2022-2023學(xué)年江蘇省南京師范大學(xué)附屬中學(xué)高二年級上冊學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試題 解析版

南京師大附中2022－2023學(xué)年度第1學(xué)期高二年級期中數(shù)學(xué)試卷第Ⅰ卷(選擇題共60分)一、單項(xiàng)選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分．每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1．雙曲線eqx\s(2)－\f(y\s(2),9)＝1的漸近線方程為于至A．eqy＝±\f(1,3)xB．y＝±3xC．eqy＝±\r(,3)xD．eqy＝±\f(\r(,3),3)x2．若將直線l沿x軸正方向平移3個單位，再沿y軸負(fù)方向平移2個單位，又回到了原來的位置，則l的斜率是A．eq－\f(3,2)B．eq\f(3,2)C．－eq\f(2,3)D．eq\f(2,3)3．若數(shù)據(jù)a1，a2，a3，…，a10的方差為7，則數(shù)據(jù)eqa\s\do(1)＋1，a\s\do(2)＋1，a\s\do(3)＋1，…，a\s\do(10)＋1方差為A．7B．49C．8D．644．已知橢圓eq\f(x\s\up6(2),100)＋\f(y\s\up6(2),64)＝1，若△ABC的頂點(diǎn)B，C分別是橢圓的兩個焦點(diǎn)，頂點(diǎn)A在橢圓上，則eq\f(sinB＋sinC＋sinA,sinB＋sinC－sinA)的值為A．4B．6C．8D．105．已知橢圓eq\f(x\s\up6(2),a\s\up6(2）＋\f(y\s\up6(2),b\s\up6(2）＝1(a＞b＞0)的兩個焦點(diǎn)分別為eqF\s\do(1)(－c，0)，F(xiàn)\s\do(2)(c，0)，點(diǎn)P在橢圓上若eqPF\s\do(1)⊥PF\s\do(2)，且eq∠PF\s\do(1)F\s\do(2)＝30°，則橢圓的離心率為A．eq\r(,2)－1B．eq\r(,3)－1C．eq\f(\r(,3),3)D．eq\f(\r(,3),2)6．已知矩形ABCD的長AB為2，寬AD為1．以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB，AD邊分別為x軸正半軸，y軸正半軸，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系．若將矩形折疊，使A點(diǎn)落在線段DC上(包括端點(diǎn))，則折痕所在直線縱截距的最小值為A．eq\f(1,3)B．eq\f(1,2)C．2D．37．過坐標(biāo)原點(diǎn)O作直線l：(a＋2)x＋(1－a)y－6＝0的垂線，若垂足在圓eqx\s(2)＋y\s(2)＝r\s(2)(r＞0)上，則r的取值范圍是A．(0，eq\r(,2)]B．(0，2]C．(0，2eq\r(,2)]D．(0，4]8．已知實(shí)數(shù)x1，x2，y1，y2滿足x12＋y12＝4，x22＋y22＝4，x1x2＋y1y2＝0，則|x1＋y1－4|＋|x2＋y2－4|的最大值是A．3eq\r(,2)B．6C．6eq\r(,2)D．12二、多項(xiàng)選擇題：本大題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的四個選項(xiàng)中，不止一項(xiàng)是符合題目要求的，每題全選對者得5分，部分選對得2分，其他情況不得分．9．若曲線C：eq\f(x\s(2),9－k)＋\f(y\s(2),1－k)＝1，下列結(jié)論正確的是A．若曲線C是橢圓，則1＜k＜9B．若曲線C是雙曲線，則1＜k＜9C．若曲線C是橢圓，則焦距為4eq\r(,2)D．若曲線C是雙曲線，則焦距為4eq\r(,2)10．為迎接黨的二十大勝利召開，某中學(xué)舉行黨史知識競賽，對全校參賽的1000名學(xué)生的得分進(jìn)行了統(tǒng)計，把得分?jǐn)?shù)據(jù)按照[50，60)，[60，70)，[70，80)，[80，90)，[90，100]分成5組，繪制了如圖所示的頻率直方圖，根據(jù)圖中信息，下列說法正確的是A．a(chǎn)＝0.01B．得分在區(qū)間[60，70)內(nèi)的學(xué)生人數(shù)為200C．該校學(xué)生黨史知識競賽，成績的中位數(shù)大于80D．估計該校學(xué)生黨史知識競賽成績的平均數(shù)落在區(qū)間[70，80)內(nèi)11．在矩形ABCD中，AB＝1，AD＝2，動點(diǎn)P在以點(diǎn)C為圓心且與BD相切的圓上．若eq\o\ac(\S\UP7(→),AP)eq＝λ\o\ac(\S\UP7(→),AB)＋μ\o\ac(\S\UP7(→),AD)，則λ＋μ的可能取值有A．eq\r(,5)B．eq2\r(,3)C．3D．412．已知點(diǎn)P為雙曲線C：eq\f(x\s\up6(2),3)－y\s\up6(2)＝1右支上一點(diǎn)，eql\s\do(1)，eql\s\do(2)為雙曲線C的兩條漸近線，過點(diǎn)P分別作eqPA⊥l\s\do(1)，PB⊥l2，垂足依次為A，B，過點(diǎn)P作eqPM∥l\s\do(2)交eql\s\do(1)于點(diǎn)M，過點(diǎn)P作PN∥eql\s\do(1)交eql\s\do(2)于點(diǎn)N．O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是A．eq|PA|·|PB|＝\f(3,4)B．|OP|≥|ABC．eq3S\s\do(△PAB)＝2S\s\do(△PMN)D．|MN|≥1第Ⅱ卷(選擇題共90分)三、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共計20分．請把答案填寫在答題卡相應(yīng)位置上．13．若直線l過點(diǎn)A(1，2)，且在兩坐標(biāo)軸上截距互為相反數(shù)，則直線l方程為▲．14．若F1，F(xiàn)2是橢圓C：EQ\F(x\S(2),9)＋\F(y\S(2),5)＝1的兩個焦點(diǎn)，點(diǎn)P，Q為橢圓C上關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對稱的兩點(diǎn)，且eqPQ|＝|F\s\do(1)F\s\do(2)|，則四邊eqPF\s\do(1)QF\s\do(2)的面積為▲．15．已知圓eqx\s(2)＋y\s(2)＝1和直線3x－y＋1＝0之于P，Q兩點(diǎn)，若射線OP，OQ⊥由x軸正方向繞著原點(diǎn)O逆時針分別旋轉(zhuǎn)a，β角得到，則cos(α＋β)的值為▲．16．已知eqF\s\do(1)，F(xiàn)\s\do(2)為橢圓eq\f(x\s(2),a\s(2）＋\f(y\s(2),b\s(2）＝1(a＞b＞0)左右焦點(diǎn)，過橢圓的右頂點(diǎn)A點(diǎn)作垂直于x軸的直線l，若直線l上存在點(diǎn)P滿足eq∠F\s\do(1)PF\s\do(2)＝60°，則橢圓離心率的取值范圍為▲．四、解答題：本大題共5小題，共計70分．請在答題卡指定區(qū)域內(nèi)作答，解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17．(本小題滿分10分)已知直線l經(jīng)過兩直線eql\s\do(1)：x＋y＝0和l2：2x＋3y－2＝0的交點(diǎn)．(1)若直線l與直線3x＋y－1＝0垂直，求直線l的方程；(2)若點(diǎn)A(3，1)，B(－1，5)到直線l的距離相等，求直線l的方程．18．(本小題滿分15分)近年來，“直播帶貨”受到越來越多人的喜愛，目前已經(jīng)成為推動消費(fèi)的一種主流經(jīng)濟(jì)形式．某直播平臺對平臺內(nèi)800個直播商家進(jìn)行調(diào)查統(tǒng)計，發(fā)現(xiàn)所售商品多為小吃、衣帽、果蔬、玩具、飾品類等，各類直播商家所占比例如圖．(1)該直播平臺為了更好地服務(wù)買賣雙方，打算隨機(jī)抽取40個直播商家進(jìn)行問詢交流．如果按照分層抽樣的方式抽取，則應(yīng)抽取小吃類、玩具類商家各多少家?(2)在問詢了解直播商家的利潤狀況時，工作人員對抽取的40個商家的平均日利潤進(jìn)行了統(tǒng)計(單位：元)，并將平均日利潤超過300元的商家稱為“優(yōu)秀商家”，所得頻率直方圖如下圖所示．(i)請根據(jù)頻率直方圖計算抽取的商家中“優(yōu)秀商家”的個數(shù)，并以此估計該直播平臺“優(yōu)秀商家”的個數(shù)；EQ\F(頻率,組距)(ii)若從抽取的EQ\F(頻率,組距)19．(本小題滿分15分)已知橢圓C：eq\f(x\s(2),a\s(2）＋\f(y\s(2),b\s(2）＝1(a＞b＞0)的離心率eq\f(1,2)，點(diǎn)E，F(xiàn)分別為其下頂點(diǎn)和右焦點(diǎn)，坐標(biāo)原點(diǎn)為O，且△EOF的面積為eq\f(\r(,3),2)．(1)求橢圓C的方程；(2)是否存在直線l，使得l與橢圓C相交于A，B兩點(diǎn)，且點(diǎn)F恰為△EAB的重心?若存在，求直線l的方程，若不存在，請說明理由．20．(本小題滿分15分)如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，過原點(diǎn)O的直線l與圓M：eqx\s(2)＋(y－2)\s(2)＝4交于點(diǎn)P(與O不同)，過原點(diǎn)且垂直于I的直線m與圓N：eq(x－2)\s(2)＋y\s(2)＝1交于A，B兩點(diǎn)．(1)記直線l的傾斜角為α，求a的取值范圍；(2)若線段AB的中點(diǎn)為Q，求△OPQ面積的取值范圍．2