高二數(shù)學：第4章數(shù)列 綜合測試1

人教A版選擇性必修第二冊第四章數(shù)列綜合測試1一、單選題1．在等差數(shù)列{an}中，已知a5=3，a9=6，則a13=（）A．9 B．12 C．15 D．182．在等差數(shù)列中，若為其前項和，，則的值是（）A．60 B．11 C．50 D．553．已知q為等比數(shù)列的公比，且，，則（）A． B．4C． D．4．等差數(shù)列的前項和為，已知，，則的值是（）A．48 B．60 C．72 D．245．已知數(shù)列{xn}滿足x1＝1，x2＝，且(n≥2)，則xn等于（）A．()n－1 B．()n C． D．6．已知數(shù)列1，,,,…，則數(shù)列的第k項是（）A． B．C． D．7．數(shù)列{an}滿足(n∈N*)，數(shù)列{an}前n和為Sn，則S10等于（）A． B． C． D．8．歷史上數(shù)列的發(fā)展，折射出很多有價值的數(shù)學思想方法，對時代的進步起了重要的作用，比如意大利數(shù)學家列昂納多·斐波那契以兔子繁殖為例，引入“兔子數(shù)列”：即1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，233……即F（1）=F（2）=1，F(xiàn)（n）=F（n－1）＋F（n－2），，此數(shù)列在現(xiàn)代物理及化學等領域有著廣泛的應用，若此數(shù)列被4整除后的余數(shù)構成一個新數(shù)列，則b2020=（）A．3 B．2 C．1 D．09．已知數(shù)列的首項，前項的和為，且滿足，則滿足的的最大值為（）.A．7 B．8 C．9 D．1010．已知數(shù)列滿足則數(shù)列的最大項為（）A． B． C． D．11．已知單調遞增數(shù)列的前n項和滿足，且，記數(shù)列的前n項和為，則使得成立的n的最小值為（）A．7 B．8C．10 D．1112．函數(shù)，數(shù)列滿足，，且為遞增數(shù)列．則實數(shù)的取值范圍是（）A． B．C． D．二、填空題13．已知等差數(shù)列的前項和為，且，則______.14．數(shù)列的前項和為，則_________________.15．設是數(shù)列的前項和，若，則________.16．我國古代數(shù)學著作《九章算術》有如下問題：“今有金箠，長五尺，斬本一尺，重四斤，斬末一尺，重二斤，問次一尺各重幾何？”意思是：“現(xiàn)有一根金杖，長5尺，一頭粗，一頭細，在粗的一端截下1尺，重4斤；在細的一端截下1尺，重2斤；問依次每一尺各重多少斤？”設該金杖由粗到細是均勻變化的，現(xiàn)將該金杖截成長度相等的15段，記第n段的重量為斤(n=1，2，…，15)，且，若(其中表示不超過的最大整數(shù))，則數(shù)列的所有項和為________.三、解答題17．在等比數(shù)列中，已知，．求的通項公式；若，分別為等差數(shù)列的前兩項，求的前n項和．18．已知等差數(shù)列的前項和為，且，.（1）求數(shù)列的通項公式；（2）記，的前項和為，求.19．已知數(shù)列的前項和為.（1）求證：數(shù)列是等差數(shù)列；（2）求的最大值及取得最大值時的值.20．已知等差數(shù)列，為其前項和，（1）求數(shù)列的通項公式；（2）若，求數(shù)列的前項和.21．已知數(shù)列的前項和為，且，數(shù)列的通項公式為．（1）求數(shù)列的通項公式；（2）設，數(shù)列的前項和為，求；（3）設，，求使得對任意，均有成立的最大整數(shù)22．已知是數(shù)列的前項和，，．（1）證明：數(shù)列是等比數(shù)列，并求的通項公式；（2）若，求數(shù)列的前項和．參考答案1．A【分析】在等差數(shù)列{an}中，利用等差中項由求解.【詳解】在等差數(shù)列{an}中，a5=3，a9=6，所以，所以，故選：A2．D【分析】根據(jù)題中條件，由等差數(shù)列的性質，以及等差數(shù)列的求和公式，即可求出結果.【詳解】因為在等差數(shù)列中，若為其前項和，，所以.故選：D.3．C【分析】利用等比通項公式直接代入計算，即可得答案；【詳解】，故選：C.4．A【分析】根據(jù)條件列方程組，求首項和公差，再根據(jù)，代入求值.【詳解】由條件可知，解得：，.故選：A5．C【分析】由已知可得數(shù)列是等差數(shù)列，求出數(shù)列的通項公式，進而得出答案．【詳解】由已知可得數(shù)列是等差數(shù)列，且，故公差則，故故選：C6．D【分析】根據(jù)已知中數(shù)列的前4項，分析數(shù)列的項數(shù)及起始項的變化規(guī)律，進而可得答案【詳解】解：由已知數(shù)列的前4項：1，,,,歸納可知該數(shù)列的第項是一個以1為首項，以為公比的等比數(shù)列第項開始的連續(xù)項和，所以數(shù)列的第項為：故選：D7．B【分析】根據(jù)題意得到，（），與條件兩式作差，得到，（），再驗證滿足，得到，進而可求出結果.【詳解】因為數(shù)列滿足，，（）則，則，（），又滿足，所以，因此.故選：B8．A【分析】根據(jù)條件得出數(shù)列的周期即可.【詳解】由題意可知“兔子數(shù)列”被4整除后的余數(shù)構成一個新數(shù)列為：1，1，2，3，1，0，1，1，2，3，1，0，……則可得到周期為6，所以b2020=b4=3，故選：A9．C【分析】根據(jù)可求出的通項公式，然后利用求和公式求出，結合不等式可求的最大值.【詳解】相減得，，；則是首項為1，公比為的等比數(shù)列，，，則的最大值為9.故選：C10．B【分析】本題先根據(jù)遞推公式進行轉化得到．然后令，可得出數(shù)列是等比數(shù)列．即．然后用累乘法可求出數(shù)列的通項公式，根據(jù)通項公式及二次函數(shù)的知識可得數(shù)列的最大項．【詳解】解：由題意，可知：．令，則．，數(shù)列是以為首項，為公比的等比數(shù)列．．．，，．各項相乘，可得：．．令，則，根據(jù)二次函數(shù)的知識，可知：當或時，取得最小值．，，的最小值為．．數(shù)列的最大項為．故選：．【點睛】本題主要考查根據(jù)遞推公式得出通項公式，構造新數(shù)列的方法，累乘法通項公式的應用，以及利用二次函數(shù)思想求最值；11．B【分析】由數(shù)列與的關系轉化條件可得，結合等差數(shù)列的性質可得，再由錯位相減法可得，即可得解.【詳解】由題意，，當時，，所以，整理得，因為數(shù)列單調遞增且，所以，即，當時，，所以，所以數(shù)列是以為首項，公差為1的等差數(shù)列，所以，所以，，所以，所以，所以，，所以成立的n的最小值為8.故選：B.【點睛】關鍵點點睛：解決本題的關鍵是數(shù)列與關系的應用及錯位相減法的應用.12．B【分析】根據(jù)分段函數(shù)的特征，以及數(shù)列在是單調遞增數(shù)列，列式求解.【詳解】是單調遞增數(shù)列，所以，數(shù)列是單調遞增數(shù)列.故選：B．【點睛】易錯點點睛：本題考查分段函數(shù)的單調性和數(shù)列單調性的簡單綜合應用，本地的易錯點是和時，數(shù)列的單調性，容易和函數(shù)時函數(shù)單調性搞混，此時函數(shù)單調性和數(shù)列單調性的式子是不一樣的，需注意這點.13．【分析】根據(jù)題中條件，由等差數(shù)列的性質，求出，再由等差數(shù)列的求和公式，根據(jù)等差數(shù)列的性質，即可求出結果.【詳解】因為等差數(shù)列的前項和為，且，由等差數(shù)列的性質可得，，所以，因此.故答案為：.14．【分析】利用計算可得出數(shù)列的通項公式.【詳解】當時，;而不適合上式，.故答案為：.15．【分析】令計算得出，然后推導出當為偶數(shù)時，，當為奇數(shù)時，，利用等比數(shù)列的求和公式可求得的值.【詳解】當時，，解得；當時，.當為偶數(shù)時，可得，則；當為奇數(shù)時，可得，則.因此，.故答案為：.【點睛】方法點睛：本題考查已知與的關系求和，常用的數(shù)列求和方法如下：（1）對于等差等比數(shù)列，利用公式法直接求和；（2）對于型數(shù)列，其中是等差數(shù)列，是等比數(shù)列，利用錯位相減法求和；（3）對于型數(shù)列，利用分組求和法；（4）對于型數(shù)列，其中是公差為的等差數(shù)列，利用裂項相消法求和.16．【分析】先根據(jù)等差數(shù)列的通項公式列方程求出公差與首項，可得，結合新定義與等差數(shù)列的求和公式可得答案.【詳解】由題意，由細到粗每段的重量成等差數(shù)列，設公差為，則解得，，所以．所以因此數(shù)列的所有項和為．故答案為：【點睛】與實際應用相結合的題型也是高考命題的動向，這類問題的特點是通過現(xiàn)實生活的事例考查書本知識，解決這類問題的關鍵是耐心讀題、仔細理解題，只有吃透題意，才能將實際問題轉化為數(shù)學模型進行解答..17．（1）；（2）.【分析】(1)求出等比數(shù)列的公比q，進而得到其通項公式；（2）求出等差數(shù)列公差d，再利用等差數(shù)列的前n項和公式求解.【詳解】（1）∵公比，∴.（2）∵，，-8+4=12,∴，公差.故.【點睛】本題考查了等比數(shù)列的基本量計算和等比數(shù)列的通項公式，考查了等差數(shù)列的基本量計算和前n項和公式.是基礎題.18．（1）（2）【分析】（1）由，可得，即，從而可得公差，從而得出答案.

（2）由條件可得，由等比數(shù)列的前項和公式可得答案.【詳解】（1）設等差數(shù)列的公差為，則，又，，又，得，則所以（2）所以19．（1）證明見解析；（2）前16項或前17項和最大，最大值為.【分析】（1）先由求通項公式，再利用定義法證明即可；（2）先判斷的n的范圍，得到數(shù)列的正負分布，即得何時最大.【詳解】解：（1）證明：當時，，又當時，，滿足，故的通項公式為，∴.故數(shù)列是以32為首項，為公差的等差數(shù)列；（2）令，即，解得，故數(shù)列的前16項或前17項和最大，此時.20．（1）；（2）.【分析】（1）設數(shù)列的首項為，公差為，然后根據(jù)題目條件列出關于和的方程組求解；（2）將（1）中所得的數(shù)列的通項公式代入，得到的通項公式，再根據(jù)通項公式確定該用哪個方法求前項和.【詳解】解：（1）設數(shù)列的首項為，公差為，則根據(jù)題意得：由，解得，所以.（2），則.【點睛】本題考查等差數(shù)列的基本公式的運用，考查利用分組求和法求數(shù)列的前項和.解答時，如果已知數(shù)列為等差數(shù)列或等比數(shù)列求通項公式，只需將題目條件翻譯成數(shù)學表達式，然后通過方程解出首項和公差或公比，然后得出數(shù)列的通項公式.對于數(shù)列，當和分別為等差數(shù)列與等比數(shù)列時，可采用分組求和法求和.21．（1）；（2）；（3）存在最大的整數(shù)滿足題意．【分析】（1）當時，；當時，，將已知代入化簡計算可得數(shù)列的通項公式；（2）利用錯位相減法計算，分和兩種情況，分別得出答案；（3）利用裂項相消法計算出，并得出單調性和最值，代入不等式解出的范圍，得到答案．【詳解】（1）當時，當時，即數(shù)列的通項公式為（2），，①則，②①﹣②，得．當時，，則．當時，綜上可得，（3）由（1）可得，則顯然為關于的增函數(shù)，故．于是欲使恒成立，則，解得．存在最大的整數(shù)滿足題意．【點睛】方法點睛：本題考查數(shù)列的通項公式，考查數(shù)列的求和，數(shù)列求和的方法總結如下：1.公式法，利用等差數(shù)列和等比數(shù)列的求和公式進行計算即可；2.裂項相消法，通過把數(shù)列的通項公式拆成兩項之差，在求和時中間的一些項可以相互抵消，從而求出數(shù)列的和；3.錯位相減法，當數(shù)列的通項公式由一個等差數(shù)列與一個等比數(shù)列的乘積構成時使用此方法；4.倒序相加法，如果一個數(shù)列滿足首末兩項等距離的兩項之和相等，可以使用此方法求和．22．（1）證明見解析，；（2）.【分析】（1）首先根據(jù)，兩式相減得，即可得到的通項公式.（2）首先求出，再利用錯位相減法求前項和即可.【詳解】（1）證明：由，當時，，兩式相減得，當時，即，∴，∴，∴時都有，∴數(shù)列是首項為1，公比為3的等比數(shù)列，∴．（2）解：，∴，，∴，∴∴．【點睛】方法點