2022年新高考2卷數(shù)學(xué)試題及答案(定稿)

數(shù)學(xué)試題第26頁（共26頁）按秘密級事項(xiàng)管理2022年遼寧省普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試按秘密級事項(xiàng)管理數(shù)學(xué)注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫在答題卡上。2．答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑。如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號。回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上。寫在本試卷上無效。3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．已知集合A＝{－1，1，2，4}，B＝{x||x－1|≤1}，則A∩B＝A．{－1，2}B．{1，2}C．{1，4}D．{－1，4}2．(2＋2i)(1－2i)＝A．－2＋4iB．－2－4iC．6＋2iD．6－2i3．圖1是中國的古建筑中的舉架結(jié)構(gòu)，AA/，BB，CC/，DD/是桁，相鄰桁的水平距離稱為步，垂直距離稱為舉．圖2是某古建筑屋頂截面示意圖，其中DEQD\S\DO(1)，CEQC\S\DO(1)，BEQB\S\DO(1)，AEQA\S\DO(1)是舉，OEQD\S\DO(1)，DEQC\S\DO(1)，CEQB\S\DO(1)，BEQA\S\DO(1)是相等的步，相鄰桁的舉步之比分別為eq\f(DEQD\S\DO(1),OEQD\S\DO(1))＝0.5，eq\f(CEQC\S\DO(1),DEQC\S\DO(1))＝EQk\S\DO(1)，eq\f(BEQB\S\DO(1),CEQB\S\DO(1))＝EQk\S\DO(2)，eq\f(AEQA\S\DO(1),BEQA\S\DO(1))＝EQk\S\DO(3)，已知EQk\S\DO(1)，EQk\S\DO(2)，EQk\S\DO(3)是公差為0.1的等差數(shù)列，且直線OA的斜率為0.725，則EQk\S\DO(3)＝A．0.75B．0.8C．0.85D．0.94．已知向量a＝(3，4)，b＝(1，0)，c＝a＋tb，若＜a，c＞＝＜b，c＞，則t＝A．－6B．－5C．5D．65．甲乙丙丁戊5名同學(xué)站成一排參加文藝匯演，若甲不站在兩端，丙和丁相鄰，則不同排列方式共有A．12種B．24種C．36種D．48種6．若sin(α＋β)＋cos(α＋β)＝2eq\r(2)cos(α＋eq\f(π,4))sinβ，則A．tan(α－β)＝1B．tan(α＋β)＝1C．tan(α－β)＝－1D．tan(α＋β)＝－17．已知正三棱臺(tái)的高為1，上、下底面的邊長分別為3eq\r(3)和4eq\r(3)，其頂點(diǎn)都在同一球面上，則該球的表面積為A．100πB．128πC．144πD．192π8．若函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽，且f(x＋y)＋f(x－y)＝f(x)f(y)，f(1)＝1，則EQ\i\su(\S(k＝1),\S(22),i)f(k)＝A．－3B．－2C．0D．1二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯(cuò)的得0分。9．已知函數(shù)f(x)＝sin(2x＋φ)(0＜φ＜π)的圖象關(guān)于點(diǎn)(eq\f(2π,3)，0)中心對稱，則A．f(x)在(0，eq\f(5π,12))單調(diào)遞減B．f(x)在(－eq\f(π,12)，eq\f(11π,12))有兩個(gè)極值點(diǎn)C．直線x＝eq\f(7π,6)是曲線y＝f(x)的對稱軸D．直線y＝eq\f(\r(3),2)－x是曲線y＝f(x)的切線10．已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，過拋物線C：EQy\S(2)＝2px(p＞0)的焦點(diǎn)F的直線與C交于A，B兩點(diǎn)，其中A在第一象限，點(diǎn)M(p，0)，若|AF|＝|AM|，則A．直線AB的斜率為2eq\r(6)B．|OB|＝|OF|C．|AB|＞4|OF|EACDBFD．∠OAM＋∠EACDBF11．如圖，四邊形ABCD為正方形，ED⊥平面ABCD，F(xiàn)B∥ED，AB＝ED＝2FB，記三棱錐E－ACD，F(xiàn)－ABC，F(xiàn)－ACE的體積分別為EQV\S\DO(1)，EQV\S\DO(2)，EQV\S\DO(3)，則A．EQV\S\DO(3)＝2EQV\S\DO(2)B．EQV\S\DO(3)＝EQV\S\DO(1)C．EQV\S\DO(3)＝EQV\S\DO(1)＋EQV\S\DO(2)D．2EQV\S\DO(3)＝3EQV\S\DO(1)12．若x，y滿足EQx\S(2)＋EQy\S(2)－xy＝1，則A．x＋y≤1B．x＋y≥－2C．EQx\S(2)＋EQy\S(2)≤2D．EQx\S(2)＋EQy\S(2)≥1三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布N(2，EQσ\S(2))，若P(2＜X≤2.5)＝0.36，則P(X＞2.5)＝_______．14．曲線y＝ln|x|過坐標(biāo)原點(diǎn)的兩條切線方程為_______，_______．15．設(shè)點(diǎn)A(－2，3)，B(0，a)，若直線AB關(guān)于y＝a對稱的直線與圓C：EQ(x＋3)\S(2)＋EQ(y＋2)\S(2)＝1有公共點(diǎn)，則a的取值范圍為_______．16．已知直線l與橢圓eq\f(EQx\S(2),6)＋eq\f(EQy\S(2),3)＝1在第一象限交于A，B兩點(diǎn)，l與x軸、y軸分別相交于M，N兩點(diǎn)，且|MA|＝|NB|，|MN|＝2eq\r(3)，則l的方程為_______．四、解答題：本題共6小題，共70分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。17．（10分）已知{EQa\S\DO(n)}為等差數(shù)列，{EQb\S\DO(n)}為公比為2的等比數(shù)列，且EQa\S\DO(2)－EQb\S\DO(2)＝EQa\S\DO(3)－EQb\S\DO(3)＝EQb\S\DO(4)－EQa\S\DO(4)．（1）證明：EQa\S\DO(1)＝EQb\S\DO(1)；（2）求集合{k|EQb\S\DO(k)＝EQa\S\DO(m)＋EQa\S\DO(1)，1≤m≤500}中元素個(gè)數(shù)．18．（12分）記△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，分別以a，b，c為邊長的三個(gè)正三角形的面積依次為EQS\S\DO(1)，EQS\S\DO(2)，EQS\S\DO(3)，已知EQS\S\DO(1)－EQS\S\DO(2)＋EQS\S\DO(3)＝eq\f(\r(3),2)，sinB＝eq\f(1,3)．（1）求△ABC的面積；（2）若sinAsinC＝eq\f(\r(2),3)，求b．19．（12分）在某地區(qū)進(jìn)行流行病學(xué)調(diào)查，隨機(jī)調(diào)查了100位某種疾病患者的年齡，得到如下樣本數(shù)據(jù)的頻率分布直方圖．0.0.0230.0200.0120.0020.001eq\f(頻率,組距)年齡(歲)01020304050607080900.0170.006（1）估計(jì)該地區(qū)這種疾病患者的平均年齡(同一組數(shù)據(jù)用該區(qū)間的中點(diǎn)值作代表)；（2）估計(jì)該地區(qū)一位這種疾病患者年齡位于區(qū)間[20，70)的概率；（3）已知該地區(qū)這種疾病患者的患病率為0.1%，該地區(qū)年齡位于區(qū)間[40，50)的人口數(shù)占該地區(qū)總?cè)丝跀?shù)的16%，從該地區(qū)選出1人，若此人的年齡位于區(qū)間[40，50)，求此人患這種疾病的概率(以樣本數(shù)據(jù)中患者的年齡位于各區(qū)間的頻率作為患者的年齡位于該區(qū)間的概率，精確到0.0001)．20．（12分）BPACEO如圖，PO是三棱錐P－ABC的高，PA＝PB，AB⊥AC，EBPACEO（1）證明：OE∥平面PAC：（2）若∠ABO＝∠CBO＝30o，PO＝3，PA＝5，求二面角C－AE－B正余弦值．21．（12分）已知雙曲線C：eq\f(EQx\S(2),EQa\S(2))－eq\f(EQy\S(2),EQb\S(2))＝1(a＞0，b＞0)的右焦點(diǎn)為F(2，0)，漸近線方程為y＝±eq\r(3)x．（1）求C的方程；（2）過F的直線與C的兩條漸近線分別交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)P(EQx\S\DO(1)，EQy\S\DO(1))，Q(EQx\S\DO(2)，EQy\S\DO(2))在C上，且EQx\S\DO(1)＞EQx\S\DO(2)＞0，EQy\S\DO(1)＞0．過P且斜率為－eq\r(3)的直線與過Q且斜率為eq\r(3)的直線交于點(diǎn)M，從下面①②③中選取兩個(gè)作為條件，證明另一個(gè)成立．①M(fèi)在AB上；②PQ∥AB；③|AM|＝|BM|．注：若選擇不同的組合分別解答，則按第一個(gè)解答計(jì)分．22．（12分）已知函數(shù)f(x)＝xEQe\S(ax)－EQe\S(x)．（1）當(dāng)a＝1時(shí)，討論f(x)的單調(diào)性；（2）當(dāng)x＞0時(shí)，f(x)＜－1，求a的取值范圍；（3）設(shè)n∈EQN\S(*)，證明：Eq\f(1,\r(EQ1\S(2)＋1))＋Eq\f(1,\r(EQ2\S(2)＋2))＋…＋Eq\f(1,\r(EQn\S(2)＋n))＞ln(n＋1)．參考答案：1．B【解析】【分析】求出集合后可求.【詳解】，故，故選：B.2．D【解析】【分析】利用復(fù)數(shù)的乘法可求.【詳解】，故選：D.3．D【解析】【分析】設(shè)，則可得關(guān)于的方程，求出其解后可得正確的選項(xiàng).【詳解】設(shè)，則，依題意，有，且，所以，故，故選：D4．C【解析】【分析】利用向量的運(yùn)算和向量的夾角的余弦公式的坐標(biāo)形式化簡即可求得【詳解】解：,,即,解得,故選：C5．B【解析】【分析】利用捆綁法處理丙丁，用插空法安排甲，利用排列組合與計(jì)數(shù)原理即可得解【詳解】因?yàn)楸∫谝黄?，先把丙丁捆綁，看做一個(gè)元素，連同乙，戊看成三個(gè)元素排列,有種排列方式；為使甲不在兩端，必須且只需甲在此三個(gè)元素的中間兩個(gè)位置任選一個(gè)位置插入，有2種插空方式；注意到丙丁兩人的順序可交換，有2種排列方式，故安排這5名同學(xué)共有：種不同的排列方式，故選：B6．C【解析】【分析】由兩角和差的正余弦公式化簡，結(jié)合同角三角函數(shù)的商數(shù)關(guān)系即可得解.【詳解】由已知得：,即：，即：,所以,故選：C7．A【解析】【分析】根據(jù)題意可求出正三棱臺(tái)上下底面所在圓面的半徑，再根據(jù)球心距，圓面半徑，以及球的半徑之間的關(guān)系，即可解出球的半徑，從而得出球的表面積．【詳解】設(shè)正三棱臺(tái)上下底面所在圓面的半徑，所以，即，設(shè)球心到上下底面的距離分別為，球的半徑為，所以，，故或，即或，解得符合題意，所以球的表面積為．故選：A．8．A【解析】【分析】根據(jù)題意賦值即可知函數(shù)的一個(gè)周期為，求出函數(shù)一個(gè)周期中的的值，即可解出．【詳解】因?yàn)椋羁傻?，，所以，令可得，，即，所以函?shù)為偶函數(shù)，令得，，即有，從而可知，，故，即，所以函數(shù)的一個(gè)周期為．因?yàn)?，，，，，所以一個(gè)周期內(nèi)的．由于22除以6余4，所以．故選：A．9．AD【解析】【分析】根據(jù)三角函數(shù)的性質(zhì)逐個(gè)判斷各選項(xiàng)，即可解出．【詳解】由題意得：，所以，，即，又，所以時(shí)，，故．對A，當(dāng)時(shí)，，由正弦函數(shù)圖象知在上是單調(diào)遞減；對B，當(dāng)時(shí)，，由正弦函數(shù)圖象知只有1個(gè)極值點(diǎn)，由，解得，即為函數(shù)的唯一極值點(diǎn)；對C，當(dāng)時(shí)，，，直線不是對稱軸；對D，由得：，解得或,從而得：或,所以函數(shù)在點(diǎn)處的切線斜率為，切線方程為：即．故選：AD．10．ACD【解析】【分析】由及拋物線方程求得，再由斜率公式即可判斷A選項(xiàng)；表示出直線的方程，聯(lián)立拋物線求得，即可求出判斷B選項(xiàng)；由拋物線的定義求出即可判斷C選項(xiàng)；由，求得，為鈍角即可判斷D選項(xiàng).【詳解】對于A，易得，由可得點(diǎn)在的垂直平分線上，則點(diǎn)橫坐標(biāo)為，代入拋物線可得，則，則直線的斜率為，A正確；對于B，由斜率為可得直線的方程為，聯(lián)立拋物線方程得，設(shè)，則，則，代入拋物線得，解得，則，則，B錯(cuò)誤；對于C，由拋物線定義知：，C正確；對于D，，則為鈍角，又，則為鈍角，又，則，D正確.故選：ACD.11．CD【解析】【分析】直接由體積公式計(jì)算，連接交于點(diǎn)，連接，由計(jì)算出，依次判斷選項(xiàng)即可.【詳解】設(shè)，因?yàn)槠矫?，，則，，連接交于點(diǎn)，連接，易得，又平面，平面，則，又，平面，則平面，又，過作于，易得四邊形為矩形，則，則，，，則，，，則，則，，，故A、B錯(cuò)誤；C、D正確.故選：CD.12．BC【解析】【分析】根據(jù)基本不等式或者取特值即可判斷各選項(xiàng)的真假．【詳解】因?yàn)椋≧），由可變形為，，解得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，，所以A錯(cuò)誤，B正確；由可變形為，解得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號，所以C正確；因?yàn)樽冃慰傻?，設(shè)，所以，因此，所以當(dāng)時(shí)滿足等式，但是不成立，所以D錯(cuò)誤．故選：BC．13．##．【解析】【分析】根據(jù)正態(tài)分布曲線的性質(zhì)即可解出．【詳解】因?yàn)?，所以，因此．故答案為：?4．【解析】【分析】首先求出點(diǎn)關(guān)于對稱點(diǎn)的坐標(biāo)，即可得到直線的方程，根據(jù)圓心到直線的距離小于等于半徑得到不等式，解得即可；【詳解】解：關(guān)于對稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為，在直線上，所以所在直線即為直線，所以直線為，即；圓，圓心，半徑，依題意圓心到直線的距離，即，解得，即；故答案為：15．【解析】【分析】令的中點(diǎn)為，設(shè)，，利用點(diǎn)差法得到，設(shè)直線，，，求出、的坐標(biāo)，再根據(jù)求出、，即可得解；【詳解】解：令的中點(diǎn)為，因?yàn)?，所以，設(shè)，，則，，所以，即所以，即，設(shè)直線，，，令得，令得，即，，所以，即，解得或（舍去），又，即，解得或（舍去），所以直線，即；故答案為：16．

【解析】【分析】分和兩種情況，當(dāng)時(shí)設(shè)切點(diǎn)為，求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，即可求出切線的斜率，從而表示出切線方程，再根據(jù)切線過坐標(biāo)原點(diǎn)求出，即可求出切線方程，當(dāng)時(shí)同理可得；【詳解】解：因?yàn)?，?dāng)時(shí)，設(shè)切點(diǎn)為，由，所以，所以切線方程為，又切線過坐標(biāo)原點(diǎn)，所以，解得，所以切線方程為，即；當(dāng)時(shí)，設(shè)切點(diǎn)為，由，所以，所以切線方程為，又切線過坐標(biāo)原點(diǎn)，所以，解得，所以切線方程為，即；故答案為：；17．(1)證明見解析；(2)．【解析】【分析】（1）設(shè)數(shù)列的公差為，根據(jù)題意列出方程組即可證出；（2）根據(jù)題意化簡可得，即可解出．(1)設(shè)數(shù)列的公差為，所以，，即可解得，，所以原命題得證．(2)由（1）知，，所以，即，亦即，解得，所以滿足等式的解，故集合中的元素個(gè)數(shù)為．18．(1)(2)【解析】【分析】（1）先表示出，再由求得，結(jié)合余弦定理及平方關(guān)系求得，再由面積公式求解即可；（2）由正弦定理得，即可求解.(1)由題意得，則，即，由余弦定理得，整理得，則，又，則，，則；(2)由正弦定理得：，則，則，.19．(1)歲；(2)；(3)．【解析】【分析】（1）根據(jù)平均值等于各矩形的面積乘以對應(yīng)區(qū)間的中點(diǎn)值的和即可求出；（2）設(shè){一人患這種疾病的年齡在區(qū)間}，根據(jù)對立事件的概率公式即可解出；（3）根據(jù)條件概率公式即可求出．(1)平均年齡

（歲）．(2)設(shè){一人患這種疾病的年齡在區(qū)間}，所以．(3)設(shè)任選一人年齡位于區(qū)間，任選一人患這種疾病，則由條件概率公式可得．20．(1)證明見解析(2)【解析】【分析】（1）連接并延長交于點(diǎn)，連接、，根據(jù)三角形全等得到，再根據(jù)直角三角形的性質(zhì)得到，即可得到為的中點(diǎn)從而得到，即可得證；（2）過點(diǎn)作，如圖建立平面直角坐標(biāo)系，利用空間向量法求出二面角的余弦值，再根據(jù)同角三角函數(shù)的基本關(guān)系計(jì)算可得；(1)證明：連接并延長交于點(diǎn)，連接、，因?yàn)槭侨忮F的高，所以平面，平面，所以、，又，所以，即，所以，又，即，所以，，所以所以，即，所以為的中點(diǎn)，又為的中點(diǎn)，所以，又平面，平面，所以平面(2)解：過點(diǎn)作，如圖建立平面直角坐標(biāo)系，因?yàn)?，，所以，又，所以，則，，所以，所以，，，，所以，則，，，設(shè)平面的法向量為，則，令，則，，所以；設(shè)平面的法向量為，則，令，則，，所以；所以設(shè)二面角為，由圖可知二面角為鈍二面角，所以，所以故二面角的正弦值為；21．(1)(2)見解析【解析】【分析】（1）利用焦點(diǎn)坐標(biāo)求得的值，利用漸近線方程求得的關(guān)系，進(jìn)而利用的平方關(guān)系求得的值，得到雙曲線的方程；（2）先分析得到直線的斜率存在且不為零，設(shè)直線AB的斜率為k,M(x0,y0),由③|AM|=|BM|等價(jià)分析得到；由直線和的斜率得到直線方程，結(jié)合雙曲線的方程，兩點(diǎn)間距離公式得到直線PQ的斜率，由②等價(jià)轉(zhuǎn)化為，由①在直線上等價(jià)于，然后選擇兩個(gè)作為已知條件一個(gè)作為結(jié)論，進(jìn)行證明即可.(1)右焦點(diǎn)為，∴,∵漸近線方程為，∴，∴，∴，∴，∴．∴C的方程為：；(2)由已知得直線的斜率存在且不為零，直線的斜率不為零，若選由①②推③或選由②③推①：由②成立可知直線的斜率存在且不為零；若選①③推②，則為線段的中點(diǎn)，假若直線的斜率不存在，則由雙曲線的對稱性可知在軸上，即為焦點(diǎn),