應(yīng)用數(shù)理統(tǒng)計(jì)基礎(chǔ)

應(yīng)用數(shù)理統(tǒng)計(jì)基礎(chǔ)（莊楚強(qiáng)）考試共8道題1、樣本的數(shù)據(jù)期望與方差2、分布的概念與性質(zhì)3、一連續(xù)型函數(shù)（只有一個(gè)未知參數(shù)）的無偏估計(jì)4、一正態(tài)分布的置性區(qū)間5、兩個(gè)未知參數(shù)函數(shù)的矩估計(jì)6、求一離散型的總體似然估計(jì)求未知參數(shù)的信息量求得的似然估計(jì)是否是最小方差估計(jì)7、正態(tài)分布的假設(shè)檢驗(yàn)8、一離散型總體的假設(shè)檢驗(yàn)第二章、數(shù)理統(tǒng)計(jì)的基本概念與抽樣分布第一節(jié)、數(shù)理統(tǒng)計(jì)的幾個(gè)基本概念重點(diǎn)：統(tǒng)計(jì)量，書中例題2、習(xí)題第四題第三節(jié)、常用統(tǒng)計(jì)分布重點(diǎn)：常用統(tǒng)計(jì)分布（、t、F）的定義及性質(zhì)第四節(jié)、抽樣分布重點(diǎn)：定理1及推論、定理4及推論本章習(xí)題4、5、7、9、13、19、20第三章、參數(shù)估計(jì)掌握：矩估計(jì)、極大似然估計(jì)、區(qū)間估計(jì)本章習(xí)題1、2、3、4、10、11、15、16、18、27、29第四、章假設(shè)檢驗(yàn)重點(diǎn)：第二節(jié)、一個(gè)正態(tài)總體均值與方差的檢驗(yàn)第三節(jié)、兩個(gè)正態(tài)總體均值與方差的檢驗(yàn)第四節(jié)、非正態(tài)總體均值的假設(shè)檢驗(yàn)書上的例題、習(xí)題37、38、39、40第一章概率論復(fù)習(xí)與補(bǔ)充1、概率2、期望數(shù)據(jù)期望的性質(zhì)性質(zhì)1：常量的期望就是這個(gè)常量本身,即E(c)=c.推論：E(E)=E性質(zhì)2：隨機(jī)變量與常量c之和的數(shù)學(xué)期望等于的期望與這個(gè)常量c的和E(+c)=E+c性質(zhì)3：E(c)=cE性質(zhì)4：隨機(jī)變量的線性函數(shù)的數(shù)學(xué)期望等于這個(gè)隨機(jī)變量期望的同一線性函數(shù)3、方差E(k+c)=kE+c方差的性質(zhì)性質(zhì)1：常量的方差等于零。即：設(shè)c為常數(shù)，則Dc=0性質(zhì)2：隨機(jī)變量與常量之和的方差就等于隨機(jī)變量的方差本身即：D(X+c)=DX性質(zhì)3：常量與隨機(jī)變量乘積的方差，等于常量的平方與隨機(jī)變量方差的乘積。即：D(cX)=c2DX性質(zhì)4：設(shè)k,b為常數(shù)，則：D(kX+b)=k2DX性質(zhì)5：兩個(gè)獨(dú)立隨機(jī)變量和(差)的方差，等于這兩個(gè)隨機(jī)變量方差的和。即：D(XY)=DX+DY第二章數(shù)理統(tǒng)計(jì)的基本概念與抽樣分布1、統(tǒng)計(jì)量(第一題樣本數(shù)據(jù)期望與方差)預(yù)測類似題目可能會(huì)有二項(xiàng)分布B(n,p)、0—1分布B(1,p)、均勻分布R[a,b]、指數(shù)分布E(λ)、正態(tài)分布N(μ,σ2)。2、常用統(tǒng)計(jì)分布（第二題有開方分布的概念與性質(zhì)）1)正態(tài)分布函數(shù)定義：若連續(xù)隨機(jī)變量X的概率密度為其中為常數(shù)，>0為常數(shù)，則稱X服從參數(shù)為,2的正態(tài)分布，記為X~N(,2)。其分布函數(shù)為正態(tài)分布滿足密度函數(shù)的兩個(gè)性質(zhì)：(1)(x)>0xR(2)標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布參數(shù)=0,=1的正態(tài)分布稱為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布其密度函數(shù)為：記為X~N(0,1)一般正態(tài)分布與標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的關(guān)系若X~N(,2)，Y~N(0,1)，它們的密度函數(shù)分別記為(x)和0(x)，分布函數(shù)分別記為(x)和0(x)，則證明：2)χ2分布定義設(shè)隨機(jī)變量X1,X2,…,Xn相互獨(dú)立,且同服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，則它們的平方和2=X12+X22+…+Xn2服從的分布稱為自由度為n的2分布。記為：2~2(n)2的密度函數(shù)為χ2分布的基本性質(zhì)(1)2的特征函數(shù)(2)若X~2(n)，Y~2(m)，且X與Y相互獨(dú)立，則X+Y~2(n+m)推論：（1）若Xi~2(ni),i=1,2,…,n，且相互獨(dú)立，則：(2)若X1,X2,…,Xn相互獨(dú)立，同服從于正態(tài)分布N(i,i2)，則(3)若(4)若分布,則當(dāng)n充分大時(shí),分布,則當(dāng)n充分大時(shí),近似服從N(0,1).近似服從N(0,1).2分布的臨界值（分位點(diǎn)）對于給定（0<<1）,稱滿足條件：特征函數(shù)定義設(shè)ξ為一個(gè)實(shí)隨機(jī)變量,F(x)為ξ的分布函數(shù),t為實(shí)數(shù),稱函數(shù)為隨機(jī)變量ξ(或分布函數(shù)F(x))的特征函數(shù)。當(dāng)ξ為連續(xù)型隨機(jī)變量時(shí),特征函數(shù)為：當(dāng)ξ為離散型隨機(jī)變量時(shí),特征函數(shù)為：特征函數(shù)的一些常用性質(zhì)性質(zhì)1有界性φ(t)≤φ(0)=1。性質(zhì)2設(shè)η=kξ+b,其中k,b為常數(shù),則證性質(zhì)3若ξ,η獨(dú)立,則性質(zhì)4若ξ的n階原點(diǎn)矩存在,則ξ的特征函數(shù)的n階導(dǎo)數(shù)存在,且有(k=1,2,?,n)性質(zhì)5特征函數(shù)與分布函數(shù)相互唯一確定(不證).即分布函數(shù)唯一地決定特征函數(shù),而特征函數(shù)也唯一地決定分布函數(shù),特別地,當(dāng)ξ為連續(xù)型隨機(jī)變量,且有F′(x)=p(x)及時(shí)，則3)t-分布服從的分布為自由度為n的t分布,記為t～t(n)。4)F分布其中n1叫做第一自由度，n2叫做第二自由度。F分布的性質(zhì)性質(zhì)1若F~F(m,n),則1/F~F(n,m);性質(zhì)2若5)抽樣分布定理1設(shè)隨機(jī)變量ξ1,ξ2,?,ξn相互獨(dú)立,且(i=1,2,?,n),則它們的任一確定的線性函數(shù)其中常數(shù)k1,k2,?,kn不全為零.推論1設(shè)總體ξ～N(μ,σ2),而(ξ1,ξ2,?,ξn)是它的一個(gè)樣本,則樣本的任一確定的線性函數(shù)其中常數(shù)k1,k2,?,kn不全為零.推論2設(shè)總體ξ～N(μ,σ2),(ξ1,ξ2,?,ξn)是ξ的一個(gè)樣本,則樣本均值有推論3設(shè)ξ與η為兩個(gè)正態(tài)總體,ξ～N(μ1,σ21),(ξ1，ξ2,…ξn1)為ξ的樣本,η～N(μ2,σ22),(η1,η2,?,ηn2)為η的樣本,且這兩個(gè)樣本獨(dú)立,則這兩個(gè)樣本均值與之差或定理4設(shè)總體ξ～N(μ,σ2),(ξ1,ξ2,?,ξn)是ξ的一個(gè)樣本,則(1)樣本均值與樣本方差S2獨(dú)立。(2)推論1設(shè)總體ξ～N(μ,σ2),(ξ1,ξ2,?,ξn)為ξ的一個(gè)樣本,則第三章參數(shù)估計(jì)（4個(gè)題目51分）1、矩法（兩個(gè)未知參數(shù)的矩估計(jì)12分）在一定收斂意義上，經(jīng)驗(yàn)分布函數(shù)是總體分布函數(shù)的近似，又由Xинчен大數(shù)定律可知，樣本的k階原點(diǎn)矩是總體相應(yīng)矩的近似，這是矩估計(jì)法的根據(jù)．設(shè)（）為總體ξ的樣本，又總體ξ的k階原點(diǎn)矩存在但未知，我們用樣本的k階原點(diǎn)矩作為的估計(jì)量，即(特別是)這種用樣本各階原點(diǎn)矩的函數(shù)來估計(jì)總體各階原點(diǎn)矩同一函數(shù)的方法，稱為矩估計(jì)法，簡稱矩法．相應(yīng)的估計(jì)量稱為矩估計(jì)量。特別地，當(dāng)總體方差Dξ存在時(shí)，它的矩估計(jì)量就是樣本方差S２，即或極大似然估計(jì)設(shè)總體分布(以離散型為例)為P(X=x)=F(x,1,2……,k),（1,2……,k)∈Θ未知，樣本(X1,X2,…,Xn)來自總體X，則樣本(X1,X2,…,Xn)的概率分布函數(shù)為：進(jìn)行一次具體的抽樣之后，(X1,X2,…,Xn)得到一組觀察值(x1,x2,…,xn)。事件(X1=x1,X2=x2,…,Xn=xn)發(fā)生的概率為：為（1,2……,k)∈Θ的函數(shù)。因?yàn)?x1,x2,…,xn)在一次觀察中就出現(xiàn)了，應(yīng)出現(xiàn)在概率最大的地方。即求函數(shù)取得最大值的最大值點(diǎn)，以此作為（1,2……,k)的估計(jì)。(2)現(xiàn)得到樣本值為1.3，0.6，1.7，2.2，0.3，1.1，試分別用矩法與極大似然法求總體均值、總體方差的估計(jì)值．無偏估計(jì)定義：如果對一切，有成立，則稱為參數(shù)的無偏估計(jì)量，簡稱無偏估計(jì)。例：設(shè)總體X有期望EX=與方差DX=2，與2都未知。樣本(X1,X2,…,Xn)來自X，試證：(1)樣本方差S2是2的無偏估計(jì)；(2)樣本標(biāo)準(zhǔn)差S不是標(biāo)準(zhǔn)差的無偏估計(jì)；(3)B2不是2的無偏估計(jì)。證：(1)由定理知：ES2=2(2)DS=ES2-(ES)2=2-(ES)2(3)因有效估計(jì)定義：設(shè)（ξ１，ξ２，…，ξn）為總體ξ的一個(gè)樣本，總體的未知參數(shù)θ∈Θ，Θ為參數(shù)空間，（ξ１，ξ２，…，ξn）為待估函數(shù)g（θ）的一個(gè)無偏估計(jì)量．若對g（θ）的任意一個(gè)無偏估計(jì)量（ξ１，ξ２，…，ξn），都有則稱（ξ１，ξ２，…，ξn）是g（θ）的一個(gè)一致最小方差無偏估計(jì)量，縮記為UMVUE（UniformlyMinimumVarianceUnbiaseEstimation）．定理1（Rao-Cramér定理）設(shè)總體ξ的分布密度為p（x；θ），一維未知參數(shù)θ∈Θ，參數(shù)空間Θ為一個(gè)開區(qū)間，（ξ１,ξ２，…，ξn）為ξ的樣本，（ξ１，ξ２，…，ξn）是待估函數(shù)g（θ）的任意一個(gè)無偏估計(jì)量．假定：１）集合｛x：p（x；θ）＞０｝與θ無關(guān)，即密度為正值的那些x組成的集合與θ值無關(guān)．I（θ）有另一個(gè)比較易于計(jì)算的表達(dá)式：其中I(θ)稱之為Fisher息量。當(dāng)I（θ）>0時(shí)，—Cramér不等式的下界。其中稱為Rao其中定義：設(shè)參數(shù)的一列估計(jì)量＝，滿足關(guān)系式，()，則稱為的漸近無偏估計(jì)量．相和性定義：設(shè)總體ξ的概率函數(shù)為p(x；θ)，（ξ１，ξ２，…，ξn）為總體ξ的樣本，｛θn＝｝為未知參數(shù)θ的估計(jì)量序列，Θ為參數(shù)空間，若對任意ε＞０，有則稱θn為θ的相合（一致）估計(jì)量，也可說估計(jì)量θn具有相合性（一致性）.定理1樣本原點(diǎn)矩是相應(yīng)的總體原點(diǎn)矩的相合估計(jì)量（假定被估計(jì)的總體原點(diǎn)矩存在），即。定理2樣本方差S２是總體方差Dξ的相合估計(jì)量（假定Dξ存在），即定理3設(shè)θn＝為θ的估計(jì)量，若Dθn存在，且及則θn是θ的相合估計(jì)量。例題1、設(shè)的正態(tài)分布，為樣本求σ2+μ的矩估計(jì)量判斷是否是σ2+μ的無偏估計(jì)，若不是無偏估計(jì)量，請修正為無偏估計(jì)量。例題2、設(shè)總體服從參數(shù)為P的幾何分布，即0<p<1，求p的極大似然估計(jì)量求p的信息量I(p)問是否是p有效估計(jì)量2、區(qū)間估計(jì)區(qū)間估計(jì)的概念：設(shè)θ=xn),算得一個(gè)估計(jì)值是未知參數(shù)θ的一個(gè)估計(jì)量,對于一組樣本觀測值(x1,x2,…,),點(diǎn)估計(jì)就是取。定義：設(shè)總體的分布函數(shù)為F（x；θ），θ為未知參數(shù)，θ∈Θ，對事先給定的α（０＜α＜１）存在兩個(gè)統(tǒng)計(jì)量T1=T1為的一個(gè)樣本，若、T2＝T2使得則稱區(qū)間（T1，T2）為參數(shù)θ的1-α的區(qū)間估計(jì)或1-α的置信區(qū)間．T1，T2分別稱為置信下限和置信上限，而1-α稱為置信區(qū)間（T1，T2）的置信度或置信水平，α稱為顯著性水平或誤判風(fēng)險(xiǎn).正態(tài)總體分布的置信區(qū)間總是假定總體，μ為未知數(shù)，而為的一個(gè)樣本。σ2已知，求μ的置信區(qū)間求μ的1-α置