基本不等式典型例題

/72x2x二2y,2x+3y二18,Ix二4.5,解得[y二3.故每間虎籠長為4.5m,寬為3m時，可使面積最大.3方法二:由2x+3y=18,得x=9-—y.°.°x>0,.°.0VyV6.33S=33S=xy=(9-2y)y=2(6-y)y.*.*0<y<6,6-y>0.(6-(6-y)+yL227

亍當(dāng)且僅當(dāng)6-y=y，即y=3時，等號成立，此時x=4.5.故每間虎籠長4.5m,寬3m時，可使面積最大.(2)由條件知S=xy=24.設(shè)鋼筋網(wǎng)總長為1,則l=4x+6y.方法一:\,2x+3y>^/2x?3y=2J6xy=24,l=4x+6y=2(2x+3y)348,當(dāng)且僅當(dāng)2x=3y時，等號成立.2x二3y,Ix二6,xy=24,解得Iy=4.故每間虎籠長6m,寬4m時，可使鋼筋網(wǎng)總長最小.24方法二:由xy=24，得x=.y96161616、、1=4x+6y=+6y=6(+y)>6^2xy=48，當(dāng)且僅當(dāng)一=y，即y=4時，等號成立，此時x=6.yy\yy故每間虎籠長6m,寬4m時，可使鋼筋總長最小.綠色通道：在使用基本不等式求函數(shù)的最大值或最小值時，要注意：x,y都是正數(shù)；積xy(或x+y)為定值；x與y必須能夠相等，特別情況下，還要根據(jù)條件構(gòu)造滿足上述三個條件的結(jié)論變式訓(xùn)練某工廠擬建一座平面圖為矩形且面積為200平方米的三級污水處理池(平面圖如圖3-4-2所示),由于地形限制,長、寬都不能超過16米,如果池外周壁建造單價為每米400元,中間兩道隔墻建造單價為每米248元,池底建造單價為每平方米80元,池壁的厚度忽略不計,試設(shè)計污水處理池的

圖3-4-2思路分析：在利用均值不等式求最值時,必須考慮等號成立的條件,若等號不能成立,通常要用函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行求解.200200解：設(shè)污水處理池的長為x米,則寬為米(0VxW16,0V三16),???12.50X016.200)+248x2x+80x200.xxx200)+248x2x+80x200.x于是總造價Q(x)=40O(2x+2x200x=800(x++16000=44800,324)+16000^800x2：x?324=800(x++16000=44800,xx324當(dāng)且僅當(dāng)x=(x>0),即x=18時等號成立，而18纟[12.5,16],?Q(x)>44800.x下面研究Q(x)在[12.5,16]上的單調(diào)性.對任意12.50X]Vx2016,貝9x2-x1>0,x1x2<162V324.Q(x2)-Q(x1)=800[Q(x2)-Q(x1)=800[(x2-xJ+324(-)]1xx21(x一x)(xx一324)=800x21—<0,xx12???Q(x2)>Q(x1),??Q(x)在［12.5,16］上是減函數(shù)./.Q(x)>Q(16)=45000.答:當(dāng)污水處理池的長為16米,寬為12.5米時,總造價最低,最低造價為45000元.問題探究問題某人要買房,隨著樓層的升高,上下樓耗費(fèi)的精力增多,因此不滿意度升高.當(dāng)住第n層樓時,上下樓造成的不滿意度為n.但高處空氣清新，嘈雜音較小，環(huán)境較為安靜,因此隨著樓層的升高，環(huán)境8不滿意度降低?設(shè)住第n層樓時，環(huán)境不滿意程度為一?則此人應(yīng)選第幾樓，會有一個最佳滿意度.n導(dǎo)思:本問題實(shí)際是求n為何值時,不滿意度最小的問題，先要根據(jù)問題列出一個關(guān)于樓層的函數(shù)式,再根據(jù)基本不等式求解即可.探究：設(shè)此人應(yīng)選第n層樓,此時的不滿意程度為y.8由題意知y=n+.n8: