套利定價理論假設Arbitrage課件

Financemanagement

ArbitragePricingTheory,APT

LecturebyHua-Ching,Cheng,PhDMay,03,20042022/12/91Financemanagement

ArbitragePricingTheory前言Forward套利定價理論假設ArbitragePricingTheoryAssumptions

套利定價模式Arbitragepricingmodel實證與測試ProofandtestAPTAPT與CAPM比較2022/12/92ArbitragePricingTheory前言Forw標準CAPM模式是基於平均值-變異數(shù)組合理論分析。投資者最好投資是基於選擇期望報酬與變異數(shù)

E(Ri)=Rf+β（E(Rm)-E(Rf)）Roll’scritique（1977）CAPM中，市場投資組合（Marketportfolio,

E(Rm)）是所有證券平均值與變異數(shù)效率組合。

這種組合是事後效率（Expostefficient）,所以應該沒有證券可以得到任何異常報酬（nosecuritieshaveabnormalperformance），但事實上證券組合存在異常報酬。

因此所有證券所組成的市場投資組合不會是有效率組合（AnyExpostinefficientindexispossible）1.前言2022/12/93標準CAPM模式是基於平均值-變異數(shù)組合理論分析。投資者2.APT假設Ross(1976,JET)發(fā)展套利定價理論

ArbitragePricingTheory(APT)。從套利的觀點來看資產(chǎn)價值訂定。

APT模式主要是基於套利單一價格法則（thelawofoneprice）:

一種資產(chǎn)不會有兩種價格（twoitemsthatarethesamecannotsellatdifferentprices.）原來平均值變異數(shù)的架構替換成證券報酬產(chǎn)生的過程

（theprocessgeneratingsecurityreturns.）APT模式，報酬產(chǎn)生過程是多指數(shù)模式（multi-indexmodel）也就是說報酬率是由很多變數(shù)所影響，β只是其中一項，還有很多因素會影響報酬率的形成的。2022/12/942.APT假設Ross(1976,JET)發(fā)展套利定價APT假設同CAPM中所設定的均衡模式條件消費者也是相同的預期（homogenousexpectations）。不同的是不必對投資者的效用函數(shù)作假設。2022/12/95APT假設同CAPM中所設定的均衡模式條件2022/123.APT模式說明基本型式（Factoranalysis）

Ri=E（Ri）＋bi1F1＋bi2F2＋bi3F3＋…+bikFk

＋εiRi=第i個資產(chǎn)隨機報酬率E（Ri）=第i個資產(chǎn)期望隨機報酬率bik=第i個資產(chǎn)報酬率對第k個共同因素的敏感程度Fk=所有資產(chǎn)所面對的第k個共同因素εi=第i個資產(chǎn)報酬率函數(shù)式的殘差2022/12/963.APT模式說明基本型式（Factoranalysis）Ri＝E（Ri）

＋bi1F1＋bi2F2＋bi3F3＋…＋εiR1＝E（R1）

＋b11F1＋b12F2＋b13F3＋…＋ε1R2＝E（R2）

＋b21F1＋b22F2＋b23F3＋…＋ε2R3＝E（R3）

＋b31F1＋b32F2＋b33F3＋…＋ε3R4＝E（R4）

＋b41F1＋b42F2＋b43F3＋…＋ε4R5＝E（R5）

＋b51F1＋b52F2＋b53F3＋…＋ε5Rp＝ΣwiE（Ri）＋Σwiβi1Fi＋…＋Σwiεi＝ΣwiE（Ri）2022/12/97Ri＝E（Ri）＋bi1F1＋bi2F2＋bi3F3＋…理論上，當殘差項為0，報酬可以為所有因子所解釋，截距E（Ri）為預期平均報酬共同因子F的係數(shù)b，稱為因素負荷量factorweightorfactorloading.共同因子F有下列關係存在，COV（Fi,Fj）=0

Cov(εi,εj)=0

Cov(Fi,εi)=0且εi～n（0,σ2）2022/12/98理論上，當殘差項為0，報酬可以為所有因子所解釋，截距E（R4.重要APT條件Σwi＝0

在沒有套利的機會下，增加某一證券比重，就要減少其他證券持有的比例。套利不會增加投資者財富。

Rp＝ΣwiE（Ri

）＋Σwibi1Fi＋…＋ΣwibikFk+Σwi

εiwi≒1/n，n→∞，Σwibik＝0

在多個不同共同因素結構中，在沒有套利的機會下，不會因為操弄不同的因素，利用不同因素權重的比值，可以獲得額外的報酬。Rp＝ΣwiE（Ri

）＋Σwibi1Fi＋…＋ΣwibikFk＝ΣwiE（Ri）ΣwiE（Rik

）＝0

表示在沒有套利的機會下，任何風險資產(chǎn)的組合，不會獲得額外的財富。﹌2022/12/994.重要APT條件Σwi＝0在沒有套利的機會下，增加某Chen,RollandRoss(1986,JoB)usemacroeconomicvariablessuchas.thegrowthrateinindustrialproduction,unexpectedinflation,thetermstructureofinterestrates,andriskpremiaBurmeisterandMcElroy(1988,JoF)alsousemacroeconomicvariablessuchasadefaultrisk,timepremium,unexpectedinflation,changeinexpectedsales,etc.Sharpe(1982,JPM)usesfinance/accountingtypevariablessuchasthereturnonthemarket(S&P500),dividendyield,returnonlong-termbonds,firmsize,etc.5.APT多指數(shù)實證研究2022/12/910Chen,RollandRoss(1986,JoB)APT多指數(shù)影響因素工業(yè)生產(chǎn)指數(shù)成長率（IP,growthrateofindustrialproduction）不同等級債券殖利率之差（riskpremium）：等級較差債券負擔較高風險溢酬，隱含市況不佳，投資人悲觀，對報酬率為負面影響。不同到期日債券利率之差（Termstructureofinterestrates）：正常情況下，長期債券利率大於短期利率。石油危機，發(fā)生高通膨，兩者利率差加大，若沒有通膨壓力，與報酬率正相關不同預期的通貨膨脹率（Unexpectedinflation）2022/12/911APT多指數(shù)影響因素工業(yè)生產(chǎn)指數(shù)成長率（IP,growth6.APT驗證基本上有兩種方法驗證APT.第一種方法是使用因素分析法第二種方法是採用FamaandMacBeth(1973,JPE)兩階段步驟使用第一種方法如本章前所述。APT是一個報酬產(chǎn)生的多指數(shù)模式Ri=E（Ri）＋bi1F1＋bi2F2＋bi3F3＋…+bikFk

＋εi2022/12/9126.APT驗證基本上有兩種方法驗證APT.2022/12/第二種方式，一樣先算出因素分析再利用因素負荷組成風險價格（theprice's('s)ofeachrisk）在均衡時，找出期望報酬在各個因素負荷下的最適組合FamaandMacBeth(1973)兩階段步驟2022/12/913第二種方式，一樣先算出因素分析FamaandMacBetAPT第二種方法說明使用APT，將所有投資組合構成一個平面1and2arethereturnsforbearingrisksassociatedwithindices(orfactors).iarecalledfactorprices（因素風險價格）

andbijarecalledfactorrisks（因素風險）.ThisistheequilibriummodelproducedbytheAPTwhenreturnsaregeneratedbythetwo-indexmodel.2022/12/914APT第二種方法說明使用APT，將所有投資組合構成一個平

6.APT例題講解如果能夠完全多角化，僅會存在系統(tǒng)風險。影響系統(tǒng)風險，用b‘s因子負荷量表達.投資人可用APT多指數(shù)模型說明均衡狀況。為求簡化，設兩個指數(shù)模型。如下2022/12/9156.APT例題講解如果能夠完全多角化，僅會存在系統(tǒng)風險。投例題討論2022/12/916例題討論2022/12/716從上述三個組合，可以產(chǎn)生一個均衡平面的資訊可以用bi1,bi2因素負荷，作成一個平面將例題數(shù)據(jù)bi1,bi2帶入，求聯(lián)立方程式，可以得到下列公式與's.這一條就是APT模式下，均衡報酬率公式

2022/12/917從上述三個組合，可以產(chǎn)生一個均衡平面的資訊將例題數(shù)據(jù)bi1,如前述，期望報酬與風險因子的關係下。2022/12/918如前述，期望報酬與風險因子的關係下。2022/12/718將b‘s帶入公式假設另有一組合E，期望報酬

E(RE)=15%,

bE1=0.6與bE2=0.6.另一組合D，其組合是由前面ABC三種證券所組合，各三分之一

D

=A+B+C.使用前述報酬率公式，

E(RD)=13%.組合D計算公式如下：比較市場上組合D與E2022/12/919將b‘s帶入公式假設另有一組合E，期望報酬E(RE經(jīng)由這樣的組合，投資者在組合D與E，兩組風險是一樣的，都是b=0.6。風險一樣，但兩組的報酬率不同，組合E是15%,組合D卻只有13%，會產(chǎn)生套利機會。根據(jù)單一價格法則，兩個組合應該會有相同報酬，只有一個報酬。這時候，期初，套利者可以賣空組合D，比如說賣空(+€100)，同時買入組合E，支出(-€100).假設套利者的套利組合，符合前述零投資（zeroinvestment），零系統(tǒng)風險（zerosystematicrisk），因此這個買進賣出，沒有增加投資額，期末，卻可以增加每€100.有期望獲利€2。套利者會持續(xù)套利到組合E降到A,BandC(andD)的組合平面上。也就是說組合E應該會降到13%報酬率。證明套利的過程2022/12/920經(jīng)由這樣的組合，投資者在組合D與E，兩組風險是一樣的假設若存在下列三種情形組合

A.

bp1=0 bp2=0

B.

bp1=1 bp2=0

C.

bp1=0 bp2=1在組合A中，E(RA)=0whichisthereturnonazero-bportfoliowhichwecallRF

（無風險利率）ifarisklessassetexists.在組合B中，E(RB)=RF+1whichimpliesthat1=E(RB)-RF.在組合C中，E(RC)=RF+2whichimpliesthat2=E(RC)-RF.上述這些特殊情形表示，j

是異常報酬，異常報酬高低會受風險資產(chǎn)的影響。(onlysubjecttoriskj)套利特殊狀況說明2022/12/921假設若存在下列三種情形組合套利特殊狀況說明2022/12/77.APT與CAPM比較研究Chen,RollandRoss(1986,JoB),BurmeisterandMcElroy(1988,JoF)andSharpe(1982,JPM)allfindthatvariousfactorsaresignificantandtheirresultssuggestthatCAPMcanberejectedinfavourofAPT.WhiletheAPTmodelismoregeneraltheCAPMitdoesnotsayanythingaboutthesizeorsignsofthefactorprices('s).Thefactors(I’s)aredefinedforCAPMbutnotdefinedbyAPT.2022/12/9227.APT與CAPM比較研究Chen,RollandR8.APT與CAPM公式證明TheexistenceoftheAPTmodelisnotnecessarilyinconsistentwithCAPM.假設一個指數(shù)時。Supposethatassumedmulti-indexmodelforgeneratingreturnsonlydependedononeindexnamelythereturnofthemarketportfolioTheAPTequilibriummodelisThisisthestandardCAPM.2022/12/9238.APT與CAPM公式證明TheexistenceofIfthereturngeneratingprocessismorecomplexasimilarresultholds.Considerthetwo-indexmodelAswehaveseenjistheexcessreturnonaportfoliowithabijofunityononeindexandzeroonallotherfactors.

TheAPTequilibriummodelforthistwo-factorreturngeneratingprocesswitharisklessassetis假設兩個指數(shù)時2022/12/924IfthereturngeneratingproceForcertainportfoliojisanexcessreturn.Thesecondtermin（a）isduetoassumingthatCAPMholds.Noteifthejsarenotsignificantlydifferentthani(E(RM)-RF)thenfindingtwosignificantfactorsisfullyconsistentwithCAPM.2022/12/925ForcertainportfoliojisanSubstitute(a)into(b)givesThusfindingmorethanonesignificantfactorintestingtheAPTmodelisnotsufficientprooftorejectanyCAPM.ThisisthestandardCAPM.2022/12/926Substitute(a)into(b)givesTMauriceRocheElmarMertens（2002）2022/12/927MauriceRoche2022/12/727TheEnd2022/12/928TheEnd2022/12/728Financemanagement

ArbitragePricingTheory,APT

LecturebyHua-Ching,Cheng,PhDMay,03,20042022/12/929Financemanagement

ArbitragePricingTheory前言Forward套利定價理論假設ArbitragePricingTheoryAssumptions

套利定價模式Arbitragepricingmodel實證與測試ProofandtestAPTAPT與CAPM比較2022/12/930ArbitragePricingTheory前言Forw標準CAPM模式是基於平均值-變異數(shù)組合理論分析。投資者最好投資是基於選擇期望報酬與變異數(shù)

E(Ri)=Rf+β（E(Rm)-E(Rf)）Roll’scritique（1977）CAPM中，市場投資組合（Marketportfolio,

E(Rm)）是所有證券平均值與變異數(shù)效率組合。

這種組合是事後效率（Expostefficient）,所以應該沒有證券可以得到任何異常報酬（nosecuritieshaveabnormalperformance），但事實上證券組合存在異常報酬。

因此所有證券所組成的市場投資組合不會是有效率組合（AnyExpostinefficientindexispossible）1.前言2022/12/931標準CAPM模式是基於平均值-變異數(shù)組合理論分析。投資者2.APT假設Ross(1976,JET)發(fā)展套利定價理論

ArbitragePricingTheory(APT)。從套利的觀點來看資產(chǎn)價值訂定。

APT模式主要是基於套利單一價格法則（thelawofoneprice）:

一種資產(chǎn)不會有兩種價格（twoitemsthatarethesamecannotsellatdifferentprices.）原來平均值變異數(shù)的架構替換成證券報酬產(chǎn)生的過程

（theprocessgeneratingsecurityreturns.）APT模式，報酬產(chǎn)生過程是多指數(shù)模式（multi-indexmodel）也就是說報酬率是由很多變數(shù)所影響，β只是其中一項，還有很多因素會影響報酬率的形成的。2022/12/9322.APT假設Ross(1976,JET)發(fā)展套利定價APT假設同CAPM中所設定的均衡模式條件消費者也是相同的預期（homogenousexpectations）。不同的是不必對投資者的效用函數(shù)作假設。2022/12/933APT假設同CAPM中所設定的均衡模式條件2022/123.APT模式說明基本型式（Factoranalysis）

Ri=E（Ri）＋bi1F1＋bi2F2＋bi3F3＋…+bikFk

＋εiRi=第i個資產(chǎn)隨機報酬率E（Ri）=第i個資產(chǎn)期望隨機報酬率bik=第i個資產(chǎn)報酬率對第k個共同因素的敏感程度Fk=所有資產(chǎn)所面對的第k個共同因素εi=第i個資產(chǎn)報酬率函數(shù)式的殘差2022/12/9343.APT模式說明基本型式（Factoranalysis）Ri＝E（Ri）

＋bi1F1＋bi2F2＋bi3F3＋…＋εiR1＝E（R1）

＋b11F1＋b12F2＋b13F3＋…＋ε1R2＝E（R2）

＋b21F1＋b22F2＋b23F3＋…＋ε2R3＝E（R3）

＋b31F1＋b32F2＋b33F3＋…＋ε3R4＝E（R4）

＋b41F1＋b42F2＋b43F3＋…＋ε4R5＝E（R5）

＋b51F1＋b52F2＋b53F3＋…＋ε5Rp＝ΣwiE（Ri）＋Σwiβi1Fi＋…＋Σwiεi＝ΣwiE（Ri）2022/12/935Ri＝E（Ri）＋bi1F1＋bi2F2＋bi3F3＋…理論上，當殘差項為0，報酬可以為所有因子所解釋，截距E（Ri）為預期平均報酬共同因子F的係數(shù)b，稱為因素負荷量factorweightorfactorloading.共同因子F有下列關係存在，COV（Fi,Fj）=0

Cov(εi,εj)=0

Cov(Fi,εi)=0且εi～n（0,σ2）2022/12/936理論上，當殘差項為0，報酬可以為所有因子所解釋，截距E（R4.重要APT條件Σwi＝0

在沒有套利的機會下，增加某一證券比重，就要減少其他證券持有的比例。套利不會增加投資者財富。

Rp＝ΣwiE（Ri

）＋Σwibi1Fi＋…＋ΣwibikFk+Σwi

εiwi≒1/n，n→∞，Σwibik＝0

在多個不同共同因素結構中，在沒有套利的機會下，不會因為操弄不同的因素，利用不同因素權重的比值，可以獲得額外的報酬。Rp＝ΣwiE（Ri

）＋Σwibi1Fi＋…＋ΣwibikFk＝ΣwiE（Ri）ΣwiE（Rik

）＝0

表示在沒有套利的機會下，任何風險資產(chǎn)的組合，不會獲得額外的財富。﹌2022/12/9374.重要APT條件Σwi＝0在沒有套利的機會下，增加某Chen,RollandRoss(1986,JoB)usemacroeconomicvariablessuchas.thegrowthrateinindustrialproduction,unexpectedinflation,thetermstructureofinterestrates,andriskpremiaBurmeisterandMcElroy(1988,JoF)alsousemacroeconomicvariablessuchasadefaultrisk,timepremium,unexpectedinflation,changeinexpectedsales,etc.Sharpe(1982,JPM)usesfinance/accountingtypevariablessuchasthereturnonthemarket(S&P500),dividendyield,returnonlong-termbonds,firmsize,etc.5.APT多指數(shù)實證研究2022/12/938Chen,RollandRoss(1986,JoB)APT多指數(shù)影響因素工業(yè)生產(chǎn)指數(shù)成長率（IP,growthrateofindustrialproduction）不同等級債券殖利率之差（riskpremium）：等級較差債券負擔較高風險溢酬，隱含市況不佳，投資人悲觀，對報酬率為負面影響。不同到期日債券利率之差（Termstructureofinterestrates）：正常情況下，長期債券利率大於短期利率。石油危機，發(fā)生高通膨，兩者利率差加大，若沒有通膨壓力，與報酬率正相關不同預期的通貨膨脹率（Unexpectedinflation）2022/12/939APT多指數(shù)影響因素工業(yè)生產(chǎn)指數(shù)成長率（IP,growth6.APT驗證基本上有兩種方法驗證APT.第一種方法是使用因素分析法第二種方法是採用FamaandMacBeth(1973,JPE)兩階段步驟使用第一種方法如本章前所述。APT是一個報酬產(chǎn)生的多指數(shù)模式Ri=E（Ri）＋bi1F1＋bi2F2＋bi3F3＋…+bikFk

＋εi2022/12/9406.APT驗證基本上有兩種方法驗證APT.2022/12/第二種方式，一樣先算出因素分析再利用因素負荷組成風險價格（theprice's('s)ofeachrisk）在均衡時，找出期望報酬在各個因素負荷下的最適組合FamaandMacBeth(1973)兩階段步驟2022/12/941第二種方式，一樣先算出因素分析FamaandMacBetAPT第二種方法說明使用APT，將所有投資組合構成一個平面1and2arethereturnsforbearingrisksassociatedwithindices(orfactors).iarecalledfactorprices（因素風險價格）

andbijarecalledfactorrisks（因素風險）.ThisistheequilibriummodelproducedbytheAPTwhenreturnsaregeneratedbythetwo-indexmodel.2022/12/942APT第二種方法說明使用APT，將所有投資組合構成一個平

6.APT例題講解如果能夠完全多角化，僅會存在系統(tǒng)風險。影響系統(tǒng)風險，用b‘s因子負荷量表達.投資人可用APT多指數(shù)模型說明均衡狀況。為求簡化，設兩個指數(shù)模型。如下2022/12/9436.APT例題講解如果能夠完全多角化，僅會存在系統(tǒng)風險。投例題討論2022/12/944例題討論2022/12/716從上述三個組合，可以產(chǎn)生一個均衡平面的資訊可以用bi1,bi2因素負荷，作成一個平面將例題數(shù)據(jù)bi1,bi2帶入，求聯(lián)立方程式，可以得到下列公式與's.這一條就是APT模式下，均衡報酬率公式

2022/12/945從上述三個組合，可以產(chǎn)生一個均衡平面的資訊將例題數(shù)據(jù)bi1,如前述，期望報酬與風險因子的關係下。2022/12/946如前述，期望報酬與風險因子的關係下。2022/12/718將b‘s帶入公式假設另有一組合E，期望報酬

E(RE)=15%,

bE1=0.6與bE2=0.6.另一組合D，其組合是由前面ABC三種證券所組合，各三分之一

D

=A+B+C.使用前述報酬率公式，

E(RD)=13%.組合D計算公式如下：比較市場上組合D與E2022/12/947將b‘s帶入公式假設另有一組合E，期望報酬E(RE經(jīng)由這樣的組合，投資者在組合D與E，兩組風險是一樣的，都是b=0.6。風險一樣，但兩組的報酬率不同，組合E是15%,組合D卻只有13%，會產(chǎn)生套利機會。根據(jù)單一價格法則，兩個組合應該會有相同報酬，只有一個報酬。這時候，期初，套利者可以賣空組合D，比如說賣空(+€100)，同時買入組合E，支出(-€100).假設套利者的套利組合，符合前述零投資（zeroinvestment），零系統(tǒng)風險（zerosystematicrisk），因此這個買進賣出，沒有增加投資額，期末，卻可以增加每€100.有期望獲利€2。套利者會持續(xù)套利到組合E降到A,BandC(andD)的組合平面上。也就是說組合E應該會降到13%報酬率。證明套利的過程2022/12/948經(jīng)由這樣的組合，投資者在組合D與E，兩組風險是一樣的假設若存在下列三種情形組合

A.

bp1=0 bp2=0

B.

bp1=1 bp2=0

C.

bp1=0 bp2=1在組合A中，E(RA)=0whichisthereturnonazero-bportfoliowhichwecallRF

（無風險利率）ifarisklessassetexists.在組合B中，E(RB)=RF+1whichimpliesthat1=E(RB)-RF.在組合C中，E(RC)=RF+2whichimpliesthat2=E(RC)-RF.上述這些特殊情形表示，j

是異常報酬，異常報酬高低會受風險資產(chǎn)的影響。(onlysubjecttoriskj)套利特殊狀況說明2022/12/949假設若存在下列三種情形組合套利特殊狀況說明2022/12/77.APT與CAPM比較研究Chen,RollandRoss(1986,JoB),BurmeisterandMcElroy(1988,JoF)andSharpe(1982,JPM)allfindthatvariousfactorsaresignificantandtheirresultssuggesttha