(五年高考真題)2016屆高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí) 第十章 離散型隨機(jī)變量的分布列、均值與方差 理

第六節(jié)離散型隨機(jī)變量的分布列、均值與方差考點(diǎn)一離散型隨機(jī)變量的分布列考點(diǎn)一離散型隨機(jī)變量的分布列（2013?廣東，4）已知離散型隨機(jī)變量X的分布列為X123P3_3_丄51010則X的數(shù)學(xué)期望E（X）=（）35A.。B.2C.D.3解析3313由已知條件可知E(X)=1X5+2X10+3X10=2，故選A.答案A（2015?安徽，17）已知2件次品和3件正品混放在一起，現(xiàn)需要通過檢測將其區(qū)分，每次隨機(jī)檢測一件產(chǎn)品，檢測后不放回，直到檢測出2件次品或者檢測出3件正品時檢測結(jié)果.（1）求第一次檢測出的是次品且第二次檢測出的是正品的概率；（2）已知每檢測一件產(chǎn)品需要費(fèi)用100元，設(shè)X表示直到檢測出2件次品或者檢測出3件正品時所需要的檢測費(fèi)用（單位：元），求X的分布列和均值（數(shù)學(xué)期望）.解（1）記“第一次檢測出的是次品且第二次檢測出的是正品”為事件A.P(AP(A)=A1A1310.（2）X的可能取值為200，300，400.A2P(X=200)=AA2P(X=200)=A|=丄10，P(X=300)=A3＋C1C1A22A3310,136P(X=400)=1—P(X=200)—P(X=300)=1一10一10=10?故X的分布列為X200300400P丄_3__6_101010E(X)=200唏+300爲(wèi)+400唏=350.（2015?福建，16）某銀行規(guī)定，一張銀行卡若在一天內(nèi)出現(xiàn)3次密碼嘗試錯誤，該銀行卡將被鎖定．小王到該銀行取錢時，發(fā)現(xiàn)自己忘記了銀行卡的密碼，但可以確認(rèn)該銀行卡的正確密碼是他常用的6個密碼之一，小王決定從中不重復(fù)地隨機(jī)選擇1個進(jìn)行嘗試．若密碼正確，則結(jié)束嘗試；否則繼續(xù)嘗試，直至該銀行卡被鎖定．求當(dāng)天小王的該銀行卡被鎖定的概率；設(shè)當(dāng)天小王用該銀行卡嘗試密碼的次數(shù)為X,求X的分布列和數(shù)學(xué)期望.解(1)設(shè)“當(dāng)天小王的該銀行卡被鎖定”的事件為A,TOC\o"1-5"\h\z431則P(A)=6X5X4=2-(2)依題意得,X所有可能的取值是1,2,3.1511又P(X=1)=6,P(X=2)=6X5=6，42P(X=3)=iX[X1=￡.53所以X的分布列為X123P112663TOC\o"1-5"\h\z1125所以E(X)=1X6+2X6+3X§=2?(2015?重慶，17)端午節(jié)吃粽子是我國的傳統(tǒng)習(xí)俗.設(shè)一盤中裝有10個粽子，其中豆沙粽2個，肉粽3個，白粽5個，這三種粽子的外觀完全相同，從中任意選取3個．求三種粽子各取到1個的概率；設(shè)X表示取到的豆沙粽個數(shù)，求X的分布列與數(shù)學(xué)期望.解(1)令A(yù)表示事件“三種粽子各取到1個”，則由古典概型的概率計(jì)算公式有P(A)=C1C1C11TOC\o"1-5"\h\z235C3=4.10(2)X的所有可能值為0，1，2，且C37C1C27P(X=0)=CT=151010C2C1128C31510綜上知，X的分布列為X012P77丄151515TOC\o"1-5"\h\z713故E(X)=0X后+1X后+2X店=5(個).

(2014?天津，16)某大學(xué)志愿者協(xié)會有6名男同學(xué)，4名女同學(xué).在這10名同學(xué)中，3名同學(xué)來自數(shù)學(xué)學(xué)院，其余7名同學(xué)來自物理、化學(xué)等其他互不相同的七個學(xué)院．現(xiàn)從這10名同學(xué)中隨機(jī)選取3名同學(xué)，到希望小學(xué)進(jìn)行支教活動(每位同學(xué)被選到的可能性相同).(1)求選出的3名同學(xué)是來自互不相同學(xué)院的概率；(2)設(shè)X為選出的3名同學(xué)中女同學(xué)的人數(shù)，求隨機(jī)變量X的分布列和數(shù)學(xué)期望.Ci?C2—Co?C3解(1)設(shè)“選出的3名同學(xué)是來自互不相同的學(xué)院”為事件A，則P(A)=~廠~7C310_49=60'(2)隨機(jī)變量X的所有可能值為0，1，2，3.Ck?C3—kP(X_k)_C4^^(k_0，1，2,3).C310所以，隨機(jī)變量X的分布列是X0123P11丄621030-|-|o-|隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望E(X)_OX6+1X-+2X：10+3X30_5.(2014?四川，17)—款擊鼓小游戲的規(guī)則如下：每盤游戲都需擊鼓三次，每次擊鼓要么出現(xiàn)一次音樂，要么不出現(xiàn)音樂；每盤游戲擊鼓三次后，出現(xiàn)一次音樂獲得10分，出現(xiàn)兩次音樂獲得20分，出現(xiàn)三次音樂獲得100分，沒有出現(xiàn)音樂則扣除200分(即獲得—200分)?設(shè)每次擊鼓出現(xiàn)音樂的概率為2，且各次擊鼓出現(xiàn)音樂相互獨(dú)立.設(shè)每盤游戲獲得的分?jǐn)?shù)為X,求X的分布列；玩三盤游戲，至少有一盤出現(xiàn)音樂的概率是多少？玩過這款游戲的許多人都發(fā)現(xiàn)，若干盤游戲后，與最初的分?jǐn)?shù)相比，分?jǐn)?shù)沒有增加反而減少了.請運(yùn)用概率統(tǒng)計(jì)的相關(guān)知識分析分?jǐn)?shù)減少的原因.解(1)X可能的取值為：10,20，100，—200.根據(jù)題意，有P(X_10)_C1X3IDP(X_10)_C1X3ID1x〔1-2)38’p(x_20)_c2xQ)2x〔1-2)38’p(x=i0orx[2)x[i-2)=8p(X=-200)=C3x[2jx[i-￡=8所以x的分布列為X1020100-200P33118888⑵設(shè)“第i盤游戲沒有出現(xiàn)音樂”為事件A.(i=l,2,3),則iP(A)=P(A)=P(A)=P(X=-200)=1.238所以,“三盤游戲中至少有一次出現(xiàn)音樂”的概率為1-1-心3)=1-?3=-_1_=511=1-512=512,因此，玩三盤游戲至少有一盤出現(xiàn)音樂的概率是51歹33115(3)X的數(shù)學(xué)期望為E(X)=10X§+20X8+100X8-200X8=-這表明，獲得分?jǐn)?shù)X的均值為負(fù)，因此,多次游戲之后分?jǐn)?shù)減少的可能性更大．(2014?山東，18)乒乓球臺面被球網(wǎng)分隔成甲、乙兩部分.如圖，甲上有兩個不相交的區(qū)域A，B,乙被劃分為兩個不相交的區(qū)域C，D.某次測試要求隊(duì)員接到落點(diǎn)在甲上的來球后向乙回球.規(guī)定：回球一次，落點(diǎn)在C上記3分，在D上記1分，其他情況記0分.對落點(diǎn)在A上的來球，隊(duì)員小明回球的落點(diǎn)在C上的概率為扌，在D上的概率為扌；對13落點(diǎn)在B上的來球，小明回球的落點(diǎn)在C上的概率為5在D上的概率為5?假設(shè)共有兩次來球且落在A，B上各一次，小明的兩次回球互不影響.求:小明兩次回球的落點(diǎn)中恰有一次的落點(diǎn)在乙上的概率；兩次回球結(jié)束后，小明得分之和e的分布列與數(shù)學(xué)期望.解(1)記A.為事件“小明對落點(diǎn)在A上的來球回球的得分為i分”(i=0,1,3),i則P(A3)=1，P(A1)=3,P(Ao)=1-1-1=6；

記Bi為事件“小明對落點(diǎn)在B上的來球回球的得分為i分”（i=0,1,3）,TOC\o"1-5"\h\z13131則p（b3）=5,p（Bi）=5,p（Bo）=1-5-5=5-記D為事件“小明兩次回球的落點(diǎn)中恰有一次的落點(diǎn)在乙上”.由題意，D=AB+AB+AB+AB,30100103由事件的獨(dú)立性和互斥性，p(D)=p(AB＋AB＋AB＋AB)30100103=p(AB)＋p(AB)＋p(AB)＋p(AB)30100103=p(A)p(B)＋p(A)p(B)＋p(A)p(B)＋p(A)p(B)30100103111113113=2X5+3X5+6X5+6X5=^，所以小明兩次回球的落點(diǎn)中恰有一次的落點(diǎn)在乙上的概率為10.(2)由題意，隨機(jī)變量§可能的取值為0,1,2,3,4,6,由事件的獨(dú)立性和互斥性,得臨=o）=p（aobo）=6x5=30p(§=1)=p(AB＋AB)=p(AB)＋p(AB)1oo11oo11,13X1,13X5+6X5=16,131臨=2)=p(aibi)=3x5=?p(§=3)=p(AB＋AB)=p(AB)＋p(AB)TOC\o"1-5"\h\z3oo33oo311,112=2X5+6X5=15,p(§=4)=p(AB＋AB)=p(AB)＋p(AB)3113311313,1111=2X5+3X5=^,p(§=6)=p(A3b3)=2x5=11o.可得隨機(jī)變量§的分布列為：§012346P丄11_2_11丄3065153010所以數(shù)學(xué)期望E（§）=Ox3o+1x6+2x5+3X*+4x30+6x!o=30.（2014?重慶，18）—盒中裝有9張各寫有一個數(shù)字的卡片，其中4張卡片上的數(shù)字是1,3張卡片上的數(shù)字是2,2張卡片上的數(shù)字是3.從盒中任取3張卡片．

(1)求所取3張卡片上的數(shù)字完全相同的概率；(2)X表示所取3張卡片上的數(shù)字的中位數(shù)，求X的分布列與數(shù)學(xué)期望.(注：若三個數(shù)a，b，c滿足aWbWc，則稱b為這三個數(shù)的中位數(shù).)TOC\o"1-5"\h\zC3＋C35解(1)由古典概型中的概率計(jì)算公式知所求概率為P=rC廠=84?9(2)X的所有可能值為1，2，3，且C2O+C317P(X=1)=P(X=1)=C342P(X=2)=CjP(X=2)=CjCiCj+C?C1+C33423634384,P(X=3)=C2C127丄12,故X的分布列為從而E(從而E(X)1743,1X42+2X84+3XJ_=4712=28'X123P1743丄428412(2014?江西，21)隨機(jī)將1，2,…，2n(nWN*,n±2)這2n個連續(xù)正整數(shù)分成A，B兩組，每組n個數(shù).A組最小數(shù)為％，最大數(shù)為a2；B組最小數(shù)為R，最大數(shù)為記§=a—a,n=b—b.121當(dāng)n=3時，求§的分布列和數(shù)學(xué)期望；令C表示事件“§與n的取值恰好相等”，求事件C發(fā)生的概率P(C)；對(2)中的事件C,C表示C的對立事件，判斷P(C)和P(C)的大小關(guān)系，并說明理由.解(1)當(dāng)n=3時，§的所有可能取值為2，3，4，5.將6個正整數(shù)平均分成A,B兩組，不同的分組方法共有C3=20種，所以§的分布列為6§2345P13_3_15101051,3317e(§)=2X5+3X^+4X^+5X5=2-(2)§和n恰好相等的所有可能取值為：n—1,n,n+1,…，2n—2.又§和n恰好相等且等于n—1時，不同的分組方法有2種；§和n恰好相等且等于n時，不同的分組方法有2種；§和n恰好相等且等于n+k(k=1,2,…，n—2)(n^3)時，不同的分組方法有2C§k種;42所以當(dāng)n=2時，P(C)=6=3，2(2+t2Ck)2k當(dāng)n±3時，P(C)=護(hù)—Cn2n1⑶由(2)知當(dāng)n=2時，P(C)=3,因此P(C)>P(C).而當(dāng)n±3時，P(C)<P(C)，理由如下：P(C)<P(C)等價于4(2+藝Cn.①2nk=11°當(dāng)n=3時，①式左邊=4(2+Ci)=4(2+2)=16,2①右邊=CC3=20，所以①式成立.62°假設(shè)n=m(m三3)時①式成立，即4(2+藝Ck)<Cm成立2K2mk=1那么，當(dāng)n=m+1時，左邊=4(2+'送2Ck2kk=1=4(2+乙Ck)+4Cm-1<Cm+4Cm-12k2(m-1)2m2(m-1)k=1(2m)!豐4?(2m—2)!m!m!(m—1)!(m—1)!(m+1)2(2m)(2m—2)!(4m—1)=(m+1)!(m+1)!(m+1)2(2m)(2m—2)!(4m)<(m+1)!(m+1)!一2(m+1)mCm+1?2(m+1)(2m+1)(2m—1)〈Cm+1=右邊.2(m+1)即當(dāng)n=m+l時①式也成立.綜合1°，2°得：對于n±3的所有正整數(shù)，都有P(C)<P(C)成立.(2013?天津，16)—個盒子里裝有7張卡片，其中有紅色卡片4張，編號分別為1,2，3，4；白色卡片3張，編號分別為2，3，4.從盒子中任取4張卡片（假設(shè)取到任何一張卡片的可能性相同）.求取出的4張卡片中，含有編號為3的卡片的概率；在取出的4張卡片中，紅色卡片編號的最大值設(shè)為X,求隨機(jī)變量X的分布列和數(shù)學(xué)期望．C1C3＋C2C2解(1)設(shè)“取出的4張卡片中，含有編號為3的卡片”為事件A,則P(A)=25c425=76所以取出的4張卡片中，含有編號為3的卡片的概率為(2)隨機(jī)變量X的所有可能取值為1,2,3,4.C31P(X=1)=c4=35,7c34P(X=2)=c4=35,7P(X=3)=c5=|,c747P(X=4)=c6=4.c747所以隨機(jī)變量X的分布列是X1234P丄_424353577142417隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望E(X)=1x35+2x35+3x7+4x7^5?(2013?北京，16)下圖是某市3月1日至14日的空氣質(zhì)量指數(shù)趨勢圖，空氣質(zhì)量指數(shù)小于100表示空氣質(zhì)量優(yōu)良,空氣質(zhì)量指數(shù)大于200表示空氣重度污染．某人隨機(jī)選擇3月1日至3月13日的某一天到達(dá)該市,并停留2天.25021722015021504037250^57/\1601437986X200空氣質(zhì)量指數(shù)25021722015021504037250^57/\1601437986X200空氣質(zhì)量指數(shù)160*1581H2H3日4H506日708H9日10日11日12日13日14日日期求此人到達(dá)當(dāng)日空氣重度污染的概率；設(shè)X是此人停留期間空氣質(zhì)量優(yōu)良的天數(shù)，求X的分布列與數(shù)學(xué)期望；由圖判斷從哪天開始連續(xù)三天的空氣質(zhì)量指數(shù)方差最大？(結(jié)論不要求證明)解設(shè)A表示事件“此人于3月i日到達(dá)該市”(i=1,2,^,13).i根據(jù)題意，P(A.)=W，且A.nA=(iMj).i13ij設(shè)B為事件“此人到達(dá)當(dāng)日空氣質(zhì)量重度污染”，則B=AUA.582所以P(B)=P(AUA)=P(A)+P(A)=--.TOC\o"1-5"\h\z585813由題意可知，X的所有可能取值為0,1,2,且4P(X=1)=P(AUAUAUA)=P(A)+P(A)+P(A)+P(A)=671136711134P(X=2)=P(AUAUAUA)=P(A)+P(A)+P(A)+P(A)=121213121213135P(X=0)=1-P(X=1)-P(X=2)=^.所以X的分布列為X012P_4_413131354412故X的期望E(X)=0X^+1X^+2X^=^.(3)從3月5日開始連續(xù)三天的空氣質(zhì)量指數(shù)方差最大．(2013?江西，18)小波以游戲方式?jīng)Q定是參加學(xué)校合唱團(tuán)還是參加學(xué)校排球隊(duì)，游戲規(guī)則為：以0為起點(diǎn)，再從A，A，A，A，A，A，A，A(如圖)這8個點(diǎn)中任取兩點(diǎn)分12345678別為終點(diǎn)得到兩個向量，記這兩個向量的數(shù)量積為X.若X=0就參加學(xué)校合唱團(tuán)，否則就參加學(xué)校排球隊(duì).y求小波參加學(xué)校合唱團(tuán)的概率；求小波參加學(xué)校合唱團(tuán)的概率；1如(1,1)a5-101?^(-i-i)A-1A(i-i)X-2-101P丄2214147715223E(x)=(-2)xi4+(-i)xi4+ox7+ix7=-i4-(2013?湖南，18)某人在如圖所示的直角邊長為4米的三角形地塊的每個格點(diǎn)(指縱、橫直線的交叉點(diǎn)以及三角形的頂點(diǎn))處都種了一株相同品種的作物.根據(jù)歷年的種植經(jīng)驗(yàn)，一株該種作物的年收獲量Y(單位：kg)與它的“相近”作物株數(shù)X之間的關(guān)系如下表所示：X1234Y51484542這里，兩株作物“相近”是指它們之間的直線距離不超過1米．從三角形地塊的內(nèi)部和邊界上分別隨機(jī)選取一株作物，求它們恰好“相近”的概率；從所種作物中隨機(jī)選取一株，求它的年收獲量的分布列與數(shù)學(xué)期望．解(1)所種作物總株數(shù)N=1+2+3+4+5=15，其中三角形地塊內(nèi)部的作物株數(shù)為3,邊界上的作物株數(shù)為12.從三角形地塊的內(nèi)部和邊界上分別隨機(jī)選取一株的不同結(jié)果有C;C；2=36種，選取的兩株作物恰好“相近”的不同結(jié)果有3+3+2=8種.8故從三角形地塊的內(nèi)部和邊界上分別隨機(jī)選取一株作物，它們恰好“相近”的概率為五2=9'(2)先求從所種作物中隨機(jī)選取的一株作物的年收獲量Y的分布列.因?yàn)镻(Y=51)=P(X=1)，P(Y=48)=P(X=2),P(Y=45)=P(X=3)，P(Y=42)=P(X=4)，所以只需求出P(X=k)(k=1，2,3,4)即可.記nk為其“相近”作物恰有k株的作物株數(shù)(k=1,2,3,4)，則kn^2,n^4,n^6,n^3.1234由P(X=k)=|得2—15,P(X-2)=4一15,62—15—「5，31—15—P(X=1)P(X=3)P(X=4)故所求的分布列為

Y51484542P_2__421151555所求的數(shù)學(xué)期望為E(Y)=51X-2：+48X-5+45x5+42x5=34+64t90+42=46.151555（2013?新課標(biāo)全國II,19）經(jīng)銷商經(jīng)銷某種農(nóng)產(chǎn)品，在一個銷售季度內(nèi)，每售出1t該產(chǎn)品獲利潤500元，未售出的產(chǎn)品，每1t虧損300元.根據(jù)歷史資料，得到銷售季度內(nèi)市場需求量的頻率分布直方圖，如圖所示，經(jīng)銷商為下一個銷售季度購進(jìn)了130t該農(nóng)產(chǎn)品，以X（單位：t,100WXW150）表示下一個銷售季度內(nèi)的市場需求量，T（單位：元）表示下一個銷售季度內(nèi)經(jīng)銷該農(nóng)產(chǎn)品的利潤.（1）將T表示為X的函數(shù)；（2）根據(jù)直方圖估計(jì)利潤T不少于57000元的概率；（3）在直方圖的需求量分組中，以各組的區(qū)間中點(diǎn)值代表該組的各個值，并以需求量落入該區(qū)間的頻率作為需求量取該區(qū)間中點(diǎn)值的概率（例如：若需求量Xe[100,110），則取X=105，且X=105的概率等于需求量落入[100，100）的頻率），求T的數(shù)學(xué)期望.解（1）當(dāng)Xe[100，130）時，T=500X—300（130—X）=800X—39000，當(dāng)Xe[130，150]時，T=500X130=65000.所以T='800X—39000，100WX所以T=65000，130WXW150.⑵由（1）知利潤T不少于57000元當(dāng)且僅當(dāng)120WXW150.由直方圖知需求量Xe[120,150]的頻率為0.7,所以下一個銷售季度內(nèi)的利潤T不少于57000元的概率的估計(jì)值為0.7.（3）依題意可得T的分布列為T45000530006100065000P0.10.20.30.4所以E（T）=45000X0.1+53000X0.2+61000X0.3+65000X0.4=59400.（2013?遼寧，19）現(xiàn)有10道題，其中6道甲類題，4道乙類題，張同學(xué)從中任取3道

題解答．(1)求張同學(xué)至少取到1道乙類題的概率；(2)已知所取的3道題中有2道甲類題，1道乙類題．設(shè)張同學(xué)答對每道甲類題的概率都34是5,答對每道乙類題的概率都是5,且各題答對與否相互獨(dú)立.用x表示張同學(xué)答對題的個數(shù)，求x的分布列和數(shù)學(xué)期望.解(1)設(shè)事件A=“張同學(xué)所取的3道題至少有1道乙類題”，則有A=“張同學(xué)所取的3道題都是甲類題”.C31因?yàn)镻(A)=書=6,所以10P(A)=1-P(A)=-.6(2)X所有的可能取值為0,1,2,3.P(X=0)=C0?〔池)2?P(X=1)=C2?即-+C2?ID24_28-=125；P(X=1)=C2?即-+C2?ID24_28-=125；p(x_2)_C2?[-j?IT4+C1-2〔I)1〔I)14=575_1^;卩仇_3)_9?|(|?4_365_125'所以X的分布列為X0123P428573612512512512542815736所以E(X)_°X函+1X函+2X函+3X函_2.(2012?陜西，20)某銀行柜臺設(shè)有一個服務(wù)窗口，假設(shè)顧客辦理業(yè)務(wù)所需的時間互相獨(dú)立,且都是整數(shù)分鐘,對以往顧客辦理業(yè)務(wù)所需的時間統(tǒng)計(jì)結(jié)果如下：辦理業(yè)務(wù)所需的時間(分)12345頻率0.10.40.30.10.1從第一個顧客開始辦理業(yè)務(wù)時計(jì)時.(1)估計(jì)第三個顧客恰好等待4分鐘開始辦理業(yè)務(wù)的概率；(2)X表示至第2分鐘末已辦理完業(yè)務(wù)的顧客人數(shù)，求X的分布列及數(shù)學(xué)期望.解設(shè)Y表示顧客辦理業(yè)務(wù)所需的時間，用頻率估計(jì)概率，得Y的分布列如下:Y12345P0.10.40.30.10.1A表示事件“第三個顧客恰好等待4分鐘開始辦理業(yè)務(wù)”，則事件A對應(yīng)三種情形：①第一個顧客辦理業(yè)務(wù)所需的時間為1分鐘，且第二個顧客辦理業(yè)務(wù)所需的時間為3分鐘；②第一個顧客辦理業(yè)務(wù)所需的時間為3分鐘，且第二個顧客辦理業(yè)務(wù)所需的時間為1分鐘；③第一個和第二個顧客辦理業(yè)務(wù)所需的時間均為2分鐘.所以P(A)=P(Y=1)P(Y=3)+P(Y=3)P(Y=1)+P(Y=2)P(Y=2)=0.1X0.3+0.3X0.1+0.4X0.4=0.22.法一X所有可能的取值為0，1,2.X=0對應(yīng)第一個顧客辦理業(yè)務(wù)所需的時間超過2分鐘，所以P(X=0)=P(Y>2)=0.5；X=1對應(yīng)第一個顧客辦理業(yè)務(wù)所需的時間為1分鐘且第二個顧客辦理業(yè)務(wù)所需的時間超過1分鐘，或第一個顧客辦理業(yè)務(wù)所需的時間為2分鐘，所以P(X=1)=P(Y=1)P(Y>1)+P(Y=2)=0.1X0.9+0.4=0.49；X=2對應(yīng)兩個顧客辦理業(yè)務(wù)所需的時間均為1分鐘，所以P(X=2)=P(Y=1)P(Y=1)=0.1X0.1=0.01.所以X的分布列為X012P0.50.490.01E(X)=0X0.5+1X0.49+2X0.01=0.51.法二X所有可能的取值為0,1,2.X=0對應(yīng)第一個顧客辦理業(yè)務(wù)所需的時間超過2分鐘,所以P(X=0)=P(Y〉2)=0.5；X=2對應(yīng)兩個顧客辦理業(yè)務(wù)所需的時間均為1分鐘，所以P(X=2)=P(Y=l)P(Y=l)=0.1X0.1=0.01；P(X=1)=1－P(X=0)－P(X=2)=0.49.所以X的分布列為

考點(diǎn)二均值與方差考點(diǎn)二均值與方差1.(2014?浙江，9)已知甲盒中僅有1個球且為紅球，乙盒中有m個紅球和n個藍(lán)球(m±3,n±3)，從乙盒中隨機(jī)抽取i(i=1,2)個球放入甲盒中.(a)放入i個球后，甲盒中含有紅球的個數(shù)記為§i(i=1,2)；(b)放入i個球后，從甲盒中取1個球是紅球的概率記為p(i-1,2).貝9()ipipi>p2,E(§i)〈E(§2)HP，EG"EG2)P1P1>p2，E(§丿〉E(§2)P1<P2，E(§i)<E(f2)解析法一(特值法)取m=n=3進(jìn)行計(jì)算、比較即可.法二(標(biāo)準(zhǔn)解法)從乙盒中取1個球時，取出的紅球的個數(shù)記為§，則§的所有可能取戸2)，所以E(§丿值為0,1,則p(§=0)=m+n解析法一(特值法)取m=n=3進(jìn)行計(jì)算、比較即可.法二(標(biāo)準(zhǔn)解法)從乙盒中取1個球時，取出的紅球的個數(shù)記為§，則§的所有可能取戸2)，所以E(§丿值為0,1,則p(§=0)=m+n=p(§!=d，p(§=1)=m+n=p(§mE(§)2m＋n1=D+2?P(§：=2)=m+n+1，所以p!=—汁=2(m+n)；從乙盒中取=1?P(§2個球時，取出的紅球的個數(shù)記為n，則n的所有可能取值為0，1，2,則P(n=o)=C1C12=1),P(n=1)=廠=p(§2=2),P(n-2)-m＋nC2m—C2m＋n=P(§2-3)，所以E(§2)=1?P(§2m2=1)+2p(§2=2)+3p(§2=3)=m^+1,所以叮3(m＋n)所以片識，E.XE.)，故選A-答案A2.(2013?湖北，9)如圖，將一個各面都涂了油漆的正方體，切割為個同樣大小的小正方體，經(jīng)過攪拌后，從中隨機(jī)取一個小正方體，的涂漆面數(shù)為X,則X的均值E(X)=()126A.1256B-5168CC.1257D-5解析由題意可知涂漆面數(shù)X的可能取值為0，1，2,3.275436由于p(x=o)=函，P(X=1)=^，p(x=2)=巨5,827i54i36i81506P(X=3)=^，故E(X)=0X^+1X^+2X^+3X125=^=5-答案B3.3.(2011?上海，9)馬老師從課本上抄錄一個隨機(jī)變量§的概率分布列如下表:解析令“？”為a,“！”為b,則2a+b=1.又E(§)=a+2b+3a=2(2a+b)=2.答案2(2011?浙江，15)某畢業(yè)生參加人才招聘會，分別向甲、乙、丙三個公司投遞了個人簡歷，假定該畢業(yè)生得到甲公司面試的概率為3,得到乙、丙兩公司面試的概率均為P，且三個公司是否讓其面試是相互獨(dú)立的.記X為該畢業(yè)生得到面試的公司個數(shù).若P(X=0)吉，則隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望E(X)=解析???p(x=o)=|x(i—p)2=2,1???p=2?則p(x=i)=|送送+托送&=1，211,1115P(x=2)=|X2X2X2+|X2X2=02111P(X=|)=|X2X2=6-11515則E(X)=0Xi2+1X|+2Xy2+3X6=|.(2015?天津，16)為推動乒乓球運(yùn)動的發(fā)展，某乒乓球比賽允許不同協(xié)會的運(yùn)動員組隊(duì)參加.現(xiàn)有來自甲協(xié)會的運(yùn)動員|名，其中種子選手2名；乙協(xié)會的運(yùn)動員5名，其中種子選手|名.從這8名運(yùn)動員中隨機(jī)選擇4人參加比賽.(1)設(shè)A為事件“選出的4人中恰有2名種子選手，且這2名種子選手來自同一個協(xié)會”，求事件A發(fā)生的概率；(2)設(shè)X為選出的4人中種子選手的人數(shù)，求隨機(jī)變量X的分布列和數(shù)學(xué)期望.(1)由已知，有P((1)由已知，有P(A)=C2C2＋C2C2C4_6|5.6所以，事件A發(fā)生的概率為春?(2)隨機(jī)變量X的所有可能取值為1,2,3,4.CkC4－kP(X=k)=C^(k=i,2,3,4).C48所以隨機(jī)變量X的分布列為X1234P丄33丄1477143315隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望E(X)=1X^+2X7+3X7+4X^=2，(2015?山東，19)若n是一個三位正整數(shù)，且n的個位數(shù)字大于十位數(shù)字，十位數(shù)字大于百位數(shù)字，則稱n為“三位遞增數(shù)”(如137,359,567等).在某次數(shù)學(xué)趣味活動中，每位參加者需從所有的“三位遞增數(shù)”中隨機(jī)抽取1個數(shù),且只能抽取一次.得分規(guī)則如下：若抽取的“三位遞增數(shù)”的三個數(shù)字之積不能被5整除,參加者得0分；若能被5整除,但不能被10整除,得－1分；若能被10整除,得1分.寫出所有個位數(shù)字是5的“三位遞增數(shù)”；若甲參加活動，求甲得分X的分布列和數(shù)學(xué)期望E(X).解(1)個位數(shù)是5的“三位遞增數(shù)”有125,135,145,235,245,345；(2)由題意知，全部“三位遞增數(shù)”的個數(shù)為C3=84,9隨機(jī)變量X的取值為：0,-1,1,因此P(X=0)=C3=|,9C21P(X=-1)=C^=^，91211P(X=1)=1-^-3=42，所以X的分布列為X0-11P2丄11314421114則E(X)=0X3+(—1)Xj4+lX42=2p(2015?湖南，18)某商場舉行有獎促銷活動，顧客購買一定金額的商品后即可抽獎，每次抽獎都是從裝有4個紅球、6個白球的甲箱和裝有5個紅球、5個白球的乙箱中,各隨機(jī)摸出1個球,在摸出的2個球中,若都是紅球,則獲一等獎；若只有1個紅球,則獲二等獎；若沒有紅球,則不獲獎．(1)求顧客抽獎1次能獲獎的概率；00P(X=0)=C03即〔5)=64=125,P(X=0)=C03即〔5)=64=125,Pgr加=48=125,Pg十1=_12=125,P(X=3)=C33〔5)3〔5)=_1_=125.B=AA,B=AA+1122121次獲一等獎的概率為(2)若某顧客有3次抽獎機(jī)會，記該顧客在3次抽獎中獲一等獎的次數(shù)為X,求X的分布列和數(shù)學(xué)期望．解(1)記事件兔=｛從甲箱中摸出的1個球是紅球｝,A=｛從乙箱中摸出的1個球是紅球｝,2B1=｛顧客抽獎1次獲一等獎｝，B2=｛顧客抽獎1次獲二等獎｝，C=｛顧客抽獎1次能獲獎｝?由題意，A】與A2相互獨(dú)立，A】A2與AA互斥，B1與B2互斥,AA，C=B+B.12124251因?yàn)镻(A1)=^=5，p(A2)=1^=2，所以211P(B)=P(AA)=P(A)P(A)=wXr，11212525P(B)=P(AA+AA)=P(AA)+P(AA)212121212=P(A)P(A)+P(A)P(A)1212=P(A1)(1-P(A2))+(1-P(A1))P(A2)=5xl1-|J+l1_5jxi=i-故所求概率為117P(C)=P(BX+B2)=P(BX)+p(b2)=5+5=1^.(2)顧客抽獎3次可視為3次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)，由(1)知，顧客抽獎5,所以x?B〔3,于是故X的分布列為x的數(shù)學(xué)期望為x的數(shù)學(xué)期望為E（X）=3x5=35.X0123P6448121125125125125（2014?安徽，17）甲乙兩人進(jìn)行圍棋比賽，約定先連勝兩局者直接贏得比賽，若賽完5局仍未出現(xiàn)連勝，則判定獲勝局?jǐn)?shù)多者贏得比賽.假設(shè)每局甲獲勝的概率為2乙獲勝的概率為1，各局比賽結(jié)果相互獨(dú)立.（1）求甲在4局以內(nèi)（含4局）贏得比賽的概率；⑵記X為比賽決出勝負(fù)時的總局?jǐn)?shù)，求X的分布列和均值（數(shù)學(xué)期望）.解用A表示“甲在4局以內(nèi)(含4局)贏得比賽”，Ak表示“第k局甲獲勝”，Bk表示kk21“第k局乙獲勝”，則P(Ak)=?P(Bk)=pk=1，2,3,4,5.k3k3(1)P(A)=P(AA)+P(BAA)+P(ABAA)121231234=P(A)P(A)+P(B)P(A)P(A)+P(A)P(B)?P(A)P(A)121231234Ex〔I)Ex〔I)2+3x3x5681'(2)X的可能取值為2，3，4，5.P(X=2)=P(AA)+P(BB)12125=P(A)P(A)+P(B)P(B)=9，TOC\o"1-5"\h\z12129P(X=3)=P(BAA)+P(ABB)1231232=P(B)P(A)P(A)+P(A)P(B)?P(B)=?1231239P(X=4)=P(ABAA)+P(BABB)12341234=P(A)P(B)P(A)P(A)+P(B)?12341P(A)P(B)P(B)=10，234818P(X=5)=1-P(X=2)-P(X=3)-P(X=4)=81故X的分布列為,2,,2,10,8224E(X)=2x9+3x9+4x^+5X^^^.X2345P5210_8_998181(2014?福建，18)為回饋顧客，某商場擬通過摸球兌獎的方式對1000位顧客進(jìn)行獎勵，規(guī)定：每位顧客從一個裝有4個標(biāo)有面值的球的袋中一次性隨機(jī)摸出2個球，球上所標(biāo)的面值之和為該顧客所獲的獎勵額.(1)若袋中所裝的4個球中有1個所標(biāo)的面值為50元，其余3個均為10元，求：顧客所獲的獎勵額為60元的概率；(ii)顧客所獲的獎勵額的分布列及數(shù)學(xué)期望；商場對獎勵總額的預(yù)算是60000元，并規(guī)定袋中的4個球只能由標(biāo)有面值10元和50元的兩種球組成，或標(biāo)有面值20元和40元的兩種球組成.為了使顧客得到的獎勵總額盡可能符合商場的預(yù)算且每位顧客所獲的獎勵額相對均衡，請對袋中的4個球的面值給出一個合適的設(shè)計(jì)，并說明理由.解(1)設(shè)顧客所獲的獎勵額為X.C1C11(i)依題意，得P(X=60)=古=2，4即顧客所獲的獎勵額為60元的概率為*(ii)依題意，得X的所有可能取值為20,60.P(X=60)=1,p(x=20)=c3=24即X的分布列為X2060p1122所以顧客所獲的獎勵額的期望為E(X)=20x2+60x2=40(元).(2)根據(jù)商場的預(yù)算，每個顧客的平均獎勵額為60元.所以，先尋找期望為60元的可能方案.對于面值由10元和50元組成的情況，如果選擇(10，10，10，50)的方案，因?yàn)?0元是面值之和的最大值，所以期望不可能為60元；如果選擇(50，50，50，10)的方案，因?yàn)?0元是面值之和的最小值，所以期望也不可能為60元，因此可能的方案是(10，10，50，50)，記為方案1.對于面值由20元和40元組成的情況，同理可排除(20，20，20，40)和(40，40，40，20)的方案，所以可能的方案是(20，20，40，40)，記為方案2.以下是對兩個方案的分析：對于方案1,即方案(10,10,50,50)，設(shè)顧客所獲的獎勵額為兔，則X』勺分布列為X12060100P121—6361211X的期望為E(X)=20X7+60X^+100X7=60,X的方差為D(X)=(20-60)2^+(6011636116、2、，、11600-60)2X+(100-60)2X=63對于方案2,即方案(20,20,40,40)，設(shè)顧客所獲的獎勵額為X,則X的分布列為22X2406080P121636121X的期望為E(X)=40X2+60X^+80X2=60,22636121400X的方差為D(X)=(