2020高中數(shù)學(xué) 第三章 推理與證明 綜合法與分析法課后鞏固提升 1-2

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精PAGE9-學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精3綜合法與分析法[A組基礎(chǔ)鞏固］1．如果logeq\f(1,2）x＜logeq\f(1，2)y＜0，那么（）A．y＜x＜1 B．x＜y＜1C．1＜x＜y D．1＜y＜x解析：不等式轉(zhuǎn)化為eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1（log\f(1,2）x＜log\f(1,2)y，，log\f（1,2)y＜0)）?1＜y＜x.答案：D2．已知a＝log23。6，b＝log43。2,c＝log43。6，則()A．a(chǎn)>b>c B．a(chǎn)>c>bC．b>a〉c D．c〉a〉b解析：∵2〈3。6<4，∴l(xiāng)og23。6>1〉log43。6.又∵log43。6>log43.2，∴a>c>b。答案：B3．已知a>b〉0,證明eq\r（a）－eq\r（b）<eq\r(a－b)可選擇的方法,以下最合理的是(）A．綜合法 B．分析法C．類比法 D．歸納法解析：首先，排除C、D。然后，比較綜合法、分析法．我們選擇分析法，欲證：eq\r(a)－eq\r(b)<eq\r(a－b),只需證：eq\r（a)〈eq\r（b)＋eq\r(a－b)，即證:a〈b＋(a－b)＋2eq\r(ba－b）,只需證：0〈2eq\r（ba－b)。答案：B4．已知直線l，m，平面α，β，且l⊥α,mβ，給出下列四個(gè)命題：①若α∥β，則l⊥m；②若l⊥m，則α∥β;③若α⊥β，則l⊥m；④若l∥m，則α⊥β。其中正確命題的個(gè)數(shù)是()A．1 B．2C．3 D．4解析：若l⊥α，mβ，α∥β,則l⊥β，所以l⊥m，①正確;若l⊥α，mβ，l⊥m,α與β可能相交，②不正確；若l⊥α，mβ，α⊥β，l與m可能平行、相交或異面，③不正確;若l⊥α，mβ，l∥m，則m⊥α，所以α⊥β，④正確．答案：B5．設(shè)a，b∈R＋，且a≠b，a＋b＝2，則必有（）A．1≤ab≤eq\f（a2＋b2,2)B．a(chǎn)b<1<eq\f（a2＋b2，2）C．a(chǎn)b〈eq\f(a2＋b2,2）〈1D.eq\f(a2＋b2,2)〈ab〈1解析：因?yàn)閍≠b，故eq\f（a2＋b2，2）>ab。又因?yàn)閍＋b＝2>2eq\r(ab），故ab<1，eq\f(a2＋b2，2)＝eq\f（a＋b2－2ab,2)＝2－ab>1，即eq\f(a2＋b2,2)〉1〉ab。答案:B6．已知函數(shù)y＝f(x）（x∈R)，對(duì)函數(shù)y＝g(x）（x∈I），定義g(x)關(guān)于f（x）的“對(duì)稱函數(shù)”為函數(shù)y＝h（x)(x∈I),y＝h(x）滿足：對(duì)任意x∈I，兩個(gè)點(diǎn)（x，h(x）)，(x，g（x）)關(guān)于點(diǎn)（x，f（x）)對(duì)稱．若h(x)是g(x)＝eq\r(4－x2）關(guān)于f（x）＝3x＋b的“對(duì)稱函數(shù)”，且h(x）>g(x）恒成立，則實(shí)數(shù)b的取值范圍是________．解析：由已知得eq\f(hx＋\r（4－x2)，2)＝3x＋b,所以h(x）＝6x＋2b－eq\r(4－x2）.h（x）〉g（x)恒成立,即6x＋2b－eq\r（4－x2)〉eq\r（4－x2）,3x＋b〉eq\r（4－x2)恒成立．在同一坐標(biāo)系內(nèi)，畫出直線y＝3x＋b及半圓y＝eq\r（4－x2）（如圖所示），可得eq\f（b,\r(10))>2，即b>2eq\r(10)，故答案為(2eq\r(10)，＋∞)．答案：(2eq\r（10)，＋∞）7．下列兩數(shù)的大小關(guān)系是:eq\r(3)＋2eq\r（2）________2＋eq\r(7）。解析:假設(shè)eq\r（3）＋2eq\r（2)〈2＋eq\r(7），則3＋8＋4eq\r（6）〈4＋7＋4eq\r（7)。?eq\r（6)〈eq\r（7)?6<7顯然成立，故eq\r(3)＋2eq\r(2）〈2＋eq\r（7).答案：〈8．已知log2a＋log2b≥1，則3a＋9b的最小值為________．解析：由log2a＋log2b≥1得log2（ab)≥1,即ab≥2，∴3a＋9b＝3a＋32b≥2×3eq\f(a＋2b,2）（當(dāng)且僅當(dāng)3a＝32b，即a＝2b時(shí)“＝"號(hào)成立)．又∵a＋2b≥2eq\r（2ab）≥4(當(dāng)且僅當(dāng)a＝2b時(shí)“＝”成立），∴3a＋9b≥2×32＝18.即當(dāng)a＝2b時(shí),3a＋9b有最小值18。答案:189．已知非零向量a和b的關(guān)系為a⊥b，求證：eq\f（｜a|＋|b｜，｜a－b|）≤eq\r(2）.證明：因?yàn)閍⊥b，所以a·b＝0.要證eq\f（｜a|＋｜b｜，|a－b|）≤eq\r(2），只需證｜a|＋｜b｜≤eq\r（2）|a－b｜，兩邊同時(shí)平方得|a|2＋|b|2＋2｜a|｜b｜≤2(｜a|2＋｜b｜2－2a·b)，即|a｜2＋｜b｜2－2|a｜|b|≥0，此不等式恒成立．故原不等式得證．10．已知a〉b〉c，且a＋b＋c＝0，求證：eq\r（b2－ac）<eq\r(3）a.證明:要證eq\r(b2－ac）<eq\r（3)a，只需證b2－ac〈3a2，∵a＋b＋c＝0，只需證b2＋a(a＋b)〈3a2，只需證2a2－ab－b2>0，只需證（a－b)（2a＋b）>0,只需證（a－b)（a－c)〉0.因?yàn)閍>b>c，所以a－b>0，a－c>0，所以（a－b)(a－c）>0,顯然成立．故原不等式成立．［B組能力提升]1．設(shè)P＝eq\r（2),Q＝eq\r(7)－eq\r(3)，R＝eq\r（6)－eq\r（2)，那么P、Q、R的大小順序是(）A．P>Q>R B．P〉R>QC．Q>P〉R D．Q〉R〉P解析：要比較R、Q的大小,可對(duì)R、Q作差，即Q－R＝eq\r（7）－eq\r（3)－（eq\r（6）－eq\r(2））＝（eq\r（7)＋eq\r（2））－（eq\r（3）＋eq\r(6))，又(eq\r(7)＋eq\r（2)）2－（eq\r（3)＋eq\r（6))2＝2eq\r（14）－2eq\r（18)<0,∴Q〈R，由排除法知,選B.答案:B2．已知a、b、c∈R，且a＋b＋c＝0，abc>0，則eq\f(1，a）＋eq\f（1,b）＋eq\f（1，c）的值()A．一定是正數(shù) B．一定是負(fù)數(shù)C．可能是0 D．正、負(fù)不能確定解析：∵(a＋b＋c)2＝a2＋b2＋c2＋2(ab＋bc＋ca）＝0,又abc>0，∴a，b,c均不為0，∴a2＋b2＋c2〉0。∴ab＋bc＋ca〈0，∴eq\f（1，a)＋eq\f(1,b）＋eq\f(1,c)＝eq\f（ab＋bc＋ca，abc)<0。答案：B3。如圖所示，在直四棱柱A1B1C1D1。ABCD中，當(dāng)?shù)酌嫠倪呅蜛BCD滿足條件________時(shí)，有A1C⊥B1D1(注:填上你認(rèn)為正確的一個(gè)條件即可，不必考慮所有可能的情形)．解析：本題答案不唯一,要證A1C⊥B1D1，只需證B1D1垂直于A1C所在的平面A1CC1，因?yàn)樵撍睦庵鶠橹彼睦庵?，所以B1D1⊥CC1,故只需證B1D1⊥A1C1即可．答案:對(duì)角線互相垂直4．設(shè)a，b，c為一個(gè)三角形的三邊，S＝eq\f（1,2）（a＋b＋c)，且S2＝2ab,則S________2a.解析：假設(shè)S<2a，下面給出證明：由于S2＝2ab,要證S<2a，只需證S<eq\f（S2，b）,即b<S.因?yàn)镾＝eq\f（1，2)（a＋b＋c),所以只需證2b〈a＋b＋c，即b〈a＋c,顯然成立，故S〈2a。答案：<5．成等差數(shù)列的三個(gè)正數(shù)的和等于15，并且這三個(gè)數(shù)分別加上2、5、13后成為等比數(shù)列｛bn}中的b3、b4、b5。（1）求數(shù)列{bn｝的通項(xiàng)公式；(2)數(shù)列｛bn｝的前n項(xiàng)和為Sn，求證：數(shù)列eq\b\lc\{\rc\｝(\a\vs4\al\co1(Sn＋\f（5,4）)）是等比數(shù)列．解析：（1）設(shè)成等差數(shù)列的三個(gè)正數(shù)分別為a－d，a，a＋d，依題意，得a－d＋a＋a＋d＝15，解得a＝5.所以｛bn｝中的b3，b4，b5依次為7－d，10,18＋d。依題意，有（7－d)(18＋d）＝100,解得d＝2或d＝－13（舍去）．故｛bn}的第3項(xiàng)為5，公比為2.由b3＝b1·22，即5＝b1·22，解得b1＝eq\f(5,4).所以{bn}是以eq\f（5，4)為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，其通項(xiàng)公式為bn＝eq\f（5,4)·2n－1＝5·2n－3.（2）證明：數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Sn＝eq\f（\f(5，4）1－2n,1－2)＝5·2n－2－eq\f（5，4），即Sn＋eq\f(5,4）＝5·2n－2。所以S1＋eq\f（5,4)＝eq\f（5,2），eq\f(Sn＋1＋\f(5,4)，Sn＋\f(5,4)）＝eq\f(5·2n－1,5·2n－2）＝2.因此eq\b\lc\{\rc\}（\a\vs4\al\co1（Sn＋\f（5,4）））是以eq\f(5,2)為首項(xiàng),2為公比的等比數(shù)列．6．設(shè)f（x)＝3ax2＋2bx＋c，若a＋b＋c＝0，f(0）〉0，f（1）〉0，求證：a〉0且－2<eq\f（b,a)〈－1.證明:∵f(0)〉0，∴c〉0，又∵f