同濟版高等數(shù)學教案第五章定積分

第五章定積分教學目的：1、理解定積分的概念。2、掌握定積分的性質及定積分中值定理，掌握定積分的換元積分法與分部積分法。3、理解變上限定積分定義的函數(shù)，及其求導數(shù)定理，掌握牛頓一萊布尼茨公式。4、了解廣義積分的概念并會計算廣義積分。教學重點：1、定積分的性質及定積分中值定理2、定積分的換元積分法與分部積分法。3、牛頓一萊布尼茨公式。教學難點：1、定積分的概念2、積分中值定理3、定積分的換元積分法分部積分法。4、變上限函數(shù)的導數(shù)。§51定積分概念與性質一、定積分問題舉例1曲邊梯形的面積曲邊梯形設函數(shù)yf(x)在區(qū)間［ab］上非負、連續(xù)由直線xa、xb、y0及曲線yf(x)所圍成的圖形稱為曲邊梯形其中曲線弧稱為曲邊求曲邊梯形的面積的近似值

在每個小區(qū)將曲邊梯形分割成一些小的曲邊梯形每個小曲邊梯形都用一個等寬的小矩形代替每個小曲邊梯形的面積都近似地等于小矩形的面積則所有小矩形面積的和就是曲邊梯形面積的近在每個小區(qū)aXX01X2xxbn1n把［ab］分成n個小區(qū)間[xX][XX][XX][Xx]01131它們的長度依次為X］X］X0XXX221XXXnni似值具體方法是在區(qū)間［ab］中任意插入若干個分點經過每一個分點作平行于y軸的直線段把曲邊梯形分成n個窄曲邊梯形間[x.X.]上任取一點.以[x.111111X.］為底、f(1把這樣得到的n?)為高的窄矩形近似替代第1個窄曲1個窄矩陣形面積之和作為所求曲邊梯形邊梯形(i12n)面積A的近似值即Af(1)X1f(2)X2f()X二為f(g)Axnn」'予ii=1求曲邊梯形的面積的精確值max{xx12趨于零相當于令顯然分點越多、每個小曲邊梯形越窄所求得的曲邊梯形面積A的近似值就越接近曲邊梯形面積Amax{xx12趨于零相當于令X}于是上述增加分點使每個小曲邊梯形的寬度n所以曲邊梯形的面積為2變速直線運動的路程設物體作直線運動已知速度vv(t)是時間間隔［TT］上t的連續(xù)函數(shù)且v(t)012計算在這段時間內物體所經過的路程S求近似路程

我們把時間間隔［TT］分成n個小的時間間隔t在每個小的時間間隔t.內物1211體運動看成是均速的其速度近似為物體在時間間隔t內某點.的速度v(.)物體III在時間間隔t內運動的距離近似為S.v(i)t把物體在每一小的時間間隔tI1111內運動的距離加起來作為物體在時間間隔［T1T2］內所經過的路程S的近似值具體做法是在時間間隔［T1T2］內任意插入若干個分點把在時間間隔［T1T2］內任意插入若干個分點把[T1T丿分成n個小段[t0[tt2][t各小段時間的長依次為相應地在各段時間內物體經過的路程依次為在時間間隔［t.t］在時間間隔［t.t］上任取一個時刻.(t.111rr來代替［t…t.］上各個時刻的速度得到部分路程111t.)11S.的近似值1.時刻的速度v(.)11S.v()t.(112111n)于是這n段部分路程的近似值之和就是所求變速直線運動路程S的近似值Sv(r)Atiii=1求精確值t}當0時取上述和式的極限即得t}當0時取上述和式的極限即得n12變速直線運動的路程S=lim￡v(r)At

匚0;=1ii設函數(shù)yf(x)在區(qū)間［ab］上非負、連續(xù)求直線xa、xb、y0

及曲線yf(x)所圍成的曲邊梯形的面積(1)用分點ax0x1x2xxb把區(qū)間［ab］分成n個小區(qū)間n1n[xx]01[x1x][xx]223[xn1xn]記xixixi1(i12n)(2)任取i[xx,]i1i以[x.i1X.］為底的小曲邊梯形的面積可近似為if()Ax(iii12n)所求曲邊梯形面積A的近似值為A沁工f()Axiii=1⑶記max{x}所以曲邊梯形面積的精確值為⑶記max{x}所以曲邊梯形面積的精確值為nA=limf(E)Axiii=1設物體作直線運動已知速度vv(t)是時間間隔［T1T2］上t的連續(xù)函數(shù)且v(t)0計算在這段時間內物體所經過的路程S(1)用分點Tttt1012段[tt](1)用分點Tttt1012段[tt][tt]0112n)tn1tnT2把時間間隔［T1TJ分成*個小時間[tt]記ttt(i12n1niii1(2)任取.[tii1t]在時間段[t.ii1t］內物體所經過的路程可近似為v(.)tiii(i12n)所求路程S的近似值為ii=1S品v(t)Atiii=1t}所求路程的精確值為nt}所求路程的精確值為n12S=limEv(t)Ati=1二、定積分定義拋開上述問題的具體意義抓住它們在數(shù)量關系上共同的本質與特性加以概括就抽象出下述定積分的定義定義設函數(shù)f(x)在匕b］上有界在［ab］中任意插入若干個分點axxxxxb012n1n把區(qū)間［ab］分成n個小區(qū)間[xx]01[xx]1[xx]1各小段區(qū)間的長依次為xxx110x2xx21xxxnnn1在每個小區(qū)間［x.11X］上任取一個點1?(x1!?X.)作函數(shù)值f(.)與小區(qū)間長11度x.的乘積1f(.)x.(11112n)并作出和S=tf(g.)Ax.1I

記max{xx12間[x.x記max{xx12間[x.x]上點.怎樣取法11i1n這個極限I為函數(shù)f(X)在區(qū)間［a這個極限I為函數(shù)f(X)在區(qū)間［ab］上的定積分記作Jbf(x)dxa即\bf(x)dx=lim為f(g)Axa—i=1''其中f(其中f(x)叫做被積函數(shù)f(x)dx叫做被積表達式x叫做積分變量a叫做積分下限b叫做積分上限［ab］叫做積分區(qū)間定義設函數(shù)f(x)在匕b］上有界用分點axxx012xxb把n1n［ab］分成n個小區(qū)間[xx]01[xx]1[xx]記n1nxxx(i12iii1n)任.[X.X.](i12n)作和ii1iS仝f(g)Axii記max{xx12記max{xx12x}n極限值與區(qū)間［ab］的分法和.的取法無關i=1i如果當0時上述和式的極限存在且則稱這個極限為函數(shù)f(x)在區(qū)間［ab］上的定積分記作Jbf(x)dxaJbf(x)dx=lim工f(g)Axa匚0.,11根據定積分的定義曲邊梯形的面積為A=Jbf(x)dxa變速直線運動的路程為S=JT2v(t)dtT說明定積分的值只與被積函數(shù)及積分區(qū)間有關而與積分變量的記法無關即aaaaa和tf(g)Ax通常稱為f(x)的積分和iii=1如果函數(shù)f(x)在［ab］上的定積分存在我們就說f(x)在區(qū)間［ab］上可積函數(shù)f(函數(shù)f(x)在［ab］上滿足什么條件時定理1設f(x)在區(qū)間［ab］上連續(xù)定理2設f(x)在區(qū)間［ab］上有界積定積分的幾何意義f(x)在［ab］上可積呢?則f(x)在［ab］上可積且只有有限個間斷點則f(x)在［ab］上可在區(qū)間［ab］上當f(x)0時積分Jbf(x)dx在幾何上表示由曲線yf(x)、兩條直a線Xa、xb與X軸所圍成的曲邊梯形的面積當f(x)0時由曲線yf(x)、兩條直線xa、xb與x軸所圍成的曲邊梯形位于x軸的下方定義分在幾何上表示上述曲邊梯形面積的負值\bf(x)dx=limZf(g.)Ax=—limZ[-f(g.)]Ax.=—Jb[—f(x)]dxa九tO.=111九tO.=111a當f(x)既取得正值又取得負值時函數(shù)f(x)的圖形某些部分在x軸的上方而其它部分在X軸的下方如果我們對面積賦以正負號在X軸上方的圖形面積賦以正號在X軸下方的圖形面積賦以負號則在一般情形下定積分Jbf(x)dx的幾何意義為它是介于X軸、函a數(shù)f(x)的圖形及兩條直線Xa、Xb之間的各部分面積的代數(shù)和用定積分的定義計算定積分

例1.利用定義計算定積分卩x2dx0解把區(qū)間［01］分成n等份分點為和小區(qū)間長度為x=—(i12inn1)Ax=丄(i1x=—(i12inn1)Ax=丄(i12inn)取勺=n(i12n)作積分和為f(g.)Ax.=Xg2心.=為(丄)2?丄iii=1i=1nni=1=丄￡i2=1n3i=1i111?—n(n+l)(2n+1)=~(1+—)(2+―)n366所以J1x2dx=lim為f(g)Ax=lim1(1+丄)(2+丄)=10匚0i=1ii…6nn3利定積分的幾何意義求積分：例2用定積分的幾何意義求J1(1-x)dx0解：函數(shù)y1X在區(qū)間［01］上的定積分是以y1X為曲邊以區(qū)間［01］為底的曲邊梯形的面積因為以y1X為曲邊以區(qū)間［01］為底的曲邊梯形是一直角三角形其底邊長及高均為1所以J1(1-x)dx=1x1x1=1

o22三、定積分的性質兩點規(guī)定aaac當ab時Jbf(x)dx=0a當ab時Jbf(x)dx=—Jaf(x)dxTOC\o"1-5"\h\zab性質1函數(shù)的和(差)的定積分等于它們的定積分的和(差)即Jb[f(x)±g(x)]dx=Jbf(x)dx±Jbg(x)dxaaa證明:hf(x)±g(x)]dx二limt[fg)±g(2)]Axa—匸1ZZZ=limZf(g.)Ax土limZg(g)Ax.—oi=i11—oj=i11=\bf(x)dx±Jbg(x)dxaa性質2被積函數(shù)的常數(shù)因子可以提到積分號外面即\bkf(x)dx=kjbf(x)dxaa這是因為Jbkf(x)dx=limtkf(g)Ax.=klimtf(g)Ax.=kjbf(x)dxaX^o—i1X^o/=1i1a性質如果將積分區(qū)間分成兩部分則在整個區(qū)間上的定積分等于這兩部分區(qū)間上定積分之和即\bf(x)dx-icf(x)dx+jbf(x)dxaac這個性質表明定積分對于積分區(qū)間具有可加性值得注意的是不論abc的相對位置如何總有等式\bf(x)dx=Jcf(x)dx+jbf(x)dx成立例如當a〈b〈c時由于TOC\o"1-5"\h\zJcf(x)dx-\bf(x)dx+jcf(x)dxaab于是有\(zhòng)bf(x)dx-icf(x)dx—Jcf(x)dx-icf(x)dx+jbf(x)dxaabac性質4如果在區(qū)間[ab]±f(x)1貝yfb1dx-\bdx-b_aaa性質5如果在區(qū)間[ab]上f(x)0貝y\bf(x)dx>0(ab)a推論1如果在區(qū)間[ab]上f(x)g(x)貝y\bf(x)dx<\bg(x)dx(ab)TOC\o"1-5"\h\zaa這是因為g(x)f(x)0從而Jbg(x)dx-Jbf(x)dx二Jb[g(x)_f(x)]dx>0aaa所以Jbf(x)dx<Jbg(x)dxaa推論2IJbf(x)dxl<fblf(x)ldx(ab)aa這是因為|f(x)|f(x)|f(x)|所以一血f(x)Idx<\bf(x)dx<fblf(x)Idxaaa即lJbf(x)dxI<fbIf(x)Idx|aa性質6設M及m分別是函數(shù)f(x)在區(qū)間［ab］上的最大值及最小值m(b-a)<\bf(x)dx<M(b-a)(ab)a證明因為mf(x)M所以\bmdx<\bf(x)dx<\bMdxaaa從而m(b-a)<\bf(x)dx<M(b-a)a則在積分區(qū)間性質7(定積分中值定理)如果函數(shù)f(x)在閉區(qū)間［ab］上連續(xù)則在積分區(qū)間［ab］上至少存在一個點使下式成立Jbf(x)dx=f(g)(b-a)a這個公式叫做積分中值公式證明由性質6m(b-a)<\bf(x)dx<M(b-a)a各項除以ba得m<1\bf(x)dx<Mb—aa再由連續(xù)函數(shù)的介值定理在［ab］上至少存在一點使f(g)=—卩f(x)dxb—aa于是兩端乘以ba得中值公式jbf(x)dx二f(g)(b-a)a積分中值公式的幾何解釋應注意不論a<b還是a〉b積分中值公式都成立§52微積分基本公式一、變速直線運動中位置函數(shù)與速度函數(shù)之間的聯(lián)系設物體從某定點開始作直線運動在t時刻所經過的路程為S(t)速度為vv(t)S(t)(v(t)0)則在時間間隔［［T2］內物體所經過的路程S可表示為S(T)-S(T)及JT2v(t)dt21t即JT2V(t)dt二S(T)—S(T)T21上式表明速度函數(shù)v(t)在區(qū)間［T1T2］上的定積分等于v(t)的原函數(shù)S(t)在區(qū)間［T1T］上的增量2這個特殊問題中得出的關系是否具有普遍意義呢?

二、積分上限函數(shù)及其導數(shù)我們把函數(shù)f(x)在部設函數(shù)f(x)在區(qū)間［ab］上連續(xù)并且設X我們把函數(shù)f(x)在部分區(qū)間［ax］上的定積分JXf(x)dxa稱為積分上限的函數(shù)它是區(qū)間［ab］上的函數(shù)記為(x)二Jxf(x)dx或(x)Jxf(t)dtaa定理1如果函數(shù)f(x)在區(qū)間［ab］上連續(xù)則函數(shù)(x)二Jxf(X)dxa在［ab］上具有導數(shù)并且它的導數(shù)為(x)=￥Jxf(t)dt=f(x)(ax<b)dXaTOC\o"1-5"\h\z簡要證明若x(ab)取X使Xx(ab)(xx)(x)=Jx+心f(t)dt-JXf(t)dtaa=Jxf(t)dt+Jf(t)dt-Jxf(t)dtaxa=Jx+Axf(t)dt=f(g)Axx應用積分中值定理有f()X其中在X與XX之間X0時x于是(x)=(x)=limAxtO詈=豐f點)響點)=f(x)若Xa取x>0則同理可證(x)f(a)若xb取x<0則同理可證也是也是f(x)的一個原函數(shù)于是有一常數(shù)C使(X)f(b)定理2如果函數(shù)f(x)在區(qū)間［ab］上連續(xù)則函數(shù)(x)二Jxf(x)dxa就是f(X)在匕b］上的一個原函數(shù)定理的重要意義一方面肯定了連續(xù)函數(shù)的原函數(shù)是存在的另一方面初步地揭示了積分學中的定積分與原函數(shù)之間的聯(lián)系三、牛頓萊布尼茨公式定理3如果函數(shù)F(x)是連續(xù)函數(shù)f(x)在區(qū)間［ab］上的一個原函數(shù)則Jbf(x)dx=F(b)—F(a)a此公式稱為牛頓萊布尼茨公式也稱為微積分基本公式這是因為F(x)和(x)Jxf(t)dt都是f(x)的原函數(shù)a所以存在常數(shù)C使F(x)(x)C(C為某一常數(shù))由F(a)(a)C及(a)0得CF(a)F(x)(x)F(a)由F(b)(b)F(a)得(b)F(b)F(a)即Jbf(x)dx=F(b)—F(a)a證明已知函數(shù)F(x)是連續(xù)函數(shù)f(x)的一個原函數(shù)又根據定理2積分上限函數(shù)(x)Jxf(t)dtaF(x)(x)C(axb)當xa時有F(a)(a)C而(a)0所以CF(a)當xb時F(b)(b)F(a)所以(b)F(b)F(a)即Jbf(x)dx=F(b)—F(a)a為了方便起見可把F(b)F(a)記成[F(x)]b于是a\bf(x)dx-[F(x)]b二F(b)—F(a)aa進一步揭示了定積分與被積函數(shù)的原函數(shù)或不定積分之間的聯(lián)系例1.計算J1x2dx0解由于3x3是x2的一個原函數(shù)所以J1x2dx=[{x3]l=1-13—1?03=1030333例2計算J3舎—11+x2解由于arctanx是7^的一個原函數(shù)所以1+x2J3=[arctanx]'3=arctanJ3—arctan(—1)=弓一(—手)=丄?！?1+x2—13412例3.計算J-1丄dx—2x解J-1丄dx=[lnlxI]-1ln1ln2ln2—2x—20證明0證明dX扣(滋=處)dXTf(t)dt=f(x)故例4.計算正弦曲線ysinx在[0]上與x軸所圍成的平面圖形的面積解這圖形是曲邊梯形的一個特例它的面積Asinxdx=[-cosx]^(1)(1)25m/s205m/s2例5.汽車以每小時36km速度行駛到某處需要減速停車設汽車以等加速度a剎車問從開始剎車到停車汽車走了多少距離？解從開始剎車到停車所需的時間當t0時汽車速度v036km/h=m/s10m/s剎車后t時刻汽車的速度為v(t)vat105t0當汽車停止時速度v(t)0從v(t)105t0得t2(s)于是從開始剎車到停車汽車所走過的距離為s=f2v(t)dt=f2(10-5t)dt=[10t-5-112]2=10(m)0020即在剎車后汽車需走過10m才能停住例6.設f例6.設f(x)在[0,)內連續(xù)且f(x)>0證明函數(shù)F(x)=\xtf(t)dtff(t)dt在(0)內為單調增加函數(shù)(J0Xf(t)dt)20F'(x)=皿f(t)dt-f(x)Jxf(t)dtf(x)Jx(J0Xf(t)dt)20按假設當otX時f(t)〉0(xt)f(t)0所以)內為單調增加函數(shù)例7.)內為單調增加函數(shù)例7.求一2dtxtOcosxx2Jxf(t)dt>0Jx(x-t)f(t)dt>000從而F(x)〉0(x>0)這就證明了F(x)在(0解這是一個零比零型未定式由羅必達法則12x2e11e—2dt——Icosxe—112x2eedtedtsinxe-cos2xTOC\o"1-5"\h\zlim-eosrlim—1=limxt0x2xt0x2xt0提示設①(x)=Jxe-t2dt則①(cosx)=Jcosxe-12dt11羊Jcosxe—t2dt=羊①(cosx)=羊①(u)-晉=e-u2?(—sinx)=—sinx?e—cos2xdx1dxdudx§53定積分的換元法和分部積分法一、換元積分法(t)滿足條件定理假設函數(shù)f(x)在區(qū)間［ab］(t)滿足條件(1)()a()b⑵代)在［］（或［］)上具有連續(xù)導數(shù)且其值域不越出［ab］證明由假設知[](或[(t)](t)在區(qū)間假設F(證明由假設知[](或[(t)](t)在區(qū)間假設F(X)是彳(X)的一個原函數(shù)則卩f(x)dxaF(b)F(a)F[(t)](t)的一個原函數(shù)從而另一方面因為{F[(t)]}是f[(t)]f[(t)]所以F[(t)]J伽(t)"(t)dtF[(a)]F[)]F(b)F(a)則有Jbf(x)dx=2/[(p(t)”(t)dtaa這個公式叫做定積分的換元公式f(x)在區(qū)間[ab]上是連續(xù)因而是可積的f[])上也是連續(xù)的因而是可積的因此Jbf(x)dx=JPf[(p(t)”(t)dt因此aa1計算Jai；a2一x2dx(a>0)0解Jata2一x2dx令=asintJ*acost?acostdt00TOC\o"1-5"\h\z托2「天=a2J2cos2tdt=—J2(1+cos2t)dto2o年[t+2sin2t]2=4"222o4提示a2提示a2一x2=a2一a2sin21=acostdxacos當xa時t=號例2計算J夢cos5xsinxdxo解令tcosX則J2cos5xsinxdx=-J2COS5xdcosx00令cosx=t-J015dt=J1t5dt=[丄16]1=-106o6提示當x0時t1當x=+時t0JICOS5xsinxdx=-J2COS5xdcosx00=-[7COs6x]2=一2cos6號+2cos60=16o6266例3計算嚴Jsin3x一sin5xdx0解J^.sin3x-sin5xdx=JKsin2xlcosxIdx00=JIsin2xcosxdx-JKsin2xcosxdx02=JIsin2xdsinx-Fsin2xdsinx0丁=[2sin!x]2-[5sin2x]^=2-(-2)=4505555提示v'sin3x-sin5x=Jsin3x(l-sin2x)=sin2xlcosxI在［0,專］上在［0,專］上Icosx|cosx在時,兀]上|cosx|cosx例4計算dx,12_1+2解f4x+2dx令2x+1一tf32-tdt=1f3(t2+3)dt0』2x+11t2i11=11=2片t3+3t]提示x=dxtdt當x0時t1當x4時t321例5證明若f(X)在［aa］上連續(xù)且為偶函數(shù)則faf(x)dx=2faf(x)dxTOC\o"1-5"\h\z_a0證明因為faf(x)dx=f0f(x)dx+faf(x)dx_a_a0而f0f(x)dx令m_f0f(_t)dt=faf(_t)dt=faf(_x)dx_aa00所以faf(x)dx=faf(_x)dx+faf(x)dx一a00_a=fa[f(_x)+f(x)]dx=fa2f(x)dx=2faf(x)_a0_a0討論若f(x若f(x)在［aa］上連續(xù)且為奇函數(shù)問faf(x)dx=？_a提示若f(x)為奇函數(shù)則f(x)f(x)0從而faf(x)dx=fa[f(_x)+f(x)]dx=0_a0例6若f(x)在［01］上連續(xù)證明(1)f2f(sinx)dx=f多f(cosx)dx00

(2)Fxf(sinx)dxf(sinx)dx020證明⑴令x=^-t則Z-!f2f(sinx)dx=-f0f[sin(^-t)]dt0T2=f2f[sin(號-t)]dt=fIf(cosx)dx02o⑵令XFxf(sinx)dx=-f0(兀-1)f[sin(兀-t)]dt0(兀-1)f[sin(兀-t)]dt(兀-1)f(sint)dt00二兀Ff(sint)dttf(sint)dt00二兀卜f(sinx)dx-fKxf(sinx)dx00所以Fxf(sinx)dx=乎Ff(sinx)dx所以02o例例7設函數(shù)f(x)二xe-x2x>0j+Cos^-1<x<0計算f4f(x-2)dx1解設x2t則f4f(x一2)dx=f2f(t)dt=f0丄dt+f%-t^dt1-1-11+COst0=卜噸]-1七e-t2]0=噸—2e-4+2提示設x2t則dxdt當xl時t1當x4時t2二、分部積分法設函數(shù)u(X設函數(shù)u(X)、v(x)在區(qū)間［ab］上具有連續(xù)導數(shù)u(x)、v(x)由(uv)uvuV得uVuvuv式兩端在區(qū)間［ab］上積分得\buv'dx—[uv]b-\bu'vdx或Jbudv=[uv]b-Jbvdu這就是定積分的分部積分公式分部積分過程\buv'dx—Jbudv—[uv]b—Jbvdu—[uv]b一Jbu'vdx—…例1計算J2arcsinxdx0解J2arcsinxdx—[xarcsinx]2—J2xdarcsinx000-2卡.xdx26ovl—x2—12+2士d(1—x2)兀1兀3]12+[亠x2]2—12+T-1例2計算pe-xdx0『e'xdx—2}1ettdt00

=2卩tdet0=2[tet]1一2「etdtoo=2e—2[et]1=20例3設I=J7sinnxdxn0證明(1)當n為正偶數(shù)時(2)當(2)當n為大于1的正奇數(shù)時，=n—1n—3nnn-2證明I=j2sinnxdx=-恵Sinn—1xdcosxn00=—[cosxsinn—1x]2+JIcosxdsinn—1x00=(n—1)JTcos2xsinn—2xdx=(n—1)J2(sinn—2x—sinnx)dx00=(n-1)f2sinn—2xdx-(n-1)J"2sinnxdx0(n1)(n1)I2(n1)In由此得=41nnn—24-2Io，=2m—12m4-2Io2m2m2m-22m-4，=2m2m-22m一442/2m+12m+12m—12m—3531

而I.=f￡dx=牛I=J2sinxdx=1210因此，=2m-12m-32m-53丄王2m2m2m-22m-4422，=2m2m-22m-4422m+112m-12m-353證明設I=f^2sinnxdx(n為正整數(shù))n0證明I=2m-1.2m-3.2m-5...3..丄.巫2m2m2m一22m一44222m.2m.2m_2.2m_4...4.22m+l2m+12m-12m-353證明I=f2sinnxdx=-f蘿sinn-1xdcosxn00=-[cosxsinn-1x]于+(n-1)J于cos2xsinn-2xdx00=(n-1)JT(sinn-2x-sinnx)dx0=(n-1)J2sinn-2xdx-(n-1)J1sinnxdx00(n1)1(n1)1n2n由此得I=一丄Innn-2I=2m-1.2m-3.2m-5...3.丄./2m2m2m-22m-4420/。牛唏I/。牛唏Ii=Jo2sinXdX=1特別地因此「_2m.2m_2.2m-4...4.2./TOC\o"1-5"\h\z2m+i2m+12m-12m-3531I_2m-12m-32m-5...3..丄.n_2m2m2m—22m-4422_2m.2m-2.2m-4...4.22m+112m-12m-35§54反常積分一、無窮限的反常積分定義1設函數(shù)f(x)在區(qū)間［a)上連續(xù)取b>a如果極限lim\bf(x)dxbT+aa存在則稱此極限為函數(shù)f(x)在無窮區(qū)間［a)上的反常積分記作f+af(x)dx即aJ+8f(x)dx=lim\bf(x)dxabT+8a

這時也稱反常積分J+sf(x)dx收斂)上的反常積分卜8)上的反常積分卜8/(x)dx就沒有意a如果上述極限不存在函數(shù)f(x)在無窮區(qū)間［a義此時稱反常積分卜8/(x)dx發(fā)散a類似地設函數(shù)f(x)在區(qū)間(b］上連續(xù)如果極限limJbf(x)dx(a<b)aa存在則稱此極限為函數(shù)f(x)在無窮區(qū)間(b］上的反常積分記作Jbf(x)dx即_sJbf(x)dx=limJbf(x)dx_saT_sa這時也稱反常積分Jbf(x)dx收斂如果上述極限不存在則稱反常積分Jbf(x)dx發(fā)散設函數(shù)f(x)在區(qū)間()上連續(xù)如果反常積分J0f(x)dx和J+sf(x)dxTOC\o"1-5"\h\z_s0都收斂則稱上述兩個反常積分的和為函數(shù)f(x)在無窮區(qū)間()上的反常積分記作J+sf(x)dx即_sJ+sf(x)dx=J0f(x)dx+J+sf(x)dx_s_s0=lim=limJ0f(x)dx+aT—galimJbf(x)dxbT+s0這時也稱反常積分J+gf(x)dx收斂—g

如果上式右端有一個反常積分發(fā)散則稱反常積分j^f(x)dx發(fā)散—g定義1連續(xù)函數(shù)f(x)在區(qū)間［a)上的反常積分定義為J+8f(x)dx=limfbf(x)dxabT+ga否則稱此反常積分發(fā))否則稱此反常積分發(fā))上的反常積分定義為散類似地連續(xù)函數(shù)f(x)在區(qū)間(b］上和在區(qū)間(fbf(x)dx=limfbf(x)dx—gaT—gaf+gf(x)dx=limf0f(x)dx+limfbf(x)dx—gaT—gabT+g0反常積分的計算如果F(x)是f(x)的原函數(shù)則f+gf(x)dx=limfbf(x)dx=lim[F(x)]babT+gabT+ga=limF(b)一F(a)=limF(x)一F(a)bT+gxT+gf+gf+gf(x)dx=[F(x)]+g=limF(x)—F(a)axT+g類似地fbf(x)dx=類似地fbf(x)dx=[F(x)]b=F(b)—limF(x)—g—gxT—gf+gf(x)dx=[F(x)]+g=limF(x)—limF(x)—g—gxT+gxT—g例1計算反常積分f+gJdx—g1+x2解f+g丄dx=[arctanx]+g—g1+x2—g=limarctanx一limarctanxXT+gXT-8例2計算反常積分j+8te-ptdt(p是常數(shù)且P〉0)0+80解j+gte-ptdt=[jte-ptdt]=[--1jtde-+80TOC\o"1-5"\h\z00p'=[---te-pt+—je-ptdt]pp0=[—丄te-pt—e-pt]pp20=lim[—丄te-pt-e-pt]+tT+8pp2p2p2提示limte-pt=lim—=lim-—=0tT+8tT+8epttT+8pept例3討論反常積分j+g丄dx(a>0)的斂散性aXp解當p1時j+8_1dx=j+g丄dx=[lnx]+8=+gaxpaxa當p<1時j+-^dx—[—x1-p]+8—+8axp1-pa當p〉1時j+8丄dx—[亠xi-p]+8—吟axp1-pap-1因此當p>1時此反常積分收斂其值為牛當p1時此反常積分發(fā)散p-1二、無界函數(shù)的反常積分定義2設函數(shù)f(x)在區(qū)間(ab］上連續(xù)而在點a的右鄰域內無界取>0如果極aalim卩f(x)dxtTa+t存在則稱此極限為函數(shù)f(x)在(ab］上的反常積分仍然記作Jbf(x)dx即afbf(x)dx=lim\bf(x)dxatTa+t這時也稱反常積分fbf(x)dx收斂a如果上述極限不存在就稱反常積分fbf(x)dx發(fā)散a取〉0如果類似地設函數(shù)f(x)在區(qū)間［ab)上連續(xù)