200659104926381(概率與數(shù)理統(tǒng)計教(學(xué))案)_第1頁
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.PAGE.《概率論與數(shù)理統(tǒng)計》教案東北農(nóng)業(yè)大學(xué)信息與計算科學(xué)系第一次課〔2學(xué)時教學(xué)內(nèi)容:教材1-6頁,主要內(nèi)容有引言、概率論的基本概念、事件之間的關(guān)系及運算、事件之間的運算規(guī)律。教學(xué)目的:〔1了解概率論這門學(xué)科的研究對象,主要任務(wù)和應(yīng)用領(lǐng)域;〔2深刻理解隨機試驗、基本事件、樣本空間、隨機事件的概念;掌握一個隨機試驗的樣本空間、基本事件和有關(guān)事件的表示方法。〔3深刻理解事件的包含關(guān)系、和事件、積事件、互斥事件、互逆事件和差事件的意義;掌握事件之間的各種運算,熟練掌握用已知事件的運算表示隨機事件;〔4掌握事件之間的運算規(guī)律,理解對偶律的意義。教學(xué)的過程和要求:〔1概率論的研究對象及主要任務(wù)〔10分鐘舉例說明概率論的研究對象和任務(wù),與高等數(shù)學(xué)和其它數(shù)學(xué)學(xué)科的不同之處,簡單介紹概率論發(fā)展的歷史和應(yīng)用;<i>概率論的研究對象:確定性現(xiàn)象或必然現(xiàn)象:在相同的條件下,每次觀察〔試驗得到的結(jié)果是完全相同的現(xiàn)象。例:向空中拋擲一物體,此物體上升到一定高度后必然下落;例:在一個標(biāo)準(zhǔn)大氣壓下把水加熱到100℃必然會沸騰等現(xiàn)象。隨機現(xiàn)象或偶然現(xiàn)象:在相同的條件下,每次觀察<試驗>可能出現(xiàn)不同結(jié)果的現(xiàn)象。例:在相同的條件下拋一枚均勻的硬幣,其結(jié)果可能是正面〔分值面向上,也可能是反面向上,重復(fù)投擲,每次的結(jié)果在出現(xiàn)之前都不能確定;例:從同一生產(chǎn)線上生產(chǎn)的燈泡的壽命等現(xiàn)象。<ii>概率論的研究任務(wù):概率論與數(shù)理統(tǒng)計就是研究和揭示隨機現(xiàn)象的統(tǒng)計規(guī)律性的一門數(shù)學(xué)學(xué)科。<iii>概率論發(fā)展的歷史:概率論起源于賭博問題。大約在17世紀(jì)中葉,法國數(shù)學(xué)家帕斯卡<B?Pascal>、費馬〔fermat及荷蘭數(shù)學(xué)家惠更斯<C?Hugeness>用排列組合的方法,研究了賭博中一些較復(fù)雜的問題。隨著18、19世紀(jì)科學(xué)的迅速發(fā)展,起源于賭博的概率論逐漸被應(yīng)用于生物、物理等研究領(lǐng)域,同時也推動了概率理論研究的發(fā)展.概率論作為一門數(shù)學(xué)分支日趨完善,形成了嚴(yán)格的數(shù)學(xué)體系。<iv>概率論發(fā)展的應(yīng)用:概率論的理論和方法應(yīng)用十分廣泛,幾乎遍及所有的科學(xué)領(lǐng)域以及工、農(nóng)業(yè)生產(chǎn)和國民經(jīng)濟各部門.如應(yīng)用概率統(tǒng)計方法可以進行氣象預(yù)報,水文預(yù)報和市場預(yù)測、股市分析等;在工業(yè)中,可用概率統(tǒng)計方法進行產(chǎn)品壽命估計和可靠性分析等?!?隨機事件與樣本空間;〔25分鐘〔重點重點講清隨機試驗的目的、隨機試驗要求具備的條件、概率論中隨機試驗可以是主動做試驗,也可能是被動觀察某一隨機現(xiàn)象;講清楚隨機試驗的基本事件、樣本空間的定義,對于每個概念要舉例說明,可用書中例1、例2、例3、例4或其它,例子中應(yīng)該包括有限的、無限可數(shù),連續(xù)的等類型。應(yīng)該使學(xué)生了解樣本空間可以是有限的也可以是無限的,可以是離散的也可以是連續(xù)的。隨機事件的概念,基本事件與一般隨機事件關(guān)系、區(qū)別,在上述例子中繼續(xù)給出事件的例子。著重說明事件發(fā)生和不發(fā)生的含義,引進必然事件和不可能事件的意義。<i>隨機試驗的目的:要研究隨機現(xiàn)象的規(guī)律需要進行大量的觀察和試驗。<ii>隨機試驗要求具備的條件:試驗可以在相同的條件下重復(fù)進行;試驗所有可能的結(jié)果是明確知道的,并且不止一個;每次試驗必然出現(xiàn)這些可能結(jié)果中的一個,但試驗前不能預(yù)知出現(xiàn)哪一個結(jié)果;這樣的試驗稱為隨機試驗,簡稱試驗,用字母E表示.例:擲一枚均勻硬幣觀察正面和反面出現(xiàn)的情況;例:某日總機所接到的呼叫次數(shù);例:在一批燈泡中任意抽取一個,測試其壽命等等都是隨機試驗。<iii>基本概念:基本事件〔樣本點:每一個可能的基本結(jié)果〔不可分解稱為E的基本事件,通常用表示.基本事件空間〔樣本空間:E的所有基本事件組成的集合稱為E的基本事件空間,常用表示。例1〔1拋一枚均勻的硬幣,其可能出現(xiàn)的結(jié)果只有兩種:正面、反面.若令=正面,=反面,則為該隨機試驗的兩個基本事件,為樣本空間.〔2投擲一顆骰子,觀察出現(xiàn)的點數(shù).其可能出現(xiàn)的點數(shù)為:1、2、3、4、5、6,若令=,=1,2,3,4,5,6,則為隨機試驗的基本事件,樣本空間.〔3觀察單位時間內(nèi)到達(dá)某公交車站候車的人數(shù),令=單位時間內(nèi)有人到達(dá)車站候車,,則基本事件為,樣本空間.〔4從一批燈泡中任取一只,以小時為單位,測試這只燈泡的壽命,令t表示燈泡的壽命,則大于等于零的任意一個實數(shù)都是該試驗的一個樣本點,.隨機事件:在隨機試驗中可能發(fā)生、也可能不發(fā)生的事情稱為隨機事件,通常用大寫字母等表示.例:投擲一顆骰子出現(xiàn)的點數(shù)為偶數(shù)可以用事件表示,={出現(xiàn)的點數(shù)為偶數(shù)}={2,4,6},而={出現(xiàn)的點數(shù)大于4}={5,6}、={出現(xiàn)的點數(shù)為2}等等都是隨機試驗的事件.事件發(fā)生:若一次試驗結(jié)果出現(xiàn)了事件A中的樣本點,即當(dāng)試驗結(jié)果為且時,則稱事件A發(fā)生,否則稱A不發(fā)生.〔3事件之間的運算關(guān)系;〔30分鐘重點對于每一種關(guān)系應(yīng)該舉例、畫維恩圖說明其含義,積事件和和事件要著重說明并推廣到多個事件,說明對立事件與互斥事件的相同點與不同點及其應(yīng)用,差事件的意義及幾種表示方法及運算關(guān)系;事件之間的運算關(guān)系:1事件的包含關(guān)系:設(shè)在同一個試驗中有兩個事件A與B,若A發(fā)生必然導(dǎo)致B發(fā)生〔即A中任意一個基本事件都在B中,則稱事件B包含事件A,記作〔或.例:如投擲一顆骰子的試驗,A={出現(xiàn)4點},B={出現(xiàn)偶數(shù)點},則A發(fā)生必導(dǎo)致B發(fā)生,故。2事件相等:若且,則稱事件.例:如擲骰子試驗中,記={擲出3點或6點},={擲出3的倍數(shù)點},這兩個事件所包含樣本點相同,因而。3和事件:稱事件和至少有一個發(fā)生所構(gòu)成的事件為A與B的和事件,記作.例:如擲一顆骰子觀察所得的點數(shù),設(shè)A={1,3,5},B={1,2,3},則={1,2,3,5}。例2:測試燈泡壽命的試驗中,令〔壽命不超過1000小時,〔壽命不超過500小時,則〔壽命不超過1000小時。4積事件:稱事件A與B同時發(fā)生所構(gòu)成的事件為A與B的積事件,記作或.例:如在擲骰子的試驗中,則={4},即只有隨機試驗出現(xiàn)4點時,A與B同時發(fā)生。5互斥事件:若事件不能同時發(fā)生,即,則稱事件A與B是互斥事件或互不相容事件。例3:擲一顆骰子,令A(yù)={出現(xiàn)奇數(shù)點},B={出現(xiàn)4點},則有,即A與B互斥,。6互逆事件:若事件A與事件B在一次試驗中必有且只有一個發(fā)生,則稱事件A與B為互逆事件或?qū)α⑹录?。?:擲一顆骰子,令C={出現(xiàn)偶數(shù)點},則,且,所以,即C與是互逆事件;但由于,而,所以不是互逆事件.7例5:擲骰子試驗中,令C={2,4,6},D={1,2,3},則,.〔4事件之間的運算規(guī)律〔5分鐘事件之間的交換律、結(jié)合律、分配律只需簡單說明,舉例說明對偶律的意義和應(yīng)用。事件之間的運算律:1交換律:2結(jié)合律:3分配律:4德摩根定律〔對偶律:〔可以推廣到任意多個事件的情形?!?以例6和例7為主。學(xué)生練習(xí)〔10分鐘例6:設(shè)是樣本空間中的三個隨機事件,試用的運算表達(dá)式表示下列隨機事件.〔1A與B發(fā)生但C不發(fā)生;〔2事件中至少有一個發(fā)生;〔3事件中至少有兩個發(fā)生;〔4事件中恰好有兩個發(fā)生;〔5事件中不多于一個事件發(fā)生.解:〔1;〔2;〔3;〔4;〔5或。練習(xí)〔10分鐘。第二次課〔2學(xué)時教學(xué)內(nèi)容:教材7-13頁,主要內(nèi)容:概率的古典定義、統(tǒng)計定義、幾何定義,概率的公理化體系及概率的性質(zhì)。教學(xué)目的:〔1理解概率的古典定義的條件,掌握計算的一般方法,理解古典概率具備的三條性質(zhì);〔2粗知概率的統(tǒng)計定義和幾何定義,歸納其性質(zhì);〔3深刻理解概率的公理化定義的意義,掌握概率的性質(zhì)在概率計算中的應(yīng)用。教學(xué)的過程和要求:〔1舉例簡單說明什么是概率;〔5分鐘闡述概率是隨機事件發(fā)生的可能性的大小。舉例說明:例:拋一枚均勻的硬幣,因為已知出現(xiàn)正、反面的可能性相同,各為,足球裁判就用拋硬幣的方法讓雙方隊長選擇場地,以示機會均等.例:某廠研制出一種新藥,要考慮新藥在未來市場的占有率將是多少.市場占有率高,就應(yīng)多生產(chǎn),獲取更多利潤;市場占有率低,就不能多生產(chǎn),否則會造成產(chǎn)品積壓.上述問題中的機會、市場占有率以及彩票的中獎率、產(chǎn)品的次品率,射擊的命中率等都是用來度量隨機事件發(fā)生的可能性大小的.都可以用0到1之間的一個數(shù)值〔也稱為比率來作為隨機事件發(fā)生的可能性大小的度量,即事件發(fā)生的概率,記作.把隨機事件出現(xiàn)的可能性大小的度量值稱為該隨機事件的概率.〔2概率的古典定義和計算〔30分鐘:由簡單的例子說明古典概率應(yīng)具備的條件,即有限性和等可能性,重點講解古典概型的條件和計算,定義中強調(diào)事件和樣本空間所含樣本點數(shù),而不需知道是什么樣本點;講解書中例1和例2,并通過簡單的例子〔如擲骰子歸納古典概率的三個性質(zhì)。〔20分鐘。書中例3可不講,補充習(xí)題〔學(xué)生先做教師講解?!?0分鐘<i>古典概率應(yīng)具備的條件:試驗的樣本空間中只含有有限多個基本事件,稱為有限性;在每次試驗中,每個基本事件出現(xiàn)的可能性相同,稱為等可能性.具有這種特點的隨機試驗稱為古典概型.<ii>概率的古典定義:定義:若隨機試驗為古典概型,且已知樣本空間中含有個基本事件,事件中含有k個基本事件,則事件A的概率定義中強調(diào)事件和樣本空間所含樣本點數(shù),而不需知道是什么樣本點。<iii>古典概型的計算:利用概率的古典定義計算隨機事件A的概率,首先要確定隨機試驗E滿足古典概型的特點,然后確定樣本空間所包含的基本事件總數(shù)n和事件A中包含的基本事件數(shù)k.有。例1:從有9件正品、3件次品的箱子中抽取兩次,每次一件,按兩種方式抽取〔1不放回;〔2有放回,求事件A={取得兩件正品}和事件B={取得一件正品一件次品}的概率.解:〔1從12件產(chǎn)品中不放回抽取兩件,所含的基本事件數(shù)為,A包含的基本事件數(shù)為,B包含的基本事件數(shù)為,所以:〔2從12件產(chǎn)品中有放回抽取兩件,所含的基本事件數(shù)為,A包含的基本事件數(shù)為,B包含的基本事件數(shù)為,所以:例2:將n個球隨意地放入N個箱子中,假設(shè)每個球都等可能地放入任意一個箱子,求下列各事件的概率:〔1指定的n個箱子各放一個球;〔2每個箱子最多放入一個球;〔3某指定的箱子里恰好放入〔個球.解:將n個球隨意地放入N個箱子中,共有種放法,記〔1、〔2、〔3的事件分別為.〔1將n個球放入指定的個箱子,每個箱子各有一球,其放法有種,故有〔2每個箱子最多放入一個球,等價于先從N個箱子中任選出n個,然后每個箱子中放入一球,其放法有種,故〔3先任取k個球〔有種取法放入指定的箱子中,然后將其余的個球隨意地放入其余個箱子,共有種放法,故有.補充例題:例題:一個機構(gòu)投資商考慮對5個公司中的2個公司進行一項大的投資,假設(shè)投資者不知道5個公司中的2個公司關(guān)于新產(chǎn)品的開發(fā)的基礎(chǔ)不穩(wěn)定。a.列出所有可能的基本事件。b.確定從3個基礎(chǔ)更好的公司中選出2個公司的概率。c.所選公司中包含1個基礎(chǔ)不穩(wěn)定的公司的概率是多少?d.選出2個基礎(chǔ)最不穩(wěn)定公司的概率是多少?<iv>古典概率的三個性質(zhì):1;2;3設(shè)事件兩兩互斥,則:〔3簡單介紹統(tǒng)計概率和幾何概率的定義,并說明其與古典概率具有相同的性質(zhì);〔10分鐘<i>統(tǒng)計概率的定義:定義:在一組不變的條件下,進行大量重復(fù)試驗,隨機事件出現(xiàn)的頻率穩(wěn)定地在某個固定的數(shù)值的附近擺動,我們稱這個穩(wěn)定值為隨機事件A的概率,記為.<ii>幾何概率的定義:定義:設(shè)在可測區(qū)域內(nèi),任一具有相同度量的子區(qū)域被取到的可能性相等,且從中隨機取一點屬于子區(qū)域A的可能性只與A的測度成正比,而與A的形狀及位置無關(guān),則事件A={點屬于A}的概率為:統(tǒng)計概率和幾何概率與古典概率具有相同的性質(zhì)?!?由前面概率的性質(zhì)引出概率的公理化定義,說明公理化定義的偉大意義?!?0分鐘<i>概率的公理化定義:定義:設(shè)隨機試驗E的樣本空間為,對于E的每一個事件A,賦予一個實數(shù),且滿足以下三個條件〔公理:〔1非負(fù)性:對于任意,有;〔2規(guī)范性:;〔3可列可加性:若是兩兩互斥的事件列,有則稱為事件A的概率.<ii>公理化定義的意義:事件概率的統(tǒng)計定義、古典概率定義、幾何概率定義在一定的范圍內(nèi)解決了某些實際問題,但這幾種概率的定義都存在著應(yīng)用上的局限性,缺乏數(shù)學(xué)定義的嚴(yán)密性與一般性.經(jīng)過長期的研究,到1933年,蘇聯(lián)數(shù)學(xué)家柯爾莫哥洛夫在總結(jié)了前人的研究成果的基礎(chǔ)上,提出了概率的公理化體系,明確定義了概率的基本概念,使概率論成為一門嚴(yán)謹(jǐn)?shù)臄?shù)學(xué)分支?!?重點講解概率的性質(zhì)及應(yīng)用。性質(zhì)1和性質(zhì)2比較顯然,直接給出,可不證,性質(zhì)3〔說明對立事件的應(yīng)用、性質(zhì)4和性質(zhì)5給出證明,并舉出應(yīng)用的例子。性質(zhì)5〔加法定理給出三個事件的情形〔可根據(jù)圖形讓學(xué)生自己總結(jié)進而推廣到個事件的情形?!?0分鐘概率的性質(zhì)及證明:性質(zhì)1:;性質(zhì)2:〔有限可加性設(shè)有限個事件兩兩相斥,則性質(zhì)3:對任何事件,有.證明:由且,由性質(zhì)2有即:.性質(zhì)4:設(shè)為兩個事件,且,則.證明:因為,所以且,由可加性得即一般情況下,對任意事件,有性質(zhì)5:〔加法定理設(shè)為任意兩個事件,則.證明:,且,由性質(zhì)2、4得:。n個事件的概率加法公式:〔6利用例5說明概率性質(zhì)的應(yīng)用,可補充例題?!?0分鐘例5:設(shè),,分別在下列條件下求:〔1;〔2A與B互斥;〔3.解:〔1,則,因此;〔2若互斥,則,因此;〔3,因此.補充例題:例題:某企業(yè)與甲、乙兩公司簽訂某商品的長期供貨合同,從以往情況看.甲公司按時供貨的概率為0.9,乙公司按時供貨的概率為0.75,這兩公司都按時供貨的概率為0.7,求至少有一家公司按時供貨的概率?!?書中配套練習(xí)〔5分鐘第三次課〔2學(xué)時教學(xué)內(nèi)容:教材14-17頁,主要內(nèi)容:條件概率的定義、概率的乘法定理及應(yīng)用、全概率公式的證明及應(yīng)用。教學(xué)目的:〔1深刻理解條件概率的意義,掌握條件概率的計算;〔2了解概率的乘法定理在實際應(yīng)用中的重要性;掌握兩及多個事件乘積的概率計算;〔3深刻理解全概率公式的意義和方法,掌握全概率公式求事件概率的方法和過程。教學(xué)的過程和要求:〔1條件概率〔30分鐘通過兩個例子說明條件概率與無條件概率的不同,并由此給出條件概率的定義和計算方法書中例題2,3可選其一,補充應(yīng)用例題。<i>舉例說明:例:十張彩票中有兩張能中獎,甲、乙兩人各抽獎一次.抽前乙關(guān)心的是自己抽到獎的概率,令A(yù)={乙抽到獎},則有.若甲先抽,乙就會關(guān)心甲抽簽的結(jié)果,因為這會影響到他抽到"獎"的可能性.設(shè)={甲抽到獎},則在B發(fā)生條件下,樣本空間已經(jīng)發(fā)生了變化,只含有九個樣本點,事件A發(fā)生的概率為.可見考慮在事件B已經(jīng)發(fā)生條件下,事件A發(fā)生的概率是有實際意義的.例:兩個車間生產(chǎn)同一種產(chǎn)品,產(chǎn)品數(shù)量和質(zhì)量情況如表1-2〔單位:千件表1-2合格品數(shù)不合格品數(shù)合計一車間35540二車間501060總計8520100試求:〔1從所有的產(chǎn)品中任取一件,取到合格品的概率;〔2從所有的產(chǎn)品中任取一件,取到的是二車間生產(chǎn)的產(chǎn)品的概率;〔3在取到合格品的條件下,取到二車間產(chǎn)品的概率。解:設(shè){取到合格品},{取到二車間產(chǎn)品},則〔1〔2〔3<ii>條件概率的定義:定義:設(shè)A、B是隨機試驗E的兩個事件,且,在事件B已經(jīng)發(fā)生條件下,事件A發(fā)生的條件概率為<iii>條件概率的計算:例3:設(shè)一只烏龜能存活60年的概率為0.89,能存活100年的概率為0.83,若現(xiàn)在這只烏龜已經(jīng)60歲,則它能再存活40年的概率是多少?解:設(shè)A={烏龜活到100歲},B={烏龜活到60歲}因為,所以p{已活到60歲的烏龜再存活40年}=也可以理解為100只活到60歲的烏龜中大約有93只能活到100歲.補充應(yīng)用例題:考慮下列情況:在對很多保險索賠的分析中,根據(jù)保險的類型以及索賠是否屬于欺詐對索賠進行分類、得到的結(jié)果見下表。假定你負(fù)責(zé)審核保險索賠——具體地說,是要識別出欺詐索賠——并且正在處理一樁索賠,那么,事件"該樁索賠為欺詐索賠"的概率是多少,為了回答這個問題,你考察表中數(shù)據(jù),并且注意到在所有的索賠中有10%是欺詐索賠。假定在表中給出的各個百分比與收到特定類型的索賠的真實概率充分接近,就得出P<F>=0.10。你會說你面對個欺詐索賠風(fēng)險的概率有0.10嗎?我們想不會.因為你有一些可以影響估計P<F>的附加信息。這些附加信息與你正在核審的保險單的類型<火災(zāi),汽車,或其他>有關(guān)。保險索賠分類類型保險單的類型總和%火災(zāi)汽車其他欺詐索賠非欺詐索賠6141293471090總和203050100假定你的附加信息是這樁索賠與一張火災(zāi)保險單有關(guān)。在表中,我們看到所有的索賠中有20%<或0.20>與火災(zāi)保險單有關(guān),有6%<或0.06>是欺詐性火災(zāi)保險索賠。因此,可以得到在已知是火災(zāi)保險單的情況下,該樁索賠是欺詐索賠的概率為:=學(xué)生練習(xí):一家大公司為了評估其雇員在日常工作中的表現(xiàn),花了相當(dāng)多的時間開發(fā)了一套雇員表現(xiàn)等級的評估辦法。這樣,可以把應(yīng)當(dāng)被安排在重點崗位上的人確定出來,并在需要時進行重大調(diào)整。確定重點崗位人員的關(guān)鍵是體現(xiàn)雇員能力的指標(biāo),即可以負(fù)荷的工作量以及雇員所接受的正規(guī)工作訓(xùn)練。工作量正規(guī)訓(xùn)練無很少一定程度全面低中等高0.010.050.100.020.060.150.020.070.160.040.100.22由負(fù)荷的工作量以及所接受的正規(guī)工作訓(xùn)練把所有雇員分成12個類。雇員被安排在重要崗位上的概率如表所示。下面定義3個事件A:一個雇員負(fù)荷的工作量是屬于高的;B:一個雇員具有最高的<全面>正規(guī)訓(xùn)練水平;C:一個雇員很少或沒有正規(guī)訓(xùn)練并且工作量為中低檔。a求P<A>、P<B>,和P<C>。b.求P<A/B>,P<B/A>和P<B/C>。c求P<AUB>.P<AUC>和P<BC>〔2概率的乘法定理〔25分鐘條件概率和概率的乘積定理的關(guān)系和在實際應(yīng)用中的意義,由條件概率的定義說明實際應(yīng)用中乘積概率的重要性及計算方法,進而推廣到多個事件積的概率,講解書中例4例5;<i>條件概率和概率的乘積定理的關(guān)系:定理:〔概率乘法公式由條件概率的定義得或.<ii>多個事件積的概率:<iii>乘積概率的計算方法:例4:計算機房有10臺機器,其中一臺是壞的.現(xiàn)有4名學(xué)生同時上機,他們依次隨機地選擇一臺計算機,求4名學(xué)生都選到好機器的概率.解:令={第個學(xué)生選到好機器},.則:,,,由概率的乘法公式得例5:設(shè)袋中有5個紅球、3個黑球、2個白球,〔1不放回摸取三次,每次一球;〔2有放回地摸取三次,每次一球;求第三次才摸到白球的概率.解:第三次才摸到白球,意味著第一次、第二次摸到的是紅球或黑球.設(shè)A={第一次沒有摸到白球},B={第二次沒有摸到白球},C={第三次摸到白球},則={第三次才摸到白球}.〔1無放回摸取時,,,因而.〔2有放回摸取時,,,因而.〔3全概率公式〔35分鐘由例子〔例6引進全概率公式,畫圖說明全概率公式的含義,給出定理的公式及證明,重點講清全概率公式應(yīng)用的條件,舉例7;<i>舉例說明全概率公式:例6:在前面甲、乙二人摸獎的的試驗中,若甲先摸,而乙并不知道甲摸得的結(jié)果,求乙摸到獎的概率?解:我們來分析一下,乙摸到獎可以分為兩種情況,即在甲摸到獎時乙也摸到獎或甲沒有摸到獎時乙摸到獎,并且這兩種情況是互不相容的〔甲要么摸到獎,要么摸不到.設(shè){甲摸到獎},={甲摸不到獎},={乙摸到獎},則:在發(fā)生時也發(fā)生的概率為在不發(fā)生時發(fā)生的概率為因此:。<ii>全概率公式的定義及證明:定理:〔全概率公式設(shè)是兩兩互不相容的事件,〔,且,則對于任意事件B,有故:<iii>全概率公式應(yīng)用的條件:有限個事件兩兩互斥,,,且。<iv>全概率公式的計算:例7:設(shè)某批產(chǎn)品中甲、乙、丙三個廠家的產(chǎn)量分別占45%,35%,20%,各廠產(chǎn)品中次品率分別為4%、2%和5%.現(xiàn)從中任取一件,求取到的恰好是次品的概率.解:設(shè)B={任取一件,恰好是次品},={取到甲廠生產(chǎn)的},={取到乙廠生產(chǎn)的},={取到丙廠生產(chǎn)的},則,,且,,,由全概率公式得:補充例題:12個乒乓球中有9個新的3個舊的,第一次比賽取出了3個,用完后放回去,第二次比賽又取出3個,求第二次取到的3個球中有2個新球的概率.解:設(shè)為第i次比賽取到了i個新球,<i=0,1,2,3>,構(gòu)成完備事件組.設(shè)B為第二次取到的3個球中有2個新球.則有根據(jù)全概率公式有<5>書中配套練習(xí)第四次課〔2學(xué)時教學(xué)內(nèi)容:教材19-22頁,主要內(nèi)容:事件的獨立性及應(yīng)用、貝努利概型。教學(xué)目的:〔1深刻理解兩個事件的獨立性的概念和性質(zhì);〔2理解多個事件相互獨立的定義,了解多個事件相互獨立和事件之間兩兩相互獨立的關(guān)系;〔3掌握事件獨立性在概率計算中的應(yīng)用;〔4理解貝努利概型的條件,理解公式;〔5掌握貝努概型概率的計算。教學(xué)的過程和要求:〔1兩個事件的獨立性〔20分鐘:由條件概率引出兩個事件的獨立性〔或其它實際例子給出定義,證明兩事件獨立的推論定理5,書中例題9。<i>舉例說明兩個事件的獨立性:某人擲一顆骰子兩次,第一次骰子出現(xiàn)的點數(shù)并不會影響第二次骰子出現(xiàn)的點數(shù);此時有,當(dāng)時,<ii>事件獨立性定義及獨立的充要條件:定義:對任意兩個事件A與B,若,則稱事件A與B相互獨立.定理:事件與獨立的充要條件是或<iii>事件獨立性計算:例9:甲、乙兩人單獨地解答同一道習(xí)題,甲能答對的概率是0.8,乙能答對的概率是0.9.試求:〔1兩個都答對的概率;〔2至少有一個人答對的概率.解〔1設(shè)A={甲答對},B={乙答對},則,,A與B相互獨立,兩人都答對為事件AB,則有.〔2至少有一人答對的事件為,可用多種方法求解:解法一:解法二:解法三:補充例題:某個大城市的公用事業(yè)公司發(fā)現(xiàn)其70%的顧客付清每月的賬單,假定從所有顧客的列表中隨機選擇2名顧客。兩個顧客都付清每月賬單的概率是多少?至少一個顧客付清每月賬單的概率是多少?〔2多個事件相互獨立〔20分鐘簡單介紹多個事件相互獨立的含義,兩兩相互獨立與多個事件相互獨立的關(guān)系。補充例題。這里重點需要說清楚獨立性應(yīng)用的情況。書中配套練習(xí)<i>多個事件相互獨立的定義:定義:設(shè)有n個事件,假如對所有可能的,以下等式均成立:,……則稱這n個事件是相互獨立的.<ii>兩兩相互獨立與多個事件相互獨立的關(guān)系:<iii>例10:設(shè)某種高射炮的命中率為0.6,若有一架敵機入侵領(lǐng)空,欲以99%以上的概率擊中它,問至少需要多少門高射炮同時射擊?即,所以至少需要6門高射炮.補充例題:在一個均勻的正四面體的四個面上分別涂上紅色、藍(lán)色、黃色和紅、藍(lán)、黃色,拋擲該四面體,設(shè):有紅色著地,:有藍(lán)色著地,:有黃色著地,則,,,,,,,且有,,,但:練習(xí)?!?練習(xí)題:〔5分鐘學(xué)生練習(xí):對公司記錄詳細(xì)的檢查表明,付清當(dāng)月賬單的顧客中95%的顧客也會付清下一個月的賬單。沒有付清當(dāng)月賬單的顧客中,僅有10%的顧客會付清下一個月的賬單。求隨機選出的一位顧客,在連續(xù)的兩個月中都付清賬單的概率;連續(xù)的兩個月中都不付清賬單的概率;連續(xù)的兩個月中只付清一個月賬單的概率?!?貝努利概型〔30分鐘通過例子闡述什么叫貝努利概型,說明它的前提條件,重點強調(diào)獨立重復(fù),給出概率計算公式及其取。舉例說明其應(yīng)用例題12,13。<i>舉例說明貝努利概型:例:如擲一枚硬幣觀察其出現(xiàn)正面還是反面;抽取一件產(chǎn)品檢驗其是正品還是次品;一顆種子發(fā)芽或不發(fā)芽等.有些試驗雖然可能的結(jié)果不止兩個,但我們總是可以將感興趣的試驗結(jié)果定義為,而所有其它結(jié)果都定義為,這樣該試驗也就只含有和這兩個對立的結(jié)果了.我們將這樣的試驗獨立地重復(fù)n次,稱為n重貝努里試驗,針對n重貝努里試驗給出的概率模型,稱為貝努里概型.<ii>貝努利概型的前提條件:有些試驗雖然可能的結(jié)果不止兩個,但我們總是可以將感興趣的試驗結(jié)果定義為,而所有其它結(jié)果都定義為,這樣該試驗也就只含有和這兩個對立的結(jié)果了.我們將這樣的試驗獨立地重復(fù)n次,稱為n重貝努里試驗,針對n重貝努里試驗給出的概率模型,稱為貝努里概型.<iii>貝努利概型的計算公式:一般地,設(shè)一次試驗中出現(xiàn)的概率為,則在n重貝努里試驗中事件恰好出現(xiàn)了k次的概率為<iv>貝努利概型的計算:例12:某彩票每周開獎一次,每次只有百萬分之一中獎的機率.若你每周買一張彩票,盡管你堅持十年〔每年52周之久,但你從未中過獎的概率是多少?解:每周買一張,不中獎的概率是,十年中共購買520次,且每次開獎都相互獨立,所以十年中從未中過獎的概率為例13:現(xiàn)有2500名同一社會階層的同齡人參加人壽保險,根據(jù)以往的資料,這一類人在一年中的死亡率為0.002.參加保險的人當(dāng)年向保險公司支付12元保險費,若投保者死亡,其家屬可獲得2000元補償.若不考慮這筆保險費的利息收入及保險業(yè)務(wù)各項開支情況,求保險公司在一年中獲利不少于10000元的概率.解:本題屬于,的貝努里概型.設(shè)這一年中參保者死亡人數(shù)為k,保險公司獲利要不少于10000元,必有死亡人數(shù)滿足解出,所以保險公司獲利不小于10000元的概率為學(xué)生練習(xí):為了估計某城市中失業(yè)的戶主的百分比,我們從所有家庭中隨機選擇出一個由多個家庭構(gòu)成的樣本。為了舉例說明二項概率的計算,假定求知的百分比實際為10%,從總體中選取的一個樣本,所有5個家庭的戶主均有事作的概率是多少?〔5本章小節(jié)〔15分第五次課教學(xué)內(nèi)容:教材32-36頁,主要內(nèi)容:隨機變量的定義,隨機變量的分布函數(shù)的定義及性質(zhì),一維離散型隨機變量。教學(xué)目的:〔1深刻理解隨機變量的意義,熟練掌握用隨機變量表示隨機試驗的結(jié)果;〔2深刻理解隨機變量分布函數(shù)的定義、掌握分布函數(shù)的性質(zhì);〔3理解一維離散型隨機變量的意義,熟練掌握一維隨機變量的表示,掌握離散型隨機變量分布函數(shù)的計算。教學(xué)的過程和要求:〔1舉例給出隨機變量的定義,舉出連續(xù)型和離散型的例子,舉出試驗結(jié)果為數(shù)量型和非數(shù)量型的情況的隨機變量的表示并加以總結(jié)給出定義,強調(diào)隨機變量的取值與隨機試驗的結(jié)果之間的對應(yīng)關(guān)系;說明引進隨機變量的意義和目的。〔20分鐘<i>舉例說明隨機變量的定義:例:擲一顆骰子得到的點數(shù),分別用1、2、3、4、5、6來表示;例:測試一個燈泡的使用壽命,結(jié)果對應(yīng)著〔0,中的一個實數(shù);例:投籃一次"命中"可用1表示,"沒有命中"可用0表示;例:從一批產(chǎn)品中隨機抽取一個檢驗,"次品"用0表示,"合格品"用1表示等等。隨機變量:一個變量的取值取決于隨機試驗〔現(xiàn)象的基本結(jié)果,則該變量稱為隨機變量.隨機變量常用大寫字母X、Y、Z等表示,其取值用小寫字母x、y、z等表示.<ii>引進隨機變量的意義和目的:意義:隨機變量是由隨機試驗的結(jié)果所決定的變量;"隨機"性表現(xiàn)在,隨機變量取什么值,在試驗前無法確知,要隨機會而定.目的:引入隨機變量的概念后,隨機事件就可以用隨機變量的數(shù)量形式來表示,從而把對隨機事件的研究轉(zhuǎn)化為對隨機變量的研究,這是運用各種數(shù)學(xué)工具研究隨機現(xiàn)象的基礎(chǔ).〔2隨機變量的分布函數(shù)及其性質(zhì);此為本節(jié)重點。借助于函數(shù)及其性質(zhì)來理解和解決概率問題是引進分布函數(shù)的目的。對于分布函數(shù)要強調(diào)其與一般函數(shù)相同之處和不同之處,由此來解釋和證明分布函數(shù)的性質(zhì)。聲明凡具有分布函數(shù)四個性質(zhì)的函數(shù)都可認(rèn)為是某一隨機變量的分布函數(shù)。<i>隨機變量的分布函數(shù)定義:定義:設(shè)X是一個隨機變量,對于任意實數(shù)x,令稱為隨機變量X的概率分布函數(shù),簡稱分布函數(shù).<ii>分布函數(shù)性質(zhì):1對于任意實數(shù),;2;3是單調(diào)非減函數(shù),即對于任意,有;4右連續(xù),即.<iii>舉例說明分布函數(shù)性質(zhì):例如:函數(shù)只有當(dāng)時可以成為某一隨機變量的分布函數(shù)?!部梢耘e一相應(yīng)的例子〔35分鐘〔3根據(jù)前面所舉例子,強調(diào)離散型隨機變量的特點給出離散型隨機變量的分布列的表示和分布列的性質(zhì);并說明具有該兩性質(zhì)的數(shù)列也可認(rèn)為是某隨機變量的分布列。由分布函數(shù)的定義給出離散型隨機變量的分布函數(shù);書中例子,計算講解后注意強調(diào)分布函數(shù)的右連續(xù)性。<i>離散型隨機變量的分布列定義及表示:定義:設(shè)為離散型隨機變量,其可能取值為,且稱上式為隨機變量的概率分布或分布列.可用表格形式來表示為:Xp<ii>分布列的性質(zhì):1;2.<iii>離散型隨機變量的分布函數(shù):<iv>離散型隨機變量的分布函數(shù)計算:例1:有一批產(chǎn)品共40件,其中有3件次品.從中隨機抽取5件,以表示取到次品的件數(shù),求X的分布列及分布函數(shù).解:隨機變量X可能取到的值為0,1,2,3,按古典概率計算事件{}<k=0,1,2,3>的概率,得的概率分布為或X0123p0.66240.30110.03540.0011當(dāng)時,;當(dāng)時,;當(dāng)時,=0.9635;類似地可求得:當(dāng)時,;當(dāng)時,.故〔4補充例題:一批產(chǎn)品分一,二,三級,其中一級品是二級品的兩倍,三級品是二級品的一半,從這批產(chǎn)品中隨機地抽取一個檢驗質(zhì)量,用隨機變量描述檢驗的可能結(jié)果,寫出它的概率分布函數(shù).〔25分鐘〔5學(xué)生練習(xí):一批產(chǎn)品包括10件正品,3件次品,有放回地抽取,每次一件,直到取得正品為止,假定每件產(chǎn)品被取到的機會相同,求抽取次數(shù)的概率函數(shù).練習(xí):書中配套練習(xí)〔任選〔10分鐘第六次課教學(xué)內(nèi)容:教材37-41頁,主要內(nèi)容:連續(xù)型隨機變量的定義、表示及性質(zhì),一維隨機變量函數(shù)的分布的意義及求法。教學(xué)目的:〔1深刻理解連續(xù)型隨機變量分布密度函數(shù)的意義及性質(zhì),熟練掌握分布密度函數(shù)性質(zhì)的應(yīng)用〔2熟練掌握分布密度函數(shù)與隨機變量在某區(qū)間是取值的概率之間的計算;〔3理解隨機變量的函數(shù)仍為隨面變量,其分布函數(shù)〔或密度由原隨機變量的分布各函數(shù)關(guān)系決定,掌握離散型隨機變量函數(shù)的分布的計算;〔4了解求連續(xù)型隨機變量函數(shù)分布的一般方法。教學(xué)的過程和要求:〔1對比離散型隨機變量的取值情況舉例給出連續(xù)型隨機變量的定義;舉例說明連續(xù)型隨機變量的定義:例3:設(shè)一個半徑為2的圓盤靶子,假設(shè)射擊都能中靶,且打到靶上任一同心圓內(nèi)的概率與該圓的面積成正比.以X表示彈著點與圓心的距離,試求X的分布函數(shù).定義:如果對于隨機變量X的分布函數(shù),存在函數(shù),使得對于任意實數(shù)x,有則稱X為連續(xù)型隨機變量,函數(shù)稱為X的概率密度函數(shù)〔簡稱密度函數(shù).〔2舉例說明密度函數(shù)的定義、意義和性質(zhì).〔書中例3強調(diào)密度函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用〔其中密度函數(shù)中求知參數(shù)的求法、已知密度函數(shù)求概率。<i>密度函數(shù)的定義:連續(xù)型隨機變量分布函數(shù)中的稱為X的概率密度函數(shù)〔簡稱密度函數(shù).<ii>密度函數(shù)的意義和性質(zhì):1非負(fù)性:〔;2=1;3對于任意實數(shù)和,有;4在的連續(xù)點處,有<iii>密度函數(shù)的計算:補充例題:設(shè)隨機變量的概率密度為:,求1常數(shù);2。<30分>〔3了解密度函數(shù)與分布函數(shù)的關(guān)系。可以練習(xí)書后13題并講解<15分>?!?舉例說明隨機變量函數(shù)的定義,重點說明隨機變量函數(shù)的意義和決定隨機變函數(shù)分布的因素有哪些,通過例題介紹隨機變量函數(shù)的分布的求法,離散型隨機變量講解書中例1。連續(xù)型隨機變量函數(shù)的分布要注意強調(diào)用分布函數(shù)的定義的方法<不作為考試重點>,例子以線性函數(shù)為主,可對線性函數(shù)密度函數(shù)之間的關(guān)系進行總結(jié).<15分><i>舉例說明隨機變量函數(shù)的定義:例:在測量中由于誤差的存在,某軸承的直徑X是一個隨機變量,可以得到它的分布,但是我們關(guān)心的是軸承橫截面積,由于直徑是隨機變量,那么橫截面積Y也是一個隨機變量,具有一定的分布,可以由與X的函數(shù)關(guān)系和的分布唯一確定,則的分布即為隨機變量函數(shù)的分布。定義:X是一個隨機變量,為連續(xù)實函數(shù),則稱為一維隨機變量的函數(shù),顯然Y也是一個隨機變量.<ii>隨機變量函數(shù)的分布的求法:離散型隨機變量函數(shù)分布的求法:首先將的取值代入函數(shù)關(guān)系式,求出隨機變量Y相應(yīng)的取值如果的值各不相等,則Y的概率分布為Y…………p…………如果中出現(xiàn)相同的函數(shù)值,如,則.例1:設(shè)隨機變量X的概率分布為X-2-10123p0.050.150.200.250.20.15求和的概率分布.解:由函數(shù)和X可能的取值,得Y相應(yīng)的取值為,又由中與是一一對應(yīng)關(guān)系可得的分布如下:-3-11357p0.050.150.200.250.200.15可能取的值為0,1,4,9,相應(yīng)的概率值為同理即Z的概率分布為0149p0.200.400.250.15補充例題:測一圓盤的半徑,其概率分布為101112130.10.40.30.2求圓的周長和面積的分布。<可讓學(xué)生先做然后講解>;<20分>連續(xù)型隨機變量函數(shù)分布的求法:例2:設(shè)的分布密度為,求隨機變量〔,均為常數(shù),且的概率密度.解:用來表示隨機變量的分布函數(shù),由分布函數(shù)的定義當(dāng)時,當(dāng)時,則的分布密度為書中配套練習(xí)〔任選〔10分鐘第七次課教學(xué)內(nèi)容:教材42-47頁,主要內(nèi)容:一維隨機變量的數(shù)字特征,包括離散型隨機變量的數(shù)學(xué)期望與方差、連續(xù)型隨機變量的數(shù)學(xué)期望與方差、隨機變量函數(shù)的數(shù)學(xué)期望以及期望和方差的性質(zhì)。教學(xué)目的:〔1深刻理解隨機變量數(shù)學(xué)期望的實際意義,熟練掌握數(shù)學(xué)期望的計算;〔2深刻理解隨機變量方差的實際意義,熟練掌握方差的計算;〔3理解隨機變量的函數(shù)的數(shù)學(xué)期望,掌握隨機變量函數(shù)數(shù)學(xué)期望的計算;〔4理解隨機變量數(shù)學(xué)期望和方差的性質(zhì),掌握其應(yīng)用。教學(xué)的過程和要求:〔1引言:從整體上如何了解一個隨機變量,用某些數(shù)字刻畫隨機變量取值的平均值和取值與平均值的偏離程度并舉例,參看書中本節(jié)引言;〔3分分布函數(shù)在概率意義上給隨機變量以完整的刻畫,但在許多實際問題的研究中,要確定某一隨機變量的概率分布往往并不容易.就某些實際問題而言,我們更關(guān)心隨機變量的某些特征.舉例說明:例:在研究水稻品種的優(yōu)劣時,往往關(guān)心的是稻穗的平均稻谷粒數(shù);例:在評價兩名射手的射擊水平時,通常是通過比較兩名射手在多次射擊試驗中命中環(huán)數(shù)的平均值來區(qū)別水平高低;例:在檢驗自動包裝機的生產(chǎn)性能時,則要考察產(chǎn)品的重量與標(biāo)準(zhǔn)重量的偏離程度,偏離程度越小,說明包裝機穩(wěn)定性越好.我們把一些與隨機變量的概率分布密切相關(guān)且能反映隨機變量某些方面重要特征的數(shù)值稱為隨機變量的數(shù)字特征?!?舉例<書中例1或其它>說明隨機變量平均數(shù)的實際意義,說明該平均數(shù)與總的數(shù)量無關(guān),只與隨機變量取各數(shù)的概率及各數(shù)的大小有關(guān),給出離散型隨機變量數(shù)學(xué)期望的定義,舉書中例2,例3,根據(jù)例題說明數(shù)學(xué)期望在實際應(yīng)用中的意義?!?7分<i>舉例說明隨機變量平均數(shù)的意義:例1:某商店向工廠進貨,該貨物有四個等級:一、二、三和等外,產(chǎn)品屬于這些等級的概率依次是:0.50、0.30、0.15、0.05.若商店每銷出一件一等品獲利10.50元,銷出一件二、三等品分別獲利8元和3元,而銷出一件等外品則虧損6元,問平均銷出一件產(chǎn)品獲利多少元?解:假設(shè)該商店進貨量極大,則平均說來其中有一等品件,二等品和三等品和等外品數(shù)分別為件、件、件.這件產(chǎn)品總的銷售獲利為〔元故平均獲利為從結(jié)果來看,平均獲利與進貨量并無關(guān)系,只與各等級的概率和獲利情況有關(guān),等于它們乘積之和.即這個量不依賴于試驗的次數(shù),它體現(xiàn)了隨機變量的客觀屬性,我們把它稱為隨機變量的數(shù)學(xué)期望或理論均值。<ii>離散型隨機變量數(shù)學(xué)期望的定義:定義:設(shè)隨機變量X的分布列為,若級數(shù)絕對收斂,則稱為隨機變量X的數(shù)學(xué)期望,記作EX,即如果級數(shù)發(fā)散,則稱X的數(shù)學(xué)期望不存在.<iii>離散型隨機變量數(shù)學(xué)期望的計算:例2:某兩名射手在相同條件下進行射擊,其命中環(huán)數(shù)及其概率如下表,試問哪名射手的技術(shù)更好些?X<環(huán)>8910甲0.10.40.5乙0.30.30.4解:甲、乙射手命中環(huán)數(shù)X的數(shù)學(xué)期望為:結(jié)果說明若甲、乙進行多次射擊,則甲的平均命中環(huán)數(shù)為9.4,而乙的平均命中環(huán)數(shù)為9.1,這說明甲的射擊技術(shù)比乙好些.〔3依照離散型隨機變量數(shù)學(xué)期望定義的形式給出連續(xù)型隨機變量數(shù)學(xué)期望的定義,由前節(jié)知近似為連續(xù)型隨機變量在點附近的概率對定義進行解釋;〔例4〔15分<i>連續(xù)型隨機變量數(shù)學(xué)期望的定義:分發(fā)散,則稱X的數(shù)學(xué)期望不存在.<ii>連續(xù)型隨機變量數(shù)學(xué)期望定義的解釋:連續(xù)型隨機變量的期望反映了隨機變量X取值的"平均水平".假如X表示壽命,則就表示平均壽命;假如X表示重量,就表示平均重量.從分布的角度看,數(shù)學(xué)期望是分布的中心位置.<iii>連續(xù)型隨機變量數(shù)學(xué)期望的計算:例4:隨機變量X的分布密度為,求的數(shù)學(xué)期望.解:<4>由數(shù)學(xué)期望的定義和隨機變量函數(shù)的性質(zhì),利用一個離散型隨機變量函數(shù)的數(shù)學(xué)期望的例子給出45頁的定理;〔15分<i>隨機變量函數(shù)的數(shù)學(xué)期望:定理:設(shè)X是一個隨機變量,為連續(xù)實函數(shù).〔1若X是離散型隨機變量,其概率分布為,若級數(shù)絕對收斂,則存在,且〔2若X是連續(xù)型隨機變量,其密度函數(shù)為,若積分絕對收斂,則存在,且<ii>隨機變量函數(shù)的數(shù)學(xué)期望的計算:例5:設(shè)X的概率分布如下表所示,求X012p解:先求則例6:對例4中分布,求.補充例題:例:離散型隨機變量的分布列為:0.20.30.30.2求隨機變量的數(shù)學(xué)期望?!?由隨機變量函數(shù)的數(shù)學(xué)期望給出方差的定義并說明其意義〔書中例子。〔15分方差的定義:定義:設(shè)是一個隨機變量,如果存在,則稱為的方差,記作,即,稱為標(biāo)準(zhǔn)差或均方差.方差的計算式:方差的計算:例7:對例4中的分布,求.解:由例4、例5的結(jié)果可知所以〔6數(shù)學(xué)期望和方差的性質(zhì)?!?0分<i>數(shù)學(xué)期望的性質(zhì):1設(shè)為任意一個常數(shù),則;2設(shè)為一隨機變量,且存在,為常數(shù),則有;由1、2可得〔為任意常數(shù)。<ii>方差的性質(zhì):1設(shè)為常數(shù),則;2如果為隨機變量,為常數(shù),則;3如果為隨機變量,為常數(shù),則有;由性質(zhì)2、3可得〔為任意常數(shù)?!?應(yīng)用案例中例4或例5。或其它練習(xí)?!?分第八次課教學(xué)內(nèi)容:教材47-52頁,主要內(nèi)容:常見的離散型隨機變量:一點分布、兩點分布、二項分布、泊松分布的分布列、數(shù)字特征用應(yīng)用。教學(xué)目的:〔1深刻理解每一個分布的實際意義,熟練掌握每個分布的分布列;〔2熟練掌握每個分布的數(shù)學(xué)期望方差的計算;并深刻理解其數(shù)字特征的實際意義;〔3熟練掌握利用分布列求隨機變量取值的概率的計算;〔4掌握泊松定理的應(yīng)用。教學(xué)的過程和要求:〔1一點分布只用簡單介紹,分布列及其性質(zhì),已經(jīng)退化為幾乎確定,但并非一個常數(shù)。〔3分常見離散型隨機變量的分布1.一點分布〔退化分布:一個隨機變量X以概率1取某一常數(shù),即,則稱X服從點a處的退化分布〔一點分布。數(shù)學(xué)期望,方差?!?重點講兩點分布、二項分布。對于每個分布給出〔或推出分布例,說明滿足分布列的性質(zhì),數(shù)學(xué)期望和方差是什么,分布中參數(shù)的意義及其變化對分布的影響。要重點講解各分布的實際應(yīng)用,兩點分布與二項分布之間的關(guān)系,聯(lián)系第一章獨立重復(fù)試驗部分的內(nèi)容;〔例1、例2、例32.兩點分布〔貝努里分布:若隨機變量只有兩個可能的取值0和1,其概率分布為01或則稱X服從參數(shù)為p的兩點分布.〔也稱0-1分布。數(shù)學(xué)期望,方差3.二項分布:設(shè)X表示n重貝努里試驗中事件A發(fā)生的次數(shù),則X所有可能的取值為0,1,…,n,且相應(yīng)的概率為,0,1,…,n.稱X服從參數(shù)為n、p的二項分布,記作.數(shù)學(xué)期望,方差兩點分布、二項分布的關(guān)系及應(yīng)用:例1:假設(shè)某籃球運動員投籃命中率為0.8,表示他投籃一次命中的次數(shù),求的概率分布.解:投籃一次只有"不中"和"命中"兩個結(jié)果,命中次數(shù)只可能取0、1兩個值,且概率分別為=0.8,也可表示為X01p0.20.8解:每一盤棋可看作一次貝努里試驗.設(shè)X為甲贏的盤數(shù),則,即按約定,甲只要贏6盤或6盤以上即可獲勝.所以{甲獲勝}=.事件"甲獲勝"與"乙獲勝"并不是互逆事件,因為兩人還有輸贏相當(dāng)?shù)目赡?容易算出:.由于例3:某廠需從外地購買12只集成電路.已知該型號集成電路的不合格率為0.1,問至少需要購買幾只才能以99%的把握保證其中合格的集成電路不少于12只?解:設(shè)需要購買n只,X表示這n只集成電路中合格品個數(shù),則,按題意,要求事件""的概率不小于0.99,即可算出至少需要購買17只集成電路,才能以99%的把握保證其中合格品不少于12只.補充例題:某柜臺上有4個售貨員,并預(yù)備了兩個臺秤,若每個售貨員在一小時內(nèi)平均有15分鐘時間使用臺秤,求一天10小時內(nèi),平均有多少時間臺秤不夠用.解:每個時刻構(gòu)成一n=4的貝努里試驗,且p=15/60=0.25,因此,設(shè)為每個時刻要用秤的售貨員數(shù),則~B<4,0.25>,當(dāng)>2時,臺秤不夠用.因此每時刻臺秤不夠用的概率為0.0508因此10個小時內(nèi)平均有0.0508×10=0.508個小時臺秤不夠用.〔32分〔3練習(xí)對超幾何分布進行說明。其與二項分布的關(guān)系?!?0分4.超幾何分布:假設(shè)100個產(chǎn)品中有10個次品,從中任取5個產(chǎn)品,求其中次品數(shù)的分布列.〔4說明泊松分布的分布列、性質(zhì)及數(shù)字特征和分布列中參數(shù)的意義,了解泊松分布表的應(yīng)用;〔例4、例5〔25分5.泊松分布:若一個隨機變量X的概率分布為,k=0,1,2,…其中為參數(shù),則稱X服從參數(shù)為的泊松分布,記作。數(shù)學(xué)期望,方差。泊松分布的應(yīng)用:例4:某商店根據(jù)過去的銷售記錄知道某種商品每月的銷售量可以用的泊松分布來描述.為了以95%以上的把握保證不脫銷,問商店在月底應(yīng)存有多少件該種商品?〔假設(shè)只在月底進貨.解:設(shè)該商店每月的銷售量為X,據(jù)題意.設(shè)月底存貨為a件,則當(dāng)時就不會脫銷.即求a使得查泊松分布表可得,,于是這家商店只要在月底保證存貨不少于15件就能以95%以上的把握保證下月該商品不會脫銷.〔5泊松定理的應(yīng)用條件和應(yīng)用方法并舉例。〔例5、例6〔10分<i>泊松定理:定理:設(shè)隨機變量序列服從二項分布〔這里概率與n有關(guān),若滿足〔為常數(shù),則有:<ii>泊松定理的應(yīng)用:在實際應(yīng)用中,當(dāng)n比較大,p較小,而不太大時,可直接利用以下近似公式:,其中<iii>泊松定理的計算:例5:在500個人組成的團體中,恰有5個人的生日是元旦的概率是多少?解:該團體中每個人的生日恰好是元旦的概率都是,則該團體中生日為元旦的人數(shù),恰有5個人的生日是元旦的概率為其中,滿足泊松定理條件,可以用的泊松分布來近似計算:例6:為保證設(shè)備正常工作,需要配備一些維修工.若設(shè)備是否發(fā)生故障是相互獨立的,且每臺設(shè)備發(fā)生故障的概率都是0.01.〔每臺設(shè)備發(fā)生故障可由1人排除.試求:〔1若一名維修工負(fù)責(zé)維修20臺設(shè)備,求設(shè)備發(fā)生故障而不能及時維修的概率;〔2若3人負(fù)責(zé)80臺設(shè)備,求設(shè)備發(fā)生故障而不能及時維修的概率;解:〔1設(shè)表示20臺設(shè)備中同時發(fā)生故障的臺數(shù),則,根據(jù)泊松定理,X又可近似地看作服從泊松分布,其中參數(shù).20臺設(shè)備中只配備一個維修人員,則只要有兩臺或兩臺以上設(shè)備同時發(fā)生故障,就不能得到及時維修.故所求概率為〔280臺設(shè)備中同時發(fā)生故障的臺數(shù),與第一種安排方式相比,3人維修80臺設(shè)備,雖然比1人維修20臺設(shè)備任務(wù)重,但工作效率卻比第一種方式高,不能及時排除故障的概率僅為0.009.〔6練習(xí)對幾何分布進行說明,其與二項分布的關(guān)系的計算關(guān)系?!?0分6.幾何分布:設(shè)某人射擊命中率為,現(xiàn)進行連續(xù)射擊,直到命中為止射擊次數(shù)的分布。第九次課教學(xué)內(nèi)容:教材52-59頁,主要內(nèi)容:常見的連續(xù)型隨機變量:均勻分布、指數(shù)分布、正態(tài)分布的分布密度函數(shù)及其性質(zhì)、數(shù)字特征和參數(shù)的意義。各分布的應(yīng)用。教學(xué)目的:〔1深刻理解每一個分布的實際意義,熟練掌握每個分布的分布密度和分布函數(shù);〔2深刻理解每個分布數(shù)字特征的實際意義,熟練掌握每個分布的數(shù)學(xué)期望、方差的計算;〔3熟練掌握利用分布密度函數(shù)求隨機變量取值的概率的計算;〔4掌握一般正態(tài)分布和標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分的關(guān)系,借助于標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布概率表求一般正態(tài)分布事件的概率、和正態(tài)分布的分位點?!?掌握正態(tài)分布的一般應(yīng)用。教學(xué)的過程和要求:〔1簡單介紹均勻分布、指數(shù)分布的應(yīng)用背景,對于每個分布給出〔或推出分布密度函數(shù),了解密度函數(shù)滿足分布的性質(zhì),給出分布的數(shù)學(xué)期望和方差,計算分布函數(shù),說明參數(shù)的意義及其變化對分布的影響及簡單應(yīng)用。〔例7、例8〔30分常見連續(xù)型隨機變量的分布1.均勻分布:一個隨機變量X,如果其密度函數(shù)為則稱X服從上的均勻分布,記作.數(shù)學(xué)期望,方差均勻分布的應(yīng)用:例7:某公共汽車站每隔5分鐘有一輛車通過,可將車站上侯車的乘客全部運走.設(shè)乘客在兩趟車之間的任何時刻到站都是等可能的,求乘客侯車時間不超過3分鐘的概率和乘客平均候車時間.解:設(shè)乘客到達(dá)汽車站的時刻為X,他到站前最后離去公共汽車到站時刻為,將要來到的下一輛車的到站時刻為.據(jù)題意,X服從上的均勻分布,其密度函數(shù)為乘客侯車時間不超過3分鐘的概率,即X落在區(qū)間內(nèi)的概率乘客平均候車時間〔分鐘2.指數(shù)分布:一個隨機變量X,如果其密度函數(shù)為其中為參數(shù),則稱X服從參數(shù)為的指數(shù)分布,記作。數(shù)學(xué)期望,方差。指數(shù)分布的應(yīng)用:例8:假設(shè)某種熱水器首次發(fā)生故障的時間X〔單位:小時服從指數(shù)分布,求:〔1該熱水器在100小時內(nèi)需要維修的概率是多少?〔2該熱水器平均能正常使用多少小時?解:X的密度函數(shù)為〔1100小時內(nèi)需要維修的概率〔2<小時>該熱水器平均能正常使用500小時.〔2重點講解正態(tài)分布的應(yīng)用背景〔以正常狀態(tài)下人的身高、體重,考試成績分布的形態(tài),給出正態(tài)分布的密度函數(shù)及其性質(zhì),數(shù)字特征與參數(shù)的關(guān)系以及改變參數(shù)曲線形態(tài)的變化;〔25分3.正態(tài)分布:一個連續(xù)型隨機變量X,如果其密度函數(shù)為其中為常數(shù),,,則稱X服從參數(shù)為和的正態(tài)分布,記作.數(shù)學(xué)期望,方差。〔3標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布密度函數(shù)的形式、意義,與一般正態(tài)分布的關(guān)系及應(yīng)用〔求正態(tài)分布的概率和分位點?!怖?、例10〔15分<i>標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布:當(dāng),的正態(tài)分布稱為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布,記作.<ii>標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布與一般正態(tài)分布的關(guān)系:一般正態(tài)分布可以通過線性變換轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布。<iii>標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布與一般正態(tài)分布的關(guān)系應(yīng)用:一般正態(tài)分布通過線性變換轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布后,利用標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表求相應(yīng)的概率,即舉例說明:例9:設(shè),求和.解:查表可得;例10:設(shè)隨機變量,求解:〔4解釋清楚例11的意義。正態(tài)分布的應(yīng)用,例12。例11:,求,,解:=0.6826;同理,;。正態(tài)隨機變量X的取值位于均值附近的密集程度可用標(biāo)準(zhǔn)差為單位來度量,而且X的取值幾乎全部落在區(qū)間之內(nèi),所以有時稱為極限誤差。補充例題:某學(xué)校通過考試招收400名學(xué)生入學(xué),報考人數(shù)是2800人,考試滿分600分,考試后知總平均成績305分,而540分以上的高分者有56人,某考生得分500分,問他能否被錄?。俊苍O(shè)成績服從正態(tài)分布〔15分〔5讓學(xué)生參看書中關(guān)于正態(tài)分布的由來,了解正態(tài)分布的重要應(yīng)用性。〔5分第十次課教學(xué)內(nèi)容:教材67-72頁,主要內(nèi)容:二維隨機變量的定義、分布函數(shù)及其性質(zhì)。二維離散型隨機變量的分布列及性質(zhì)、二維連續(xù)型隨機變量的密度函數(shù)及概率計算。教學(xué)目的:〔1理解二維隨機變量的實際意義,理解二維隨機變量分布函數(shù)的意義,掌握二維隨機變量分布函數(shù)的性質(zhì);〔2熟練掌握二維離散型隨機變量的定義,分布列的表示方法和性質(zhì),掌握二維離散型隨機變量分布列的一般求解過程;〔3理解二維連續(xù)型隨機變量分布密度函數(shù)的意義及性質(zhì),掌握由密度函數(shù)求概率的計算方法;〔4了解二維均勻分布和二維正態(tài)分布的密度函數(shù)及其參數(shù)的意義。教學(xué)的過程和要求:〔1二維隨機變量的引入〔利用生活中的例子,如書中本章引言部分的例子或其它。〔3分二維隨機變量的引入:在很多實際問題中,試驗結(jié)果需要用兩個或兩個以上的隨機變量才能描述,而且這些隨機變量之間往往都有一定的聯(lián)系.例如:研究兒童的生長發(fā)育狀況,兒童的身高X和體重Y是兩個隨機變量,并且X與Y之間又有一定的相關(guān)性.因而我們有必要將放在一起作為一個整體進行研究,并將稱為二維隨機變量。〔2對比一維隨機變量分布函數(shù)的定義給出二維隨機變量分布函數(shù)的定義及性質(zhì);畫出二維隨機變量取值范圍的圖形,幫助理解分布函數(shù)的意義;〔22分<i>二維隨機變量分布函數(shù)的定義:定義:設(shè)是二維隨機變量,對于任意實數(shù),稱二元函數(shù)為二維隨機變量的分布函數(shù)或隨機變量X與Y的聯(lián)合分布函數(shù),它表示隨機事件與同時發(fā)生的概率.<ii>二維隨機變量分布函數(shù)的性質(zhì):12關(guān)于變量x和y均單調(diào)非減,且右連續(xù);34對任意的內(nèi)的概率〔3離散型隨機變量的分布列的表示方法、性質(zhì)和一般求法,書中例1,<i>二維離散型隨機變量的分布列的定義:定義:如果二維隨機變量可能取的值為有限對或無限可列多對實數(shù),則稱為二維離散型隨機變量.設(shè)二維離散型隨機變量所有可能的取值為,且對應(yīng)的概率為則稱上式為二維隨機變量的概率分布或X與Y的聯(lián)合概率分布.也常用表格表示YX………………<ii>二維離散型隨機變量的分布列的性質(zhì):1.2<iii>二維離散型隨機變量的分布列的求法:例1:將兩封信隨意地投入3個空郵筒,設(shè)X、Y分別表示第1、第2個郵筒中信的數(shù)量,求X與Y的聯(lián)合概率分布,并求出第3個郵筒里至少投入一封信的概率.解:X、Y各自可能的取值均為0、1、2,由題設(shè)知,取〔1,2、〔2,1、〔2,2均不可能.取其他值的概率可由古典概率計算.的聯(lián)合概率分布表為YX012010200即第三個郵筒里至少有一封信的概率為.補充例題:在10件產(chǎn)品中有兩件一級品、7件二級品和1件次品,從中不放回的抽取三件,用分別表示抽到的一級品和二級品的件數(shù),求:的聯(lián)合分布列;〔20分〔4對比一維隨機變量給出二維隨機變量的密度函數(shù),著重說明密度函數(shù)的性質(zhì)及其在求概率中的應(yīng)用,并舉例2。<i>二維連續(xù)型隨機變量及其分布定義:定義:設(shè)二維隨機變量的分布函數(shù)為,如果存在非負(fù)可積的二元函數(shù),使得對任意實數(shù),有,則稱為二維連續(xù)型隨機變量,稱函數(shù)為二維隨機變量的概率密度函數(shù)或隨機變量X和Y的聯(lián)合密度函數(shù).<ii>二維連續(xù)型隨機變量聯(lián)合密度函數(shù)的性質(zhì):1;2;3若在點處連續(xù),則有;4設(shè)D是平面上任一區(qū)域,則點落在D內(nèi)的概率為<iii>二維連續(xù)型隨機變量的計算:例2:設(shè)二維隨機變量的密度函數(shù)為求:〔1常數(shù),〔2,〔3.圖3-3<a>圖3-3<b>解:由二維隨機變量密度函數(shù)的性質(zhì),有〔1〔2如圖3-3〔a所示:〔3如圖3-3〔b所示;補充例題:設(shè)隨機變量的聯(lián)合密度函數(shù)為:,求:?!?0分〔5對比一維均勻分布來給出二維均勻分布的密度函數(shù),舉例3說明其應(yīng)用;直接給出二維正態(tài)分布的密度函數(shù),對比一維正態(tài)分密度函數(shù)的參數(shù)說明其中參數(shù)的意義?!?5分<i>二維均勻分布:定義:〔二維均勻分布設(shè)是平面上有界可求面積的區(qū)域,其面積為,若二維隨機變量具有密度函數(shù)則稱服從區(qū)域上的二維均勻分布.<ii>二維均勻分布的應(yīng)用:例3:設(shè)國際市場上甲、乙兩種產(chǎn)品的需求量〔單位:噸是服從區(qū)域上的均勻分布,,試求兩種產(chǎn)品需求量的差不超過1000噸的概率.解:設(shè)甲、乙兩產(chǎn)品的需求量分別是,則的聯(lián)合密度為所求概率為落入如圖3-4陰影處的概率圖3-4第十一次課教學(xué)內(nèi)容:教材73-79頁,主要內(nèi)容:二維隨機變量的邊緣分布、二維隨機變量的獨立性、二維隨機變量的數(shù)字特征。教學(xué)目的:〔1理解二維離散型隨機變量邊緣分布的意義,掌握其邊緣分布的計算;〔2理解二維連續(xù)型隨機變量邊緣分布的意義,掌握其邊緣分布的計算;〔3理解離散型和連續(xù)型隨機變量獨立性的意義,掌握離散型和連續(xù)型隨機變量獨立性的方法?!?理解本節(jié)有關(guān)二維隨機變量數(shù)字特征的定理,掌握均值的計算方法。教學(xué)的過程和要求:〔1首先說明研究邊緣分布的意義,由一維隨機變量的分布函數(shù)引入邊緣分布的分布函數(shù)。就離散型隨機變量給出其邊緣分布列的表示方法和求解方法并舉例1;就連續(xù)型隨機變量給出邊緣密度和邊緣分布函數(shù)及求解方法并舉例2;〔30分<i>邊緣分布的意義:二維隨機變量作為一個整體,有它的概率分布,無論是離散型還是連續(xù)型,都可以用分布函數(shù)來刻畫.而分量X和Y也都是隨機變量,也有其各自的概率分布.記X和Y的分布函數(shù)為和,分別稱為二維隨機變量關(guān)于X和關(guān)于Y的邊緣分布函數(shù).<ii>邊緣分布的分布函數(shù):邊緣分布函數(shù)可以由的聯(lián)合分布函數(shù)來確定:同理<iii>離散型隨機變量的邊緣分布列的表示方法:定義:對于二維離散型隨機變量,設(shè)其概率分布為則X的邊緣分布為:<iv>離散型隨機變量的邊緣分布列的計算:例1:根據(jù)上節(jié)例1的聯(lián)合分布列,求其邊緣分布.解:的邊緣分布為同理;的邊緣分布為同理;將邊緣分布與聯(lián)合分布列于下表YX012010200從例中可以看到,邊緣分布和分別是聯(lián)合分布列中第i行和第j列各元素之和.<v>二維連續(xù)型隨機變量的邊緣分布定義:設(shè)為連續(xù)型隨機變量,它的概率密度函數(shù)為,則的邊緣分布函數(shù)為其密度函數(shù)為同理,Y的邊緣分布函數(shù)為其密度函數(shù)為通常分別稱和為二維隨機變量關(guān)于X和Y的邊緣密度函數(shù).<vi>二維連續(xù)型隨機變量的邊緣分布計算:例2:設(shè)隨機變量的密度函數(shù)為試求X和Y的邊緣密度.解:如圖3-6所示,聯(lián)合密度在陰影處不為零.的邊緣密度函數(shù)當(dāng)時,當(dāng)或時,即同理,當(dāng)時,;當(dāng)或時,即圖3-6〔2一般由事件的獨立性的定義引出隨機變量獨立性的定義,給出連續(xù)型隨機變量獨立的等價性定理〔可不進行證明,舉例5說明連續(xù)型隨機變

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