2020高中數(shù)學(xué) 第章 統(tǒng)計(jì)案例 .1 獨(dú)立性檢驗(yàn)講義

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精PAGE14-學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精3.1獨(dú)立性檢驗(yàn)學(xué)習(xí)目標(biāo)：1。了解分類變量、2×2列聯(lián)表、隨機(jī)變量χ2的意義。2。通過(guò)對(duì)典型案例的分析，了解獨(dú)立性檢驗(yàn)的基本思想方法．（重點(diǎn))3.通過(guò)對(duì)典型案例的分析，了解兩個(gè)分類變量的獨(dú)立性檢驗(yàn)的應(yīng)用．（難點(diǎn)）教材整理獨(dú)立性檢驗(yàn)閱讀教材P77～P78例2以上部分,完成下列問(wèn)題．1．卡方統(tǒng)計(jì)量χ2＝eq\f（nn11n22－n12n212，n1＋n2＋n＋1n＋2）,用χ2的大小可以決定是否拒絕原來(lái)的統(tǒng)計(jì)假設(shè)H0.如果算出的χ2值較大,就拒絕H0，也就是拒絕“事件A與B無(wú)關(guān)”，從而就認(rèn)為它們是有關(guān)的了．2．兩個(gè)臨界值(1）當(dāng)根據(jù)具體的數(shù)據(jù)算出的χ2>3.841時(shí)，有95％的把握說(shuō)事件A與B有關(guān)；(2)當(dāng)χ2〉6.635時(shí),有99％的把握說(shuō)事件A與B有關(guān)，當(dāng)χ2≤3.841時(shí),認(rèn)為事件A與B是無(wú)關(guān)的．1．判斷(正確的打“√”，錯(cuò)誤的打“×"）（1）分類變量中的變量與函數(shù)中的變量是同一概念．()（2）獨(dú)立性檢驗(yàn)的方法就是反證法．()（3）獨(dú)立性檢驗(yàn)中可通過(guò)統(tǒng)計(jì)表從數(shù)據(jù)上說(shuō)明兩分類變量的相關(guān)性的大?。?)【答案】(1)×（2）×（3)√2．考察棉花種子經(jīng)過(guò)處理與生病之間的關(guān)系,得到下表中的數(shù)據(jù):種子處理種子未處理合計(jì)得病32101133不得病61213274合計(jì)93314407根據(jù)以上數(shù)據(jù)可得出(）A．種子是否經(jīng)過(guò)處理與是否生病有關(guān)B．種子是否經(jīng)過(guò)處理與是否生病無(wú)關(guān)C．種子是否經(jīng)過(guò)處理決定是否生病D．有90％的把握認(rèn)為種子經(jīng)過(guò)處理與生病有關(guān)【解析】χ2＝eq\f（407×32×213－61×1012,93×314×133×274)≈0.164<3。841，即沒(méi)有充足的理由認(rèn)為種子是否經(jīng)過(guò)處理跟生病有關(guān)．【答案】B3．若由一個(gè)2×2列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)計(jì)算得χ2＝4。013，那么有__________的把握認(rèn)為兩個(gè)變量之間有關(guān)系．【解析】查閱χ2表知有95%的把握認(rèn)為兩個(gè)變量之間有關(guān)系．【答案】95%用2×2列聯(lián)表分析兩變量間的關(guān)系【例1】在對(duì)人們飲食習(xí)慣的一次調(diào)查中，共調(diào)查了124人，其中六十歲以上的70人,六十歲以下的54人．六十歲以上的人中有43人的飲食以蔬菜為主，另外27人則以肉類為主；六十歲以下的人中有21人的飲食以蔬菜為主，另外33人則以肉類為主．請(qǐng)根據(jù)以上數(shù)據(jù)作出飲食習(xí)慣與年齡的列聯(lián)表，并利用eq\f（n11,n1＋)與eq\f(n21,n2＋)判斷二者是否有關(guān)系．【精彩點(diǎn)撥】eq\x（對(duì)變量進(jìn)行分類)→eq\x（求出分類變量的不同取值)→eq\x(作出2×2列聯(lián)表)→eq\x(計(jì)算\f（n11,n1＋)與\f（n21,n2＋）的值作出判斷)【解】飲食習(xí)慣與年齡2×2列聯(lián)表如下：年齡在六十歲以上年齡在六十歲以下合計(jì)飲食以蔬菜為主432164飲食以肉類為主273360合計(jì)7054124將表中數(shù)據(jù)代入公式得eq\f(n11,n1＋)＝eq\f(43，64）≈0。67，eq\f（n21,n2＋)＝eq\f(27,60）＝0.45。顯然二者數(shù)據(jù)具有較為明顯的差距，據(jù)此可以在某種程度上認(rèn)為飲食習(xí)慣與年齡有關(guān)系．1．作2×2列聯(lián)表時(shí),注意應(yīng)該是4行4列，計(jì)算時(shí)要準(zhǔn)確無(wú)誤．2．作2×2列聯(lián)表時(shí)，關(guān)鍵是對(duì)涉及的變量分清類別．1．上例中條件不變，嘗試用|n11n22－n12n21|的大小判斷飲食習(xí)慣與年齡是否有關(guān)．【解】將本例2×2列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)代入可得|n11n22－n12n21｜＝｜43×33－21×27|＝852。相差較大，可在某種程度上認(rèn)為飲食習(xí)慣與年齡有關(guān)系。由χ2進(jìn)行獨(dú)立性檢驗(yàn)【例2】在500人身上試驗(yàn)?zāi)撤N血清預(yù)防感冒的作用，把他們一年中的感冒記錄與另外500名未用血清的人的感冒記錄作比較，結(jié)果如表所示．問(wèn)：能否在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)1％的前提下認(rèn)為該種血清能起到預(yù)防感冒的作用。未感冒感冒合計(jì)使用血清258242500未使用血清216284500合計(jì)4745261000【精彩點(diǎn)撥】獨(dú)立性檢驗(yàn)可以通過(guò)2×2列聯(lián)表計(jì)算χ2的值，然后和臨界值對(duì)照作出判斷．【解】假設(shè)感冒與是否使用該種血清沒(méi)有關(guān)系．由列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)，求得χ2＝eq\f（1000×258×284－242×2162，474×526×500×500)≈7.075。χ2＝7.075＞6.635，P(χ2≥6。635)＝0.01，故我們?cè)诜稿e(cuò)誤的概率不超過(guò)1％的前提下，即有99%的把握認(rèn)為該種血清能起到預(yù)防感冒的作用．1．獨(dú)立性檢驗(yàn)的關(guān)注點(diǎn)在2×2列聯(lián)表中，如果兩個(gè)分類變量沒(méi)有關(guān)系，則應(yīng)滿足n11n22－n12n21≈0，因此|n11n22－n12n21｜越小,關(guān)系越弱；｜n11n22－n12n21｜越大，關(guān)系越強(qiáng)．2．獨(dú)立性檢驗(yàn)的具體做法(1)根據(jù)實(shí)際問(wèn)題的需要確定允許推斷“事件A與B有關(guān)系”犯錯(cuò)誤的概率的上界α，然后查表確定臨界值k0.(2）利用公式χ2＝eq\f(nn11n22－n12n212,n1＋n2＋n＋1n＋2）計(jì)算隨機(jī)變量χ2。(3)如果χ2≥k0，推斷“X與Y有關(guān)系”這種推斷犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)α；否則，就認(rèn)為在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)α的前提下不能推斷“X與Y有關(guān)系”，或者在樣本數(shù)據(jù)中沒(méi)有發(fā)現(xiàn)足夠的證據(jù)支持結(jié)論“X與Y有關(guān)系”．2．為了調(diào)查胃病是否與生活規(guī)律有關(guān)，在某地對(duì)540名40歲以上的人的調(diào)查結(jié)果如下：患胃病未患胃病合計(jì)生活不規(guī)律60260320生活有規(guī)律20200220合計(jì)80460540根據(jù)以上數(shù)據(jù)判斷40歲以上的人患胃病與生活規(guī)律有關(guān)嗎？【解】由公式得χ2＝eq\f(54060×200－260×202，320×220×80×460）≈9.638?！?.638>6.635，∴有99%的把握說(shuō)40歲以上的人患胃病與生活是否有規(guī)律有關(guān)，即生活不規(guī)律的人易患胃?。?dú)立性檢驗(yàn)的綜合應(yīng)用[探究問(wèn)題]1．利用χ2進(jìn)行獨(dú)立性檢驗(yàn)，估計(jì)值的準(zhǔn)確度與樣本容量有關(guān)嗎？【提示】利用χ2進(jìn)行獨(dú)立性檢驗(yàn)，可以對(duì)推斷的正確性的概率作出估計(jì)，樣本容量n越大，這個(gè)估計(jì)值越準(zhǔn)確，如果抽取的樣本容量很小，那么利用χ2進(jìn)行獨(dú)立性檢驗(yàn)的結(jié)果就不具有可靠性．2．在χ2運(yùn)算后，得到χ2的值為29。78，在判斷變量相關(guān)時(shí)，P（χ2≥6。635）≈0.01和P(χ2≥7.879）≈0。005，哪種說(shuō)法是正確的？【提示】?jī)煞N說(shuō)法均正確．P（χ2≥6.635）≈0。01的含義是在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)0.01的前提下認(rèn)為兩個(gè)變量相關(guān);而P（χ2≥7.879)≈0。005的含義是在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)0。005的前提下認(rèn)為兩個(gè)變量相關(guān)．【例3】為調(diào)查某地區(qū)老年人是否需要志愿者提供幫助，用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣方法從該地區(qū)調(diào)查了500位老年人，結(jié)果如下：男女需要4030不需要160270（1）估計(jì)該地區(qū)老年人中,需要志愿者提供幫助的老年人的比例；(2）能否有99％的把握認(rèn)為該地區(qū)的老年人是否需要志愿者提供幫助與性別有關(guān)？(3)根據(jù)（2）的結(jié)論,能否提出更好的調(diào)查方法來(lái)估計(jì)該地區(qū)的老年人中需要志愿者提供幫助的老年人的比例？說(shuō)明理由．【精彩點(diǎn)撥】根據(jù)題中表格提供的數(shù)據(jù)，可通過(guò)求χ2的值進(jìn)行判定．對(duì)于(1)（3)可依據(jù)古典概率及抽樣方法分析求解．【解】（1)調(diào)查的500位老年人中有70位需要志愿者提供幫助，因此該地區(qū)老年人中，需要幫助的老年人的比例的估計(jì)值為eq\f（70，500)＝14%.（2)χ2＝eq\f(500×40×270－30×1602,200×300×70×430）≈9.967.由于9。967〉6。635，所以有99％的把握認(rèn)為該地區(qū)的老年人是否需要幫助與性別有關(guān)．(3)由（2)的結(jié)論知，該地區(qū)老年人是否需要幫助與性別有關(guān)，并且從樣本數(shù)據(jù)能看出該地區(qū)男性老年人與女性老年人中需要幫助的比例有明顯差異，因此在調(diào)查時(shí)，先確定該地區(qū)老年人中男、女的比例，再把老年人分成男、女兩層并采用分層抽樣方法進(jìn)行抽樣,這比采用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣方法更好．1．檢驗(yàn)兩個(gè)變量是否相互獨(dú)立，主要依據(jù)是利用χ2＝eq\f(nn11n22－n12n212，n1＋n2＋n＋1n＋2)公式計(jì)算χ2的值，再利用該值與3.841，6。635兩個(gè)值進(jìn)行比較作出判斷．2．χ2計(jì)算公式較復(fù)雜，一是公式要清楚；二是代入數(shù)值時(shí)不能張冠李戴;三是計(jì)算時(shí)要細(xì)心．3．統(tǒng)計(jì)的基本思維模式是歸納，它的特征之一是通過(guò)部分?jǐn)?shù)據(jù)的性質(zhì)來(lái)推測(cè)全部數(shù)據(jù)的性質(zhì)．因此,統(tǒng)計(jì)推斷是可能犯錯(cuò)誤的，即從數(shù)據(jù)上體現(xiàn)的只是統(tǒng)計(jì)關(guān)系,而不是因果關(guān)系．3．若兩個(gè)分類變量x和y的列聯(lián)表為：yxy1y2x1515x24010則x與y之間有關(guān)系的概率約為_(kāi)_______．【解析】χ2＝eq\f（5＋15＋40＋105×10－40×152,5＋1540＋105＋4015＋10）≈18。822。∵18.822〉6。635，∴x與y之間有關(guān)系的概率約為1－0.01＝0.99。【答案】0.991．下列選項(xiàng)中,哪一個(gè)χ2的值可以有95％以上的把握認(rèn)為“A與B有關(guān)系"（)A．χ2＝2。700 B．χ2＝2。710C．χ2＝3.765 D．χ2＝5.014【解析】∵5.014〉3。841,故D正確．【答案】D2．通過(guò)隨機(jī)詢問(wèn)110名性別不同的大學(xué)生是否愛(ài)好某項(xiàng)運(yùn)動(dòng),得到如下的列聯(lián)表：男女合計(jì)愛(ài)好402060不愛(ài)好203050合計(jì)6050110經(jīng)計(jì)算得χ2＝eq\f（110×40×30－20×202,60×50×60×50)≈7。8。則正確結(jié)論是()A．在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)0.1%的前提下，認(rèn)為“愛(ài)好該項(xiàng)運(yùn)動(dòng)與性別有關(guān)”B．在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)0.1%的前提下，認(rèn)為“愛(ài)好該項(xiàng)運(yùn)動(dòng)與性別無(wú)關(guān)”C．有99％以上的把握認(rèn)為“愛(ài)好該項(xiàng)運(yùn)動(dòng)與性別有關(guān)”D．有99％以上的把握認(rèn)為“愛(ài)好該項(xiàng)運(yùn)動(dòng)與性別無(wú)關(guān)"【解析】根據(jù)獨(dú)立性檢驗(yàn)的思想方法，正確選項(xiàng)為C.【答案】C3．在一個(gè)2×2列聯(lián)表中,由其數(shù)據(jù)計(jì)算得χ2＝13.097，認(rèn)為“兩個(gè)變量有關(guān)系”犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)________．【解析】如果χ2〉6.635時(shí)，認(rèn)為“兩變量有關(guān)系”犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)0.01.【答案】0。014．某大學(xué)在研究性別與職稱（分正教授、副教授)之間是否有關(guān)系，你認(rèn)為應(yīng)該收集的數(shù)據(jù)是________．【解析】由研究的問(wèn)題可知，需收集的數(shù)據(jù)應(yīng)為男正教授人數(shù),女正教授人數(shù),男副教授人數(shù)，女副教授人數(shù)．【答案】男正教授人數(shù)，女正教授人數(shù)，男副教授人數(shù),女副教授人數(shù)5．調(diào)查某醫(yī)院某段時(shí)間內(nèi)嬰兒出生的時(shí)間與性別的關(guān)系，得到下面的數(shù)據(jù):出生時(shí)間在晚上的男嬰為24人，女?huà)霝?人；出生時(shí)間在白天的男嬰為31人