2020高中數(shù)學(xué) 第一章 空間幾何體 12 柱體、錐體、臺(tái)體的體積練習(xí)（含解析）2

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精PAGE13-學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精第7課時(shí)柱體、錐體、臺(tái)體的體積對(duì)應(yīng)學(xué)生用書P15知識(shí)點(diǎn)一柱體的體積1．某幾何體的三視圖如圖所示,則該幾何體的體積為（)A．eq\f(560,3）B．eq\f（580,3）C．200D．240答案C解析由三視圖可作出如圖所示幾何體,該幾何體為直四棱柱(側(cè)棱垂直于底面的棱柱）,其底面為等腰梯形，上底長(zhǎng)為1，下底長(zhǎng)為9，高為4，故底面積S＝eq\f(1＋9×4,2)＝20．又棱柱的高為10，所以體積V＝Sh＝20×10＝200．2．過(guò)長(zhǎng)方體一個(gè)頂點(diǎn)的三條棱長(zhǎng)的比是1∶2∶3，體對(duì)角線的長(zhǎng)是2eq\r(14)，則這個(gè)長(zhǎng)方體的體積是(）A．6B．12C．24D．48答案D解析設(shè)過(guò)長(zhǎng)方體一個(gè)頂點(diǎn)的三條棱長(zhǎng)分別為x，2x,3x，由體對(duì)角線長(zhǎng)為2eq\r（14)，則x2＋(2x)2＋(3x）2＝(2eq\r(14)）2,解得x＝2．所以三條棱長(zhǎng)分別為2，4，6．所以V長(zhǎng)方體＝2×4×6＝48．知識(shí)點(diǎn)二錐體的體積3．某三棱錐的三視圖如圖所示，則該三棱錐的體積是（)A．eq\f（2,3)B．eq\f（1,3)C．1D．2答案B解析如圖，三棱錐的底面是一個(gè)直角邊長(zhǎng)為1的等腰直角三角形，有一條側(cè)棱和底面垂直，且其長(zhǎng)度為2，故三棱錐的高為2,所以其體積V＝eq\f(1,3）×eq\f(1，2）×1×1×2＝eq\f（1,3)，故選B．4．設(shè)正六棱錐（底面為正六邊形，頂點(diǎn)在底面的正投影為底面中心）的底面邊長(zhǎng)為1,側(cè)棱長(zhǎng)為eq\r（5），那么它的體積為()A．6eq\r（3)B．eq\r（3）C．2eq\r(3）D．2答案B解析由正六棱錐的底面邊長(zhǎng)為1和側(cè)棱長(zhǎng)為eq\r(5)，可知高h(yuǎn)＝2，又因?yàn)榈酌娣eS＝eq\f(3\r(3），2)，所以體積V＝eq\f（1,3）Sh＝eq\f（1,3)×eq\f(3\r(3)，2)×2＝eq\r(3）．知識(shí)點(diǎn)三臺(tái)體的體積5．圓臺(tái)的上、下底面面積分別是2，4，高為3,則圓臺(tái)的體積是（）A．18＋6eq\r（2)B．6＋2eq\r(2）C．24D．18答案B解析V＝eq\f(1,3）（S＋eq\r（\a\vs4\al(SS′))＋S′）h＝eq\f(1,3）（2＋eq\r（2×4)＋4)×3＝6＋2eq\r(2）,選B．6．已知某圓臺(tái)的上、下底面面積分別是π，4π,側(cè)面積是6π，則這個(gè)圓臺(tái)的體積是________．答案eq\f(7\r(3)π，3）解析設(shè)圓臺(tái)的上、下底面半徑分別為r和R，母線長(zhǎng)為l，高為h，則上底面的面積為πr2＝π，所以r＝1,下底面的面積為πR2＝4π,所以R＝2，所以側(cè)面積為π（R＋r）l＝6π，所以l＝2，h＝eq\r（3），所以V＝eq\f(1,3）π（12＋22＋1×2）×eq\r（3)＝eq\f（7\r(3)π，3）．知識(shí)點(diǎn)四幾何體的割補(bǔ)7．如圖所示，在上、下底面對(duì)應(yīng)邊的比為1∶2的三棱臺(tái)中,過(guò)上底面一邊A1B1作一個(gè)平行于棱C1C的平面A1B1EF,記平面分三棱臺(tái)兩部分的體積為V1（三棱柱A1B1C1－FEC),V2兩部分,那么V1∶V2＝________．答案3∶4解析設(shè)三棱臺(tái)的高為h，上底面的面積是S，則下底面的面積是4S，∴V臺(tái)＝eq\f(1，3）h(S＋4S＋2S）＝eq\f(7,3）Sh，V1＝Sh，∴eq\f（V1，V2)＝eq\f（Sh，\f(7，3)Sh－Sh)＝eq\f（3,4)．知識(shí)點(diǎn)五實(shí)際應(yīng)用題8．如右圖是一個(gè)底面直徑為20cm的裝有一部分水的圓柱形玻璃杯，水中放著一個(gè)底面直徑為6cm，高為20cm的圓錐形鉛錘（水面高過(guò)鉛錘)，當(dāng)鉛錘從水中取出后，杯里的水將下降幾厘米？解因?yàn)閳A錐形鉛錘的體積為eq\f（1,3)×π×eq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1(\f(6,2))）2×20＝60π(cm3），設(shè)水面下降的高度為xcm,則下降的小圓柱的體積為πeq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1(\f(20,2))）2x＝100πx．所以有60π＝100πx，解此方程得x＝0．6．故杯里的水下降了0．6厘米．對(duì)應(yīng)學(xué)生用書P15一、選擇題1．若圓錐的側(cè)面展開圖為一個(gè)半徑為2的半圓，則圓錐的體積是()A．eq\f(π,3）B．eq\f(\r(3）π,3)C．eq\r(3)πD．3eq\r（3）π答案B解析易知圓錐的母線長(zhǎng)l為2,設(shè)圓錐的底面半徑為r，則2πr＝eq\f(1，2)×2π×2，∴r＝1，則高h(yuǎn)＝eq\r(l2－r2)＝eq\r（3)．∴V圓錐＝eq\f（1,3）πr2·h＝eq\f(1,3）π×eq\r(3）＝eq\f(\r（3）π，3)．2．若三棱錐的三視圖如圖所示，則該三棱錐的體積為（）A．80B．40C．eq\f(80,3)D．eq\f(40，3)答案D解析由三視圖知，該三棱錐如圖所示,其底面是直角三角形，直角邊BD＝5，DC＝4，側(cè)面ABD與底面垂直，且邊BD上的高AE＝4,也是三棱錐的高，所以VA－BCD＝eq\f(1，3)S△BCD·AE＝eq\f(1，3)×eq\f(1，2）×5×4×4＝eq\f(40，3）．故選D．3．若一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示，則此幾何體的體積為(）A．eq\f(11，2)B．5C．eq\f(9，2）D．4答案D解析易知該幾何體是一個(gè)六棱柱,由三視圖可得底面面積S底＝1×2＋eq\f(1，2）×2×1×2＝4，高為1,故此幾何體的體積V＝4×1＝4．4．一空間幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為(）A．2π＋2eq\r(3）B．4π＋2eq\r(3）C．2π＋eq\f(2\r(3），3）D．4π＋eq\f(2\r(3)，3）答案C解析該空間幾何體是由一個(gè)圓柱和一個(gè)四棱錐組成的，圓柱的底面半徑為1，高為2，體積為2π，四棱錐的底面邊長(zhǎng)為eq\r（2),高為eq\r（3），所以體積為eq\f（1，3）×(eq\r（2))2×eq\r(3）＝eq\f(2\r(3)，3)，所以該幾何體的體積為2π＋eq\f(2\r(3）,3)．5．在梯形ABCD中，∠ABC＝90°，AD∥BC，BC＝2AD＝2AB＝2．將梯形ABCD繞AD所在的直線旋轉(zhuǎn)一周而形成的曲面所圍成的幾何體的體積為（）A．eq\f（2π,3)B．eq\f(4π，3)C．eq\f（5π,3）D．2π答案C解析如圖所示，過(guò)點(diǎn)D作BC的垂線，垂足為H．則由旋轉(zhuǎn)體的定義可知，該梯形繞AD所在的直線旋轉(zhuǎn)一周而形成的曲面所圍成的幾何體為一個(gè)圓柱挖去一個(gè)圓錐．其中圓柱的底面半徑R＝AB＝1，高h(yuǎn)1＝BC＝2，其體積V1＝πR2h1＝π×12×2＝2π；圓錐的底面半徑r＝DH＝1,高h(yuǎn)2＝HC＝1，其體積V2＝eq\f(1，3）πr2h2＝eq\f(1,3)π×12×1＝eq\f(π，3)．故所求幾何體的體積為V＝V1－V2＝2π－eq\f（π，3)＝eq\f(5π，3）．二、填空題6．若圓柱的高擴(kuò)大為原來(lái)的4倍，底面半徑不變，則圓柱的體積擴(kuò)大為原來(lái)的________倍；若圓柱的高不變，底面半徑擴(kuò)大為原來(lái)的4倍,則圓柱的體積擴(kuò)大為原來(lái)的________倍．答案416解析圓柱的體積公式為V圓柱＝πr2h，底面半徑不變，高擴(kuò)大為原來(lái)的4倍，其體積也變?yōu)樵瓉?lái)的4倍；當(dāng)圓柱的高不變，底面半徑擴(kuò)大為原來(lái)的4倍時(shí)，其體積變?yōu)樵瓉?lái)的42＝16倍．7．某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積是________．答案2π＋eq\f（4,3)解析由幾何體的三視圖可知，該幾何體是由一個(gè)圓柱的eq\f(1,4）和一個(gè)三棱錐構(gòu)成的，其體積為V＝eq\f（1，4)×π×22×2＋eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×2×2×2＝2π＋eq\f（4,3）．8．若某幾何體的三視圖(單位：cm)如圖所示，則此幾何體的體積等于________cm3．答案24解析由三視圖可知原幾何體如圖所示．所以V＝VABC－A1B1C1－VM－ABC＝S△ABC·5－eq\f(1,3)S△ABC·3＝eq\f（1,2）×3×4×5－eq\f（1，3)×eq\f(1,2)×3×4×3＝30－6＝24(cm3）．三、解答題9．（1)已知圓柱的側(cè)面展開圖是長(zhǎng)、寬分別為2π和4π的矩形，求這個(gè)圓柱的體積;（2)如圖，圓臺(tái)的高為3，軸截面中母線AA1與底面直徑AB的夾角為60°,軸截面中一條對(duì)角線垂直于腰，求圓臺(tái)的體積．解（1)設(shè)圓柱的底面半徑為R，高為h，當(dāng)圓柱的底面周長(zhǎng)為2π時(shí)，h＝4π，由2πR＝2π，得R＝1,∴V圓柱＝πR2h＝4π2．當(dāng)圓柱的底面周長(zhǎng)為4π時(shí)，h＝2π,由2πR＝4π，得R＝2，∴V圓柱＝πR2h＝4π·2π＝8π2．∴圓柱的體積為4π2或8π2．(2)如圖，設(shè)上、下底面半徑,母線長(zhǎng)分別為r，R,l，作A1D⊥AB于點(diǎn)D．則A1D＝3,∠A1AB＝60°，∴AD＝eq\f（A1D，tan60°）＝eq\r(3），∴R－r＝eq\r（3)，BD＝A1D·tan60°＝3eq\r(3)，∴R＋r＝3eq\r(3），∴R＝2eq\r(3),r＝eq\r(3）,h＝3．∴V圓臺(tái)＝eq\f(1，3)π(R2＋Rr＋r2）h＝eq\f（1，3）π×[（2eq\r(3)）2＋2eq\r（3）×eq\r（3）＋(eq\r(3）)2]×3＝21π．10．如下圖，已知某幾何體的三視圖如下圖所示（單位：cm)．（1）畫出這個(gè)幾何體的直觀圖（不要求寫畫法）;（2)求這個(gè)幾何體的表面積及體積．解（1)這個(gè)幾