2022-2023學(xué)年廣東省開平市高二年級上冊學(xué)期10月月考數(shù)學(xué)試題【含答案】

2022-2023學(xué)年廣東省開平市高二上學(xué)期10月月考數(shù)學(xué)試題一、單選題1．已知直線過點，且與直線垂直，則直線的方程為（

）A． B．C． D．A【分析】求出直線的斜率，利用點斜式可得出直線的方程.【詳解】直線的斜率為，則直線的斜率為，故直線的方程為，即.故選：A.2．下列說法正確的是（

）．A．“”是“直線與直線互相垂直”的充要條件B．經(jīng)過點且在軸和軸上截距都相等的直線方程為C．過，兩點的所有直線的方程為D．直線與直線互相平行，則D【分析】利用直線一般方程的垂直公式，可判斷A；在軸和軸上截距都相等的直線還有經(jīng)過原點的情形，可判斷B；兩點式不可表示斜率為0和斜率不存在的直線，可判斷C；利用直線一般方程的平行公式，可判斷D【詳解】對于A，若“直線與直線互相垂直”，則，解得或，故“”是“直線與直線互相垂直”的充分不必要條件，故A不正確；對于B，經(jīng)過點且在軸和軸上截距都相等的直線還有經(jīng)過原點的情形即，故B不正確；對于C，當(dāng)或時，不可表示為兩點式，故C不正確；對于D，若兩直線平行，則，當(dāng)時，兩直線重合，故，D正確故選：D3．四棱錐中，，則這個四棱錐的高為（

）A． B． C． D．A【分析】求出平面的法向量，計算法向量與的夾角得出與平面的夾角，從而可求出到平面的距離．【詳解】解：設(shè)平面的法向量為，，，則，，令可得，，即，2，，，設(shè)與平面所成角為，則，于是到平面的距離為，即四棱錐的高為．故選：．本題考查了空間向量在立體幾何中的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．4．《九章算術(shù)》中的“商功”篇主要講述了以立體幾何為主的各種形體體積的計算，其中塹堵是指底面為直角三角形的直棱柱.如圖，在塹堵中，分別是的中點，是的中點，若，則（

）A．1 B． C． D．C【分析】連接，由，即可求出答案.【詳解】連接如下圖：由于是的中點，.根據(jù)題意知..故選：C.5．已知直線過定點，則點關(guān)于對稱點的坐標(biāo)為（

）A． B． C． D．A根據(jù)直線方程得到定點A的坐標(biāo)，設(shè)其關(guān)于的對稱點坐標(biāo)，列出方程組，解之即可.【詳解】直線即，故，設(shè)點關(guān)于的對稱點坐標(biāo)為．則解得．點關(guān)于的對稱點坐標(biāo)為．故選：A．6．已知梯形CEPD如下圖所示，其中，，A為線段PD的中點，四邊形ABCD為正方形，現(xiàn)沿AB進(jìn)行折疊，使得平面平面ABCD，得到如圖所示的幾何體．已知當(dāng)點F滿足時，平面平面PCE，則的值為（

）A． B． C． D．D【分析】構(gòu)建以A為原點，射線AB、AD、AP為x、y、z軸正方向的空間直角坐標(biāo)系，由題設(shè)標(biāo)注相關(guān)點的坐標(biāo)，進(jìn)而求面、面的法向量，根據(jù)空間向量垂直的坐標(biāo)表示求參數(shù).【詳解】由題意，可構(gòu)建以A為原點，射線AB、AD、AP為x、y、z軸正方向的空間直角坐標(biāo)系，∴，則，，若是面一個法向量，則，可得，若是面一個法向量，則，可得，∴由面面PCE，有，解得.故選：D7．過點引直線，使，到它的距離相等，則這條直線的方程是（

）A． B．C．或 D．或D【分析】設(shè)所求的直線為，則直線平行于或直線過線段的中點，分情況討論即可求解.【詳解】設(shè)所求的直線為，則直線平行于或直線過線段的中點，因為，，所以，所以過點且與平行的直線為：即，因為，，所以線段的中點為，所以過點與線段的中點為的直線的方程為：，即，所以這條直線的方程是：或，故選：D.8．如圖，在三棱錐中，平面平面，，，，點是線段上的動點，若線段上存在點，使得異面直線與成30°的角，則線段長的取值范圍是（

）A． B． C． D．C【分析】向量法.以C為原點，CD為x軸，CB為y軸，過C作平面BCD的垂線為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，根據(jù)各點的坐標(biāo)寫出向量，點，對于點的設(shè)法，采用向量式，而后利用異面直線所成的角的向量計算公式列方程求解.【詳解】如圖，以C為原點，CD為x軸，CB為y軸，過C作平面BCD的垂線為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則，設(shè)，設(shè)，則，，異面直線PQ與AD成的角，，，，即，解得，，可得.故選：C.二、多選題9．已知空間中三點，，，則不正確的有（

）A．與是共線向量 B．的單位向量是C．與夾角的余弦值是 D．平面ABC的一個法向量是ABC【分析】分別表示出向量，，，即可以判斷與是否共線、的單位向量、與夾角余弦值及平面ABC的法向量，即可得解．【詳解】對于A，由題意，，，則，所以與不共線，所以A錯誤；對于B，向量的模等于，所以B錯誤；對于C，，所以，所以C錯誤對于D，設(shè)平面ABC的一個法向量是，則，即取，得，，則平面ABC的一個法向量是，所以D正確．故選：ABC．10．下列說法正確的是（

）A．直線必過定點（2，1）B．直線在軸上的截距為－2C．直線的傾斜角為120°D．若直線沿軸向左平移3個單位長度，再沿軸向上平移2個單位長度后，回到原來的位置，則該直線的斜率為ACD代入點的坐標(biāo)判斷A，求出縱截距判斷B，求出斜率得傾斜角，判斷C，寫出平移直線后的方程，與原方程一致，由此求得，判斷D．【詳解】，所以點在直線上，A正確；對，令，得，直線在軸上截距為2，B錯誤；直線的斜率為，傾斜角為，C正確；設(shè)直線方程為，沿軸向左平移3個單位長度，再沿軸向上平移2個單位長度后得，即它就是，所以，所以，D正確．故選：ACD．關(guān)鍵點點睛：本題考查直線方程，利用直線方程研究直線的性質(zhì)是解析幾何的基本方法．掌握直線的概念與特征是解題關(guān)鍵．11．下列結(jié)論錯誤的是（

）A．過點，的直線的傾斜角為B．直線與直線之間的距離為C．已知點，，點在軸上，則的最小值為D．已知兩點，，過點的直線與線段沒有公共點，則直線的斜率的取值范圍是ABD【分析】求出直線的斜率，再由斜率的定義求出傾斜角可判斷A；根據(jù)兩平行線間的距離可判斷B；點關(guān)于軸的對稱點為，則求出最小值可判斷C；求出臨界值和，由可判斷D，進(jìn)而可得符合題意的選項.【詳解】對于，因為，，所以，因為直線的傾斜角的范圍為，所以直線的傾斜角為，故選項A錯誤；對于B，由可得，與平行，則兩條平行直線間的距離為，故選項B錯誤，對于C，點關(guān)于軸的對稱點為，則，所以，的最小值為，故選項C正確，對于D，，，又因為直線與線段沒有公共點，所以，故選項D錯誤，故選：ABD.12．已知正方體棱長為，如圖，為上的動點，平面.下面說法正確的是（）A．直線與平面所成角的正弦值范圍為B．點與點重合時，平面截正方體所得的截面，其面積越大，周長就越大C．點為的中點時，若平面經(jīng)過點，則平面截正方體所得截面圖形是等腰梯形D．已知為中點，當(dāng)?shù)暮妥钚r，為的中點AC【分析】以點為坐標(biāo)原點，、、所在直線分別為、、軸建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量法可判斷A選項的正誤；證明出平面，分別取棱、、、、、的中點、、、、、，比較和六邊形的周長和面積的大小，可判斷B選項的正誤；利用空間向量法找出平面與棱、的交點、，判斷四邊形的形狀可判斷C選項的正誤；將矩形與矩形延展為一個平面，利用、、三點共線得知最短，利用平行線分線段成比例定理求得，可判斷D選項的正誤.【詳解】對于A選項，以點為坐標(biāo)原點，、、所在直線分別為、、軸建立空間直角坐標(biāo)系，則點、、設(shè)點，平面，則為平面的一個法向量，且，，，所以，直線與平面所成角的正弦值范圍為，A選項正確；對于B選項，當(dāng)與重合時，連接、、、，在正方體中，平面，平面，，四邊形是正方形，則，，平面，平面，，同理可證，，平面，易知是邊長為的等邊三角形，其面積為，周長為.設(shè)、、、、、分別為棱、、、、、的中點，易知六邊形是邊長為的正六邊形，且平面平面，正六邊形的周長為，面積為，則的面積小于正六邊形的面積，它們的周長相等，B選項錯誤；對于C選項，設(shè)平面交棱于點，點，，平面，平面，，即，得，，所以，點為棱的中點，同理可知，點為棱的中點，則，，而，，且，由空間中兩點間的距離公式可得，，，所以，四邊形為等腰梯形，C選項正確；對于D選項，將矩形與矩形延展為一個平面，如下圖所示：若最短，則、、三點共線，，，，所以，點不是棱的中點，D選項錯誤.故選：AC.本題考查線面角正弦值的取值范圍，同時也考查了平面截正方體的截面問題以及折線段長的最小值問題，考查空間想象能力與計算能力，屬于難題.三、填空題13．過點,的直線方程（一般式）為___________.【分析】利用兩點式方程可求直線方程.【詳解】∵直線過點,，∴，∴，化簡得.故答案為.14．已知O為坐標(biāo)原點，，，若與的夾角為120°，則實數(shù)______．【分析】求出，，，，，，再由與的夾角為，能求出的值．【詳解】，，，，，，，，，，，，，，，與的夾角為，，解得．故15．已知，為直線上兩點，為坐標(biāo)原點，若，則面積的最小值為______.【分析】設(shè)點到直線的距離為，再利用三角形的面積公式可得，再利用余弦定理以及基本不等式可得，結(jié)合三角形的面積公式即可求解.【詳解】由直線可得，則點到直線的距離為，由，則，，在中，由余弦定理，當(dāng)且僅當(dāng)，等號成立，所以，解不等式可得，即面積的最小值為.故本題考查了三角形的面積公式、余弦定理以及基本不等式，需熟記公式，屬于基礎(chǔ)題.16．如圖，棱長為3的正方體的頂點在平面上，三條棱都在平面的同側(cè)，若頂點到平面的距離分別為，，則頂點到平面的距離是______.【分析】求點到平面的距離，建立空間直角坐標(biāo)系，由頂點到平面的距離分別為，，利用空間點到平面距離公式，求出平面的法向量，即可求出結(jié)論.【詳解】如圖，以為坐標(biāo)原點，建立空間直角坐標(biāo)系，則，所以，設(shè)平面的一個法向量為，則點到平面距離為，①點到平面距離為，②由①②可得，所以到平面的距離為.故答案為:.本題考查點到平面的距離，利用空間直角坐標(biāo)系解題時，正確建立空間坐標(biāo)系是關(guān)鍵，屬于較難題.四、解答題17．中，頂點、，邊所在直線方程為，邊上的高所在直線方程為．(1)求邊所在直線的方程；(2)求的面積．(1)(2)的面積為【分析】（1）設(shè)直線的方程為，將點的坐標(biāo)代入直線的方程，求出的值，即可得出直線的方程；（2）求出點的坐標(biāo)，計算出以及點到直線的距離，利用三角形的面積公式即可求得的面積.【詳解】（1）解：因為邊上的高所在直線方程為，可設(shè)直線的方程為，將點的坐標(biāo)代入直線的方程得，解得，因此，直線的方程為.（2）解：聯(lián)立，解得，即點，，直線的斜率為，則直線的方程為，即，點到直線的距離為，故.18．如圖，在三棱柱中，平面，，，，分別為，的中點．(1)求證：；(2)求異面直線與所成角的余弦值．(1)證明見解析；(2).【分析】（1）設(shè)，，，將和表示成，然后計算得，進(jìn)而即得；（2）用表示，然后利用向量夾角公式即得.【詳解】（1）設(shè)，，，根據(jù)題意得，且∴，.∴，∴，即；（2）∵，∴，，∵，∴.∴異面直線與所成角的余弦值為．19．如圖，已知空間四邊形的每條邊和對角線的長都等于1，點分別是的中點，計算：(1)；(2)異面直線與所成角的余弦值.(1)(2)【分析】（1）利用向量的線性運算法則，得，，進(jìn)而得到，最后可求解.（2）利用空間向量數(shù)量積的運算性質(zhì)計算出的值，結(jié)合異面直線所成角的范圍可求得異面直線和所成角的余弦值．【詳解】（1）設(shè)，，，則，，，，；，（2）由（1）得，，，，，所以，，由于異面直線所成角的取值范圍是，所以異面直線與所成角的余弦值為.20．已知直線經(jīng)過點．(1)若原點到直線的距離為2，求直線的方程；(2)若直線被兩條相交直線和所截得的線段恰被點平分，求直線的方程．(1)或；(2)．(1)本題首先可以假設(shè)直線的斜率不存在，然后根據(jù)點得出直線方程，再然后假設(shè)直線斜率存在并設(shè)出直線方程，最后根據(jù)原點到直線的距離為2即可得出結(jié)果；(2)本題首先可以設(shè)出直線與直線，的交點坐標(biāo)、分別為、，然后根據(jù)中點坐標(biāo)的相關(guān)性質(zhì)得出、，再然后根據(jù)在上以及在上得出并解得的坐標(biāo)是，最后根據(jù)直線的兩點式方程即可得出結(jié)果.【詳解】(1)①直線的斜率不存在時，顯然成立，直線方程為．②當(dāng)直線斜率存在時，設(shè)直線方程為，由原點到直線的距離為2得，解得，故直線的方程為，即，綜上，所求直線方程為或．(2)設(shè)直線夾在直線，之間的線段為（在上，在上），、的坐標(biāo)分別設(shè)為、，因為被點平分，所以，，于是，由于在上，在上，即，解得，，即的坐標(biāo)是，故直線的方程是，即．本題考查直線的方程的求法，主要考查直線的點斜式方程以及直線的兩點式方程，考查中點坐標(biāo)的相關(guān)性質(zhì)以及點到直線的距離公式的應(yīng)用，考查計算能力，在計算過程中要注意斜率不存在的情況，是中檔題.21．如圖，在四棱錐中，底面為直角梯形，，，平面底面為的中點，是棱上的點，，.(1)求證：平面平面；(2)若二面角的大小為，求點到平面的距離.(1)證明見解析(2)【分析】（1）證明，根據(jù)平面平面可得平面，即可證明平面平面；（2）證明出平面，然后以點為原點，以、、所在直線分別為軸、軸、軸建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，其中，利用空間向量法求出的值，再利用空間向量法可求得點到平面的距離.【詳解】（1）證明：，，為的中點，四邊形為平行四邊形，．，即．又平面平面且平面平面，平面，平面．平面，平面平面．（2）因為，為的中點，所以.因為平面平面，平面平面，平面，所以平面，又因為，如圖，以為原點，以、、所在直線分別為軸、軸、軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，設(shè)，其中，所以，，又，設(shè)平面的法向量為，則，所以，取，得，由題意知平面的一個法向量為，因為二面角為，所以，因為，解得，所以,因為平面的一個法向量為，.所以與平面的距離為.22．已知三棱柱中，，，，．(1)求證：平面平面ABC；(2)若，在線段AC上是否存在一點P，使二面角的平面角的余弦值為？若存在，確定點P的位置；若不存在，說明理由．(1)證明見解析；(2)存在，，理由見解析.【分析】（1）連接，由線面垂直的判定有平面，根據(jù)線面垂直的性質(zhì)，最后根據(jù)線面垂直、面面垂直的判定證結(jié)論.（