定初始函數(shù)屬于H0(U;Rm)，設(shè)f:RmTRm是利普希茲連續(xù)(1.2.3)f:RmTRm是利普希茲連續(xù)(1.2.3)這個(gè)假設(shè)表明：f(z)<CG+|z|)對(duì)于zGRm成立。(1.2.4)我們說(shuō)函數(shù)(),T;H0(U;Rm))，偵T;H-1(U;Rm))(1.2.5)(1.2.6)(1.2.7)是(1.2.2)的一個(gè)弱解，并有(1.2.6)(1.2.7):;H，,、；+B[h,v]=(f(H),v)a.e.0<t<T,對(duì)于每一個(gè)vgH0(U;Rm)，且有u(0)=g在(1.2.6)式中，(,)代表H-1(U;Rm)和H0(U;Rm)的匹配"{,}是與-A相關(guān)的,(,)代表著LU;Rm)上的內(nèi)積。2Schauder不動(dòng)點(diǎn)定理我們先討論一個(gè)重要的不動(dòng)點(diǎn)定理Brouwer不動(dòng)點(diǎn)定理。定理2.1:（Brouwer不動(dòng)點(diǎn)定理）設(shè)B是中的閉單位球，又假設(shè)T:BtB是一個(gè)連續(xù)映射，那么T必有一個(gè)不動(dòng)點(diǎn)xeB.推論2.1:設(shè)C是Rn中的緊凸子集，T:CtC是連續(xù)的，則T必有一個(gè)在C上的不動(dòng)點(diǎn)。證明：由于C與Rm（m<n）中的一個(gè)單位球同胚，記此同胚為9:Bm（0,1）tC，考察映射r=P-ir，顯然有T:Bm（0,1）tBm（0,1），對(duì)%應(yīng)用Brouwer不動(dòng)點(diǎn)定理，存在xeBm（o,1），使得Tx=x成立，據(jù)此可知y=（pxeC是T的不動(dòng)點(diǎn)。為了討論無(wú)限維空間中的情形，我們引入Schauder不動(dòng)點(diǎn)定理。定理2.2:（Schauder不動(dòng)點(diǎn)定理）設(shè)KuX是凸的緊集，并且假定A:KtK是連續(xù)的，那么A在K中有不動(dòng)點(diǎn)?！?】證明：給定^>0,選定有限個(gè)點(diǎn)uu...ueK，于是開(kāi)球（B0（u,。"覆蓋K，1，2，N「i=1即KuJB0（u/）,（2.1.1）i=1因?yàn)镵是緊的，所以（2.1.1）成立，讓匕表示由點(diǎn)列｛u「u2..,J組成的閉凸殼:K:=]Zm.|0少<1&=1|（2.1.2）Ii=1i=1）因?yàn)镵是緊的，則有K^uK，現(xiàn)在定義q:Kt%:(2.1.3)ZNdist(u,K-B0(u,8))u(2.1.3)PLu」:=《/，(ueK)8乙Ndist偵,K-B0(u,8))i=1.由（2.1.1）式可知，分母不為零?，F(xiàn)在證明P是連續(xù)的：&

dist(u,K—B0(u點(diǎn)))對(duì)于每個(gè)ueK，有"】「￡(2.1.4)"￡"￡Ndist(u,Kdist(u,K—B0(u點(diǎn)))(2.1.4)考慮下一個(gè)由A[u]=P「A[u』(ueK￡)定義的算子那么K￡與單位球RM(M￡<N￡)是同胚映射，定理(2.1)保證了(2.1.5)(2.1.5)的存在性。因?yàn)镵是緊集，存在點(diǎn)列￡JT0和ueK，使得在X中u￡jTu，我們斷言u(píng)是A的不動(dòng)點(diǎn)，事實(shí)上，根據(jù)(2.1.2)有，u￡J-A"<￡j，又因?yàn)锳是連續(xù)的，可得u=Au￡J例2.1設(shè)函數(shù)f(t,x):R1xR1tR1在[-h,h]x[^—b,&+b]上二元連續(xù)(有常數(shù)M是的f(t,x)<M成立)，證明常微分方程初值問(wèn)題的存在性定理。證明：考慮C[—h,h]中的球B(&,b)上的映射：(TX)(t)=&+jtf(t,x(t)》t，下面證明對(duì)足夠小的h，T映B(&,b)到自身，并且0T是緊的，因?yàn)椋?/p>

T(x)(t)-(Tx)<Mt-1牛(Vte[-h,h]),所以T連續(xù)，B(&T(x)(t)-(Tx)3不動(dòng)點(diǎn)定理的應(yīng)用下面通過(guò)對(duì)一個(gè)實(shí)際問(wèn)題的研究，來(lái)探討不動(dòng)點(diǎn)理論的應(yīng)用問(wèn)題背景：把椅子放在不平的地面上，通常只有三只腳著地，放不穩(wěn)，但挪動(dòng)幾次就可以使四只腳同時(shí)著地。問(wèn)題假設(shè)：椅子四條腿一樣長(zhǎng)，椅腳與地面的接觸處能夠看為一個(gè)點(diǎn)，椅子四個(gè)角連線成正方形；地面可以視為連續(xù)曲面；地面時(shí)相對(duì)平坦的，即椅子在任何地方都有四只腳著地?！?】問(wèn)題分析：椅子腳連線成正方形，可以考慮以椅子中心為對(duì)稱點(diǎn)，正方形繞中心的旋轉(zhuǎn)代表椅子位置的改變，所以能夠用旋轉(zhuǎn)角度表示椅子的位置，椅子四腳連線為正方形ABCD。AC連線與x軸重合，椅子繞中心旋轉(zhuǎn)0后，AC與x軸的夾角表示椅子的位置。設(shè)AC兩腳與地面距離之和為f(0)，BD兩腳與地面距離之和為g（0）,g（0）,f（0）＞0由假設(shè)可知，f（0）,g（0）,中至少有一個(gè)為零,假設(shè)在0=0時(shí)，f（0）=0,g（0）＞0,問(wèn)題轉(zhuǎn)化為這樣的數(shù)學(xué)問(wèn)題：已知f（0），g（0）是0的連續(xù)函數(shù)，對(duì)任意0，f（0）?g（0）=0，并且有f（0）=0,g（0）＞0.證明存在0。使得f（0°）=g（0。）=0問(wèn)題求解：將椅子旋轉(zhuǎn)900，對(duì)角線AC與BD互換，由f（0）=0,g（0）＞0可知fG*）＞0,g?；）=0，令h（0）=f（0）—g（0），有h（0）＜0,h?；）＞0,根據(jù)定理2.1，可知必存在0（）＜0＜\2）使得h（0）=0,即f（0）=g（0），又因?yàn)?0'2000f（0）?g（0）=0，所以f（0）=g（0）=0。00總