化工數(shù)學第三章答案

化工數(shù)學第三章習題1.（√）設函數(shù)，是一階擬線性偏微分方程（1.1）的解，也是方程（1.1）的解。是任意常數(shù)，求證：的任意函數(shù)證明：由分別對x，y求導，得由于g1，g2滿足偏微分方程（1.1），因此有將方程分別對x，y求導（7）將（7）代入偏微分方程（1.1）左端，再利用關系式（6），得（8）說明偏微分方程（1.1）也得到滿足，因此也是方程的解。2.求下列方程的通解（1）解：由于與存在函數(shù)關系，我們得到方程的通解為，為任意函數(shù)（2）解：方程通解表示為隱函數(shù)，為任意函數(shù)（3）解：由（2）得：代入（1）得：整理得：兩邊同乘以即：得：由于與存在函數(shù)關系，我們得到方程的通解為，為任意函數(shù)3．（√）求下列問題的解解：該問題的特征線方程為（1）初始曲線表示為（2）由（1）、（2）聯(lián)立解出（3）消去s,ξ，得（4）解：特征線方程為由方程（1）解出（1）（2）（3）由初值（2）得代回方程（3），消去s,ξ，得4．（√）在固定化酶反應器中，生物活性細胞被制備成顆粒狀填充于固定床中，反應動力學由Michaelis-Menten方程給出，設流動為平推流，初、邊值由給出，求濃度分布。解：依題意，該固定床反應器的數(shù)學模型為（1）（2）上述問題的特征線方程為初始曲線I由方程（1）解出初值影響區(qū)的解消去ξ，得邊值影響區(qū)的解消去η，得5.變截面色譜柱中的線性吸附曲線由以下方程表述式中，流量為常數(shù)，，為截面積，若定義以下無量綱變量,則可將方程化為以下形式現(xiàn)考慮環(huán)形平面區(qū)域的色譜過程，為溶質(zhì)注入端的環(huán)形邊界半徑，設問題為圓對稱，初始濃度為0，注入的溶質(zhì)濃度為常數(shù)，請在r-t平面上繪出邊值影響區(qū)的特征線，并討論截面積變化對波在r方向傳播的影響。的解：其特征線方程為:在邊值影響區(qū)，特征線為用r、t表示后為邊值影響區(qū)的特征線即如上圖所示。由上圖可看出，隨r增大，A(r)增大，增大，減小，在r方向上的波速減小。此外，A(r)還跟該環(huán)形減小，在r減小，在r方向區(qū)域的厚度有關，即式中的值，當增大時，A(r)增大，特征曲線的曲率增大，增大，方向上的波速減小。所以，總的來說，隨A(r)增大，特征曲線的曲率增大，增大，上的波速減小。6．（√）河口附近漲潮后形成水位h的梯級分布落潮時的水位遵循以下方程請描述水位h在落潮時的衰減過程。解：該問題的特征線方程為（1）初始曲線（2）由（1）解得（3）代入（2）中消去初始變量ξ，就得到用隱函數(shù)分段表示的解h(z,t)。7.移動床平衡色譜模型在Langmuir吸附情況下由以下方程給出求：1）對于單組分色譜問題，根據(jù)波的追趕現(xiàn)象討論移動床中激波生成的條件，并給出激波間斷關系。2）對于雙組分吸附分離問題，給出穩(wěn)態(tài)條件下的解答。設進料流股中含有A、B兩種組分，試確定合適的操作速度υr以便將A、B分離。解：1）對于單組分色譜問題，模型簡化為其中，令得模型的特征曲線方程為由前兩式可得波速的方程當時，時，，波速為正方向，此時通量－濃度關系為下凸型，隨著濃度c的增加，，波速為反方向，此時通量－濃度關系為上凸型，隨著濃度c的增加波波速單調(diào)遞增。當速單調(diào)遞減。因此，激波生成條件可見下表：下凸型（上凸型（））激波稀疏波前低后高型（））稀疏波激波前高后低型（根據(jù)激波間斷條件，取則有，由于飽和問題不產(chǎn)生激波，因此只考慮洗脫問題：設，，。圖1.洗脫過程濃度分布圖圖1給出了濃度分布圖像及相應的特征線，由于，每條特征線的濃度保持常數(shù)。曲線S右側(cè)的特征線來自初值影響區(qū)，該區(qū)域，因此，濃度波的速度可由波速方程中令得到，為一組平行的直線；S左側(cè)的特征線來自邊值影響區(qū)，從t軸出發(fā)，該區(qū)域，因此，濃度波的速度可由波速方程中令得到，為一組平行的直線。因此，令，對上式進行積分可得其中為積分常數(shù)。由初始條件，得到＝0。由此最終得到激波軌跡的解答：2）在穩(wěn)態(tài)條件下，＝0。設組分A濃度為，初始濃度為；組分B濃度為，初始濃度為。因此模型簡化為兩個常微分方程：對上述兩式進行積分可得：其中，、為積分常數(shù)。根據(jù)初始條件、可確定、的大小。解方程可得為使A、B組分充分分離，這里假設A為弱吸附組分，B為強吸附組分。調(diào)整使A在床層中正向傳輸而B在床層中反向傳輸，則可達到理想的分離效果。移動床中溶質(zhì)的凈通量為所以由解得，8.在一定的濃度范圍，某離子交換過程的等溫線可用表示，離子交換柱的模型為請對以下兩種情況給出兩題的解答（1）飽和過程；（2）洗脫過程解:。將吸附等溫線代入離子交換色譜柱模型中，得到：該模型的特征曲線方程為：由前兩式可得波速方程1）對于飽和過程，，，。相應的初始曲線在t-x平面上的投影為x軸與t軸。由可知，在濃度曲線上濃度c恒定。該過程濃度分布如圖2所示：在左邊區(qū)域，自t軸引出的特征線、、…的任意一點的斜率，由于為常數(shù)，所以該斜率也為常數(shù)，特征線為一組發(fā)散的平行直線。由可得初始曲線，，。求解特征曲線方程可得該區(qū)域，該區(qū)域圖2.飽和過程濃度分布圖在右邊區(qū)域，自x軸引出的特征線、、…的任意一點的斜率，由于為常數(shù)，所以該斜率也為常數(shù)，特征線為一組發(fā)散的平行直線。由可得初始曲線，，。求解特征曲線方程可得該區(qū)域，該區(qū)域由于，所以兩組特征線自原點發(fā)散，沒有交點，中間形成一個空白區(qū)域，該區(qū)域濃度恒為0，即，該區(qū)域因此，飽和問題的解為2）對于洗脫問題，，。相應的初始曲線在t-x平面上的投影為x軸和t軸，由于可知在特征線上濃度c恒定。其濃度分布如圖3所示。對比本題偏微分方程與方程可知，在本題中，。由圖可知，、沿曲線S出現(xiàn)強間斷，間斷面為。由激波間斷條件可得：在激波曲線S左側(cè)為邊界影響區(qū)，由知該區(qū)域特征線上濃度恒定，由邊界條件。由初始條件可知，。代入激波間斷條件可得對上式進行積分可得：因此，洗脫問題的解為：圖3.洗脫問題濃度分布圖9.（√）高速公路單行道上由于交通事故而塞車，但塞車段長度達到時事故排除恢復正常通行。設塞車段后方車輛密度為，交通流方程為(3.24)~(3.26)，求恢復通行后的車流密度與車速分布。解：交通流問題的車流密度由以下方程描述分析：車輛密度波的波速為波速隨密度單調(diào)降低，因此，在x=-α處，初始時刻就將形成一個激波，沿x軸反向傳播，波速由激波間斷條件確定；而在x=0處，形成一個中心稀疏波，沿x軸正反兩個方向傳播，其波速和軌跡由特征線方程確定；經(jīng)過一定時間間隔后，反向傳播的稀疏波將趕上反向傳播的激波前沿，形成侵蝕，類似于3.1節(jié)介紹的化學劑段塞的運動圖象；最后，由于稀疏波的不斷侵蝕，激波消失?？刹捎门c3.1節(jié)類似的分析方法獲得稀疏波侵蝕后的解答。10.某色譜反應器的吸附等溫線為Freundlich型化學反應為一級反應，，求：（1）解出階躍注入時的濃度分布；（2）討論當時的定常吸附情況，這時有兩種做法：一種是先求出任意m值情況下的解然后再取極限；另一種是先在數(shù)學模型中直接取極限，然后再求解該數(shù)學模型。兩種結(jié)果有很大差異，分析其原因并判斷哪一種結(jié)果更為合理？解：式中其特征曲線方程為由前兩式可得波速方程由于m>1,波的傳播速度隨濃度c的增加而增大，因此根據(jù)我們的初值和邊界條件，必然發(fā)生波的追趕而且初始間斷面從一開始就是激波面。其濃度分布和相應特征線分別如下圖a、b所示（a）(b)根據(jù)激波間斷條件有，在初值影響區(qū)，由特征線方程組所以可得當時，解為如果在數(shù)學模型中直接取極限，則：問題變?yōu)槠酵屏鞣磻鞯膭討B(tài)響應，解得（具體過程參見教科書p143）：在初值影響區(qū)在邊值影響區(qū)（）（）應該以第一種解法為宜，因為當m趨于無窮大時，仍然有吸附平衡的問題，在t=0的兩側(cè)，反應器中的吸附濃度不是從0階躍到K，而是同樣也要經(jīng)歷一個平衡飽和的過程，但是在第二種解法中，則把整個色譜反應器內(nèi)的n處理為了階躍的函數(shù)，這實際上是由于函數(shù)在c趨向于零的同時m趨向于無窮，這個時候?qū)⑺O限看為一個確定值是不合適的。所以第一種解法更合理。11.聚合物驅(qū)油過程的分流函數(shù)在一定條件下可用下式表述設，求上述驅(qū)油問題的解并討論粘度比增大對驅(qū)油過程的影響（可設粘度比在0.1~10之內(nèi)變化）。解：波速或特征線方程為：由-----------------------------------------------------------（1）代入式（3.5.58）：------------------------------------------------------------（2）與已知f表達式對照可得-------------------------------------（3）將方程（1）與方程（3）代入（3.3.63），并令得：---------------------------------------------------------（4）可得：當，同時時，關系曲線如圖：可見，a在0.2到20之間變化時，方程（4）存在0～1之間的解，且隨著a的增大而增大。因此，該注水驅(qū)油問題的完整解答如下：（1）無線性間斷波；（2）中間稀疏波由方程（4）確定；（3）激波由方程（4）確定；（4）初值影響區(qū)當黏度比增大時，隨之增大，高飽和區(qū)間變小，而低飽和區(qū)間變大，同時激波軌跡值增大。12.對于雙組分Langmuir吸附問題，若色譜柱內(nèi)初始時刻含有溶質(zhì)，即試討論當初始組成（c10，c20）給定時，對于不同的進料組成（c1f，c2f），溶質(zhì)在色譜柱內(nèi)的大致分布情況，請在濃度平面上繪出不同進料狀態(tài)下的組成路線，確定不同相干波的類型，并草繪出相應的濃度空間分布。解：對于雙組分Langmuir吸附問題，若色譜柱內(nèi)初始含有溶質(zhì)，即t＝0：c1＝c10，c2＝c20x＝0：c1＝c1f，c2＝c2f試討論當初始組成（c10，c20）給定時，對于不同的進料組成（c1f，c2f），溶質(zhì)在色譜柱內(nèi)的大致分布情況，請在濃度片面上繪出不同進料狀態(tài)下的組成路線，確定不同相干波的類型，并草繪出相應的濃度分布空間。解：由雙組分Langmuir吸附問題的解我們可以得到特征路徑，它們是由方程的奇異解和通解共同確定的，如下所示。圖3.12.1雙組分Langmuir吸附問題的特征路徑當初始組成I（c10，c20）給定時，不同的進料組成F（c1f，c2f）總是需要沿著特征路徑按照一定的方向先經(jīng)過M（定常態(tài)）再到達初始組成I點。路線方向由規(guī)則1確定：從進料狀態(tài)F到初始狀態(tài)I的組成路線總是首先沿著過F點的、具有最低波速的慢路徑行進，然后順序轉(zhuǎn)換到次慢的特征路徑，最后沿著最快的特征路徑到達初始狀態(tài)I。而相干波的類型則由規(guī)則2確定：如果沿著組成路線的方向波速增大，則與此相應的相干波為稀疏波，如果減小則為激波。對于Langmuir吸附，若沿組成路線的方向強吸附組分濃度增大，則該相干波為稀疏波，否則就是激波。根據(jù)不同進料組成F與初始組成I相對位置，有以下4種情況：1）進料F點位于初始I點右下位置圖3.12.2濃度空間的特征路徑網(wǎng)絡與組成路線根據(jù)上述兩條規(guī)則我們不難判斷組成路線及相干波的類型，F(xiàn)點先沿著慢路徑到達定常點M，方向與c2（強吸附組分）增大的方向相反，為激波；到達M后再沿著快路徑達到初始點I，為稀疏波，簡圖如下所示圖3.12.3情況1組成路線簡圖組成路線確定之后，就需要根據(jù)特征線法確定x－τ平面上的特征線。組成路線為F→M→I，激波F→M的特征線在圖3.12.4（上）中為一條重合的直線C＋，其左側(cè)濃度為進料狀態(tài)F，右側(cè)為定常狀態(tài)M。稀疏波M→I的特征線對應于扇型直線族C－，其中不同的特征線攜帶著M到F點之間不同的濃度組成，其斜率σ(cΓ)隨著濃度由M點趨向I點而逐漸減小。在激波特征線C＋與稀疏波特征線族C－之間的區(qū)域為濃度平臺區(qū)，該區(qū)域的濃度值恒為定常狀態(tài)M，不隨特征線斜率變化。從x軸到特征線族C－之間的區(qū)域為初始狀態(tài)區(qū)，該區(qū)域尚未受到濃度波的擾動。根據(jù)特征線圖3.12.4（上），我們?nèi)菀子蓤D解法得到任意時刻τ=τ1的各組分濃度空間分布。在圖中作平行于x軸的直線τ=τ1，該直線與各特征線相交于不同的空間位置x1,x2,x3,?，由于各特征線上的濃度值是已知的，連接各交點處的濃度值就可繪出該時刻不同組分的空間分布，示于圖3.12.4（下）。圖3.12.3情況1x-τ平面上的特征線（上）τ＝τ1時刻的濃度空間分