高中二年級數(shù)學(xué)立體幾何專題復(fù)習(xí)(精編版)

..高中立體幾何專題〔精編版1.〔天津文如圖,在四棱錐中,底面為平行四邊形,,,為中點(diǎn),平面,,為中點(diǎn)．〔Ⅰ證明：//平面；〔Ⅱ證明：平面；〔Ⅲ求直線與平面所成角的正切值．[解析]本小題主要考查直線與平面平行、直線與平面垂直、直線與平面所成的角等基礎(chǔ)知識,考查空間想象能力、運(yùn)算能力和推理論證能力。滿分13分?！并褡C明：連接BD,MO,在平行四邊形ABCD中,因?yàn)镺為AC的中點(diǎn),所以O(shè)為BD的中點(diǎn),又M為PD的中點(diǎn),所以PB//MO。因?yàn)槠矫鍭CM,平面ACM,所以PB//平面ACM?！并蜃C明：因?yàn)?且AD=AC=1,所以,即,又PO平面ABCD,平面ABCD,所以,所以平面PAC。〔Ⅲ解：取DO中點(diǎn)N,連接MN,AN,因?yàn)镸為PD的中點(diǎn),所以MN//PO,且平面ABCD,得平面ABCD,所以是直線AM與平面ABCD所成的角,在中,,所以,從而,在,即直線AM與平面ABCD所成角的正切值為2.〔北京文如圖,在四面體PABC中,PC⊥AB,PA⊥BC,點(diǎn)D,E,F,G分別是棱AP,AC,BC,PB的中點(diǎn).〔Ⅰ求證：DE∥平面BCP；〔Ⅱ求證：四邊形DEFG為矩形；〔Ⅲ是否存在點(diǎn)Q,到四面體PABC六條棱的中點(diǎn)的距離相等？說明理由.[解析]〔17〔共14分證明：〔Ⅰ因?yàn)镈,E分別為AP,AC的中點(diǎn),所以DE//PC。又因?yàn)镈E平面BCP,所以DE//平面BCP?！并蛞?yàn)镈,E,F,G分別為AP,AC,BC,PB的中點(diǎn),所以DE//PC//FG,DG//AB//EF。所以四邊形DEFG為平行四邊形,又因?yàn)镻C⊥AB,所以DE⊥DG,所以四邊形DEFG為矩形?！并蟠嬖邳c(diǎn)Q滿足條件,理由如下：連接DF,EG,設(shè)Q為EG的中點(diǎn)由〔Ⅱ知,DF∩EG=Q,且QD=QE=QF=QG=EG.分別取PC,AB的中點(diǎn)M,N,連接ME,EN,NG,MG,MN。與〔Ⅱ同理,可證四邊形MENG為矩形,其對角線點(diǎn)為EG的中點(diǎn)Q,且QM=QN=EG,所以Q為滿足條件的點(diǎn).3.<全國大綱文>如圖,四棱錐中,,,側(cè)面為等邊三角形,．〔I證明：平面SAB；〔II求AB與平面SBC所成的角的大小。[解析]20．解法一：〔I取AB中點(diǎn)E,連結(jié)DE,則四邊形BCDE為矩形,DE=CB=2,連結(jié)SE,則又SD=1,故,所以為直角。由,得平面SDE,所以。SD與兩條相交直線AB、SE都垂直。所以平面SAB。…………6分〔II由平面SDE知,平面平面SED。作垂足為F,則SF平面ABCD,作,垂足為G,則FG=DC=1。連結(jié)SG,則,又,故平面SFG,平面SBC平面SFG?！?分作,H為垂足,則平面SBC。,即F到平面SBC的距離為由于ED//BC,所以ED//平面SBC,E到平面SBC的距離d也有設(shè)AB與平面SBC所成的角為α,則…………12分解法二：以C為坐標(biāo)原點(diǎn),射線CD為x軸正半軸,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系C—xyz。設(shè)D〔1,0,0,則A〔2,2,0、B〔0,2,0。又設(shè)〔I,,由得故x=1。由又由即…………3分于是,故所以平面SAB?！睮I設(shè)平面SBC的法向量,則又故…………9分取p=2得。故AB與平面SBC所成的角為4.〔全國新文18．〔本小題滿分12分如圖,四棱錐中,底面ABCD為平行四邊形,,,底面ABCD．〔I證明：；〔II設(shè)PD=AD=1,求棱錐D-PBC的高．[解析]<18>解：〔Ⅰ因?yàn)?由余弦定理得從而BD2+AD2=AB2,故BDAD又PD底面ABCD,可得BDPD所以BD平面PAD.故PABD〔Ⅱ如圖,作DEPB,垂足為E。已知PD底面ABCD,則PDBC。由〔Ⅰ知BDAD,又BC//AD,所以BCBD。故BC平面PBD,BCDE。則DE平面PBC。由題設(shè)知,PD=1,則BD=,PB=2,根據(jù)BE·PB=PD·BD,得DE=,即棱錐D—PBC的高為5.〔XX文18．〔本小題滿分12分如圖,四邊形ABCD為正方形,QA⊥平面ABCD,PD∥QA,QA=AB=PD．〔I證明：PQ⊥平面DCQ；〔II求棱錐Q—ABCD的的體積與棱錐P—DCQ的體積的比值．[解析]18．解：〔I由條件知PDAQ為直角梯形因?yàn)镼A⊥平面ABCD,所以平面PDAQ⊥平面ABCD,交線為AD.又四邊形ABCD為正方形,DC⊥AD,所以DC⊥平面PDAQ,可得PQ⊥DC.在直角梯形PDAQ中可得DQ=PQ=PD,則PQ⊥QD所以PQ⊥平面DCQ.………………6分〔II設(shè)AB=a.由題設(shè)知AQ為棱錐Q—ABCD的高,所以棱錐Q—ABCD的體積由〔I知PQ為棱錐P—DCQ的高,而PQ=,△DCQ的面積為,所以棱錐P—DCQ的體積為故棱錐Q—ABCD的體積與棱錐P—DCQ的體積的比值為1.…………12分6.〔XX文18．〔本小題滿分12分如圖,在中,P為AB邊上的一動點(diǎn),PD//BC交AC于點(diǎn)D,現(xiàn)將PDA沿PD翻折至PDA,使平面PDA平面PBCD?！?當(dāng)棱錐的體積最大時(shí),求PA的長；〔2若點(diǎn)P為AB的中點(diǎn),E為的中點(diǎn),求證：。[解析]18．〔本小題滿分12分解：〔1令因?yàn)?且平面平面PBCD,故平面PBCD。所以,令由,當(dāng)單調(diào)遞增當(dāng)單調(diào)遞減,所以,當(dāng)時(shí),取得最大值,即：當(dāng)最大時(shí),〔2設(shè)F為的中點(diǎn),連接PF,FE,則有所以DE//PF,又所以,故7.〔XX文19．〔本小題滿分12分如圖,在四棱臺中,平面,底面是平行四邊形,,,60°〔Ⅰ證明：；〔Ⅱ證明：．[解析]19．〔I證法一：因?yàn)槠矫鍭BCD,且平面ABCD,所以,又因?yàn)锳B=2AD,,在中,由余弦定理得,所以,因此,又所以又平面ADD1A1,故證法二：因?yàn)槠矫鍭BCD,且平面ABCD,所以取AB的中點(diǎn)G,連接DG,在中,由AB=2AD得AG=AD,又,所以為等邊三角形。因此GD=GB,故,又所以平面ADD1A1,又平面ADD1A1,故〔II連接AC,A1C1,設(shè),連接EA1因?yàn)樗倪呅蜛BCD為平行四邊形,所以由棱臺定義及AB=2AD=2A1B1知A1C1//EC且A1C1=EC,所以邊四形A1ECC1為平行四邊形,因此CC1//EA1,又因?yàn)镋A平面A1BD,平面A1BD,所以CC1//平面A1BD。8.〔XX文16．〔本小題滿分12分如圖,在△ABC中,∠ABC=45°,∠BAC=90°,AD是BC上的高,沿AD把△ABD折起,使∠BDC=90°。〔Ⅰ證明：平面ＡＤＢ⊥平面ＢＤＣ；〔Ⅱ設(shè)BD=1,求三棱錐D—ＡＢＣ的表面積。[解析]16．解〔Ⅰ∵折起前ＡＤ是ＢＣ邊上的高,∴當(dāng)Δ

ＡＢＤ折起后,AD⊥ＤＣ,AD⊥ＤＢ,又DBＤＣ＝Ｄ,∴ＡＤ⊥平面ＢＤＣ,∵AD平面平面ABD．〔Ⅱ由〔Ⅰ知,DA,,,DB=DA=DC=1,AB=BC=CA=,從而表面積：9.〔上海文20．〔14分已知是底面邊長為1的正四棱柱,高。求：〔1異面直線與所成的角的大小〔結(jié)果用反三角函數(shù)表示；〔2四面體的體積。[解析]20．解：⑴連,∵,∴異面直線與所成角為,記,∴異面直線與所成角為。⑵連,則所求四面體的體積。10.〔XX文19．〔本小題共l2分如圖,在直三棱柱ABC－A1B1C1中,∠BAC=90°,AB=AC=AA1=1,延長A1C1至點(diǎn)P,使C1P＝A1C1,連接AP交棱CC1于〔Ⅰ求證：PB1∥平面BDA1；〔Ⅱ求二面角A－A1D－B的平面角的余弦值；本小題主要考查直三棱柱的性質(zhì)、線面關(guān)系、二面角等基本知識,并考查空間想象能力和邏輯推理能力,考查應(yīng)用向量知識解決問題的能力．解法一：〔Ⅰ連結(jié)AB1與BA1交于點(diǎn)O,連結(jié)OD,∵C1D∥平面AA1,A1C1∥AP,∴AD=PD,又AO=B1O,∴OD∥PB1,又OD面BDA1,PB1面BDA1,∴PB1∥平面BDA1．〔Ⅱ過A作AE⊥DA1于點(diǎn)E,連結(jié)BE．∵BA⊥CA,BA⊥AA1,且AA1∩AC=A,∴BA⊥平面AA1C1C．由三垂線定理可知BE⊥DA1．∴∠BEA為二面角A－A1D－B的平面角．在Rt△A1C1D中,,又,∴．在Rt△BAE中,,∴．故二面角A－A1D－B的平面角的余弦值為．解法二：如圖,以A1為原點(diǎn),A1B1,A1C1,A1A所在直線分別為x軸,y軸,z軸建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)1－B1C1A,則,,,,．〔Ⅰ在△PAA1中有,即．∴,,．設(shè)平面BA1D的一個(gè)法向量為,則令,則．∵,∴PB1∥平面BA1D,〔Ⅱ由〔Ⅰ知,平面BA1D的一個(gè)法向量．又為平面AA1D的一個(gè)法向量．∴．故二面角A－A1D－B的平面角的余弦值為．11.〔XX文〔20〔本題滿分14分如圖,在三棱錐中,,為的中點(diǎn),⊥平面,垂足落在線段上．〔Ⅰ證明：⊥；〔Ⅱ已知,,,．求二面角的大小．[解析]〔20本題主要考查空間線線、線面、面面位置關(guān)系,二面角等基礎(chǔ)知識,同時(shí)考查空間想象能力和推理論證能力。滿分14分。〔Ⅰ證明：由AB=AC,D是BC中點(diǎn),得, 又平面ABC,,得 因?yàn)?所以平面PAD,故〔Ⅱ解：如圖,在平面PAB內(nèi)作于M,連CM。 因?yàn)槠矫鍮MC,所以APCM。 故為二面角B—AP—C的平面角。 在 在, 在中,, 所以 在 又 故 同理 因?yàn)?所以 即二面角B—AP—C的大小為12.〔XX文20．〔本小題滿分12分,〔Ⅰ小問6分,〔Ⅱ小問6分如題〔20圖,在四面體中,平面ABC⊥平面,〔Ⅰ求四面體ABCD的體積；〔Ⅱ求二面角C-AB-D的平面角的正切值。[解析]20．〔本題12分解法一：〔I如答〔20圖1,過D作DF⊥AC垂足為F,故由平面ABC⊥平面ACD,知DF⊥平面ABC,即DF是四面體ABCD的面ABC上的高,設(shè)G為邊CD的中點(diǎn),則由AC=AD,知AG⊥CD,從而由故四面體ABCD的體積〔II如答〔20圖1,過F作FE⊥AB,垂足為E,連接DE。由〔I知DF⊥平面ABC。由三垂線定理知DE⊥AB,故∠DEF為二面角C—AB—D的平面角。在在中,EF//BC,從而EF：BC=AF：AC,所以在Rt△DEF中,解法二：〔I如答〔20圖2,設(shè)O是AC的中點(diǎn),過O作OH⊥AC,交AB于H,過O作OM⊥AC,交AD于M,由平面ABC⊥平面ACD,知OH⊥OM。因此以O(shè)為原點(diǎn),以射線OH,OC,OM分別為x軸,y軸,z軸的正半軸,可建立空間坐標(biāo)系O—xyz.已知AC=2,故點(diǎn)A,C的坐標(biāo)分別為A〔0,—1,0,C〔0,1,0。設(shè)點(diǎn)B的坐標(biāo)為,有即點(diǎn)B的坐標(biāo)為又設(shè)點(diǎn)D的坐標(biāo)為有即點(diǎn)D的坐標(biāo)為從而△ACD邊AC上的高為又故四面體ABCD的體積〔II由〔I知設(shè)非零向量是平面ABD的法向量,則由有〔1由,有〔2取,由〔1,〔2,可得顯然向量是平面ABC的法向量,從而即二面角C—AB—D的平面角的正切值為13.〔XX文〔19〔本小題滿分13分如圖,為多面體,平面與平面垂直,點(diǎn)在線段上,,,△OAB,△OAC,△ODE,△ODF都是正三角形?！并褡C明直線；〔Ⅱ求棱錐的體積.[解析]〔19〔本小題滿分13分本題考查空間直線與直線,直線與平面,平面與平面的位置關(guān)系,空間直線平行的證明,多面體體積的計(jì)算,考查空間想象能力,推理論證能力和運(yùn)算求解能力.〔I證明：設(shè)G是線段DA與EB延長線的交點(diǎn).由于△OAB與△ODE都是正三角形,所以=∥,OG=OD=2,=同理,設(shè)是線段DA與FC延長線的交點(diǎn),有又由于G和都在線段DA的延長線上,所以G與重合.==在△GED和△GFD中,由=∥和OC∥,可知B和C分別是GE和GF的中點(diǎn),所以BC是△GEF的中位線,故BC∥EF.===〔II解：由OB=1,OE=2,,而△OED是邊長為2的正三角形,故所以過點(diǎn)F作FQ⊥DG,交DG于點(diǎn)Q,由平面ABED⊥平面ACFD知,FQ就是四棱錐F—OBED的高,且FQ=,所以14.〔XX文20．〔本小題滿分12分如圖,四棱錐P-ABCD中,PA⊥底面ABCD,AB⊥AD,點(diǎn)E在線段AD上,且CE∥AB。〔I求證：CE⊥平面PAD；〔11若PA=AB=1,AD=3,CD=,∠CDA=45°,求四棱錐P-ABCD的體積[解析]20．本小題主要考查直線與直線、直線與平面的位置關(guān)系,幾何體的體積等基礎(chǔ)知識；考查空間想象能力,推理論證能力,運(yùn)算求解能力；考查數(shù)形結(jié)合思想,化歸與轉(zhuǎn)化思想,滿分12分〔I證明：因?yàn)槠矫鍭BCD,平面ABCD,所以因?yàn)橛炙云矫鍼AD?！睮I由〔I可知,在中,DE=CD又因?yàn)?所以四邊形ABCE為矩形,所以又平面ABCD,PA=1,所以15.〔XX文18．〔本小題滿分12分如圖,已知正三棱柱-的底面邊長為2,側(cè)棱長為,點(diǎn)E在側(cè)棱上,點(diǎn)F在側(cè)棱上,且,．〔I求證：；〔II求二面角的大小。[解析]18．本小題主要考查空間直線與平面的位置關(guān)系和二面角的求法,同時(shí)考查空間想象能力和推理論證能力?！矟M分12分解法1：〔Ⅰ由已知可得于是有所以又由〔Ⅱ在中,由〔Ⅰ可得于是有EF2+CF2=CE2,所以又由〔Ⅰ知CFC1E,且,所以CF平面C1EF,又平面C1EF,故CFC1F。于是即為二面角E—CF—C1的平面角。由〔Ⅰ知是等腰直角三角形,所以,即所求二面角E—CF—C1的大小為。解法2：建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,則由已知可得〔Ⅰ〔Ⅱ,設(shè)平面CEF的一個(gè)法向量為由即設(shè)側(cè)面BC1的一個(gè)法向量為設(shè)二面角E—CF—C1的大小為θ,于是由θ為銳角可得,所以即所求二面角E—CF—C1的大小為。16.〔XX文19．〔本小題滿分12分如圖3,在圓錐中,已知的直徑的中點(diǎn)．〔Ⅰ證明：平面;〔Ⅱ求直線和平面所成角的正弦值.[解析]19．〔本題滿分12分解法1：〔I因?yàn)橛諴O⊥底面⊙O,AC底面⊙O,所以A