2020高中數(shù)學(xué) 第章 數(shù)系的擴充與復(fù)數(shù) .1. 復(fù)數(shù)的幾何意義講義 2-2_第1頁
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學(xué)必求其心得,業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得,業(yè)必貴于專精PAGE10-學(xué)必求其心得,業(yè)必貴于專精3。1.3學(xué)習目標核心素養(yǎng)1.理解復(fù)平面、實軸、虛軸等概念.(易混點)2.掌握復(fù)數(shù)的幾何意義,并能適當應(yīng)用.(重點、易混點)3.掌握復(fù)數(shù)模的定義及求模公式。通過復(fù)數(shù)的幾何意義的學(xué)習,提升學(xué)生的直觀想象、邏輯推理素養(yǎng).一、復(fù)平面建立了直角坐標系來表示復(fù)數(shù)的平面叫做復(fù)平面.在復(fù)平面內(nèi),x軸叫做實軸,y軸叫做虛軸.x軸的單位是1,y軸的單位是i。實軸與虛軸的交點叫做原點,原點(0,0)對應(yīng)復(fù)數(shù)0.二、復(fù)數(shù)的幾何意義1.復(fù)數(shù)z=a+bi一一對應(yīng)復(fù)平面內(nèi)的點Z(a,b).2.復(fù)數(shù)z=a+bi一一對應(yīng)平面向量eq\o(OZ,\s\up8(→))。三、復(fù)數(shù)的模、共軛復(fù)數(shù)1.設(shè)eq\o(OZ,\s\up8(→))=a+bi(a,b∈R),則向量eq\o(OZ,\s\up8(→))的長度叫做復(fù)數(shù)a+bi的模(或絕對值),記作|a+bi|,且|a+bi|=eq\r(a2+b2).2.如果兩個復(fù)數(shù)的實部相等,而虛部互為相反數(shù),則這兩個復(fù)數(shù)叫做互為共軛復(fù)數(shù).復(fù)數(shù)z的共軛復(fù)數(shù)用eq\x\to(z)表示.1.判斷(正確的打“√",錯誤的打“×")(1)在復(fù)平面內(nèi),對應(yīng)于實數(shù)的點都在實軸上. ()(2)在復(fù)平面內(nèi),虛軸上的點所對應(yīng)的復(fù)數(shù)都是純虛數(shù). ()(3)復(fù)數(shù)的模一定是正實數(shù). ()[答案](1)√(2)×(3)×2.在復(fù)平面內(nèi),復(fù)數(shù)z=1-i對應(yīng)的點的坐標為()A.(1,i) B.(1,-i)C.(1,1) D.(1,-1)[解析]復(fù)數(shù)z=1-i的實部為1,虛部為-1,故其對應(yīng)的坐標為(1,-1).[答案]D3.已知復(fù)數(shù)z=3+2i,則eq\x\to(z)=________;|z|=________.[解析]∵z=3+2i,∴eq\x\to(z)=3-2i,|z|=eq\r(32+22)=eq\r(13).[答案]3-2ieq\r(13)復(fù)數(shù)與復(fù)平面內(nèi)點的關(guān)系【例1】(1)復(fù)數(shù)z=-1+2i所對應(yīng)的點在()A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限(2)已知復(fù)數(shù)z=x+1+(y-1)i在復(fù)平面內(nèi)的對應(yīng)點位于第二象限,則點(x,y)所成的平面區(qū)域是()(3)復(fù)數(shù)eq\x\to(z)=1+eq\r(3)i和z=1-eq\r(3)i在復(fù)平面內(nèi)的對應(yīng)點關(guān)于()A.實軸對稱B.一、三象限的角平分線對稱C.虛軸對稱D.二、四象限的角平分線對稱[解析](1)由復(fù)數(shù)的幾何意義知z=-1+2i對應(yīng)復(fù)平面中的點為(-1,2),而(-1,2)是第二象限中的點,故選B。(2)由題意,得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x+1<0,,y-1>0,))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x〈-1,,y>1,))故點(x,y)所成的平面區(qū)域為A項中的陰影部分.(3)復(fù)數(shù)eq\x\to(z)=1+eq\r(3)i在復(fù)平面內(nèi)的對應(yīng)點為Z1(1,eq\r(3)).復(fù)數(shù)z=1-eq\r(3)i在復(fù)平面內(nèi)的對應(yīng)點為Z2(1,-eq\r(3)).點Z1與Z2關(guān)于實軸對稱,故選A。[答案](1)B(2)A(3)A解答此類問題的一般思路1.首先確定復(fù)數(shù)的實部與虛部,從而確定復(fù)數(shù)對應(yīng)點的橫、縱坐標.2.根據(jù)已知條件,確定實部與虛部滿足的關(guān)系.1.實數(shù)x取什么值時,復(fù)平面內(nèi)表示復(fù)數(shù)z=x2+x-6+(x2-2x-15)i的點Z:(1)位于第三象限;(2)位于第四象限;(3)位于直線x-y-3=0上.[解]因為x是實數(shù),所以x2+x-6,x2-2x-15也是實數(shù).(1)當實數(shù)x滿足eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2+x-6<0,,x2-2x-15<0,))即-3<x<2時,點Z位于第三象限.(2)當實數(shù)x滿足eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2+x-6>0,,x2-2x-15<0,))即2<x<5時,點Z位于第四象限,(3)當實數(shù)x滿足(x2+x-6)-(x2-2x-15)-3=0,即3x+6=0,x=-2時,點Z位于直線x-y-3=0上。復(fù)數(shù)與平面向量的關(guān)系【例2】(1)向量eq\o(OZ1,\s\up8(→))對應(yīng)的復(fù)數(shù)是5-4i,向量eq\o(OZ,\s\up8(→))2對應(yīng)的復(fù)數(shù)是-5+4i,則eq\o(OZ,\s\up8(→))1+eq\o(OZ,\s\up8(→))2對應(yīng)的復(fù)數(shù)是()A.-10+8i B.10-8iC.0 D.10+8i(2)復(fù)數(shù)4+3i與-2-5i分別表示向量eq\o(OA,\s\up8(→))與eq\o(OB,\s\up8(→)),則向量eq\o(AB,\s\up8(→))表示的復(fù)數(shù)是________.[思路探究](1)先寫出向量eq\o(OZ1,\s\up8(→)),eq\o(OZ,\s\up8(→))2的坐標,再求出eq\o(OZ,\s\up8(→))1+eq\o(OZ,\s\up8(→))2的坐標.(2)利用eq\o(AB,\s\up8(→))=eq\o(OB,\s\up8(→))-eq\o(OA,\s\up8(→)),求出向量eq\o(AB,\s\up8(→))的坐標,從而確定eq\o(AB,\s\up8(→))表示的復(fù)數(shù).[解析](1)因為向量eq\o(OZ1,\s\up8(→))對應(yīng)的復(fù)數(shù)是5-4i,向量eq\o(OZ,\s\up8(→))2對應(yīng)的復(fù)數(shù)是-5+4i,所以eq\o(OZ,\s\up8(→))1=(5,-4),eq\o(OZ,\s\up8(→))2=(-5,4),所以eq\o(OZ,\s\up8(→))1+eq\o(OZ,\s\up8(→))2=(5,-4)+(-5,4)=(0,0),所以eq\o(OZ,\s\up8(→))1+eq\o(OZ,\s\up8(→))2對應(yīng)的復(fù)數(shù)是0。(2)因為復(fù)數(shù)4+3i與-2-5i分別表示向量eq\o(OA,\s\up8(→))與eq\o(OB,\s\up8(→)),所以eq\o(OA,\s\up8(→))=(4,3),eq\o(OB,\s\up8(→))=(-2,-5),又eq\o(AB,\s\up8(→))=eq\o(OB,\s\up8(→))-eq\o(OA,\s\up8(→))=(-2,-5)-(4,3)=(-6,-8),所以向量eq\o(AB,\s\up8(→))表示的復(fù)數(shù)是-6-8i。[答案](1)C(2)-6-8i上例(2)中的條件不變,試求向量-eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up8(→))表示的復(fù)數(shù).[解]由上例(2)的解析知eq\o(AB,\s\up8(→))=(-6,-8),∴-eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up8(→))=(3,4),所以向量-eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up8(→))表示的復(fù)數(shù)是3+4i。解答此類題目的一般思路是先寫出向量或點的坐標,再根據(jù)向量的運算求出所求向量的坐標,從而求出向量所表示的復(fù)數(shù).復(fù)數(shù)的模[探究問題]1.復(fù)平面內(nèi)的虛軸的單位長度是1,還是i?提示:復(fù)平面內(nèi)的虛軸上的單位長度是1,而不是i.2.若復(fù)數(shù)(a+1)+(a-1)i(a∈R)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點P在第四象限,則a滿足什么條件?提示:a滿足eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a+1>0,,a-1<0,))即-1<a<1.【例3】(1)已知復(fù)數(shù)z的實部為1,且|z|=2,則復(fù)數(shù)z的虛部是()A.-eq\r(3) B.eq\r(3)iC.±eq\r(3)i D.±eq\r(3)(2)求復(fù)數(shù)z1=6+8i及z2=-eq\f(1,2)-eq\r(2)i的模,并比較它們模的大小.[思路探究](1)設(shè)出復(fù)數(shù)z的虛部,由模的公式建立方程求解.(2)用求模的公式直接計算.(1)[解析]設(shè)復(fù)數(shù)z的虛部為b,∵|z|=2,實部為1,∴1+b2=4,∴b=±eq\r(3),選D.[答案]D(2)解:因為z1=6+8i,z2=-eq\f(1,2)-eq\r(2)i,所以|z1|=eq\r(62+82)=10,|z2|=eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(-\f(1,2)))2+-\r(2)2)=eq\f(3,2).因為10〉eq\f(3,2),所以|z1|>|z2|.1.計算復(fù)數(shù)的模時,應(yīng)先找出復(fù)數(shù)的實部和虛部,再利用復(fù)數(shù)模的公式進行計算.2.兩個復(fù)數(shù)不能比較大小,但它們的模可以比較大?。?.(1)復(fù)數(shù)z=x+1+(y-2)i(x,y∈R),且|z|=3,則點Z(x,y)的軌跡是________.(2)已知復(fù)數(shù)z=3+ai,且|z|<4,求實數(shù)a的取值范圍.(1)[解析]∵|z|=3,∴eq\r(x+12+y-22)=3,即(x+1)2+(y-2)2=32。故點Z(x,y)的軌跡是以(-1,2)為圓心,以3為半徑的圓.[答案]以(-1,2)為圓心,以3為半徑的圓(2)解:∵z=3+ai(a∈R),|z|=eq\r(32+a2),由已知得eq\r(32+a2)<4,∴a2〈7,∴a∈(-eq\r(7),eq\r(7)).1.復(fù)數(shù)z=-1+2019i(i是虛數(shù)單位)在復(fù)平面上對應(yīng)的點位于()A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限[解析]由-1<0,2019>0得復(fù)數(shù)z=-1+2019i(i是虛數(shù)單位)在復(fù)平面上對應(yīng)的點位于第二象限.[答案]B2.已知復(fù)數(shù)z=eq\r(2)-3i,則復(fù)數(shù)的模|z|是()A.5 B.8C.6 D。eq\r(11)[解析]|z|=eq\r(\r(2)2+-32)=eq\r(11).[答案]D3.復(fù)數(shù)z=x-2+(3-x)i在復(fù)平面內(nèi)的對應(yīng)點在第四象限,則實數(shù)x的取值范圍是________.[解析]∵復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點在第四象限,∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x-2>0,,3-x<0,))解得x>3。[答案](3,+∞)4.已知復(fù)數(shù)z=x-2+yi(x,y∈R)的模是2eq\r(2),則點(x,y)的軌跡方程是________.[解析]∵|z|=2eq\r(2),∴eq\r(x-22+y2)=2eq\r

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